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卷积积分与积分变换ppt课件

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积分变换二章12节-PPT精选文档

积分变换二章12节-PPT精选文档

变换或者不存在，或者为非常义下的广义函 数给应用带来很大的不方便。
对于任意一个函数 (t ), 能否经过适当地改造
使其进行Fourier变换时克服上述两个缺点？
3
首先将(t) 乘上u(t), 这样t小于零的部分的
函数值就都等于0了.
而大家知道在各种函数中, 指数函数ebt (b>0)
的上升速度是很快的了, 因而e-bt下降的速度也 是很快的.
1 e - ( s - k ) t 1( R e ( s ) k ) . s - k 0 s - k
其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为 Re(s)> Re(k).
ekt 1 s-k
9
2.拉氏变换的存在定理 若函数f(t)满足: (1). 在t0的任一有限区间上分段连续; (2). 当t时, f(t)的增长速度不超过某一指数函 数, 即存在常数M>0及c0, 使得
0
0
b 其 中 s j,f( t)( t) u ( t)
若再设F(s)Gb
s-b

j

则 得 F(s)f(t)e-stdt 0
6
定义 设函数f(t)当t0时有定义, 而且积分
f(t)e- std t (s是 一 个 复 参 量 ) 0
在s的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函数可写
第二章 Laplace变换
2.1 Laplace变换的概念 2.2 Laplace变换的性质 2.3 Laplace逆变换 2.4 卷积 2.5 Laplace变换的应用
1
§2.1 Laplace变换的概念
1 问题的提出 2 Laplace变换
存在定理 3 典型例题
2
1.问题的提出
积分变换 ppt课件

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16
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,
这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数
的强度.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
d d (t)f(t)dtf(0)及 (tt0)f(t)dtf(t0).
（ ft为 连 续 函 数 ）
可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电
流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记
成d-函数:
d
t
0
t 0 t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
பைடு நூலகம்
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
F() f(t)eitdt 1 eitdt eit 1
1
i
1
1 eiei 2sin
i
f(t)21
F()eitd1
F()costd
0
102s incostd20sin costd
9
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
如果成立
F(w) f(t)ejwdt t
f(t)1 F(w)ejwdt w
2
并称F(ω)为f (t)的象函数
或付里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或付里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
8
例1
求矩形脉冲函数
卷积PPT课件

卷积PPT课件


• 卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶 变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中 的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。
•
F(g(x)*f(x)) = F(g(x))F(f(x))
• 其中F表示的是傅里叶变换。
• 这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变 换、Mellin变换和Hartley变换等各种傅里叶变换的 变体同样成立。
16
• 傅氏变换用算符F表示、含自变量x的复变函数g(x)的傅氏
变换由下式定义
F[g(x)] g(x) exp 2iuxdx
• 由此定义的变换G(u)本身也是自变量u的复变函数。如x有 空间坐标含义，u一般称为空间频率。相仿地，函数G(u)的 逆傅氏变换可用F-1[G(u)]表示
4
• 如果卷积的变量是函数x(t)和h(t)，则卷积的计
算变为
yt




x
pht

pdp

xt

ht

• 其中p是积分变量，积分也是求和，t是使函数 h(-p)位移的量，星号*表示卷积。
5
• 性质
• 各种卷积算子都满足下列性质： • 交换律 结合律 分配律 数乘结合律
6
卷积定理
外一个或两个条件。例如，经常用函数表示一个理想的物点
。它有一个无穷大的间断点，不满足条件（3）。又如，
g(x)=1和g(x)＝cos(2ux)都不满足条件（1）。但对于那些
不严格满足存在条件的函数，往往也能够发现它们有一个有意 义的变换式，只有这些函数可以定义为由可变换函数所组成的 级数的极限。
卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果
电路原理课件-卷积积分

