高考数学一轮复习 3.2 对数与对数函数教案 新课标

1。

对数的概念如果a（a>0,a≠1）的b次幂等于N,即a b＝N,那么数b 叫作以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中__a__叫作对数的底数,__N__叫作真数。

2。

对数的性质与运算法则（1）对数的运算法则如果a〉0且a≠1,M〉0，N〉0，那么①log a（MN)＝log a M＋log a N；②log a错误!a M－log a N；③log a M n＝n log a M（n∈R）；④log am M n＝错误!log a M(m，n∈R,且m≠0).（2）对数的性质①a log a N＝__N__;②log a a N ＝__N__(a>0且a≠1）。

(3)对数的重要公式①换底公式：log b N＝错误!(a，b均大于零且不等于1）；②log a b＝1log b a，推广log ab·log b c·log c d＝log a d。

3.对数函数的图像与性质a>10〈a〈1图像性质(1)定义域：(0，＋∞)（2)值域：R （3）过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0（4)当x>1时,y>0当0〈x<1时，y<0（5）当x〉1时，y〈0当0〈x〈1时，y>04.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图像关于直线__y＝x__对称.【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×")(1)若MN〉0，则log a（MN）＝log a M＋log a N.（×)（2)log a x·log a y＝log a（x＋y).（×）3x都是对数函数。

( ×) (3）函数y＝log2x及y＝log13(4）对数函数y＝log a x（a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数。

( ×）（5）函数y＝ln错误!与y＝ln（1＋x）－ln(1－x)的定义域相同.（√）（6)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图像过定点（1,0）,且过点（a，1），错误!,函数图像只在第一、四象限。

第三节 对数及对数函数一、复习目标：1、理解和掌握对数的运算性质及对数函数的图像与性质。

2、综合运用对数函数的图像与性质解决问题。

二、重难点：重点：掌握对数的运算性质及对数函数的图像与性质。

难点：综合运用对数函数的图像与性质解决问题。

三、教学方法：讲练结合，探析归纳。

四、教学过程（一）、谈新课标要求及考纲要求和高考命题考查情况，促使学生积极参与。

学生阅读复资P19教师讲评，增强目标与参与意识。

（二）、知识梳理整合，方法定位。

（学生完成复资P18填空题，教师准对问题讲评）1、对数的概念如果b N a =（a ＞0，a≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log N b a = b N a =⇔log N b a =（a ＞0，a ≠1，N ＞0）。

2、对数的运算性质：()loglog log MN M N a a b =+。

()log log log M N M N a a b =-. log log n b b n a a =.（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）。

3、对数换底公式：log N b log log N b aa =（a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.4、对数函数的图像及性质：①函数log x y a =（a ＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，图像如下②对数函数的性质：定义域：（0，+∞）； 值域：R ； 过点（1，0），即当x=1时，y=0. 当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数。

5、对数函数与指数函数的关系对数函数log a y x =与指数函数x y a =互为反函数，它们的图像关于直线y=x 对称.。

6、重难点问题探析：（1）、对数函数性质的拓展（Ⅰ）同底数的两个对数值)(log x f a 与)1,0)((log ≠>a a x g a 的大小比较若0)(,0)(,1>>>x g x f a ，则0)()()(log )(log >>⇔>x g x f x g x f a a若0)(,0)(,10>><<x g x f a ，则)()(0)(log )(log x g x f x g x f a a <<⇔< （Ⅱ）同真数的对数值大小关系如图对应关系为（1）x y a log =，（2）x y b log =，（3）x y c log =，（4）x y d log =则作直线1=y 得b a d c <<<<<10，即图象在x 轴上方的部分自左向右底数逐渐增大。

１．对数的概念如果a x＝N（a＞0且a≠１），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数．２．对数的性质、换底公式与运算性质（１）对数的性质：１a log a N＝N；２log a a b＝b（a＞0，且a≠１）．（２）换底公式：log a b＝错误!（a，c均大于0且不等于１，b＞0）．（３）对数的运算性质：如果a＞0，且a≠１，M＞0，N＞0，那么：１log a（M·N）＝log a M＋log a N；２log a错误!＝log a M—log a N；３log a M n＝n log a M（n∈R）．３．对数函数的定义、图象与性质定义函数y＝log a x（a＞0且a≠１）叫做对数函数图象a＞１0＜a＜１性质定义域：（0，＋∞）值域：R当x＝１时，y＝0，即过定点（１,0）当0＜x＜１时，y＜0；当x＞１时，y＞0当0＜x＜１时，y＞0；当x＞１时，y＜0在（0，＋∞）上为增函数在（0，＋∞）上为减函数４．反函数指数函数y＝a x（a＞0且a≠１）与对数函数y＝log a x（a＞0且a≠１）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．错误!１．换底公式的两个重要结论（１）log a b＝错误!；（２）log am b n＝错误!log a b.其中a＞0且a≠１，b＞0且b≠１，m，n∈R，m≠0．２．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝１，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜１＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数y＝log２（x＋１）是对数函数．（）（２）log２x２＝２log２x. （）（３）函数y＝ln错误!与y＝ln（１＋x）—ln（１—x）的定义域相同．（）（４）对数函数y＝log a x（a＞0且a≠１）的图象过定点（１,0），且过点（a,１），错误!，函数图象不在第二、三象限．（）[答案]（１）×（２）×（３）√（４）√二、教材改编１．（log２9）·（log３４）＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．２Ｄ．４D[（log２9）·（log３４）＝错误!×错误!＝错误!×错误!＝４．故选Ｄ．]Ａ．a＞b＞cＢ．a＞c＞bＣ．c＞b＞aＤ．c＞a＞bD[因为0＜a＜１，b＜0，c＝log错误!错误!＝log２３＞１．所以c＞a＞b.故选Ｄ．]３．函数y＝的定义域是________．[由（２x—１）≥0，,得0＜２x—１≤１．,∴错误!＜x≤１．,∴函数y＝的定义域是.]４．函数y＝log a（４—x）＋１（a＞0，且a≠１）的图象恒过点________．（３,１）[当４—x＝１即x＝３时，y＝log a１＋１＝１．,所以函数的图象恒过点（３,１）．]考点１对数式的化简与求值对数运算的一般思路（１）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．（２）合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．１．设２a＝５b＝m，且错误!＋错误!＝２，则m等于（）Ａ．错误!Ｂ．１0Ｃ．２0 Ｄ．１00A[由已知，得a＝log２m，b＝log５m，,则错误!＋错误!＝错误!＋错误!,＝log m２＋log m５＝log m １0＝２．,解得m＝错误!.]２．计算：错误!÷１00错误!＝________.—２0 [原式＝（lg ２—２—lg ５２）×１00错误!＝lg错误!×１0＝lg １0—２×１0＝—２×１0＝—２0．]３．计算：错误!＝________.１[原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝１．]对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公式及其推论．在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形．考点２对数函数的图象及应用对数函数图象的识别及应用方法（１）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项．（２）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．（１）（２0１9·浙江高考）在同一直角坐标系中，函数y＝错误!，y＝log a（a ＞0，且a≠１）的图象可能是（）A BC D（２）当0＜x≤错误!时，４x＜log a x，则a的取值范围是（）Ａ．0，错误!Ｂ．错误!，１Ｃ．（１，错误!）Ｄ．（错误!，２）（１）D（２）B[（１）对于函数y＝log a，当y＝0时，有x＋错误!＝１，得x＝错误!，即y＝log a的图象恒过定点错误!，0，排除选项A、C；函数y＝错误!与y＝log a在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选Ｄ．（２）构造函数f（x）＝４x和g（x）＝log a x，当a＞１时不满足条件，当0＜a＜１时，画出两个函数在的图象，可知f＜g，即２＜log a错误!，则a＞错误!，所以a的取值范围为.][母题探究]１．（变条件）若本例（２）变为：若不等式x２—log a x＜0对x∈恒成立，求实数a的取值范围．[解] 由x２—log a x＜0得x２＜log a x，设f１（x）＝x２，f２（x）＝log a x，要使x∈时，不等式x２＜log a x恒成立，只需f１（x）＝x２在上的图象在f２（x）＝log a x图象的下方即可．当a ＞１时，显然不成立；当0＜a＜１时，如图所示．要使x２＜log a x在x∈上恒成立，需f１≤f２，所以有错误!≤log a错误!，解得a≥错误!，所以错误!≤a＜１．即实数a的取值范围是.２．（变条件）若本例（２）变为：当0＜x≤错误!时，错误!＜log a x，求实数a的取值范围．[解] 若错误!＜log a x在x∈成立，则0＜a＜１，且y＝错误!的图象在y＝log a x图象的下方，如图所示，由图象知错误!＜log a错误!，所以解得错误!＜a＜１．即实数a的取值范围是.１．（２0１9·合肥模拟）函数y＝ln（２—|x|）的大致图象为（）,A BC DA[令f（x）＝ln（２—|x|），易知函数f（x）的定义域为{x|—２＜x＜２}，且f（—x）＝ln（２—|—x|）＝ln（２—|x|）＝f（x），,所以函数f（x）为偶函数，排除选项C，Ｄ．,当x＝错误!时，f错误!＝ln 错误!＜0，排除选项B，故选Ａ．]２．已知函数y＝log a（x＋c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠１）的图象如图，则下列结论成立的是（）Ａ．a＞１，c＞１Ｂ．a＞１,0＜c＜１Ｃ．0＜a＜１，c＞１Ｄ．0＜a＜１,0＜c＜１D[由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0＜a＜１,0＜c＜１．]３．设方程１0x＝|lg（—x）|的两个根分别为x１，x２，则（）Ａ．x１x２＜0 Ｂ．x１x２＝0Ｃ．x１x２＞１Ｄ．0＜x１x２＜１D[作出y＝１0x与y＝|lg（—x）|的大致图象，如图．显然x１＜0，x２＜0．不妨令x１＜x２，则x１＜—１＜x２＜0，所以１0x１＝lg（—x１），１0x２＝—lg（—x２），此时１0x１＜１0x２，即lg（—x１）＜—lg（—x２），由此得lg（x１x２）＜0，所以0＜x１x２＜１，故选Ｄ．]考点３对数函数的性质及应用解与对数函数有关的函数性质问题的３个关注点（１）定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．（２）底数与１的大小关系．（３）复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．比较大小（１）（２0１9·天津高考）已知a＝log５２，b＝log0．５0．２，c＝0．５0．２，则a，b，c 的大小关系为（）Ａ．a＜c＜bＢ．a＜b＜cＣ．b＜c＜aＤ．c＜a＜b（２）已知a＝log２e，b＝ln ２，c＝log错误!错误!，则a，b，c的大小关系为（）Ａ．a＞b＞cＢ．b＞a＞cＣ．c＞b＞aＤ．c＞a＞b（１）A（２）D[（１）因为a＝log５２＜log５错误!＝错误!，b＝log0．５0．２＞log0．５0．５＝１，c＝0．５0．２＝错误!错误!＞错误!，0．５0．２＜１，所以a＜c＜b，故选Ａ．（２）因为a＝log２e＞１，b＝ln ２∈（0,１），c＝log错误!错误!＝log２３＞log２e＞１，所以c ＞a＞b，故选Ｄ．]对数值大小比较的主要方法（１）化同底数后利用函数的单调性．（２）化同真数后利用图象比较．（３）借用中间量（0或１等）进行估值比较．解简单对数不等式（１）若log a错误!＜１（a＞0且a≠１），则实数a的取值范围是________．（２）若log a（a２＋１）＜log a２a＜0，则a的取值范围是________．（１）错误!∪（１，＋∞）（２）错误![（１）当0＜a＜１时，log a错误!＜log a a＝１，∴0＜a＜错误!；当a＞１时，log a错误!＜log a a＝１，∴a＞１．∴实数a的取值范围是错误!∪（１，＋∞）．（２）由题意得a＞0且a≠１，故必有a２＋１＞２a，又log a（a２＋１）＜log a２a＜0，所以0＜a＜１，同时２a＞１，所以a＞错误!.综上，a∈错误!.]对于形如log a f（x）＞b的不等式，一般转化为log a f（x）＞log a a b，再根据底数的范围转化为f（x）＞a b或0＜f（x）＜a b.而对于形如log a f（x）＞log b g（x）的不等式，一般要转化为同底的不等式来解．和对数函数有关的复合函数解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤已知函数f（x）＝log a（３—ax）．（１）当x∈[0,２]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；（２）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[１,２]上为减函数，并且最大值为１？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．[解]（１）因为a＞0且a≠１，设t（x）＝３—ax，则t（x）＝３—ax为减函数，x∈[0,２]时，t（x）的最小值为３—２a，当x∈[0,２]时，f（x）恒有意义，即x∈[0,２]时，３—ax＞0恒成立．所以３—２a＞0．所以a＜错误!.又a＞0且a≠１，所以a∈（0,１）∪错误!.（２）t（x）＝３—ax，因为a＞0，所以函数t（x）为减函数．因为f（x）在区间[１,２]上为减函数，所以y＝log a t为增函数，所以a＞１，当x∈[１,２]时，t（x）最小值为３—２a，f（x）最大值为f（１）＝log a（３—a），所以错误!即错误!故不存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[１,２]上为减函数，并且最大值为１．利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与１的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．１．已知函数f（x）＝log0．５（x２—ax＋３a）在[２，＋∞）单调递减，则a的取值范围为（）Ａ．（—∞，４] Ｂ．[４，＋∞）Ｃ．[—４,４] Ｄ．（—４,４]D[令g（x）＝x２—ax＋３a，因为f（x）＝log0．５（x２—ax＋３a）在[２，＋∞）单调递减，所以函数g（x）在区间[２，＋∞）内单调递增，且恒大于0，所以错误!a≤２且g（２）＞0，所以a≤４且４＋a＞0，所以—４＜a≤４．故选Ｄ．]２．函数y＝log a x（a＞0且a≠１）在[２,４]上的最大值与最小值的差是１，则a＝________.２或错误![分两种情况讨论：１当a＞１时，有log a４—log a２＝１，解得a＝２；２当0＜a＜１时，有log a２—log a４＝１，解得a＝错误!.所以a＝２或错误!.]３．设函数f（x）＝若f（a）＞f（—a），则实数a的取值范围是________．（—１,0）∪（１，＋∞）[由题意得错误!或解得a＞１或—１＜a＜0．]。

