职高类对数与对数函数

职高高三数学函数知识点数学函数是高中数学的重要内容之一，对于职高高三学生来说，掌握数学函数的知识点是非常关键的。

在本文中，我们将介绍职高高三数学函数的知识点，帮助学生们更好地理解和应用这些知识。

一、函数的定义和表示方法函数是数学中一个非常基础的概念，它描述了两个变量之间的关系。

函数通常用符号f(x)来表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。

函数的定义可以简单地理解为一个规则，根据规则可以得到x 和f(x)之间的对应关系。

二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变量的取值范围。

在确定函数的定义域和值域时，需要注意约束条件和排除非法值。

2. 单调性：函数的单调性描述了函数值的变化趋势，可以分为递增和递减两种情况。

通过导数或者函数的图像可以确定函数的单调性。

3. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数的对称性，奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。

4. 周期性：周期函数具有周期性，即函数在一个周期内的取值重复出现。

三、常见的数学函数1. 线性函数：线性函数是最简单的函数之一，它的图像是一条直线。

线性函数的表达式为f(x)=kx+b，其中k称为斜率，b称为截距。

2. 幂函数：幂函数的表达式为f(x)=ax^m，其中a和m为常数。

幂函数的图像通常是一条曲线，形状取决于a和m的值。

3. 指数函数：指数函数的表达式为f(x)=a^x，其中a为常数。

指数函数的图像通常是一个递增（a>1）或递减（0<a<1）的曲线。

4. 对数函数：对数函数是指数函数的逆运算，其表达式为f(x)=loga(x)，其中a为常数，x为正实数。

对数函数的图像通常是一条递增的曲线。

四、函数的运算1. 函数的加减运算：两个函数可以进行加减运算，得到的函数称为和函数或差函数。

加法运算表示为(f+g)(x)=f(x)+g(x)，减法运算表示为(f-g)(x)=f(x)-g(x)。

2. 函数的乘法运算：两个函数可以进行乘法运算，得到的函数称为积函数。

职高数学对数知识点总结**一、对数的基本概念**在介绍对数的基本概念之前，首先来了解一下指数的概念。

指数是数学中的一个重要概念，指数运算是数学中常见的一种运算方式，指数运算的结果称为指数，例如$2^3=8$ 中，2就是底数，3就是指数，8就是指数运算的结果。

那么对数是什么呢？对数是指数的逆运算，对数运算就是求指数运算的逆运算。

具体来说，设$a^x=y$，如果已知$a$和$y$，求$x$的运算叫做对数运算。

对数运算的表达式通常写作$\log_{a}y=x$。

要注意的是，对数意味着什么？$\log_{a}y=x$，其实意味着$a^x=y$。

也就是说，$\log_{a}y$是以$a$为底，$y$为真数的对数，其结果是$x$。

对数运算有自然对数、常用对数、二进制对数、十进制对数等多种。

常用的对数通常以10为底，自然对数通常以e为底。

**二、对数的性质**1.对数的性质对数的底数必须是正数且不等于1的数，同时真数也必须是正数。

对数的运算有许多性质，其中比较重要的有以下几点：（1）对数与指数的互相转化如果$a^x=y$，那么$\log_{a}y=x$；如果$\log_{a}y=x$，那么$a^x=y$。

这就是对数与指数互相转化的性质。

（2）对数的运算法则对数有一些运算法则，比如对数的加减法、乘除法等：$\log_{a}(b\cdot c)=\log_{a}b+\log_{a}c$，$\log_{a}\frac{b}{c}=\log_{a}b-\log_{a}c$（3）指数对数性质对于任何正数$a$和$b$，以及任何实数$x$和$y$，都有：$a^{log_{a}x}=x$，$log_{a}a^x=x$（4）对数的换底公式$log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}$（5）对数的乘方提公因式a乘方表达式$log_{a}x^n=n\cdot log_{a}x$2.对数的性质定理对数的性质定理主要有以下几点：（1）若$a>1$，则log$_{a}x$为增函数，a>0且a!=1。

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。

但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象x y> Oxy<a <y = l o g x a 111()) x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是11xy y y y OA BC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 A.42B.22C.41D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A.21B.－21C.2D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21.8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是xyxyx yxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B. 答案：C9.设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2典型例题【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.1-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x－1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2， 从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47. （2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2.已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）. （2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm +2m ）min ≥3.又x +xm ≥2m （当且仅当x =xm ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169.小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。

人教版中职数学基础模块上册《对数与对数函数》课件 (一)随着信息技术和人工智能的发展，数学这门学科已经成为了无所不在的一种知识，对于每一个人来说，学好数学都是非常有必要的。

而在数学学科中，对数与对数函数则是非常重要的一部分，是中职数学基础模块上册《对数与对数函数》课件的核心内容。

本文将从以下几个方面来详细介绍这门课程的内容。

一、对数的基本概念对数是一个非常重要的数学概念，在各种数值的计算中都有广泛的应用。

对数的定义是：若a的正整数次幂等于N，那么，以a为底，N的对数就是这个正整数。

因此，对数的计算可以把大数的运算转化为小数位数的运算，使运算更加容易进行。

二、对数运算规律对数运算规律主要包括四个方面：对数的加、减、乘、除的运算规律。

其中对数的乘法规律和除法规律是非常重要的，也是应用最广泛的。

在计算过程中，我们常常会用到对数的换底公式，以解决底数不同的计算问题。

三、对数函数的图像与性质对数函数是由幂函数演变而来，具有非常独特的图像和性质。

对数函数的图像属于“S”型曲线，在底数大于1时呈现上升趋势，在底数小于1时则呈现下降趋势。

对于对数函数，我们还有许多其他的性质，如导数、反函数等，这些都是我们在计算中需要重点掌握的知识点。

四、对数函数的应用对数函数在各种实际应用中都有广泛的应用。

它可以用来表示分解式的特征，其底数可以用来表示速度比、功率比等一系列具有非常特殊意义的量。

此外，在各种领域的数据处理中，也会经常使用到对数函数的计算方法。

总之，在中职数学基础模块上册《对数与对数函数》课件中，对数及其函数是一个非常重要的知识点。

通过学习此课程，我们能够更好地掌握数学基础知识，进一步提升数学应用能力，在实际工作和生活中更好地应用数学知识。