电路原理课件-卷积积分

3
7) t≥7时,
y(t ) 0
注意：积分上下限应由被 积函数存在的时域范围的 上下限确定。
卷积积分在电路分析中的应用
例1、电路如图所示，uS=15e-0.25t(t)V。采用卷积计算uC。
解：以uC为响应，求单位阶跃响应
uC (0 ) uC (0 ) 0
uCf 40 1 0.5V 40 40
t t
t t
t 0
d dt t t
卷积积分上下限分析
t
0
r t h t f t f t h t
卷积符合交换律
δ t f t δ f t dτ τ τ
k 0
f (t ) f a (t )
f ( k ) ( t k ) ( t ( k 1) )
k 0 n 1

k 0 n 1
k 0
n 1
(t k ) (t (k 1) ) f (k )
例2、电路如图，R=10，L=1H，激励uS的波形如图 所示，求零状态响应i(t)。
解：以电流i 为响应，求单位阶跃响应为：
R t 1 g( t ) (1 e L ) ( t ) R 0.1(1 e 10 t ) ( t )
则单位冲激响应为：
dg( t ) h (t ) e 10 t ( t ) dt
40 40 RC 0.05 1s 40 40
uC ( t ) uCf (1 e ) ( t ) 0.5(1 e t ) ( t )V
t
单位阶跃响应为：
g(t ) 0.5(1 e t ) (t )
积分变换第4讲卷积定理与相关函数

积分变换第4讲卷积定理与相关函数


解 ：F（si n w 0 t
• u(t )） F（e iw0t
e iw0t 2i
• u(t)）
1 {F（e iw0t • u(t )） F (e iw0t • u(t )）}
2i

1{1 2i iw
d（w）} |www0

1{1 2i iw
d（w）} |www0
例4 利用傅氏变换的性质, 求d(tt0),
ejw0t ,以及tu(t )的傅氏变换 解：因F (d (t)) 1,由位移性质得
F (d (t t0)) e jt0w F (d (t)) e jt0w 由 F (1) 2d (w),得
F (ejw0t ) 2d (w w0)
w0t
•
e t u(t )）
F
（ eiw0t
eiw0t 2
•
e t u(t )）
1 {F （eiw0t • e tu(t)） F (eiw0t • u(t)）}
2

1 2
{ iw
1

}
|w
w

w0

1 2
{ iw
1

}
|w
w

w0

1 2
{ i

w

1 w0
2n
t
Dt
n
则g(t)
f
(t
)
1
Dt
e
j
2n
t
Dt
n

G(w)
1
Dt

F (w nDw)
n
(Dw

2 Dt
)
33
卷积和和卷积积分.ppt

卷积和和卷积积分.ppt

一个任意的输入信号可以分解为：指数函数、冲激 函数、阶跃函数等等。这里讨论将信号分解为冲激 函数之和的情况。
矩形信号：
x(t) u(t t1) u(t tn )
分为一系列宽度相等 的窄矩形脉冲之和
x(t) 1
0 t1
x(t) 1
tn t
x(t) u(t t1) u(t t2) u(t tn1) u(t tn )
1
特解yp(t) 常数A
eat a i
eat
a i
i为
重根
i
L
Ckt k
k 0
Aeat
i
Ajt jeat
j0 L
Ajt j
j0
t tp
cos(t )
A0+A1t A0+A1t+A2t2+……APtp
B1 cos(t ) B2 sin(t )
❖系统的零输入响应与零状态响应
一个线性系统可以将系统的响应分解为零输入响应和零 状态响应。即：
y(t) yx (t) y f (t)
➢零输入响应 ➢零状态响应
yx (t) T[(y(t0)，{0}]
y f (t) T0，x(t)
n
而： yx (t)
c e it xi
i0
n
y f (t)
c eit fi
y p (t)
i0
例：已知一系统的微分方程为：
y'(t) 2 y(t) x(t)，且y(0 ) 2
分析如下电路：已知：uc(0-)=0，求uc(t)。
1.5δ(t)
2Ω
＋ 0.25F
－
＋
uc(t)
－
解：建立系统的微分方程：
卷积积分及其性质 ppt课件

