高二数学备课精选教案 2.3《等比数列》 新人教B版必修5

20XX—20XX学年度第一学期高二数学教案主备人：使用人：馈。

3、同的解题过程和答案给出准确的评价，总精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

2.3.2 等比数列的前n 项和(一)明目标、知重点 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)na 1(q ＝1). (2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．等比数列前n 项和公式的变式若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q (1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝a 1q －1.3．错位相减法推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在象棋的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三个格子放4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求”．国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g ，据查目前世界年度小麦产量约6亿 t ，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言． 探究点一 等比数列前n 项和公式的推导思考1 在情境导学中，如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么这个数列是怎样的一个数列？通项公式是什么？答 所得数列为1,2,4,8，…，263.它是首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为a n ＝2n －1. 思考2 在情境导学中，国王能否满足发明者要求的问题，转化为数列的怎样的一个问题？ 答 转化为求通项为a n ＝2n－1的等比数列前64项的和．思考3 类比求等差数列前n 项和的方法，能否用倒序相加法求数列1,2,4,8，…，263的和？为什么？答 不能用倒序相加法，因为对应各项相加后的和不相等．思考4 对于S 64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S 64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S 64?答 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S 64，即S 64＝1－2641－2＝264－1≈1.84×1019.思考5 类比思考4中求和的方法，如何求等比数列{a n }的前n 项和S n ? 答 设等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，前n 项和为S n . S n 写成：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① 则qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n .② 由①－②得：(1－q )S n ＝a 1－a 1q n . 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q.当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝na 1.思考6 下面提供了两种推导等比数列前n 项和公式的方法．请你补充完整． 方法一 由等比数列的定义知： a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q . 当q ≠1时，由等比性质得： a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝q ，即S n －a 1S n －a n＝q . 故S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q .当q ＝1时，易知S n ＝na 1.方法二 由S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 得： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 2q ＋…＋a n －1q ＝a 1＋q ·(a 1＋a 2＋…＋a n －1) ＝a 1＋q ·(S n －a n )从而得(1－q )·S n ＝a 1－a n q . 当q ≠1时，S n ＝a 1－a n q1－q ；当q ＝1时，S n ＝na 1.小结等比数列{a n}的前n 项和S n可以用a 1，q ，a n表示为S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1a 1－a nq1－q ，q ≠1.例1 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”，怎样用学过的知识来说明它？ 解 这句话用现代文叙述是“一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完”．如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，则得到一个首项为a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，它的前n 项和为S n ＝12×[1－(12)n ]1－12＝1－(12)n .不论n 取何值，1－S n ＝(12)n 总大于0，这说明一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完．反思与感悟 涉及等比数列前n 项和时，要先判断q ＝1是否成立，防止因漏掉q ＝1而出错． 跟踪训练1 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析 设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2. 因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.例2 等比数列{a n }的公比q ＝12，a 8＝1，求它的前8项和S 8.解 方法一 因为a 8＝a 1q 7，所以a 1＝a 8q 7＝27.因此S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝27[1－(12)8]1－12＝28－1＝255.方法二 把原数列的第8项当作第一项，第1项当作第8项，即顺序颠倒，也得到一个等比数列{b n }，其中b 1＝a 8＝1，q ′＝2，所以前8项和S 8＝b 1(1－q ′8)1－q ′＝1－281－2＝255.反思与感悟 等比数列的前n 项和公式和通项公式中共涉及a 1，a n ，q ，n ，S n 五个基本量，已知其中三个量，可以求出另外的两个量，我们可以简称为“知三求二”． 跟踪训练2 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.解 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12[1－(12)8]1－12＝255256.(2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8.又由q <0，可得q ＝－13.所以S 8＝27[1－(－13)8]1－(－13)＝1 64081.探究点二 等比数列前n 项和的实际应用例3 某工厂去年1月份的产值为a 元，月平均增长率为p (p >0)，求这个工厂去年全年产值的总和．解 该工厂去年2月份的产值为a (1＋p )元，3月，4月……的产值分别为a (1＋p )2元，a (1＋p )3元，……，去年12个月的产值组成以a 为首项，1＋p 为公比的等比数列，因此，该厂去年全年的总产值为S 12＝a [1－(1＋p )12]1－(1＋p )＝a [(1＋p )12－1]p .答 该工厂去年全年的总产值为a [(1＋p )12－1]p元．反思与感悟 解应用题先要认真阅读题目，尤其是一些关键词：“平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%”．理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题．跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？ 解 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度， 由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝a 1(1－q n)1－q ＝25×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝125×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 探究点三 错位相减法求和例4 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)． 解 分x ＝1和x ≠1两种情况．当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1， ∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x －nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n＋1)2 (x ＝1)x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).反思与感悟 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．跟踪训练4 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)， 则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ② ①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1) ＝1－(2n －1)a n ＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n＋2(a －a n )1－a，又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a ＝0)n 2(a ＝1)1－(2n －1)a n1－a ＋2(a －a n )(1－a )2(a ≠0且a ≠1).1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 为( ) A.1－x n 1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n1－x ，x ≠1n ， x ＝1 D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1n ， x ＝1答案 C解析 当x ＝1时，S n ＝n ；当x ≠1时，S n ＝1－x n 1－x.2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152 D.172答案 C解析 方法一 由等比数列的定义， S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152. 3．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( ) A ．179 B ．211 C ．243 D ．275 答案 B解析 ∵q 4＝a 5a 1＝1681＝(23)4，∴q ＝23，∴S 5＝a 1－a 5q 1－q ＝81－16×231－23＝211.4．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________． 答案 11a (1.15－1)解析 注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a .∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)．1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．一、基础过关1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12答案 D解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 答案 C解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3， 得q 2＋q －6＝0.∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11 答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q⇒q 3＝3(q 3＝1舍去)． ∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.6．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n －1解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2， 故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q . 解 当q ＝1时，S n ＝na 1，∴S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9； 当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9，∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)，∴q ＝－342.二、能力提升8．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米 答案 A解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)． 9．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案 C解析 先根据等比数列的定义判断数列{a n }是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算．由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－(－13)101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 答案 13解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3， 即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)． ∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.11．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n . 解 设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ·2n ＋1∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1 ＝(1－n )·2n ＋1－2∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.12．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2013年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)． ∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910， ∴a ≤12.3.故2013年最多出口12.3吨．三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ， 即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，① S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n 2n .② 所以，当n ＞1时，①－②得S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n ＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n . 所以S n ＝n 2n －1.当n ＝1时也成立． 综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n 2n －1.。