第6节对数与对数函数考试要求 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数.1.对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R).(3)换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1，N>0).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称.1.换底公式的两个重要结论(1)log a b ＝1log b a (a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1).(2)log am b n ＝nm log a b (a >0，且a ≠1；b >0；m ，n ∈R ，且m ≠0). 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.( ) (3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( ) (4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×解析 (1)log 2x 2＝2log 2|x |，故(1)错误.(2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故(2)错误. (4)若0<b <1<a ，则当x ＞1时，log a x ＞log b x ，故(4)错误.2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V .已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)( ) A.1.5 B.1.2 C.0.8D.0.6答案 C解析 由题意知，4.9＝5＋lg V ，得lg V ＝－0.1，得V ＝10－110＝11010≈11.259≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.3.(2021·天津卷)设a ＝log 2 0.3，b ＝log 120.4，c ＝0.40.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜c ＜aD.a ＜c ＜b答案 D解析 ∵log 20.3＜log 21＝0，∴a ＜0. ∵log 120.4＝－log 20.4＝log 252＞log 22＝1，∴b ＞1.∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c ＜1， ∴a ＜c ＜b .4.(易错题)函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的图象恒过的定点是________. 答案 (2，2)解析 当x ＝2时，函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2，2).5.(易错题)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy ＝________. 答案 4解析 ∵lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴lg(xy )＝lg(x －2y )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －2y >0，xy ＝（x －2y ）2，即⎩⎪⎨⎪⎧x >2y ，y >0，（x －y ）（x －4y ）＝0，则x ＝4y >0，∴xy ＝4.6.若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________. 答案 2或12解析 当0<a <1时，f (x )＝log a x 在[2，4]上单调递减，故f (x )max ＝f (2)，f (x )min ＝f (4)，则f (2)－f (4)＝log a 12＝1，解得a ＝12.当a >1时，f (x )在[2，4]上单调递增，此时f (x )max ＝f (4)，f (x )min ＝f (2)，则f (4)－f (2)＝log a 2＝1，解得a ＝2.考点一 对数的运算1.(2020·全国Ⅰ卷)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A.116 B.19C.18D.16答案 B解析 法一 因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，则4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19. 法二 因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝4－log 49＝4log 49－1＝9－1＝19.2.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1D.10－10.1答案 A解析 依题意，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得52lg E 1E 2＝－1.45－(－26.7)＝25.25.所以lg E 1E 2＝25.25×25＝10.1，即E 1E 2＝1010.1.3.(2021·天津卷)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b ＝( ) A.－1 B.lg 7 C.1 D.log 710答案 C解析 ∵2a ＝5b ＝10， ∴a ＝log 210，b ＝log 510，∴1a ＋1b ＝1log 210＋1log 510＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.4.计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.答案 1解析 原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 663·log 6（6×3）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.感悟提升 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.考点二 对数函数的图象及应用例1 (1)函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )(2)若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为________.答案 (1)A (2)⎝⎛⎦⎥⎤0，22解析 (1)由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称.设g (x )＝log a |x |，先画出x >0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x <0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位长度即得f (x )的图象，结合图象知选A.(2)若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 的图象在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎨⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 感悟提升 对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质，函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.训练1 (1)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)D (2)(1，＋∞)解析 (1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图象与x 轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移不到1个单位长度后得到的，∴0<c <1.(2)问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.考点三 解决与对数函数的性质有关的问题 角度1 比较大小例2 (1)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b(2)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A.a <b <c B.b <a <c C.c <b <aD.a <c <b(3)(2021·衡水中学检测)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.2，b ＝log 120.2，c ＝a b ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.c <a <b C.a <c <bD.b <c <a答案 (1)D (2)C (3)B解析 (1)∵0<a <1，b ＝log 213＝－log 23<0，c ＝log 1213＝log 23>1.∴c >a >b .(2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c <log 2b <log 2a <0， 可得c <b <a <1.故选C.(3)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与y ＝log 12x 的图象关于直线y ＝x 对称，则0<⎝ ⎛⎭⎪⎫120.2<1<log 120.2，∴a <b .又c ＝a b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.2log 120.2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 120.20.2＝0.20.2<⎝ ⎛⎭⎪⎫120.2＝a ，所以b >a >c . 角度2 解对数不等式例3 (1)(2022·太原质检)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )<－1的解集是________.(2)不等式log a (a 2＋1)<log a (2a )<0，则a 的取值范围是________. 答案 (1)(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析 (1)设x <0，则－x >0， ∴f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，0，x ＝0，－log 2（－x ），x <0.当x >0时，f (x )<－1，即log 2x <－1＝log 212，解得0<x <12. 当x <0时，f (x )<－1，即－log 2(－x )<－1， 则log 2(－x )>1＝log 22，解得x <－2. 当x ＝0时，f (x )＝0<－1显然不成立.综上，原不等式的解集为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(2)由题意得a >0且a ≠1， 故必有a 2＋1>2a .又log a (a 2＋1)<log a (2a )<0，所以0<a <1， 所以2a >1，即a >12. 综上，12<a <1.角度3 对数型函数性质的综合应用 例4 已知函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋a .(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围.解 (1)若函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0，∴log 2(1＋a )＝0，∴a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数. 所以a ＝0.(2)若函数f (x )的定义域是一切实数， 则12x ＋a >0恒成立.即a >－12x 恒成立，由于－12x ∈(－∞，0)， 故只要a ≥0，则a 的取值范围是[0，＋∞).(3)由已知得函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0，1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a .由题设得log 2(1＋a )－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a ≥2，则log 2(1＋a )≥log 2(4a ＋2). ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≥4a ＋2，4a ＋2>0，解得－12<a ≤－13. 故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，－13.感悟提升 1.比较对数值的大小与解形如log a f (x )>log a g (x )的不等式，主要是应用函数的单调性求解，如果a 的取值不确定，需要分a >1与0<a <1两种情况讨论. 2.与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.训练2 (1)(2019·天津卷)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c <b <aB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为________.(3)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.答案 (1)A (2)[1，2) (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 解析 (1)显然c ＝0.30.2∈(0，1).因为log 33<log 38<log 39，所以1<b <2.因为log 27>log 24＝2，所以a >2.故c <b <a .(2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ， 要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2).(3)当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，即8－2a >a ，且8－2a >0，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1，2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0.∴8－a <a 且8－2a >0，此时解集为∅.综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83.1.已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( )A.d ＝acB.a ＝cdC.c ＝adD.d ＝a ＋c 答案 B解析 ∵log 5b ＝a ，lg b ＝c ，∴5a ＝b ，10c ＝b .又∵5d ＝10，∴5a ＝b ＝10c ＝(5d )c ＝5cd ，∴a ＝cd .2.(2021·濮阳模拟)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋43x ＋m 的值域是全体实数，则实数m 的取值范围是( )A.(－4，＋∞)B.[－4，＋∞)C.(－∞，－4)D.(－∞，－4]答案 D解析 由题意可知3x ＋43x ＋m 能取遍所有正实数.又3x ＋43x ＋m ≥m ＋4，所以m ＋4≤0，即m ≤－4.∴实数m 的取值范围为(－∞，－4].3.若函数f (x )＝|x |＋x 3，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＋f (lg 5)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15＝( ) A.2B.4C.6D.8答案 A 解析 由于f (x )＝|x |＋x 3，得f (－x )＋f (x )＝2|x |.又lg 12＝－lg 2，lg 15＝－lg 5.所以原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2.4.(2021·新高考Ⅱ卷)已知a ＝log 52，b ＝log 83，c ＝12，则下列判断正确的是( )A.c <b <aB.b <a <cC.a <c <bD.a <b <c答案 C解析 a ＝log 52<log 55＝12＝log 822<log 83＝b ，即a <c <b .5.在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析 若a >1，则y ＝1a x 单调递减，A ，B ，D 不符合，且y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，C 项不符合，因此0<a <1.当0<a <1时，函数y ＝a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递减，于是函数y ＝1a x的图象过定点(0，1)，在R 上单调递增，函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，在(－12，＋∞)上单调递减.因此， 选项D 中的两个图象符合.6.已知函数f (x )＝log 2(1－|x |)，则关于函数f (x )有下列说法：①f (x )的图象关于原点对称；②f (x )的图象关于y 轴对称；③f (x )的最大值为0；④f (x )在区间(－1，1)上单调递增.其中正确的是( )A.①③B.①④C.②③D.②④答案 C解析f(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，不是奇函数，∴①错误，②正确；根据f(x)的图象(图略)可知④错误；∵1－|x|≤1，∴f(x)≤log21＝0，故③正确.7.(2021·济南一中检测)已知函数y＝log a(2x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则b＝________.答案－7解析令2x－3＝1，得x＝2，∴定点为A(2，2)，将定点A的坐标代入函数f(x)中，得2＝32＋b，解得b＝－7.8.计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝________.答案 4解析原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2)＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2＝3(lg 5＋lg 2)＋1 ＝4.9.函数f(x)＝log2x·log2(2x)的最小值为________.答案－1 4解析依题意得f(x)＝12log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log2x＋122－14≥－14，当log2x＝－12，即x＝22时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－14.10.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝log a(x＋1)(a>0，且a≠1).(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围.解 (1)当x <0时，－x >0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x ).所以当x <0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a （x ＋1），x ≥0，log a （－x ＋1），x <0.(2)因为－1<f (1)<1，所以－1<log a 2<1，所以log a 1a <log a 2<log a a .①当a >1时，原不等式等价于⎩⎨⎧1a <2，a >2，解得a >2； ②当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎨⎧1a >2，a <2，解得0<a <12.综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞). 11.已知函数f (x )＝log 21＋ax x －1(a 为常数)是奇函数. (1)求a 的值与函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)因为函数f (x )＝log 21＋ax x －1是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以log21－ax－x－1＝－log21＋axx－1，即log2ax－1x＋1＝log2x－11＋ax，所以a＝1，f(x)＝log21＋x x－1，令1＋xx－1>0，解得x<－1或x>1，所以函数的定义域为{x|x<－1或x>1}.(2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，当x>1时，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1.因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1].12.(2022·烟台模拟)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系式为P＝P0e－kt，其中P0，k为正常数.如果一定量的废气在前10 h的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据：ln 2≈0.693，ln 5≈1.609)()A.11 hB.21 hC.31 hD.41 h答案 B解析由已知得1－15＝e－10k，方程两边同取自然对数得ln 45＝－10k，所以k＝2ln 2－ln 5－10≈0.022 3.设污染物减少到最初含量的50%需要经过t h，则12＝e－0.022 3t，方程两边同取自然对数得ln 12＝－0.022 3t，解得t≈31.所以还需要经过31－10＝21(h)使污染物减少到最初含量的50%，故选B.13.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2（x －1），x >1，2x ，x ≤1，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实数根，则实数a 的取值范围为( )A.(0，1)B.(0，1]C.(1，2)D.(0，2]答案 D解析 作出函数y ＝f (x )的图象(如图)，方程f (x )－a ＝0有两个实数根，即y ＝f (x )与y ＝a 有两个交点，由图知，0<a ≤2.14.(2022·郑州调研)在①f (x )＋f (－x )＝0，②f (x )－f (－x )＝0，③f (－2)＝－f (2)这三个条件中选择一个合适的补充在下面问题中，并给出解答.已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a ＋x )(a ∈R )满足________.(1)求a 的值；(2)若函数g (x )＝2f (－x )＋1－x 2＋1，证明：g (x 2－x )≤54. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解 若选择②f (x )－f (－x )＝0，因为f (x )－f (－x )＝0，所以log 2(x 2＋a ＋x )－log 2(x 2＋a －x )＝0， 所以x 2＋a ＋x ＝x 2＋a －x ，所以x ＝0，a ≥0，此时求不出a 的具体值，所以不能选②. 若选择①f (x )＋f (－x )＝0，(1)因为f (x )＋f (－x )＝0，所以log 2(x 2＋a ＋x )＋log 2(x 2＋a －x )＝0， 所以log 2[(x 2＋a ＋x )(x 2＋a －x )]＝0， 所以x 2＋a －x 2＝1，解得a ＝1. 若选择③f (－2)＝－f (2)，(1)因为f (－2)＝－f (2)，所以log 2(4＋a －2)＝－log 2(4＋a ＋2)， 所以(4＋a －2)(4＋a ＋2)＝1， 所以4＋a －4＝1，所以a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )， f (－x )＝log 2(x 2＋1－x )，所以g (x )＝2log2(x 2＋1－x )＋1－x 2＋1 ＝x 2＋1－x ＋1－x 2＋1＝－x ＋1， 所以g (x 2－x )＝－(x 2－x )＋1＝－x 2＋x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋54≤54.。