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d dx
(t)是奇函数 [ (x t)] f (x) d x [ f (t)] f (t)
第2-15页
PPT课件
15
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
3. f(t)*ε(t)

t
f ( ) (t ) d f ( ) d
¥
ò yzs (t) =f (t) * h(t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]e(t - t ) d t
-?
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0
蝌t
yzs (t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]d t =
-?
t
(6 e- e2t 3t - et ) d t
?
(t)
t0
)
f
(
t
)
d
t

f (t0)

'(t) f (t) d t f '(0)


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(t
t0 )
f
(t) d t


f

(t0 )
16
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2.4 卷积积分的性质
三、卷积的微积分性质
1.
dn dtn
第2-11页
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11
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2.4 卷积积分的性质
下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
§2.3,4卷积积分及其性质[优质PPT]

§2.3,4卷积积分及其性质[优质PPT]


由时不变性： δ(t -τ)
h(t -τ)
由齐次性： f (τ)δ(t -τ)
f (τ) h(t -τ)
由叠加性：

f
( ) (t ) d


f
( )h(t
) d
‖
‖
f (t)
yzs(t)
¥
ò yzs (t) =
f (t )h(t - t ) d t 卷积积分
-?
第2-4页
■
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2.3 卷积积分
3 .卷积积分的定义
已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)， 则定义积分
f(t) f1()f2(t)d
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t)
第2-7页
■
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2.3 卷积积分
二、卷积的图解法

f1(t)*f2(t) f1()f2(t)d 用图解法计算卷积积分步骤：
（1）换元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ) （2）反转平移： 由f2(τ)反转→ f2(–τ)，然后右移t → f2(t-τ) （3）乘积： f1(τ) f2(t-τ) （4）积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。
¥
ò yzs (t) =f (t) * h(t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]e(t - t ) d t
-?
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0
蝌t
yzs (t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]d t =
卷积的性质 ppt课件

卷积的性质 ppt课件


f1 1 u(t 1)
f 2 e(t1)u(t 1)
s f1 f2 [1 u(t 1)] [e(t1)u(t 1)]
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18
1* e (t1)u(t 1) u(t 1) e (t1)u(t 1)


e ( 1)u(
= r(t) r(t1) – r(t 2) + r(t-3)
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4
一.卷积代数
mutative law f1 f2 f2 f1
f (t) h(t) f h
h(t )
h f
f(t)
2.distributive law f1 [ f2 f3 ] f1 f2 f1 f3
d 2r d 2t
h(t) (t) r(t) 2 (t 1) (t 2)
h3(t) r(t)
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25
点评:本题是求反卷积的问题。 利用了sintu(t) 两次求导后出现冲激函数 和自身，具有这一特点的函数，求反卷积 用本例的方法比较简单。
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26
16
4.P85.2-19(b) f1 1 1
解:方法一:t<0时:
f 2 e(t1)u(t 1)

－1
t 1
f1 f2
1 e(t 1)d
e(t1)

e
e0
0 1
t>0时:
1
t 1
2 e f1 f2 e(t 1)d 2e(t 1)d
y‘ zs
(t
)

f
’(t) h(t)
f '(t) (t) etu(t)带入上式，有
积分变换第四讲 卷积 Fourier变换的应用的性质

积分变换第四讲 卷积 Fourier变换的应用的性质


f1 (t ) f 2 (t ) e
0
t
( t )
d e
t

t
0
e d e e

t
t
0
1 e t
10
•卷积定理
假定 f1 (t ) 与 f 2 (t ) 都满足Fourier积分定理中的条件， 且 F [ f1 (t )] F1 ( )，F [ f 2 (t )] F2 (). 则
16
利用卷积定理求解以下方程.
例 2 求积分方程 g (t ) h(t ) Fourier 变换都存在.

f ( ) g (t )d
其中 h(t )，f (t ) 为已知函数，且 g (t )，h(t ) 和 f (t )的
解： 假设 F [ g (t )] G( )，F [h(t )] H () 及 F [ f (t )] F ( ). 由卷积的定义可知，
Fourier 逆变换式：
1 f (t ) 2