高中数学人教B版必修五第二章《2.3.1等比数列》优质课公
开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学人教B版必修五第二章《2.3.1 等比数列》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
掌握等比数列的定义,理解等比数列的通项公式及推导;培养学生的发现意识,提高学生创新意识,提高学生的逻辑推理能力,增强学生的应用意识.
2学情分析
学生具有较强的探索能力,并且有等差数列的基础,因此,在学习等比数列的时候可以采用类比的方法,事半功倍
3重点难点
等比数列的定义及通项公式.灵活应用等比数列的定义式及通项公式解决一些相关问题. 4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】等比数列
Ⅰ.复习回顾
前面几节课,我们共同探讨了等差数列,现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容.
Ⅱ.讲授新课
下面我们来看这样几个数列,看其又有何共同特点?
1,2,4,8,16,…,263; ①
5,25,125,625,…; ②
共同特点:从第二项起,第一项与前一项的比都等于同一个常数.
也就是说,这些数列从第二项起,每一项与前一项的比都具有“相等”的特点.
1.定义
等比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的
比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0),即:an∶an-1=q(q≠0)。

2．3.1 等比数列整体设计教学分析等比数列与等差数列在内容上是完全平行的，包括定义、性质、通项公式等，两个数的等差(等比)中项、两种数列在函数角度下的解释等，因此在教学时要充分利用类比的方法，以便于弄清它们之间的联系与区别．等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，这是本节的中心思想方法．本节首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图象，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用．等比数列概念的引入，可按教材给出的几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义．也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，由此对比地概括等比数列的定义．根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解．启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征联想到指数函数进而画出数列的图象．由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，充分利用类比思想，教师只需把握课堂的节奏，真正作为一节课的组织者、引导者出现，充分发挥学生的主体作用．大量的数学思想方法渗透是本章的特色，如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想、一般到特殊的思想等，在教学中要充分表达这些重要的数学思想方法，所有能力的表达最终归结为数学思想方法的表达．三维目标1．通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系．2．通过现实生活中大量存在的数列模型，让学生充分感受到数列是反映现实生活的模型，体会数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，达到提高学生学习兴趣的目的．3．通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯和严谨的科学态度．体会探究过程中的主体作用及探究问题的方法，经历解决问题的全过程．重点难点教学重点：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导．教学难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式解决相关问题，在具体问题中抽象出等比数列模型及掌握重要的数学思想方法．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(情境引入)将一X厚度为0.044 mm的白纸一次又一次地对折，如果对折1 000次(假设是可能的)，纸的厚度将是4.4×10296 m，相当于约5.0×10292个珠穆朗玛峰的高度和，这可能吗？但是一位数学家曾经说过：你如果能将一X报纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球．将一X报纸对折会有那么大的厚度吗？这就是我们今天要解决的问题，让学生带着这大大的疑问来展开新课．思路2.(实例导入)先给出四个数列：1,2,4,8,16，……1，－1,1，－1,1，……－4,2，－1，……1,1,1,1,1，……由学生自己去探究这四个数列，每个数列相邻两项之间有什么关系？这四个数列有什么共同点？让学生观察这些数列与上节课学习的等差数列有什么不同？由此引入新课．推进新课新知探究提出问题1回忆等差数列的概念及等差数列的通项公式的推导方法.2阅读课本本节内容的①②③3个背景实例，领会三个实例所传达的思想，写出由3个实例所得到的数列.3观察数列①②③，它们有什么共同的特征？你能再举出2个与其特征相同的数列吗？4类比等差数列的定义，怎样用恰当的语言给出等比数列的定义？5类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？它与等差中项有什么不同？ 6你能举出既是等差数列又是等比数列的例子吗？ 7类比等差数列通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？8类比等差数列通项公式与一次函数的关系，你能说明等比数列的通项公式与指数函数的关系吗？