写教案能帮助教师更好地安排课堂教学时间，教案要结合实际的教学进度和学生的学习能力，才能更好地帮助学生提高学习效果，下面是范文社小编为您分享的对数及对数函数教案8篇，感谢您的参阅。

对数及对数函数教案篇1【学习目标】一、过程目标1通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，培养学生的数学交流能力和与人合作的精神。

2通过对对数函数的学习，树立相互联系、相互转化的观点，渗透数形结合的数学思想。

3通过对对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力。

二、识技能目标1理解对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图象，感受研究对数函数的意义。

2掌握对数函数的性质，并能初步应用对数的性质解决简单问题。

三、情感目标1通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的.学习兴趣。

2在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。

教学重点难点：1对数函数的定义、图象和性质。

2对数函数性质的初步应用。

教学工具：多媒体学前准备】对照指数函数试研究对数函数的定义、图象和性质。

对数及对数函数教案篇2对数函数及其性质教学设计1.教学方法建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。

它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。

高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟.在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究式”教学方法。

将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。

其理论依据为建构主义学习理论。

它很好地体现了“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”的“四为主”的教学思想。

2.学法指导新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。

第5课时 对数函数1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3．了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a ＞0，且a≠1)．『梳理自测』一、对数的概念与运算 1．如果3x ＝2，则x ＝( )A ．log 32B ．log 23C ．log 3xD ．log 2x2．(教材改编)2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．43．(教材改编)写出下列各式的值：①log 26－log 23＝________；②lg 5＋lg 20＝________； ③log 53＋log 513＝________；④log 35－log 315＝________．『答案』1.A 2.C 3.①1 ②2 ③0 ④－1 ◆以上题目主要考查了以下内容： (1)对数的定义如果a x ＝N(a ＞0且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)几种常见对数(3)对数的性质①a log a N ＝N ；②log a a N ＝N(a ＞0且a≠1)． (4)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b·log b c·log c d ＝log a d.(5)对数的运算法则如果a ＞0且a≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (MN)＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M ； ④log am M n ＝nm log a M ．二、对数函数图象与性质1．函数y ＝log 2x －1的定义域是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，2』 C ．『1，＋∞) D ．『2，＋∞) 2．函数y ＝lg |x|( )A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增3．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，a≠1)的图象恒过一定点是________． 『答案』1.D 2.B 3.(2，2) ◆以上题目主要考查了以下内容：三、反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．『指点迷津』1．一种思想对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明．2．两个防范解决与对数有关的问题时，(1)优先考虑定义域；(2)注意底数的取值范围． 3．三个关键点画对数函数y ＝log a x 的图象应抓住三个关键点： (a ，1)，(1，0)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1. 4．四种方法对数值的大小比较方法：(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图象比较．考向一 对数的运算计算下列各式． (1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (2)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)．『审题视点』 (1)利用lg 2＋lg 5＝1计算． (2)换底为常用对数．『典例精讲』 (1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5 ＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2. (2)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝⎛⎭⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8 ＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2 ＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54. 『类题通法』 对数式化简求值的基本思路： (1)利用换底公式及N mnNa na m log log =尽量地转化为同底的和、差、积、商的运算； (2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算；(3)利用约分、合并同类项，尽量地求出具体值．1．(1)若2a ＝5b ＝10，求1a ＋1b 的值；(2)若x log 34＝1，求4x ＋4－x 的值． 『解析』(1)由已知a ＝log 210，b ＝log 510， 则1a ＋1b ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. (2)由已知x ＝log 43，则4x ＋4－x ＝4log 43＋4－log 43＝3＋13＝103.考向二 对数函数图象及应用(2014·江西省七校联考)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当－1＜x ≤1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有5个零点，则a 的取值范围是( )A ．(1，5)B ．(0，15)∪『5，＋∞)C ．(0，15』∪『5，＋∞)D ．『15，1)∪(1，5』『审题视点』 当函数y ＝f (x )与y ＝log a |x |有五个交点时，求a 的范围．『典例精讲』 依题意知函数f (x )的周期为2，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )与函数y ＝log a |x |的图象，如图，结合图象可知，要使函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有5个零点，则有0＜a ＜15或a ≥5，即实数a 的取值范围是(0，15)∪『5，＋∞)，选B.『类题通法』 (1)对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解．(2)一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．2．(2014·东北三校联考)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈『－2，0』时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x －1，若在区间(－2，6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞0且a ≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫14，1 B ．(1，4) C ．(1，8) D ．(8，＋∞)『解析』选D.依题意得f (x ＋2)＝f 『－(2－x )』＝f (x －2)，即f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是以4为周期的函数，结合题意画出函数f (x )在x ∈(－2，6)上的图象与函数y ＝log a (x ＋2)的图象，结合图象分析可知，要使f (x )与y ＝log a (x ＋2)的图象有4个不同的交点，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1log a（6＋2）＜1，由此解得a ＞8，即a 的取值范围是(8，＋∞)，选D.考向三 对数函数性质及应用(2014·太原期中)已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫－12 014的值；(2)当x ∈(－a ，a 』，其中a ∈(0，1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．『审题视点』 判断函数奇偶性求解第(1)问，求函数的单调性确定最小值． 『典例精讲』 (1)f (x )的定义域是(－1，1)， f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ，f (－x )＝x ＋log 21＋x1－x，＝－(－x )＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋log 21－x 1＋x ＝－f (x )． 即f (x )＋f (－x )＝0.所以f ⎝⎛⎭⎫12 014＋f ⎝⎛⎭⎫－12 014＝0.(2)令t ＝1－x 1＋x ＝－1＋21＋x 在(－1，1)内单调递减，y ＝log 2t 在t ＞0上单调递增，所以f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x在(－1，1)内单调递减．所以当x ∈(－a ，a 』，其中a ∈(0，1)，函数f (x )存在最小值f (a )＝－a ＋log 21－a1＋a. 『类题通法』 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．再根据对数函数单调性转化为真数之间的关系(等式或不等式等)．3．已知函数f (x )＝log a (2－ax )，是否存在实数a ，使函数f (x )在『0，1』上是关于x 的减函数，若存在，求a 的取值范围．『解析』∵a ＞0，且a ≠1，∴u ＝2－ax 在『0，1』上是关于x 的减函数． 又f (x )＝log a (2－ax )在『0，1』上是关于x 的减函数，∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数，且对x ∈『0，1』时，u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞12－a ＞0，即1＜a ＜2.∴a 的取值范围是(1，2)．由对数函数性质求变量范围(2014·洛阳市高三考试)已知x 1，x 2是函数f (x )＝e －x －|ln x |的两个零点，则( ) A.1e＜x 1x 2＜1 B ．1＜x 1x 2＜e C ．1＜x 1x 2＜10 D ．e ＜x 1x 2＜10『方法分析』 ①弄清条件是什么，解题目标是什么？ 条件：f (x )＝e －x －|ln x |有两个正数零点， 解题目标：依据x 1x 2的范围选择答案．②转化探究：已知与未知、条件与目标的转化关系．(ⅰ)直接法：f (x )＝e －x －|ln x |有零点转化为函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |图象有两个交点， 再转化为当x 1∈(0，1)时，－ln x 1＝e －x 1；当x 2∈(1，＋∞)时，ln x 2＝e －x 2，并由指数性质求范围，进而转化求ln x 1＋ln x 2的范围． (ⅱ)验证法(反证法)，假设x 1x 2＞1转化为ln x 1x 2＞0，即ln x 1＋ln x 2＞0，判定与e －x 2＞e －x 1矛盾．『解答过程』 方法一：在同一坐标系下画出函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点的横坐标属于区间(0，1)，另一个交点的横坐标属于区间(1，＋∞)，即在x 1，x 2中，其中一个属于区间(0，1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x 1∈(0，1)，x 2∈(1，＋∞)，则有e －x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈(e －1，1)，e －x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈(0，e －1)，e －x 2－e －x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln x 1x 2∈(－1，0)，于是有e －1＜x 1x 2＜e 0，即1e ＜x 1x 2＜1，选A.方法二：假设x 1x 2＞1，∴ln x 1x 2＞0， ∴ln x 1＋ln x 2＞0.若x 2∈(1，＋∞)，则x 1∈(0，1)，x 2＞x 1， 即e －x 2＝ln x 2，e －x 1＝－ln x 1， ∴e －x 2＞e －x 1与e －x 2＜e －x 1矛盾． 同理，x 2∈(0，1)，则x 1∈(1，＋∞)，x 1＞x 2， ∴e －x 1＞e －x 2与e －x 1＜e －x 2矛盾， ∴只有x 1x 2＜1，故选A.『回归反思』 ①在方法(ⅰ)中，由x 1∈(0，1)，x 2∈(1，＋∞)下一步转化不易发现，主要是利用指数函数性质得e －x 1和e －x 2的范围．②方法(ⅰ)中虽然发现需要求ln x 1＋ln x 2，但易错写为ln x 1＋ln x 2＝e －x 1＋e －x 2或者错写为ln x 1＋ln x 2＝－(e x 1＋e x 2)．③方法(ⅱ)是一种技巧方法，从答案特征中发现B 、C 、D 的x 1x 2都大于1，故分两大类：0＜x 1x 2＜1和x 1x 2＞1验证得答案．1．(2013·高考重庆卷)函数y ＝1log 2（x －2）的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2，3)∪(3，＋∞)D ．(2，4)∪(4，＋∞) 『解析』选C.利用函数有意义的条件直接运算求解．由⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x －2）≠0，x －2>0，得x >2且x ≠3，故选C. 2．(2013·高考全国新课标卷)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b『解析』选D.利用对数函数的性质求解． a ＝log 32<log 33＝1；c ＝log 23>log 22＝1，由对数函数的性质可知log 52<log 32，∴b <a <c ，故选D. 3．(2013·高考浙江卷)已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x＋lg y＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y『解析』选D.利用指数幂及对数的运算性质逐项验证． A 项，2lg x＋lg y＝2lg x ·2lg y ，故错误；B 项，2lg x ·2lg y ＝2lg x ＋lg y＝2lg(x ·y )≠2lg(x＋y )，故错误；C 项，2lg x ·lg y ＝(2lg x )lg y ，故错误；D 项，2lg(xy )＝2lg x＋lg y＝2lg x ·2lg y ，正确．4．(2013·高考北京卷)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x ＜1的值域为________．『解析』利用指数函数、对数函数的性质求解．当x ≥1时，log 12x ≤log 121＝0，∴当x ≥1时，f (x )≤0.当x ＜1时，0＜2x ＜21，即0＜f (x )＜2.因此函数f (x )的值域为(－∞，2)．『答案』(－∞，2)。