F ( )eit d
1
例：若 F ( ) F [ f (t )] ，且 a 0，证明：
1 F [ f (at )] F ( ). a a

证：F [ f (at )]



f (at )e
it
s at



f ( ) g (t )d f (t ) g (t )
17
利用卷积定理求解以下方程.
例 2 求积分方程 g (t ) h(t ) Fourier 变换都存在.

f ( ) g (t )d
其中 h(t )，f (t ) 为已知函数，且 g (t )，h(t ) 和 f (t )的
信号与系统卷积积分ppt课件

信号与系统卷积积分ppt课件

e(t )
1
1 0 1 t 2
h(t) 1 t u(t) u(t 2)
2
h(t)
1
0
2t
卷积图解过程
解： 图解法
i)t
e( )
1
1 0 1 2
ii)h( ) h( )
h( )
1

2
0
h( )
1

0
2
iii)h( ) h(t )
h(t )

f (t) f1( ) f2(t )d
称为 f1(t) f2 (t) 的卷积积分，简称卷积，记为
f (t) f1(t) f2(t) 或 f (t) f1(t) f2(t)
利用卷积求系统的零状态响应
④物理意义：将信号分解成冲激信号之和，借助系统的 冲激响应h(t)，求出系统对任意激励信号的零状态响应，即：

f (t) f1( ) f2(t )d
－(τ- t)= t- τ
积分结果为t 的函数
1. f1(t) f1( ) 积分变量改为
2.
f2(t)
f2( ) 反折
时延
f2( )
f2(t
)
3.相乘 f1( ) f2 (t )

4.乘积的积分 f1( ). f2 (t )d
卷积图解过程
-1 t <1
f2(t )
1 f1( ) f2 (t )向右移

t3
1 tO
1
1 t 1 时两波形有公共部分，积分开始不为0，积
分下限-1，上限t。
( ) f (t)
t
1 f1( ) f2 (t )d

积分变换第4讲

2
+ jπδ′(ω)
14
例5 若f(t)=cosω0t ⋅ u(t), 求F [f(t)] 1 u(t) ↔ +πδ(ω) jω
+e f (t) = u(t) ↔ 2 1 1 F(ω) = +πδ(ω −ω0) 2 j(ω −ω0) e 1 + +πδ(ω +ω0) j(ω +ω0)
+∞
6
交换二重积分的次序, 得
[ f1(t)∗ f2(t)]∗ f3(t)
+∞ +∞
+∞ f (τ) f (u −τ)dτ f (t −u)du =∫ ∫ 1 2 3 −∞ −∞ +∞ f (u −τ) f (t −u)du dτ = ∫ f1(τ) ∫ 2 3 −∞ −∞
令v=t−u, 则u=t−v, +∞ +∞ f (t −v −τ) f (v)dv dτ 上 = ∫ f1(τ) ∫ 2 式 3 −∞ −∞
= f1(t)∗[ f2(t)∗ f3(t)]
= ∫ f1(τ)s(t −τ)dτ = f1(t)∗s(t) =
−∞
7
+∞
例1 证明 f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t) 证 根据卷积的定义
1 f1 (t ) ⋅ f 2 (t ) ↔ F1 (ω ) ∗ F2 (ω ) 2π
利用对称性、比例性 利用对称性、
f1 (t ) ↔ F1 (ω )
F1 (−t ) ↔ 2π f1 (ω ) F1 (t ) ↔ 2π f1 (−ω )
f 2 (t ) ↔ F2 (ω )