活动：教师引导学生回忆等差数列概念的学习过程，指导学生阅读并分析教科书中给出的3个实例．引导学生发现数列①②③的共同特点：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于2；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于3；对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的比都等于－12. 也就是说，这些数列有一个共同的特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数，这里仍是后项比前项，而不是前项比后项，具有这样特点的数列我们称之为等比数列．让学生类比等差数列给出等比数列的定义：一般地，如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示，显然q≠0，上面的三个数列都是等比数列，公比依次是2,3，－12. ①给出等比数列的定义后，让学生尝试用递推公式描述等比数列的定义，即a 1＝a ，a n ＋1＝a n ·q(n＝1,2,3，…)．②再让学生思考既是等差数列，又是等比数列的数列存在吗？学生思考后很快会举出1,1,1，…既是等比数列也是等差数列，其公比为1，公差为0.教师可再提出：常数列都是等比数列吗？让学生充分讨论后可得出0,0,0，…是常数列，但不是等比数列．③至此，学生已经清晰了等比数列的概念，比如，从等比数列定义知，等比数列中的任意一项不为零，公比可以为正，可以为负，但不能为0.④类比等差中项的概念，我们可得出等比中项的概念：如果三个数x ，G ，y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项．如果G 是x 和y 的等比中项，那么G x ＝y G，即G 2＝xy ，G＝±ab.因此同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，一个正数和一个负数没有等比中项．显然，在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项；反之，如果一个数列从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列是等比数列．课件演示：不完全归纳法得到等差数列通项公式的过程：a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，……归纳得到a n＝a1＋(n－1)d.类比这个过程，可得等比数列通项公式的归纳过程如下：a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，……归纳得到a n＝a1q n－1.这样做可以帮助学生体会归纳推理对于发现新的数学结论的作用．这个结论的正确性可用后面的数学归纳法进行严格证明，现在我们先承认它．下面我们再类比等差数列，探究推导等比数列通项公式的其他方法：∵{a n}是等比数列，∴a na n－1＝q，a n－1a n－2＝q，a n－3a n－4＝q，…，a2a1＝q.把以上n－1个等式两边分别乘到一起，即叠乘，那么可得到a na1＝q n－1，于是得到a n＝a1q n－1.对于通项公式，教师引导学生明确这样几点：(1)不要把公式错误地写成a n＝a1q n.(2)对公比q，要和等差数列的公差一样，强调“从第2项起，每一项与它的前一项的比〞，不要把相邻两项的比的次序颠倒，且公比q可以为正，可以为负，但不能为0.(3)在等比数列a，aq，aq2，aq3，…中，当a＝0时，一切项都等于0；当q＝0时，第二项以后的项都等于0，这不符合等比数列的定义．因此等比数列的首项和公比都不能为0.(4)类比等差数列中d ＞0，d ＜0时的情况，假设q ＞0，那么相邻两项符号同号，假设q ＜0，那么各项符号异号；假设q ＝1，那么等比数列为非零常数列；假设q ＝－1，那么为如2，－2,2，－2，…这样的数列；假设|q|＜1，那么数列各项的绝对值递减．最后让学生完成下表，从定义、通项公式比较等差数列、等比数列的异同，加深概念的理解．讨论结果：(1)～(3)略．(4)等比数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．(5)并不是所有的两个数都有等比中项．(6)除0外的常数列既是等差数列，又是等比数列．(7)(8)略． 应用示例例1由下面等比数列的通项公式，求首项与公比．(1)a n ＝2n ；(2)a n ＝14·10n . 活动：本例的目的是让学生熟悉等比数列的概念及通项公式，可由学生口答或互相提问． 解：(1)a n ＝2·2n －1，∴a 1＝2，q ＝2.(2)∵a n ＝14·10·10n －1， ∴a 1＝14×10＝52，q ＝10. 点评：可通过通项公式直接求首项，再求公比．如(1)中，a 1＝21＝2，a 2＝22＝4，∴q ＝2.变式训练设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，其公比为2，那么2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为() A.14B.12C.18 D ．1答案：A解析：由题意，知a 2＝a 1q ＝2a 1，a 3＝a 1q 2＝4a 1，a 4＝a 1q 3＝8a 1，∴2a 1＋a 22a 3＋a 4＝2a 1＋2a 18a 1＋8a 1＝14.例2(教材本节例3)活动：本例是等比数列通项公式的灵活运用，可让学生自己完成．点评：解完本例后，启发引导学生观察a 5，a 10，a 15，a 20的规律．变式训练{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．解：设等比数列{a n }的公比为q ，那么q≠0.∵a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203.解得q 1＝13，q 2＝3.当q ＝13时，a 1＝18.∴a n ＝18×(13)n －1＝183n －1＝2×33－n.