对数与对数函数一、知识梳理：（阅读教材必修1第62页—第76页）1、对数与对数的运算性质（1）、一般地，如果 (a>0,且) 那么数x叫做以a为底的对数，记做x= ,其中a叫做对数的底，叫做对数的真数。

（2）、以10为底的对数叫做常用对数，并把记为lgN, 以e为底的对数称为自然对数，并把记为lnN.（3）、根据对数的定义，可以得到对数与指数和关系：（4）、零和负数没有对数； =1； =0；=N（5）、对数的运算性质：如果，M>0,N>0 ，那么=+==n（n）换底公式：=对数恒等式：=N2、对数函数与对数函数的性质（1）、一般地，我们把函数f(x)=)叫做对函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+。

（2）、对数函数的图象及性质图象的性质：①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线图象分a1 与a<1两种情况。

3、反函数：对数函数f(x)=)与指数函数f(x)=)互为反函数。

原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。

互为反函数的图象在同一坐标系关于直线y=x 对称。

【关于反函数注意大纲的要求】二、题型探究 探究一：对数的运算 例1：（15年安徽文科）=-+-1)21(2lg 225lg 。

【答案】-1 【解析】试题分析：原式＝12122lg 5lg 2lg 22lg 5lg -=-=-+=-+- 考点：对数运算.例2：【2014辽宁高考】已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>例3：【2015高考浙江】若4log 3a =，则22a a-+= ．【答案】334.【考点定位】对数的计算 探究二：对数函数及其性质例4：【2014江西高考】函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ）A.)1,0(B. ]1,0[C. ),1()0,(+∞-∞D. ),1[]0,(+∞-∞例5：下列关系 中，成立的是 （A ）、lo>> (B) >> lo (C) lo> > (D) lo>探究三、应用对数函数的单调性解方程、不等式问题例7：【15年天津文科】已知定义在R 上的函数||()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a << 【答案】B 【解析】试题分析：由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B. 考点：1.函数奇偶性；2.对数运算.例8：【2014陕西高考】已知,lg ,24a x a==则x =________.三、方法提升：1、 处理对数函数问题时要特别注意函数的定义域问题，尤其在大题中【最后的导数题】，一定要首先考虑函数的定义域，然后在定义域中研究问题，以避免忘记定义域出现错误；2、 在2015年高考小题中，考察主要是针对对数的大小比较、指数与对数的关系，中档难度。