卷积积分的性质ppt课件


1
f1’(t) =δ (t) –δ (t –2)
0 2t
f 2 ( 1 ) ( t ) te ( ) d 0 t e d ( t ) e t 0 ( t ) ( 1 e t)( t )
f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2)
O
t1 2
τ
R12(t)
2
阴影部分面积
-2
O t1 2
t
(b) 相关
▲
f1(τ)
1
O
2
τ
f2(τ) 2
O
2τ
■
第 12 页
实功率有限信号相关函数的定义
f1(t)与f2(t)是功率有限信号 相关函数：
R 1(2)T l i m T 1 T 2 T 2f1(t)f2(t)dt
R 2(1)T l i m T 1 T 2 T 2f2(t)f1(t)dt
自相关函数：
例
R ()T l im T 1 T 2 T 2f(t)f(t)dt
■ 第 13 页
求 周 期 ft 余 E co 弦 1ts的 信 自 号 相
解：对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有
R TlimT1
T
2 T
2
f
t
f
t
dt
E 2
lim T T
T
2 T
cos1
t
cos1
3. 在f1(– ∞) = 0或f2(–1)(∞) = 0的前提下， f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t) 例1 例2
▲
■
第5页
卷积性质例1
f(t)h(t)
例1：f1(t) 如图, f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t)

积分变换第3讲ppt课件


f
(t
)
d
t
1 F
jw
[ f (t)].
(1.19)
证 因为 d
t
f (t) d t f (t),
d t -
F [ f (t)] jwF
t -
f
(t)
d
t
精选
9
例2 求微分积分方程 t a x (t) b x (t) c x (t)d t h (t) -
的解, 其中-<t<+, a,b,c均为常数. 根据傅氏变换的微分性质和积分性质, 且记
积分变换
第3讲
精选
1
傅氏变换的性 质
精选
2
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述 方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏 变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证 明这些性质时, 不再重述这些条件.
精选
3
线性性质 设F1(w)=F [f1(t)], F2(w)=F [f2(t)], a,b是常数, 则
例 如 t etd t t e u d u e u t e t - e - et
-
-
-
且 有 d
t f (t) d t d
t
f (u) d u f (t)
d t -
d t - 精选
8
4. 积分性质
如 果 当 t 时, g (t) t f (t) d t 0 -
则
F
t -
一般地, 有
dn
dwn
F(w) (- j)nF
[tn f (t)]
精选
7
本书中的积分的记号有不严格的写法, 即
t f (t ) d t的 意 思 其 实 是 t f (u ) d u ,

第二章 卷积积分与积分变换ppt课件

F(t)(t)dtF()
(b)δ(t)为偶函数，即 δ(t) = δ(t)
2 脉冲响应
例：设如图所示单自由度系统在t = 0以前静止， 在t = 0时受到脉冲力δ(t)的激励。 运动微分方程
m& x&cx&kxf(t)Fˆ(t)
x(0)0,x&(0)0
这里：0－表示小于零但无限接近于零的时刻， 0+表示大于零但无限接近于零的时刻。
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
1
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
i
i3
i5
Re[
4
e ] i(2n1)0t
n1 i(2n1)
同样
2
dp
1 2 (ap
ibp )
ip
0
p 1,3,5,L p 2, 4, 6,L
g(t)
2
ei(2n1)0t
ni(2n1)
1

卷积及其性质ppt课件


则积分
S (t) f1( ) f2 (t )d
称为f1(t)和f2 (t)的卷积， 记为 f1(t) f2 (t)
对于S(t)
f1( ) f2 (t )d
i) 若t 0, f1(t) 0，即
S(t) 0
f1( ) f2 (t )d
；.
1
§2.7 卷积及其性质
ii) 若t 0, f2 (t)＝0，那么对于f2 (t ),t 0, f2(t ) 0
因为
[ (n 2) (n 1) (n) (n 1) (n 2)]
(n)* (n m) (n m)
于是
y(n) (n 4) 2 (n 3) 3 (n 2) 4 (n 1) 5 (n)
4 (n 1) 3 (n 2) 2 (n 3) (n 4)
3, 卷积和的求取方法
（1）直接用解析式求
（2）借助图形求
观察 x1(n) * x2 (n) x1(m)x2 (n m) ， 同样分四步求： m
第一步，改变求和变量,x1(n) x1(m), x2 (n) x2 (m)
第二步, x2 (m)反转 x2 (m)
第三步，x2 (m) x2 (n m)
第四步，相承与求和
x1(m)x2 (n m)
m
举例说明。
；.
15
§2.7 卷积及其性质
例，已知两个序列
1, 0 n N 1
an (0 a 1), n 0
x(n) 0, others
, h(n) 0, n 0
求卷积和 y(n) x(n) h(n)
解：
（1）当 n 1 时，y(n) 0；
；.
8
§2.7 卷积及其性质
推论
f1(t) f2 (t) (i) f1(t)( j) f2 (t)(i j)