当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.例3数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求a n 的表达式．活动：教师引导学生观察，数列{a n }不是等差数列，也不是等比数列，要求a n 的表达式，通过转化{a n ＋1}是等比数列来求解．解：(1)证明：∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．∵a 1＝1，故a 1＋1≠0，那么有a n ＋1＋1a n ＋1＝2. ∴{a n ＋1}是等比数列．(2)由(1)知{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1，即a n ＝2n－1. 点评：教师引导学生进行解后反思．如此题(1)，不能忽视对a n ＋1≠0的说明，因为在等比数列{a n }中，a n ≠0，且公比q≠0，否那么解题会出现漏洞．变式训练数列{lga n }是等差数列，求证：{a n }是等比数列．证明：∵{lga n }是等差数列，设公差为d ，那么lga n ＋1－lga n ＝d ，即a n ＋1a n＝10d (常数)． ∴{a n }是等比数列．知能训练1．等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，那么a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．2432．在等比数列中，首项为98，末项为13，公比为23，那么项数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案：1．A 解析：由a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，知q ＝2，a 1＝1.所以a 7＝a 1·q 6＝64.2．B 解析：设等比数列为{a n }．又∵a 1＝98，q ＝23，a n ＝13，∴q n －1＝a n a 1，即(23)n －1＝827. ∴n－1＝3，n ＝4，即项数为4. 课堂小结1．让学生归纳总结本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式的推导及简单的应用，等比数列的证明方法．可让学生对比小结等差数列与等比数列的知识，对比各自性质的异同，让学生用列表的形式给出．2．教师点出，通过本节内容的学习，在掌握知识的同时，我们还学到了探究新问题的方法，提高了我们解决问题的能力，进一步明确了学习必须经历探究问题全过程的意义，必须领悟凝练数学思想方法．作业课本习题2—3 A 组1；习题2—3 B 组1.设计感想本教案设计将类比思想贯穿整节课始终，等差数列和等比数列具有极其相似的特点，比较它们的结构和运算性质，运用类比的方法，可使很多相关性质得以类比和迁移；让学生体会到：有些看似陌生的知识并不都是高不可攀的事情，通过我们的努力，也可以做一些看似数学家才能完成的事．本教案设计加强了实际背景的教学，等比数列有着非常广泛的实际应用：如产品规格设计的问题；储蓄，分期付款的有关计算等等．教学时不是简单地告诉学生等比数列的定义及通项公式的内容，而是通过实际问题创设一些数学情境，让学生自己去发现，去探索其意义．本教案设计突出了数学思维的训练，数学是思维的体操，是培养学生分析问题，解决问题的能力及创造能力的载体．新课程倡导强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验，学生的思维能力就是在这种过程的体验中逐渐提高的．(设计者：X 晓君)第2课时导入新课思路1：(类比导入)等差数列具有丰富而重要的性质，通过复习等差数列的性质，由学生猜想并证明等比数列的性质．这样既复习了旧知识，同时又让学生经历了知识的发现过程，这种引入符合新课程理念．思路2：让学生先完成本节的思考与讨论及探索与研究，借助学生的探究，师生共同归纳出相关性质，自然地引入新课．(这种从课本上的练习题入手的方法，其好处是：直截了当，节省课堂时间，教师也比较轻松，只是学生的思维活动层次较第一种弱一些，但也是一种不错的导入选择)推进新课新知探究提出问题1回忆上节课等比数列的概念，等比中项、通项公式的概念.2回忆怎样证明一个数列是等比数列？3类比等差数列的图象与一次函数的图象之间的关系，探究等比数列的图象与指数函数的图象之间的关系.4类比等差数列的性质，你能探究出等比数列有哪些重要结论？活动：教师引导学生对上一节课的探究做一简要回顾，借以熟悉等比数列的有关概念，为进一步探究做好必要的准备，然后让学生借助信息技术或用描点作图画出课本“探究〞中(2)(3)要求的图象(如图)，说说通项公式为a n ＝2n －1的数列的图象和函数y ＝2x －1的图象的关系．然后交流、讨论，归纳出二者之间的关系．事实上，等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1q q n ，而y ＝a 1q q x (q≠1)是一个不为零的常数a 1q与指数函数q x 的乘积．从图象上看，表示数列{a 1q q n }中的各项的点是函数y ＝a 1q·q x 的图象上的孤立点．和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多重要的性质，类比等差数列的探究方法，教师与学生一起探究．就任一等差数列{a n}，计算a7＋a10，a8＋a9和a10＋a40，a20＋a30，你发现了什么规律？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题，在等比数列中会有怎样的类似结论？在等差数列{a n}中，我们已经探究了，假设m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，那么a m＋a n ＝a p＋a q，那么我们可以类比猜想：对于等比数列{a n}，假设m＋n＝p＋s(m、n、p、s∈N*)，那么a m·a n＝a p·a s.让学生对此给出证明．证明：设等比数列{a n}的公比为q，那么有a m·a n＝a1·q m－1·a1·q n－1＝a21·q m＋n－2，a p·a s＝a1q p－1·a1q s－1＝a21·q p＋s－2，∵m＋n＝p＋s，∴有a m·a n＝a p·a s.