§2.8对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．知识梳理1．对数的概念在表达式a b ＝N (a >0且a ≠1，N ∈(0，＋∞))中，当a 与N 确定之后，只有唯一的b 能满足这个式子，此时，幂指数b 称为以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中a 称为对数的底数，N 称为对数的真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N .以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N .2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a N a ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．(2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R ).(3)对数换底公式：log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；b >0；c >0，且c ≠1)．3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域(0，＋∞)值域R性过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0质当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数一般地，如果在函数y ＝f(x )中，给定值域中任意一个y 的值，只有唯一的x 与之对应，那么x 是y 的函数，这个函数称为y ＝f (x )的反函数．常用结论1．log a b ·log b a ＝1，log m nab ＝n m log a b .2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．3．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a ,1)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若M ＝N ，则log a M ＝log a N .(×)(2)函数y ＝log a 2x (a >0，且a ≠1)是对数函数．(×)(3)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)(4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．(√)教材改编题1．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域是[0,1]，则函数f (x )的值域为()A ．[0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)答案A解析根据复合函数单调性同增异减可知f (x )在[0,1]上单调递增，因为0≤x ≤1，所以1≤x ＋1≤2，则log 21≤log 2(x ＋1)≤log 22，即f (x )∈[0,1]．2．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0，且a ≠1)的图象恒过点________．答案(3,2)解析∵log a 1＝0，令x －2＝1，∴x ＝3，y ＝2，∴函数的图象过定点(3,2)．3．e ln 2＋log 202216log 20224＝________.答案4解析e ln 2＋log 202216log 20224＝2＋log 416＝2＋2＝4.题型一对数式的运算例1(1)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b 的值是()A ．－1 B.12C.710D ．1答案D解析由2a ＝5b ＝10，∴a ＝log 210，b ＝log 510，∴1a ＝lg 2，1b ＝lg 5，∴1a ＋1b＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.(2)计算：log 535＋122log －log 5150－log 514＝________.答案2解析原式＝log 535－log 5150－log 514＋212log ＝log 535150×14＋12log 2＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2.思维升华解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1(1)(2022·保定模拟)已知2a ＝3，b ＝log 85，则4a－3b＝________.答案925解析因为2a ＝3，所以a ＝log 23，又b ＝log 85，所以b ＝13log 25，所以a －3b ＝log 235，4a －3b ＝232log 52＝925.(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋12lg 4－log 34×log 23＝________.答案－1解析原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋12lg 4－2lg 2lg 3×lg 3lg 2＝lg 5＋lg 2－2＝1－2＝－1.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是()A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1答案A解析由函数图象可知，f (x )为增函数，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上，0<a －1<b <1.(2)(2023·佛山模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是________．答案(3，＋∞)解析f (x )＝|ln x |的图象如图，因为f (a )＝f (b )，所以|ln a |＝|ln b |，因为0<a <b ，所以ln a <0，ln b >0，所以0<a <1，b >1，所以－ln a ＝ln b ，所以ln a ＋ln b ＝ln(ab )＝0，所以ab ＝1，则b ＝1a ，所以a ＋2b ＝a ＋2a ，令g (x )＝x ＋2x (0<x <1)，则g (x )在(0,1)上单调递减，所以g (x )>g (1)＝1＋2＝3，所以a ＋2b >3，所以a ＋2b 的取值范围为(3，＋∞)．思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2(1)已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝1log bx的图象可能是()答案B解析∵lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，∴ab ＝1，∴a ＝1b，∴g (x )＝1log bx ＝log a x ，函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝1log bx 互为反函数，x的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性．log∴函数f(x)＝a x与g(x)＝1b(2)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y＝a x的图象如图所示，则函数f(x)＝log a(－x＋1)的部分图象大致为()答案D解析由函数y＝a x的图象可得a>1.当a>1时，y＝log a x经过定点(1,0)，为增函数．因为y＝log a x与y＝log a(－x)关于y轴对称，所以y＝log a(－x)经过定点(－1,0)，为减函数．而f(x)＝log a(－x＋1)可以看作y＝log a(－x)的图象向右平移一个单位得到的，所以f(x)＝log a(－x＋1)的图象经过定点(0,0)，为减函数．结合选项可知选D.题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数式的大小例3(2023·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是() A．a<b<c B．b<a<cC．a<c<b D．c<a<b答案C解析a＝log30.5<log31＝0，即a<0；b＝log3π>log33＝1，即b>1；0＝log41<log43<log44＝1，即0<c<1，∴a<c<b.命题点2解对数方程、不等式例4若log a(a＋1)<log a(2a)<0(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．答案解析由题意log a(a＋1)<log a(2a)<log a1，>1，＋1<2a <1a <1，＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3对数函数的性质及应用例5(2023·郑州模拟)设函数f (x )＝ln|x ＋3|＋ln|x －3|，则f (x )()A ．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减B ．是奇函数，且在(－3,3)上单调递减C ．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增D ．是偶函数，且在(－3,3)上单调递增答案A解析函数f (x )的定义域为{x |x ≠±3}，f (x )＝ln|x ＋3|＋ln|x －3|＝ln|x 2－9|，令g (x )＝|x 2－9|，则f (x )＝ln g (x )，函数g (x )的单调区间由图象(图略)可知，当x ∈(－∞，－3)，x ∈(0,3)时，g (x )单调递减，当x ∈(－3,0)，x ∈(3，＋∞)时，g (x )单调递增，由复合函数单调性同增异减得单调区间．由f (－x )＝ln|(－x )2－9|＝ln|x 2－9|＝f (x )得f (x )为偶函数．思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3(1)(2023·开封模拟)已知函数f (x )＝log a (6－ax )(a >0，且a ≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a 的取值范围是()A ．(1,3]B ．(1,3)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)答案A解析令t (x )＝6－ax ，因为a >0，所以t (x )＝6－ax 为减函数．又由函数f (x )＝log a (6－ax )在(0,2)上单调递减，可得函数t (x )＝6－ax >0在(0,2)上恒成立，且a >1，>1，－2a ≥0，解得1<a ≤3.(2)(2022·惠州模拟)若函数f (x )＝log 2－ax a >0，且a ≠1)有最小值，则实数a 的取值范围是________．答案(1，2)解析令u (x )＝x 2－ax ＋12＝＋12－a 24，则u (x )有最小值12－a 24，欲使函数f (x )＝log 2－ax ，－a 24>0，解得1<a <2，即实数a 的取值范围为(1，2)．课时精练1．函数f (x )＝log 0.5(2x －1)的定义域为()1 B.12，－∞，12D ．[1，＋∞)答案A解析由题意，要使函数f (x )＝log 0.5(2x －1)有意义，则满足log 0.5(2x －1)≥0，所以0<2x －1≤1，解得12<x ≤1，即函数f (x )1.2．若函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f (log 28)等于()A ．－1B ．1C ．2D ．3答案B解析依题意，函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数，即函数y ＝a x 的图象过点(1,3)，则a ＝3，f (x )＝log 3x ，于是得f (log 28)＝log 3(log 28)＝log 33＝1，所以f (log 28)＝1.3．函数f (x )＝log 2(|x |－1)的图象为()答案A解析函数f (x )＝log 2(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除B ，C ；由f (－x )＝log 2(|－x |－1)＝log 2(|x |－1)＝f (x )，可知函数f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除D.4．按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C (单位：Ah)，放电时间t (单位：h)与放电电流I (单位：A)之间关系的经验公式：C ＝I n ·t ，其中n 为Peukert 常数，为了测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流I ＝20A 时，放电时间t ＝20h ；当放电电流I ＝30A 时，放电时间t ＝10h ．则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为()(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)A.43B.53C.83D ．2答案B解析根据题意可得C ＝20n ·20，C ＝30n ·10，两式相比得20n ·2030n ·10＝1，即23n ＝12，所以n ＝23321log log 22＝lg 2lg 32＝lg 2lg 3－lg 2≈0.30.48－0.3＝53.5．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－|x |，则不等式f (x )>0的解集是()A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．∅答案B解析不等式f (x )>0⇔log 2(x ＋1)>|x |，分别画出函数y ＝log 2(x ＋1)和y ＝|x |的图象，由图象可知y ＝log 2(x ＋1)和y ＝|x |的图象有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)，由图象可知log 2(x ＋1)>|x |的解集是(0,1)，即不等式f (x )>0的解集是(0,1)．6．(多选)已知函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >1)，下列说法正确的是()A ．函数f (x )的图象恒过定点(0,0)B ．函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减C ．函数f (x )在区间－12，1上的最小值为0D ．若对任意x ∈[1,2]，f (x )≥1恒成立，则实数a 的取值范围是(1,2]答案ACD解析将(0,0)代入函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >1)，成立，故A 正确；当x ∈(0，＋∞)时，x ＋1∈(1，＋∞)，又a >1，所以f (x )＝|log a (x ＋1)|＝log a (x ＋1)，由复合函数单调性可知，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log a (x ＋1)|＝log a (x ＋1)单调递增，故B 错误；当x ∈－12，1时，x ＋1∈12，2，所以f (x )＝|log a (x ＋1)|≥log a 1＝0，故C 正确；当x ∈[1,2]时，f (x )＝|log a (x ＋1)|＝log a (x ＋1)≥1恒成立，所以由函数为增函数知log a 2≥1，解得1<a ≤2，故D 正确．7．(2023·淮北模拟)2＋log 4＝______.答案10解析2＋4log 2log 2422＝＋＝4＋2＋4＝10.8．函数f (x )＝()log 2x 的最小值为________．答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x 2x －14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.9．已知f (x )＝()213log 5.x ax a －＋(1)若a ＝2，求f (x )的值域；(2)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．解(1)当a ＝2时，f (x )＝()213log 210x x －＋，令t ＝x 2－2x ＋10＝(x －1)2＋9，∴t ≥9，f (x )≤13log 9＝－2，∴f (x )的值域为(－∞，－2]．(2)令u (x )＝x 2－ax ＋5a ，∵y ＝13log u (x )为减函数，∴u (x )＝x 2－ax ＋5a 在(1，＋∞)上单调递增，1，4a >0，解得－14<a ≤2，∴a －14，2.10．(2023·南昌模拟)已知函数f (x )＝log 3(9x ＋1)＋kx 是偶函数．(1)求k ；(2)解不等式f (x )≥log 3(7·3x －1)．解(1)∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即log 3(9－x ＋1)－kx ＝log 3(9x ＋1)＋kx 对任意x ∈R 恒成立，∴2kx ＝log 3(9－x ＋1)－log 3(9x ＋1)＝log 39－x ＋19x ＋1＝log 33－2x ＝－2x ，∴k ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝log 3(9x ＋1)－x ＝log 3(9x ＋1)－log 33x＝log 39x ＋13x ＝log 3(3x ＋3－x )，则不等式f (x )≥log 3(7·3x －1)等价于3x ＋3－x ≥7·3x －1>0，由7·3x －1>0，解得x >－log 37；由3x ＋3－x ≥7·3x －1，得6·(3x )2－3x －1≤0，得0<3x ≤12，即x ≤－log 32，综上，不等式的解集为(－log 37，－log 32]．11．若非零实数a ，b ，c 满足2a ＝3b ＝6c ＝k ，则()A.1a ＋1b ＝1c B.2a ＋2b ＝1cC.1a ＋1b ＝2cD.2a ＋1b ＝2c答案A 解析由已知，得2a ＝3b ＝6c ＝k ，得a ＝log 2k ，b ＝log 3k ，c ＝log 6k ，所以1a ＝log k 2，1b ＝log k 3，1c＝log k 6，而2×3＝6，所以1a ＋1b ＝1c.12．(多选)关于函数f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )，下列说法正确的是()A ．f (x )的最大值为1B ．f (x )在区间(0,2)上为增函数C ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称D ．f (x )的图象关于点(2,0)对称答案BC 解析函数f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )＝log 2(4x －x 2)(0<x <4)，当x ＝2时，4x －x 2取到最大值4，故此时f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )取到最大值log 24＝2，A 错误；f (x )＝log 2(4x －x 2)(0<x <4)可以看作是由函数y ＝log 2u ，u ＝－x 2＋4x (0<x <4)复合而成，而y ＝log 2u 是定义域上的增函数，u ＝－x 2＋4x (0<x <4)在(0,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，故f (x )在区间(0,2)上为增函数，在(2,4)上为减函数，故B 正确；因为函数f (4－x )＝log 2(4－x )＋log 2x ＝f (x )，故f (x )的图象关于直线x ＝2对称，C 正确；因为f (4－x )＝log 2(4－x )＋log 2x ＝f (x )≠－f (x )，故f (x )的图象不关于点(2,0)对称，D 错误．13．已知函数f (x )的定义域为R ，图象恒过点(0,1)，对任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>1，则不等式f (ln(e x －1))<1＋ln(e x －1)的解集为()A ．(ln 2，＋∞)B ．(－∞，ln 2)C ．(ln 2,1)D ．(0，ln 2)答案D 解析因为f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>1，不妨设x 1>x 2，则f (x 1)－x 1>f (x 2)－x 2，令g (x )＝f (x )－x ，则g (x )在R 上单调递增，又f (0)＝1，则不等式f (ln(e x －1))<1＋ln(e x －1)，等价于f (ln(e x －1))－ln(e x －1)<1＝f (0)－0，即g (ln(e x －1))<g (0)，所以ln(e x －1)<0，则0<e x －1<1，解得0<x <ln 2.14．(多选)已知函数f (x )2x |，0<x <2，2－8x ＋13，x ≥2，若f (x )＝a 有四个解x 1，x 2，x 3，x 4且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则下列命题正确的是()A ．0<a <1B ．x 1＋2x 2∈(3，＋∞)C ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4D ．x 4∈[4，＋∞)答案AC解析作函数f (x )2x |，0<x <2，2－8x ＋13，x ≥2的图象如图所示，f (x )＝a 有四个解，即y ＝a 与y ＝f (x )的图象有4个交点x 1，x 2，x 3，x 4且x 1<x 2<x 3<x 4，可得0<a <1，故选项A 正确；由图象可得x 1·x 2＝1，则1x 1＝x 2，∴x 1＋2x 2＝x 1＋2x 1，∵12<x 1<1，且1<x 2<2，对勾函数y ＝x ＋2x 在区间上单调递减，故当12<x 1<1时，x 1＋2x 2＝x 1＋2x 1∈B 错误；x 1＋x 2＝1x 1＋x 1，∵12<x 1<1，∴1x 1＋x 1∵x 3＋x 4＝8，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4C 正确；令x2－8x＋13＝0，解得x＝4±3，由图象可知x4∈(4＋3，6)，故选项D错误．。

2019-2020学年高考数学一轮复习 对数和对数函数教案教学内容学习指导 即使感悟 【学习目标】1、理解对数的概念及其运算性质。

2、理解对数函数的概念和性质。

并能利用对数函数的图像研究性质。

3、使学生形成“自主学习”与“合作学习”的良好习惯。

【学习重点】对数函数的图形和性质。

x【学习难点】对数函数的图像和性质及应用。

【回顾预习】 一回顾知识： 1、对数(1)定义：一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做 ，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做 ． （2）、几种常见对数 对数形式 特点 记法一般对数 以a (a ＞0，且a ≠1)为底的对数自然对数 以 为底的对数常用对数 以 为底的对数（3）对数的运算性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么①log a (MN )＝ ②nma log ＝ ； ③log a M n ＝ (n ∈R )；④nm b a log ＝ ⑤=n a a log ；⑥log a a N ＝ ⑦换底公式：=N M log 2、对数函数图像 1>a 10<<a定义域 值域过定点 单调性回顾知识3、对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)和指数函数互为反函数，它们的图象在同一坐标系中关于直线 对称． 基础自测：1．以下等式(其中a ＞0，且a ≠1；x ＞y ＞0)：①log a 1＝0；②log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；③log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y ；④log a a ＝1⑤()yaxa y x alog log log =-⑥()y x a yxa -=log log 其中正确命题的个数是 ( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．(2009年湖南卷)若log 2a ＜0，121>⎪⎭⎫⎝⎛b则 ( D )A ．a ＞1，b ＞0B ．a ＞1，b ＜0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜03已知111222log log log b a c <<,则 ( A )A.222b a c >>B.222a b c >>C.222c b a >>D.222c a b>> 4、()2321log -=x y 函数的定义域是 ⎥⎦⎤⎝⎛1，32【自主合作探究】 例1、计算：（1）222(lg 2)lg 2lg5(lg 2)lg 21++-+； =1（2）321lg5(lg8lg1000)(lg 2)lg lg 0.066++++. =1例2、已知函数1()log 1axf x x+=-(0,1)a a >≠(1)求()f x 的定义域; (2)讨论()f x 的单调性;(3)求使()0f x 的x 的取值范围.解析：（1）(1+x)/(1-x)>0 (x+1)/(x-1)<0 ∴-1<x<1定义域为(-1,1)（2）f(x)+f(-x)=loga[(1+x)/(1-x)+loga[(1-x)/(1+x)] =loga[(1+x)/(1-x)*(1-x)/(1+x)] =loga(1)=0 ∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数t=(1+x)/(1-x)=[2-(1-x)]/(1-x) =-1+2/(1-x)=x ∈(-1,1)时，x 增大，1-x 递减， 1/(1-x)递增，-1+1/(1-x)递增 ∴t=(1+x)/(1-x)是增函数 当a>1时，y=logat 递增，f(x)=loga[(1+x)/(1-x)]是增函数 当0<a<1时，y=logat 是减函数∴ f(x)=loga[(1+x)/(1-x)]是减函数 例3、已知f (x )＝log 4(2x ＋3－x 2)，求： (1)求函数的定义域（2）求函数f (x )的单调区间； 解：（1）∵∴-1＜x ＜3∴函数f （x ）的定义域为（-1，3）（2）函数f （x ）在（-1，1）上单调递增；函数f （x ）在（1,3）上单调递减。