积分变换第4讲


练习：
L1[
s(s
1 1)2
]

?
5
例5 解下列积分方程：
t
sti n 2 0 co t u s )(( u )d u (t)(t 0 ).
解：本题的方程为卷积型的，即可表为
sit n 2 (t) cto s (t).
因此，两端取拉氏变换，记 L[(t)]F(s),

1 F( i)e(i)td
2
1 si
iF(s)estds.
2 i i
即
f(t) 1 i F (s)estd.s (1) 2 i i
公式（1）就是从像函数F(s)求像原函数 f(t)的
一般公式，称为反演积分公式.
f(t)L 1[A (s)]n A (sk)eskt. B (s) k1 B (sk)
情形2 若B(s)有m 级零点 s k , 则
(m 1 )
R s [B A e ( (s s ) )e s,t s k ] (m 1 1 )s l !s i k ( m s s k )m B A ( (s s ) )e s t .
满 足 y (0 ) 5 ,x (0 ) 6 的 解 .
16
解：方程两端取拉氏变换，并记
L [ x ( t) ] X ( s ) , L [ y ( t) ] Y ( s ) ,
由微分、积分公式，得到
sY(s)( 5)2 Y(s)6X (s) 2
s
s
s Y (s ) s X (s ) 6 X (s ) 0
于是 f(t)L 1 [s 12]L 1[s 11 ]L 1 [(s 1 1 )2]
e2t et te t.
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n1 i(2n 1)
同样
2
dp
1 2
(ap
ibp )
ip
0
p 1,3,5, p 2, 4, 6,
g(t)
2
ei(2n1)0t
n i(2n 1)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.5
1
0.5
p0
p
在频率轴的正半轴上，双边谱的系数dp与单边谱 的系数Ap之间有如下关系
｜Ap｜= 2｜dp｜ Re［Ap］= 2Re［dp］
Im［Ap］= 2Im［dp］
通常用频谱图来直观显示周期函数所包含的频 率成分及其大小。
以频率f (很少用ω)为横轴，分别以cp(或｜Ap｜) 和θp为纵轴作图，并称f ～cp图为g(t)的幅频图， f ～θp图为相频图。
1 周期函数的傅立叶级数
如果g(t)是以T 为周期的周期函数，即 g(t+T) = g(t)
并且g(t)还满足下列条件(Dirichlet条件) 1. 在［-T/2，T/2］上连续,或者只有有限个一类
间断点(即存在极限的间断点); 2. 只有有限个极值； 3. 在［-T/2，T/2］上绝对可积，即
a0=c0，
b0=0
c0
1 T
T2
g(t)dt
T 2
θ0=0
ap
2 T
T2
T 2 g(t) cos p0tdt
bp
2 T
T2
T 2 g(t) sin p0tdt
c2p a2p bp2
cos p
ap cp
p
arctan
bp ap
sin p
bp cp
p=1,2,…
ap、bp、cp和θp(p=0,1,2,…)称为周期函数 g(t)的傅立叶系数或谐波系数， cp是谐波的振幅, θp是谐波的初相位。
T2 T 2
g(t)eip0t dt
1 2
(ap
ibp )
而
d p
1 T
T 2 g(t)ei( p)0t dt
T 2
1 T
T2 T 2
g (t )eip0t dt
dp
即
Re[Apeip0t ]
d peip0t
d
eip0t
p
因而可以得到
p0
g(t) Re[ Apeip0t ]
d peip0t
2 T
1
ip0
(1
eip0
T 2
)
(eip0
T 2
1)
4
eip eip
(1
)
i2 p
2
2
i p
(1
cos
p
)
4
ip
0