经过这个证明过程，我们得到了等比数列的一个重要性质，即等比数列{a n}中，假设m ＋n＝p＋s(m，n，p，s∈N*)，那么有a m·a n＝a p·a s.结合等比中项，我们很容易有这样的结论：(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方．结合上节学习的内容，教师与学生一起探究归纳可得到等比数列以下重要结论：1．等比数列的判断方法(1)a n＝a n－1·q(n≥2，q是不等于零的常数，a n－1≠0){a n}是等比数列．(2)a2n＝a n－1·a n＋1(n≥2，a n－1，a n，a n＋1≠0){a n}是等比数列．(3)a n＝c·q n(c、q均是不为零的常数){a n}是等比数列．2．主要性质(1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{a n}是递增数列；当q＞1，a＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{a n}是递减数列，当q＝1时，{a n}是常数列；当q＜0时，{a n}是摆动数列．(2)a n＝a m·q n－m(m、n∈N*)．(3)当m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)时，有a m·a n＝a p·a q.(4)当数列{a n}是各项均为正数的等比数列时，数列{lga n}是公差为lgq的等差数列．(5)数列{a n}中，公比q≠1，那么连续取相邻两项的和(或差)构成公比为q的等比数列．学习等比数列时，时刻与等差数列进行对比，学会用类比、方程的思想解决问题．讨论结果：(1)让学生默写．(2)有3种证明方法，比较常用的方法是：a2n＝a n－1·a n＋1(n≥2，a n－1，a n，a n＋1≠0){a n}是等比数列．(3)等比数列的通项公式是关于n 的指数型函数． (4)最常用的是活动中的第3个性质．应用示例例1一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项． 活动：本例是课本上例题3，由题意知a 3＝12，a 4＝18，求a 1，a 2.和等差数列一样，这是属于基本量运算的题目，其基本量为a 1，q.教师引导学生探究，由等比数列的通项公式列出方程组，求得通项公式，再由通项公式求得数列的任意项．这个过程可以帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系．解：设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么a 1q 2＝12，① a 1q 3＝18.②②÷①，得q ＝32，③把③代入①，得a 1＝163.因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8.答：这个数列的第1项和第2项分别是163与8.点评：通过此题让学生体会方程思想．变式训练在等比数列{a n }中，a 5·a 7＝6，a 2＋a 10＝5，那么a 18a 10等于( )A ．－23或－32B.23C.32D.23或32答案：D解析：∵a 5·a 7＝a 2·a 10，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 10＝6，a 2＋a 10＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，a 10＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 10＝2.∴a 18a 10＝a 10a 2＝32或a 18a 10＝23.例2(1)在等比数列{a n }中，a 1＝5，a 9a 10＝100，求a 18； (2)在等比数列{b n }中，b 4＝3，求该数列前七项之积； (3)在等比数列{a n }中，a 2＝－2，a 5＝54，求a 8.活动：本例三个小题属基本概念题，让学生合作交流完成，充分让学生思考探究，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程．解：(1)∵a 1a 18＝a 9a 10，∴a 18＝a 9a 10a 1＝1005＝20.(2)b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7＝(b 1b 7)(b 2b 6)(b 3b 5)b 4.∵b 24＝b 1b 7＝b 2b 6＝b 3b 5，∴前七项之积为(32)3×3＝37＝2 187. (3)∵a 5是a 2与a 8的等比中项，∴542＝a 8×(－2)．∴a 8＝－1 458. 另解：a 8＝a 5q 3＝a 5·a 5a 2＝54×54－2＝－1 458.点评：通过本例，让学生熟悉公式，善于联想，善于将解题过程简化．变式训练等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝15，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝45. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝11－log 2a 2n ＋13，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝15，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝45，解得q ＝2，a 1＝3，∴a n ＝3·2n －1.(2)由(1)得a 2n ＋1＝3·22n，∴b n ＝11－log 2a 2n ＋13＝11－2n.∴数列{b n }是首项为9，公差为－2的等差数列． 从而S n ＝n9＋11－2n 2＝－n 2＋10n.例3三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．