对数与对数函数[课程标准]1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y ＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数(a＞0，且a≠1)．1．对数的定义如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作01x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的运算法则如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么(1)log a(MN)＝02log a M＋log a N；＝03log a M－log a N；(2)log a MN(3)log a M n＝n log a M(n∈R)．3．对数函数的定义函数04y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量．4．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域05(0，＋∞)值域R定点过点06(1，0)单调性07增函数08减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞05.反函数指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝09log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线10y＝x对称．1．对数的性质(a＞0，且a≠1)(1)log a1＝0；(2)log a a＝1；(3)a log aN＝N.2．换底公式及其推论(1)log a b＝log c blog c a(a，c均大于0且不等于1，b＞0)；(2)log a b·log b a＝1，即log a b＝1log b a(a，b均大于0且不等于1)；(3)log a b·log b c·log c d＝log a d；(4)log am b n＝nmlog a b.3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．1．(人教A必修第一册习题4.3T5改编)设a log34＝2，则4－a＝()A.116B.19C.18D.16答案B解析由a log 34＝2可得log 34a ＝2，所以4a ＝9，所以4－a ＝19.故选B.2．(2021·新高考Ⅱ卷)已知a ＝log 52，b ＝log 83，c ＝12，则下列判断正确的是()A ．c <b <a B ．b <a <c C ．a <c <b D ．a <b <c答案C解析a ＝log 52<log 55＝12＝log 822<log 83＝b ，即a <c <b .故选C.3．函数f (x )＝log a (x ＋2)－2(a >0，且a ≠1)的图象必过定点________．答案(－1，－2)解析由log a 1＝0(a >0，且a ≠1)知，f (－1)＝log a (－1＋2)－2＝0－2＝－2，所以函数f (x )的图象必过定点(－1，－2)．4．(人教B 必修第二册4.2.2练习B T 3改编)求值：lg 5×lg 20＋(lg 2)2＝________．答案1解析原式＝lg 5×lg (22×5)＋(lg 2)2＝lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝(lg 5)2＋2lg 2×lg 5＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝[lg (5×2)]2＝1.5．(人教A 必修第一册习题4.4T 1(2)改编)函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________．答案1解析由log 23(2x －1)≥0得log 23(2x －1)≥log 231，所以0<2x －1≤1，解得12<x ≤1.故函数y ＝log 23（2x－1）的定义域为1.例1(1)下列运算正确的是()A ．2log 1510＋log 150.25＝2B ．log 427×log 258×log 95＝89C ．lg 2＋lg 50＝10D ．log (2＋3)(2－3)－(log 22)2＝－54答案D解析对于A ，2log 1510＋log 150.25＝log 15(102×0.25)＝log 1552＝－2，A 错误；对于B ，log 427×log 258×log 95＝lg 33lg 22×lg 23lg 52×lg 5lg 32＝3×32×2×2＝98，B 错误；对于C ，lg 2＋lg 50＝lg 100＝2，C 错误；对于D ，log (2＋3)(2－3)－(log 22)2＝－1＝－54，D 正确．(2)(2024·银川模拟)设函数f (x )＋log 2（2－x ）（x ≤1），x －1（x >1），则f (1)＋f (log 26)＝()A ．4B ．5C ．6D ．7答案A解析因为log 26>1，所以f (1)＋f (log 26)＝1＋log 2(2－1)＋2log 26－1＝1＋0＋2log 23＝1＋3＝4.故选A.(3)(多选)(2023·海南华侨中学模拟)已知a ＝lg 2，b ＝lg 3，则()A ．102a ＋b ＝7B ．2a ＋b ＝lg 12C.1a ＋2b＝log 1810D ．log 365＝1－a 2a ＋2b答案BCD解析因为a ＝lg 2，b ＝lg 3，所以10a ＝2，10b ＝3，所以102a ＋b ＝(10a )2×10b＝4×3＝12，A 错误；2a ＋b ＝lg 4＋lg 3＝lg 12，B 正确；1a ＋2b ＝1lg 2＋2lg 3＝1lg 18＝log 1810，C 正确；log 365＝lg 5lg (4×9)＝lg 52lg 2＋2lg 3＝1－a 2a ＋2b，D 正确．故选BCD.对数运算的策略1.(2023·衡水中学模拟)在某款计算器上计算log a b 时，需依次按下“log”“(”“a ”“，”“b ”“)”6个键．某同学使用该计算器计算log a b (a >1，b >1)时，误将“log”“(”“b ”“，”“a ”“)”这6个键依次按下，所得到的值是正确结果的49，则()A ．2a ＝3bB ．a 3b 2＝1C ．a 2＝b 3D ．a 3＝b 2答案D解析由题意可知log b a ＝49log a b ，∴(log b a )2＝49，又a >1，b >1，∴log b a >0，log b a ＝23，∴a ＝b 23，即a 3＝b 2.故选D.2．(2024·广东重点中学联考)已知4a ＝3b ＝6，则2a ＋bab＝________．答案2解析由题意可得a ＝log 46，b ＝log 36，则1a ＝log 64，1b ＝log 63，故2a ＋b ab＝1a ＋2b＝log 64＋2log 63＝log 64＋log 69＝log 636＝2.例2(1)(2024·潍坊模拟)若函数f (x )＝(k －1)a x －a －x (a >0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是()答案A解析由于f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝k －1－1＝0，k ＝2，因为f (x )＝a x －1a x 为减函数，所以0<a <1，所以g (x )＝log a (x ＋2)，x >－2，g (x )为(－2，＋∞)上的减函数，g (－1)＝0，排除B ，C ，D ，故选A.(2)若方程4x ＝log a x ，12内有解，则实数a 的取值范围为________．答案，22解析构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x .当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数的大致图象，如图所示．可知，，12上有交点即可，则即2≥log a 12，则0<a ≤22，所以实数a ，22.利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其对数型函数的图象，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合思想求解．1.函数f(x)＝log a|x|＋1(0<a<1)的图象大致为()答案A解析由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝log a|x|，先画出x>0时g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称，画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移1个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.2．设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝ln x1，e－x2＝ln(x2＋1)，e－x3＝lg x3，则() A．x1<x2<x3B．x1<x3<x2C．x2<x3<x1D．x2<x1<x3答案D解析画出函数y，y＝ln x，y＝ln(x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示，由图象知x2<x1<x3.多角度探究突破角度比较对数值的大小，b＝log25，c＝log35，则()例3(1)(2024·安徽A10联盟模拟)设a＝2log312A．c<a<b B．b<c<aC．a<b<c D．a<c<b答案D解析因为log31<0，所以0<a<1，又b＝log25>log24＝2，1＝log33<c＝2log35<log39＝2，所以a<c<b.故选D.(2)(多选)若实数a，b，c满足log a2<log b2<log c2，则下列关系中可能成立的是()A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b答案BCD解析由log a2<log b2<log c2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：①1<c<b<a；②0<a<1<c<b；③0<b<a<1<c；④0<c<b<a<1.作出函数的图象(如图所示)．由图象可知B，C，D可能成立．(3)(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级L p＝20×lg p，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是p0实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为p 1，p 2，p 3，则()A ．p 1≥p 2B ．p 2>10p 3C ．p 3＝100p 0D ．p 1≤100p 2答案ACD解析解法一：由题意可知，L p 1∈[60，90]，L p 2∈[50，60]，L p 3＝40，对于A ，L p 1－L p 2＝20×lgp 1p 0－20×lg p 2p 0＝20×lg p1p 2，因为L p 1≥L p 2，则L p 1－L p 2＝20×lg p 1p 2≥0，即lg p 1p 2≥0，所以p1p 2≥1且p 1，p 2>0，可得p 1≥p 2，故A 正确；对于B ，L p 2－L p 3＝20×lgp 2p 0－20×lg p 3p 0＝20×lg p2p 3，因为L p 2－L p 3＝L p 2－40≥10，则20×lg p 2p 3≥10，即lg p 2p 3≥12，所以p 2p 3≥10且p 2，p 3>0，可得p 2≥10p 3，当且仅当L p 2＝50时，等号成立，故B 错误；对于C ，因为L p 3＝20×lgp 3p 0＝40，即lg p3p 0＝2，可得p3p 0＝100，即p 3＝100p 0，故C 正确；对于D ，由选项A 可知，L p 1－L p 2＝20×lg p 1p 2，且L p 1－L p 2≤90－50＝40，则20×lg p 1p 2≤40，即lg p 1p 2≤2，可得p1p 2≤100且p 1，p 2>0，所以p 1≤100p 2，故D 正确．故选ACD.解法二：因为L p ＝20×lgpp 0随着p 的增大而增大，且L p 1∈[60，90]，L p 2∈[50，60]，所以L p 1≥L p 2，所以p 1≥p 2，故A 正确；由L p ＝20×lg pp 0，得p ＝p 010Lp20，因为L p 3＝40，所以p 3＝p 0104020＝100p 0，故C 正确；假设p 2＞10p 3，则p 010L p 220＞10p 010L p 320，所以10L p 220－L p 320＞10，所以L p 2－L p 3＞20，该式不可能成立，故B 错误；因为100p 2p 1＝100p 010L p 220p 010L p 120＝10L p 220－L p 120+2≥1，所以p 1≤100p 2，故D 正确．故选ACD.比较对数值大小的方法1.(多选)(2024·惠州模拟)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则下列关系式中，正确的是()A ．a >bB ．a >cC ．c >aD ．a ＋b ＝2答案AC解析a ＝log 2e>log 22＝1，即a >1，b ＝ln 2<ln e ＝1，即b <1，c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a ，所以c >a >b ，a ＋b ＝log 2e ＋ln 2＝1ln 2＋ln 2，由基本不等式知D 错误．故选AC.2．(多选)对于0<a <1，下列四个不等式中成立的是()A ．log a (1＋a )<logB ．log a(1＋a )>logC ．a 1＋a<a1＋1aD ．a1＋a>a1＋1a答案BD解析∵0<a <1，∴a <1a ，从而1＋a <1＋1a，∴log a (1＋a )>loga 1＋a >a1＋1a.故选BD.3．(2023·聊城二模)已知a＝2ln4，b＝ln3ln2，c＝32，则()A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a 答案D解析∵e2＜2.82＜8，∴a－c＝2ln4－32＝2－3ln22ln2＝ln e2－ln82ln2<0，∴a＜c；∵b－c＝ln3ln2－32＝2ln3－3ln22ln2＝ln9－ln82ln2＞0，∴b＞c，∴b＞c＞a.故选D.角度解简单的对数不等式例4(1)设函数f(x)2x，x>0，12（－x），x<0.若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)答案C解析>0，2a>log12a<0，12(－a)>log2（－a），解得a>1或－1<a<0.故选C.(2)(2023·青岛模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a＋16(a∈R)，则关于x的不等式f(log2x)>f(1)的解集为()A．(2，＋∞)B．(0，2)C．(2，6)D．(2，8)答案D解析由题意，得f(x)＝－(x－2)2＋a＋20，则函数f(x)的图象是以直线x＝2为对称轴且开口向下的抛物线，所以f(1)＝f(3)．由f(log2x)>f(1)，可得1<log2x<3，解得2<x <8，所以不等式f (log 2x )>f (1)的解集为(2，8)．对数不等式的类型及其解法1.(2024·昆明五华区质检)函数y ＝1log 0.5（4x －3）的定义域为()C ．(1，＋∞)(1，＋∞)答案A解析0.5（4x －3）>0，x －3>0，解得34<x <1，所以原函数的定义域为故选A.2．若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是________．答案解析由题意得a >0，且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，所以a >12.