p 1,3,5, p 2, 4, 6,
因此
g(t) Re[ 4 ei0t ] Re[ 4 ei30t ] Re[ 4 ei50t ]
ii(2n1)0t
第二章卷积积分与积分变 换
第二章 卷积积分与积分变换
本章主要复习傅立叶级数，介 绍傅立叶级数的复数表示，脉冲响 应与卷积积分、傅立叶变换和拉普 拉斯变换及其性质。
§2.1 傅立叶级数 §2.2 脉冲响应与卷积积分 §2.3 傅立叶变换 §2.4 拉普拉斯变换
§2.1 傅立叶级数
1 周期函数的傅立叶级数 2 复数形式的傅立叶级数
一般来说，频谱图多为单边的，只画出f ≥0的 部分。
周期函数频谱图的特点是只在离散点0，f ， 2f ，…，上有值，被称为离散谱，有时也形象 地称为谱线图。
例：求下图所示周期方波信号g(t)的傅立叶级数
g
(t)
1
1
T t 0 2
0tT 2
a0=c0=0
ap
2 T
T2
T 2 g(t) cos p0tdt 0
bp
2 T
T2
T 2 g(t) sin p0tdt
2 [ T
0
T 2 (1) sin p0tdt
T2
0 sin p0tdt
2 T
1
p0
cos
p0t
0 T
2
1
p0
( cos
p0t)
T 0
2
2 T
1
p0
1
cos[
p0
(
T 2
)]
1
cos(
p0
T 2
)
利用 0T = 2，有
bp
2
p
1 cos
p=1,2,…
5
0
2
1.5
1
-5 0.5
6
5
4
3
2
1
0 0
双边傅立叶级数
由于对任意复数z有
Re[z] z z 22
因此，当p≠0时
Re[ Apeip0t
]
1 2
[
Ap
eip0t
A eip0t p
]
1 [ 2 T 2 g(t)eip0tdt]eip0t 1 [ 2 T 2 g(t)eip0tdt]eip0t
2 T T 2
2 T T 2
[ 1 T 2 g(t)eip0tdt]eip0t [ 1 T 2 g(t)eip0tdt]eip0t
T T 2
T T 2
令
d p
1 T
T2 T 2
g (t )eip0t dt
1 2
(ap
ibp )
则
d p
1[ T
T 2 g(t)eip0tdt]
T 2
1 T
T /2
| g(t) | dt T / 2
则在［-T/2，T/2］上g(t)可以展成傅立叶级数， 即有
g(t) (ap cos p0t bp sin p0t) p0
这里：
cp cos( p0t p ) p0
0
2
T
称为周期函数g(t)的基频
pω0(p=2，3，…)称为基频ω的p次倍频。
p0
p0
Re[ Apeip0t ] p0
这里
1 T2
A0 c0 T
g(t)dt
T 2
θ0 = 0
Ap cpeip = ap ibp = cp(cosθpisinθp)
2 T
T2
T 2 g(t)(cos p0t i sin p0t)dt
2 T 2 g(t)eip0tdt T T 2
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
p
4
p
0
p 1,3,5, p 2, 4, 6,
即
g (t )
4
sin
0t
1 3
sin
30t
1 5
sin
50t
4sin n0t
n1 (2n 1)
另外
Ap
2[ T
0 T
(1)eip0tdt
2
T 2 eip0tdt]
0
2 T
1
ip0
eip0t
0 T
2
(
1
ip0
)eip0t
T 2 0
c1cos(ωt－θ1)称为周期函数g(t)的基波； cpcos(pωt－θp) （p>1）称为周期函数g(t)的 基波的p次谐波。
2 复数形式的傅立叶级数
单边傅立叶级数
根据欧拉公式 ei cos i sin
有
cos p0t Re[eip0t ]
代入g(t)的傅立叶级数表达式,有
g(t) cp cos( p0t p ) Re[cpei( p0tp ) ]