活动：教师引导学生分析题意，因为所求三个数成等差数列，它们的和，故可设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，再根据条件寻找关于a 、d 的两个方程，通过解方程组即可获解．解：设所求三个数为a －d ，a ，a ＋d ，那么由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，a ＋32＝a －d ＋1a ＋d ＋9，解此方程组，得a ＝5，d ＝2.∴所求三个数为3,5,7.点评：此类问题要注意设未知数的技巧．假设设所求三个数为a ，b ，c ，那么列出三个方程求解，运算过程将过于繁杂．因此在计算过程中，应尽可能地少设未知数．例4根据以下图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？活动：此题是给出数列的前几项要求写出数列的递推公式．这种题型难度较大．但此题用程序框图给出了数列的前5项，而递推公式就包含在程序框图中，这就大大降低了题目的难度．教学时教师可引导学生回顾程序框图，引导学生思考如何判断一个数列是等比数列．解：假设将打印出来的数依次记为a 1(即A)，a 2，a 3，…， 可知a 1＝1，a 2＝a 1×12，a 3＝a 2×12.于是，可得递推公式⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝12a n －1n>1.由于a n a n －1＝12，因此，这个数列是等比数列． 其通项公式是a n ＝(12)n －1.点评：通过此题让学生明确，要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n ，a n ＋1a n是一个常数即可，同时也再一次体会到能够用框图中的循环结构来描述数列． 知能训练1．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1·a 2·a 3＝8，求a n .2．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长？(精确到1年)答案：1．解：∵a 1a 3＝a 22，∴a 1·a 2·a 3＝a 32＝8.∴a 2＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝5，a 1·a 3＝4.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 3＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，a 3＝1.当a 1＝1时，q ＝2，当a 1＝4时，q ＝12.∴a n ＝2n －1或a n ＝4·(12)n －1＝23－n (n∈N *)．点评：本例解答中易产生的错误是在求得a 1＝1，a 3＝4或a 1＝4，a 3＝1后，由a 3＝a 1q2分别得出q ＝±2或q ＝±12.求得a n ＝2n －1或a n ＝(－2)n －1或a n ＝4·(12)n －1或a n ＝4·(－12)n －1.教师引导学生寻找产生这一错误的原因是忽视了由于a 2＝2，a 1＞0，必有q ＞0这一隐含条件．2．解：设这种物质最初的质量是1，经过n 年，剩留量是a n ， 由条件可得，数列{a n }是一个等比数列，其中a 1＝0.84，q ＝0.84. 设a n n＝0.5.两边取对数，得nlg0.84＝lg0.5， 用计算器算得n≈4.答：这种物质的半衰期大约为4年．点评：本例是一道应用题，反映的是等比数列通项公式的基本量运算问题．在解题过程中，用对数的知识解方程可以帮助学生回顾对数的性质，此题重在让学生发现实际问题情境中数列的等比关系，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力．课堂小结1．让学生归纳总结本节学习内容：等比数列的性质，等比数列与指数函数的关系．对比小结等差数列与等比数列的知识，对比各自性质的异同．从函数的角度看，如果说等差数列可以与一次函数联系起来，那么等比数列那么可以与指数函数联系起来．2．学习本节内容应注意等比数列定义的运用，灵活选设未知数，注意总结常用解题技巧．有关本内容的高考题主要表达在考查化归能力、方程思想、分类讨论思想以及数学建模能力上，并能用这些知识解决一些实际问题．作业课本习题2—3 A组2、3、4.设计感想本教案设计突出了教学梯度．因为从实际教学来看，对这部分内容的学习不少同学仍然是困难重重，从中折射出他们学习方式存在的问题，死记硬背仍然是公式学习的主要形式．在练习环节，不少学生只会做与课本例题完全一致的习题，如果稍加变式，就束手无策，反映出数学思维的僵化及简单．但是训练学生的思维能力，提升学生的思维品质，是数学教师直接面对的重要课题，也是提升教学效果的关键．因此在设计梯度方面注重了一题多解，这有助于学生思维的发散性及灵活性的培养，以及克服思维的僵化，变式教学又可以提升思维视野的广度，题后反思有助于学生思维批判性品质的提升．本教案设计注重了教学过程的更优化、更合理化，因为长期以来的课堂教学太过于重视结论，轻视过程．为了应付考试，为了使公式、定理应用达到所谓的熟能生巧，教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化．在概念公式的教学中往往采用的是“掐头去尾烧中段〞的方法，到头来把学生强化成只会套用公式机械解题，这样的学生面对新问题就会束手无策，更不利于今后的创新式高考．本教案设计清晰了课堂教学的层次阶段，本节课可以划分为三个阶段，第一阶段是等比数列性质的推得和理解过程；第二阶段是等比数列性质的归纳、理解和应用的过程；第三阶段是归纳小结．这三个阶段自然是以第一、第二阶段为主．这样便于学生课堂推进，也便于教师对整个课堂的宏观调控．备课资料一、备用例题例1.无穷数列10，10，1025，…，1015n ，….求证：(1)这个数列成等比数列；(2)这个数列中的任一项为哪一项它后面第五项的110；(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．例2.设a ，b ，c ，d 均为非零实数，(a 2＋b 2)d 2－2b(a ＋c)d ＋b 2＋c 2＝0， 求证：a ，b ，c 成等比数列且公比为d.