综上，a 角度对数函数性质的综合应用例5(1)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案解析当a>1时，f(x)＝log a(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝log a(8－2a)>1，解得1<a<83；当0<a<1时，f(x)在[1，2]上是增函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝log a(8－a)>1，解得a>4，故a不存在．综上可知，实数a(2)(2024·海口第一次联考)已知函数f(x)＝3＋log2x，x∈[1，16]，若函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)，则函数g(x)的最大值为________．答案39解析函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)≤x≤16，≤x2≤16，解得1≤x≤4，即函数g(x)的定义域为[1，4]．g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)＝(3＋log2x)2＋6＋2log2x2＝(log2x)2＋10log2x ＋15＝(log2x＋5)2－10，因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]．当log2x＝2时，g(x)max ＝39.解对数函数综合问题的三个关注点(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．(2)底数与1的大小关系．(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．1.(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(－∞，2]C．[2，＋∞)D．[5，＋∞)答案D解析由x2－4x－5>0，解得x>5或x<－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)单调递增，在(－∞，－1)单调递减，所以函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(5，＋∞)单调递增，所以a≥5.故选D.2．(多选)已知函数f(x)＝ln 2x＋12x－1，则下列说法正确的是()A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为偶函数C ．f (x )D ．f (x )的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)答案ACD 解析f (x )＝ln2x ＋12x －1，令2x ＋12x －1＞0，解得x ＞12或x ＜－12，∴f (x )的定义域为∞又f (－x )＝ln －2x ＋1－2x －1＝ln 2x －12x ＋1＝ln 1＝－ln 2x ＋12x －1＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，故A 正确，B 错误；又f (x )＝ln2x ＋12x －1＝ln令t ＝1＋22x －1，t ＞0且t ≠1，∴y ＝ln t ，又t ＝1＋22x －1在上单调递减，且y ＝ln t 为增函数，∴f (x )C 正确；f (x )的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D 正确．3．(2023·十堰模拟)已知函数f (x )＝|ln x －a |＋a (a >0)在[1，e 2]上的最小值为1，则a 的值为________．答案1解析由题意得ln x ∈[0，2]，当a ≥2时，f (x )＝2a －ln x 在[1，e 2]上单调递减，∴f (x )的最小值为f (e 2)＝2a －2＝1，a ＝32<2，不符合题意；当0<a <2时，f (x )a －ln x ，x ∈[1，e a ），x ，x ∈[e a ，e 2]，f (x )在[1，e a ]上单调递减，在[e a ，e 2]上单调递增，∴f (x )的最小值为f (e a )＝a ＝1，符合题意，故a ＝1.课时作业一、单项选择题1．已知x ，y 为正实数，则()A ．lg (x 2y )＝(lg x )2＋lg yB ．lg (x y )＝lg x ＋12lg yC ．e ln x ＋ln y ＝x ＋yD ．e ln x －ln y ＝xy答案B解析x ，y 为正实数，lg (x 2y )＝lg x 2＋lg y ＝2lg x ＋lg y ，故A 错误；lg (x y )＝lg x ＋lg y ＝lg x ＋12lg y ，故B 正确；e ln x ＋ln y ＝e ln x ·e ln y ＝xy ，故C ，D 错误．故选B.2．(2022·浙江高考)已知2a ＝5，log 83＝b ，则4a －3b ＝()A ．25B ．5C.259D.53答案C解析因为2a＝5，b ＝log 83＝13log 23，即23b ＝3，所以4a －3b＝4a 43b ＝（2a ）2（23b ）2＝5232＝259.故选C.3．(2024·南京模拟)苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier ，1550～1617)发明的对数及对数表(如下表)，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．即就是任何一个正实数N 可以表示成N ＝a ×10n (1≤a <10，n ∈Z )，则lg N ＝n ＋lg a (0≤lg a <1)，这样我们可以知道N 的位数．已知正整数M 31是35位数，则M 的值为()N 23451112131415lg N 0.300.480.600.701.04 1.081.111.151.18C ．13D ．14答案C解析因为N ＝a ×10n (1≤a <10，n ∈Z )，则lg N ＝n ＋lg a (0≤lg a <1)，所以1034≤M 31<1035，两边取常用对数得34≤31lg M <35，于是3431≤lg M <3531，即1.09<lg M <1.13，所以M ＝13.故选C.4．若log a 23<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是()(1，＋∞)(1，＋∞)答案D解析因为log a 23<1，所以log a 23<log a a .若a >1，则上式显然成立；若0<a <1，则应满足0＜a ＜23.所以实数a (1，＋∞)．故选D.5.已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是()A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1答案A解析由题图易得a >1，∴0<a －1<1.取特殊点x ＝0⇒－1<y ＝log a b <0⇒－1＝log a 1a<log a b <log a 1＝0，∴0<a －1<b <1.故选A.6．(2023·宜宾模拟)若函数f (x )ln （－x ），a ≤x <0，x 2＋2x ，0≤x ≤3的值域为[－3，＋∞)，则a 的取值范围是()A ．[－e 3，0) B.－e 3C.－e 3，－1e e 3答案C解析当0≤x ≤3时，f (x )＝－x 2＋2x ∈[－3，1]，当a ≤x ＜0时，f (x )＝－ln (－x )≥－ln (－a )，因为f (x )ln （－x ），a ≤x <0，x 2＋2x ，0≤x ≤3的值域为[－3，＋∞)，所以－3≤－ln (－a )≤1，故－1≤ln (－a )≤3，解得－e 3≤a ≤－1e.故选C.7．(2023·铜陵三模)已知a ＝log 75，b ＝log 97，c ＝log 119，则()A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <b <a答案A解析因为log 75－log 97＝lg 5lg 7－lg 7lg 9＝lg 5·lg 9－（lg 7）2lg 7·lg 9，又因为lg 5·lg 9＝(lg 7)2，所以log 75－log 97<0，即a <b ；因为log 97－log 119＝lg 7lg 9－lg 9lg 11＝lg 7·lg 11－（lg 9）2lg 11·lg 9，又因为lg 7·lg 11＝＝(lg 9)2，所以log 97－log 119<0，即b <c ，所以a <b <c .故选A.8．(2024·衡水饶阳中学质检)已知x >0，y >0，a ≥1，若a ＋log 2x ＝log 8y 3＋2－x ，则()A ．ln |1＋x －3y |<0B ．ln |1＋x －3y |≤0C ．ln (1＋3y －x )>0D ．ln (1＋3y －x )>1答案C解析由题意可知，a y ＋log 2x ＝log 2y ，∴log 2x ＝log 2y －a y <log 2(3y )－a y ≤log 2(3y )y ，令f (x )＝log 2x ，则f (x )<f (3y )，易知f (x )在(0，＋∞)上为增函数，由f (x )<f (3y )，得x <3y ，∴3y －x >0，∴1＋3y －x >1，∴ln (1＋3y －x )>ln 1＝0.故选C.二、多项选择题9．(2024·苏州模拟)已知2x ＝3，y ＝2log 32，则()A ．x <32B ．xy ＝2C ．x >yD.1x ＋1y>2解析由2x＝3，可得x＝log23>log28＝12log28＝32，所以A不正确；因为y＝2log32，所以xy＝log23·2log32＝log23·2log23＝2，所以B正确；因为y＝2log32＝log34<log327＝32，所以x>y，所以C正确；1x＋1y＝1log23＋12log32＝log32＋12log32≥2log32·12log32＝2，因为log32≠12log32，所以等号不成立，所以1x＋1y>2，所以D正确．故选BCD.10．关于函数f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的是()A．函数f(x)在区间(1，2)上单调递增B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4D．函数f(x)有且仅有两个零点答案ABD解析函数f(x)＝|ln|2－x||的图象如图所示，由图可得，函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，A正确；函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；根据图象，由x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2不一定等于4，C错误；函数f(x)有且仅有两个零点，D正确．故选ABD.11．(2023·南京一模)已知函数f(x)＝log2(1＋4x)－x，则下列说法正确的是()A．函数f(x)是偶函数B．函数f(x)是奇函数C．函数f(x)在(－∞，0]上为增函数D．函数f(x)的值域为[1，＋∞)解析根据题意，函数f(x)＝log2(1＋4x)－x，定义域为R，有f(－x)＝log＋x＝log2(1＋4x)－x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，A正确，B错误；对于C，f(－1)＝log252>1＝f(0)，f(x)在(－∞，0]上不是增函数，C错误；对于D，f(x)＝log2(1＋4x)－x＝logt＝12x＋2x≥2，当且仅当x＝0时等号成立，则t的最小值为2，故f(x)≥log22＝1，即函数f(x)的值域为[1，＋∞)，D正确．故选AD.三、填空题12．(2022·全国乙卷)若f(x)＝ln |a＋11－x|＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．答案－12ln2解析因为函数f(x)＝ln |a＋11－x|＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由a＋11－x≠0可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，所以a＋1a＝－1，解得a＝－12，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，再由f(0)＝0可得，b＝ln2.即f(x)＝ln |－12＋11－x|＋ln2＝ln|1＋x1－x|，在定义域内满足f(－x)＝－f(x)，符合题意．13．已知函数f(x)＝log2(x2－2ax＋3)．若函数f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是________；若函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是________．答案(－3，3)(－∞，－3]∪[3，＋∞)解析由函数f(x)的定义域为R，则x2－2ax＋3>0恒成立，所以Δ＝4a2－12<0，解得－3<a<3.设A为y＝x2－2ax＋3的值域，则A＝[3－a2，＋∞)，若f(x)的值域为R，则(0，＋∞)⊆A，所以3－a2≤0，解得a≤－3或a≥ 3.14．如图，已知过原点O 的直线与函数y ＝log 8x 的图象交于A ，B 两点，分别过A ，B 作y 轴的平行线与函数y ＝log 2x 的图象交于C ，D 两点，若BC ∥x 轴，则四边形ABDC 的面积为________．答案433log 23解析设点A ，B 的横坐标分别为x 1，x 2，由题设知，x 1＞1，x 2＞1.则点A ，B 的纵坐标分别为log 8x 1，log 8x 2.因为A ，B 在过点O 的直线上，所以log 8x 1x 1＝log 8x 2x 2，点C ，D 的坐标分别为(x 1，log 2x 1)，(x 2，log 2x 2)．由BC 平行于x 轴，知log 2x 1＝log 8x 2，即log 2x 1＝13log 2x 2，∴x 2＝x 31.代入x 2log 8x 1＝x 1log 8x 2得x 31log 8x 1＝3x 1log 8x 1.由x 1＞1知log 8x 1≠0，∴x 31＝3x 1.考虑x 1＞1，解得x 1＝3.于是点A 的坐标为(3，log 83)，即，16log 233，12log 2，12log 233，32log 2∴梯形ABDC 的面积为S ＝12(AC ＋BD )·BC ＝12×23＋log 223＝433log 23.四、解答题15．(2024·镇江模拟)已知函数f (x )＝9x－28×3x ＋1＋243，g (x )＝log 2x 28·log 2x2.(1)设集合A ＝{x ∈R |f (x )≤0}，求集合A ；(2)当x ∈A 时，求g (x )的最大值和最小值．解(1)由f (x )＝9x －28×3x ＋1＋243≤0，得(3x )2－84×3x ＋243≤0，即(3x －3)(3x －81)≤0，则3≤3x ≤81，解得1≤x ≤4，∴A ＝{x |1≤x ≤4}．(2)g (x )＝log 2x 28·log 2x2＝(2log2x－2x－＝(log2x)2－72log2x＋32x－1 16.∵x∈[1，4]，∴log2x∈[0，2]，∴当log2x＝0时，g(x)max＝3；当log2x＝74时，g(x)min＝－116.故g(x)的最大值为3，最小值为－116.16．函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[m，n]⊆D使f(x)在[m，n]上的值域为m2，n2，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝log a(a x＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，求t的取值范围．解∵函数f(x)＝log a(a x＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R，当a>1时，z＝a x＋t2在R上单调递增，y＝log a z在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数；当0＜a＜1时，f(x)仍为R上的增函数，∴f(x)在定义域R上为增函数，∴方程log a(a x＋t2)＝12x有两个不同的根，∴a x ＋t2＝，即a x－＋t2＝0，令u＝，u>0，即u2－u＋t2＝0有两个不同的正数根，可得1－4t2>0，且t2>0，解得t －12，21。