证法一：关于d 的二次方程(a 2＋b 2)d 2－2b(a ＋c)d ＋b 2＋c 2＝0有实根， ∴Δ＝4b 2(a ＋c)2－4(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)≥0.∴－4(b 2－ac)2≥0.∴－(b 2－ac)2≥0. 那么必有b 2－ac ＝0，即b 2＝ac ，∴a，b ，c 成等比数列． 设公比为q ，那么b ＝aq ，c ＝aq 2，代入 (a 2＋a 2q 2)d 2－2aq(a ＋aq 2)d ＋a 2q 2＋a 2q 4＝0. ∵(q 2＋1)a 2≠0，∴d 2－2qd ＋q 2＝0，即d ＝q≠0. 证法二：∵(a 2＋b 2)d 2－2b(a ＋c)d ＋b 2＋c 2＝0， ∴(a 2d 2－2abd ＋b 2)＋(b 2d 2－2bcd ＋c 2)＝0. ∴(ad－b)2＋(bd －c)2＝0.∴ad＝b ，且bd ＝c.∵a，b ，c ，d 非零，∴b a ＝cb ＝d.∴a，b ，c 成等比数列且公比为d.二、备用习题1．公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列，那么公比为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．2153．各项为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝21，那么a 3＋a 4＋a 5等于 …… ( )A ．33B ．72C ．84D ．1894．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，那么插入的三个数的乘积为__________．5．在等比数列{a n }中，(1)假设a 1＝256，a 9＝1，求q 和a 12； (2)假设a 3·a 5＝18，a 4·a 8＝72，求q.6．{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝c ＞0，a 2n ＋1＝b 2n ＋1，比较a n ＋1与b n ＋1的大小．参考答案： 1．答案：C解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，由题意，得a 23＝a 2a 6，(a 1＋2d)2＝(a 1＋d)(a 1＋5d)．∴d＝－2a 1.设等比数列的公比为q ，那么q ＝a 3a 2＝3.2．答案：B解析：由a 1a 2a 3a 4…a 30＝230，得 a 33q 3·a 36q 3·a 39q 3·…·a 330q 3＝230， ∴a 33·a 36·a 39·…·a 330＝(2q)30. ∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝220. 3．答案：C解析：由a 1＋a 2＋a 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，∴1＋q ＋q 2＝7. 解得q ＝2，q ＝－3(舍去)，∴a 3＝a 1q 2＝3×4＝12. ∴a 3＋a 4＋a 5＝a 3(1＋q ＋q 2)＝12×7＝84. 4．答案：216解析：设插入的三个数为a 、b 、c ，那么b 2＝83×272＝4×9＝ac ，所以b ＝6，ac ＝36，故abc ＝216.5．解：(1)∵a 9＝a 1·q 8，∴256·q 8＝1，即q ＝±12.当q ＝12时，a 12＝a 1·q 11＝256·1211＝18；当q ＝－12时，a 12＝a 1·q 11＝256×(－12)11＝－18.(2)a 1·q 2·a 1·q 4＝18，即a 21·q 6＝18. 又a 1q 3·a 1q 7＝72，即a 21·q 10＝72. 两式相除得q 4＝7218＝4，∴q＝± 2.6．解：由题意知c ＋2nd ＝cq 2n，∴nd＝c 2(q 2n －1)．∵a n ＋1－b n ＋1＝c ＋nd －cq n ＝c ＋c 2(q 2n －1)－cq n ＝c 2(q n －1)2≥0，∴a n ＋1≥b n ＋1.三、斐波那契数列的奇妙性质我们看章头图中的斐波那契数列，它有一系列奇妙的性质，现简列以下几条，供读者欣赏．1．从首项开始，我们依次计算每一项与它的后一项的比值，并精确到小数点后第四位： 11＝1.000 0 21＝2.000 0 32＝1.500 0 53＝1.666 7 85＝1.600 0 138＝1.625 0 2113＝1.615 4 3421＝1.619 0 5534＝1.617 6 8955＝1.618 2 14489＝1.618 0 253144＝1.618 1 如果将这一工作不断地继续下去，这个比值将无限趋近于某一个常数，这个常数位于1.618 0与1.618 1之间，它还能准确地用黄金数1＋52表示出来．2．我们在初中曾经遇到过杨辉三角形，如以下图所示，杨辉三角形中虚线上的数的和恰好组成斐波那契数列：3．在斐波那契数列中，请你验证以下简单的性质： 前n 项和S n ＝a n ＋2－1， a n a n ＋1－a n －1a n －2＝a 2n －1(n≥3)， a 2n －1＋a 2n ＝a n －1(n≥2)， a n －2a n ＝a 2n －1－(－1)n(n≥3)．据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数{U n }：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，U n ＋1＝U n ＋U n －1命名为斐波那契级数，它是一种特殊的线性递归数列，在数学的许多分支中有广泛应用.1680年意大利—法国学者卡西尼发现该级数的重要关系式U n ＋1U n －1－U 2n ＝(－1)n.1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式，19世纪初另一位法国数学家比内首先证明了这一表达式S n ＝[(1＋52)n －(1－52)n]，现在称之为比内公式．世界上有关斐波那契数列的研究文献多得惊人．斐波那契数列不仅是在初等数学中引人入胜，而且它的理论已经广泛应用，特别是在数列、运筹学及优化理论方面为数学家们展开了一片施展才华的广阔空间．。

2.3.1等比数列★教材分析:本节内容先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出等比数列的概念，再由教师引导学生与等差数列对比探索等比数列的通项公式，并将等比数列的通项公式与指数函数进行联系，体会对比数列与指数函数的关系，既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程。

★教学重点：等比数列的概念和通项公式。

★教学难点：1、在具体问题中抽象出数列的模型和数列的对比关系；2、对比数列与等差数列的关系。

教具准备：多媒体课件、投影仪★学习目标与任务一、学习目标描述（一）、知识与技能1、了解现实生活中存在着一类特殊的数列；2、理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式；3、能在具体的问题情境中，发现数列的对比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题；4、等比数列与等差数列的关系。

（二）、过程与方法1、采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学；2、发挥学生的主体作用，做好探究性活动；3、密切联系实际，激发学生学习的积极性。

（三）、情感态度与价值观1、通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；2、通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切关系，激发学生学习的兴趣。

二、学习内容与学习任务说明等比数列是继学过的等差数列之后又一种有着特殊性质的数列，本课通过比较式教学法，通过对等差、等比两种数列作比较来让学生更好的了解和掌握等比数列，同时也巩固之前学过的等差数列。

本课以一些实际例子开头，引导学生去探究生活中的数学问题。

★学习者特征分析:高中生与初中生相比，心理和心里都日趋成熟，认识能力也有提高，对事对人都有自己的看法，不愿盲从他人，同时他们思维的独立性也较为成熟，喜欢独立思考问题以获取答案，甚至还具备了一定的自学能力。

本节课要讲的等比数列是建立在他们已经学过的等差数列的基础之上，因此，将等比数列与等差数列做比较从而引导他们探究新的知识这种教学模式更能激发他们的学习兴趣。

人教版高中必修5(B版)2.3.1等比数列课程设计一、教学目标1.知识目标：–了解等比数列的概念与性质；–掌握等比数列的通项公式和求和公式；–熟练运用等比数列的公式计算各种问题。

2.能力目标：–培养学生的数学思想能力和创新能力，让他们在解决问题时运用等比数列的知识；–培养学生的分析问题、解决问题的能力和团队合作意识。

3.情感目标：–培养学生学习数学的兴趣；–提高学生学习数学的自觉性和主动性；–弘扬科学精神和合作精神。

二、教学重难点1.教学重点：–掌握等比数列的定义和性质；–熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式。

2.教学难点：–如何应用等比数列的知识解决实际问题；–如何在解决问题中发挥创新思维。

三、教学内容和步骤1. 等比数列的概念（1）引入通过引入生活中的例子，如小球从 1 米的高度下落弹起，每次弹起的高度是上一次的 $\\frac{2}{3}$，得到一个等比数列的实例。

（2）定义让学生根据实例，自己总结出等比数列的概念和性质，教师在此基础上对等比数列的定义进行补充和扩展。

（3）例题提供一些例题让学生来判断它们是否为等比数列，并进一步让学生找到这些等比数列的公比和首项。

2. 等比数列的通项公式和求和公式（1）推导讲解等比数列的通项公式和求和公式的推导过程，说明公式的由来和正确性。

（2）例题提供一些例题让学生来运用上述公式计算各种问题，并解释它们的应用背景。

3. 实际问题的解决（1）实践提供一些实际问题让学生尝试用等比数列的知识来解决，鼓励他们运用创新思维来寻求问题的解决方案。

（2）比较比较一下用等比数列和用其他方法解决问题的差异，并提出通过运用不同方法可以达到更好的解决效果。

4. 总结教师对本节课所学内容进行总结，带领学生回顾本节课的学习重点和难点，并对学生的表现进行评价和反馈。

四、教学手段和方法1.板书法：用板书展示重点、难点、定义、公式等，方便学生的理解和记忆。

2.示范法：用实例和案例来讲解等比数列的应用，让学生更好地理解和掌握概念。

等比数列教学设计包头市第九中学外国语学校吕力【学习目标】①通过观察、辨析具体实例，归纳它们的共同属性，逐步抽象概括出等比数列的概念，并会用符号语言去描述它。

会依据等比数列的定义判断或证明一个数列是否为等比数列。

不断提高抽象概括能力。

②类比等差数列的通项公式的推导过程，利用不完全归纳法会推导等比数列的通项公式。

并能应用通项公式解决“知三求一〞的问题，从中体会类比思想和方程思想的应用。

③借助等比数列的定义，类比等差中项的概念定义等比中项。

回求两个同号实数的等比中项。

【教学重点】等比数列的定义和通项公式。

【教学难点】等比数列的定义和通项公式的应用。

【评价任务】1.完成问题1，练习1，检测目标①是否达成2.完成问题2，问题3，练习2，练习4，练习5，例1例2，检测目标②是否达成3.完成问题4，练习3，检测目标③是否达成【教学过程】一结合实例，引出等比数列的概念1.等比数列的定义实例1观察右图，根据细胞分裂的规律，你能写出一个数列表示细胞分裂的个数吗？细胞分裂的个数组成的数列是：____,____,_____,_____,①实例2?庄子?有这样的论述“一尺之棰，日取其半，万世不竭〞如果把“一尺之棰〞看成单位“1〞，那么得到的数列是:_____,_____,_____,_____,②实例3一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推假设每一轮每一台计算机都感染2021算机，那么，在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是：_____,_____,_____,_____,③问题1这三个数列有什么共同特点？对于数列①，从第二项起，每一项与前一项的比都等于______;对于数列②，从第二项起，每一项与前一项的比都等于______;对于数列③，从第二项起，每一项与前一项的比都等于______;我们把这样的数列叫做等比数列。