对数与对数函数一、知识梳理：（阅读教材必修1第62页—第76页）1、对数与对数的运算性质（1）、一般地，如果 (a>0,且) 那么数x叫做以a为底的对数，记做x= ,其中a叫做对数的底，叫做对数的真数。

（2）、以10为底的对数叫做常用对数，并把记为lgN, 以e为底的对数称为自然对数，并把记为lnN. （3）、根据对数的定义，可以得到对数与指数和关系：（4）、零和负数没有对数； =1； =0；=N（5）、对数的运算性质：如果，M>0,N>0 ，那么=+==n（n）换底公式：=对数恒等式：=N2、对数函数与对数函数的性质（1）、一般地，我们把函数f(x)=)叫做对函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+。

（2）、对数函数的图象及性质图象的性质：①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线图象分a1 与a<1两种情况。

3、反函数：对数函数f(x)=)与指数函数f(x)=)互为反函数。

原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。

互为反函数的图象在同一坐标系关于直线y=x对称。

【关于反函数注意大纲的要求】二、题型探究探究一：对数的运算例1：（15年安徽文科）=-+-1)21(2lg225lg。

【答案】-1【解析】试题分析：原式＝12122lg5lg2lg22lg5lg-=-=-+=-+-考点：对数运算.例2：【2014辽宁高考】已知132a-=，21211log,log33b c==，则（）A．a b c>>B．a c b>>C．c a b>>D．c b a>>例3：【2015高考浙江】若4log3a=，则22a a-+=．【答案】334.【考点定位】对数的计算探究二：对数函数及其性质例4：【2014江西高考】函数)ln()(2xxxf-=的定义域为（）A.)1,0(B. ]1,0[C. ),1()0,(+∞-∞ D. ),1[]0,(+∞-∞例5：下列关系 中，成立的是（A ）、lo>> (B) >> lo (C) lo> > (D) lo>探究三、应用对数函数的单调性解方程、不等式问题 例7：【15年天津文科】已知定义在R 上的函数||()21()xm f x m 为实数为偶函数,记0.5(log 3),af 2b(log 5),c(2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）(A) b c a(B) b c a (C) b a c (D) b c a【答案】B 【解析】试题分析：由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B. 考点：1.函数奇偶性；2.对数运算.例8：【2014陕西高考】已知,lg ,24a x a==则x =________.三、方法提升：1、 处理对数函数问题时要特别注意函数的定义域问题，尤其在大题中【最后的导数题】，一定要首先考虑函数的定义域，然后在定义域中研究问题，以避免忘记定义域出现错误；2、 在2015年高考小题中，考察主要是针对对数的大小比较、指数与对数的关系，中档难度。

10 对数与对数函数高考要求： 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a>0，a ≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．知识梳理1.对数的概念 (1)对数的定义如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作___ x ＝log a N ___，其中__ a __叫做对数的底数，__ N __叫做真数.真数N 为正数（负数和零无对数）． 说明：①实质上，上述对数表达式，不过是指数函数x a y =的另一种表达形式，例如：8134=与81log 43= 这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式.log N x N a a x =⇔=②“log ”同“+”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面。

③对数的底数和真数从对数的实质看：如果a b＝N (a >0且a ≠1)，那么b 叫做以a 为底N 的对数，即b ＝log a N .它是知道底数和幂求指数的过程.底数a 从定义中已知其大于0且不等于1；N 在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0的. (2)几种常见对数2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a>0且a ≠1) ①Na alog ＝__ N __；②1log a ＝__0__；③N a a log ＝_ N ___；④a a log ＝_1___.(2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝____log a N log a b______(a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广og a b ·log b c ·log c d ＝_ log a d ___.(3)对数的运算法则如果a>0且a ≠1，M>0，N>0，那么① log a (MN)＝___ log a M ＋log a N _____；②log a MN ＝___ log a M －log a N ________；③log a M n＝___ nlog a M __ (n ∈R )；④na M m log ＝n mlog a M .点评：（1）要熟练掌握公式的运用和逆用。

福建省长泰一中高考数学一轮复习《对数函数》教案1．对数：⑤ log m na a nb b m = .例1 计算：（1）)32(log32-+（2）2(lg 2)2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-;基础过关典型例题（3）21lg4932-34lg 8+lg 245. 解：（1）方法一设)32(log32-+=x,(2+3)x=2-3=321+=（2+3）-1,∴x=-1.方法二)32(log 32-+=32log +321+=32log+(2+3)-1=-1.（1）log 2487+log 212-21log 242-1;（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83).解：(1)原式=log 2487+log 212-log 242-log 22=log 2.232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=(.452lg 63lg 5·3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg (·)3lg 22lg 3lg 2lg ==++ 例2 比较下列各组数的大小. （1）log 332与log 556;2）log 1.10.7与log 1.20.7;（3）已知log 21b ＜log 21a ＜log 21c,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）∵log 332＜log 31=0,log 556＞log 51=0,∴log 332＜log 556.(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,0＞2.1log 1.1log 7.00.7>,∴2.1log 11.1log 17.07.0<,即由换底公式可得log 1.10.7＜log 1.20.7.方法二 作出y=log 1.1x 与y=log 1.2x 的图象.如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7＜log 1.20.7. (3)∵y=x 21log 为减函数，且c a b 212121log log log <<,∴b ＞a ＞c,而y=2x 是增函数，∴2b ＞2a ＞2c.变式训练2：已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是 （ ）A.log a bb bba1log log 1<<B.bb b b aa1log 1loglog << C.b b b a ba1log 1loglog << D.b bb a a b log 1log 1log << 解： C例3已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立， 试求a 的取值范围.解：当a ＞1时，对于任意x ∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x ),而f(x)=log a x 在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x ∈［3，+∞），有f(x)≥log a 3.因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立. 只要log a 3≥1=log a a 即可，∴1＜a ≤3. 当0＜a ＜1时，对于x ∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f （x ）=log a x 在［3，+ ∴-f （x ）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x ∈［3，+ |f(x)|=-f(x)≥-log a 3.因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+ 只要-log a 3≥1 ∴log a 3≤-1=log aa1,即a 1≤3,∴31≤a ＜ 1.综上，使|f(x)|≥1对任意x ∈［3，+∞）都成立的a 的取值范围是：(1，3］∪［31，1）. 变式训练3：已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a的取值范围. 解：令g(x)=x 2-ax-a,则g(x)=（x-2a ）2-a-42a ,由以上知g(x ）的图象关于直线x=2a对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log 2g(x)的底数2＞1, 在区间（-∞,1-3］上是减函数，所以g(x)=x 2-ax-a 在区间（-∞,1-3］上也是单调减函数，且g(x)＞0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>-----≥⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-0)31()31(3220)31(2312a a a g a ，即 解得2-23≤a ＜2.故a 的取值范围是{a|2-23≤a ＜2}.例4 已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行与函数y=l og 2x 的图象交于C 、D 两点. （1）证明:点C 、D 和原点O （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标. （1）证明 设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题设知x 1＞1,x 2＞1,则点A 、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2. 因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x = 点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1)、(x 2,log 2x 2), 由于log 2x 1=2log log 818x =3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2,OC 的斜率为k 1=118112log 3log x x x x =,OD 的斜率为,log 3log 2282222x x x x k ==由此可知k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一直线上.（2）解： 由于BC 平行于x 轴，知log 2x 1=log 8x 2，即得log 2x 1=31log 2x 2,x 2=x 31, 代入x 2lo g 8x 1=x 1log 8x 2，得x 31log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1＞1,知log 8x 1≠0,故x 31=3x 1, 又因x 1＞1,解得x 1=3,于是点A 的坐标为（3，log 83). 变式训练4：已知函数f(x)=log 211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x).（1）求f(x)的定义域； （2）求f(x)的值域.解：（1）f(x)有意义时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->-+,③0,②01,①011x p x xx由①、②得x ＞1,由③得x ＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p ＞1,f(x)的定义域是(1,p).（2）f(x)=log 2［(x+1)(p-x)］=log 2［-（x-21-p ）2+4)1(2+p ］ (1＜x ＜p),①当1＜21-p ＜p ，即p ＞3时， 0＜-(x-4)1(4)1()21222+≤++-p p p,∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ≤2log 2(p+1)-2.②当21-p ≤1，即1＜p ≤3时，∵0＜-(x -),1(24)1()2122-<++-p p p ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ＜1+log 2(p-1).综合①②可知：当p＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log2(p+1)-2］;当1＜p≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)).小结归纳1．处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解. 2．对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识，要达到熟练、运用自如的水平，使用时常常要结合对数的特殊值共同分析.3．含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.4．含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.。

3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算励志名言对数学中的困难不要着急，我坚信你正在努力，以取得更好的成绩.爱因斯坦目标导航1. 理解对数的概念,能进行对数式与指数式互化. 利用它们之间的关系研究对数的 性质，从而培养自己的类比、分析、归纳能力.2. 掌握对数的运算性质, 能利用公式法则进行数、式、方程的运算，从而培养自己的运算能力.要点聚焦1．对数的概念，要会说出各个字母的名称及限制条件，底数a 满足0>a 且1≠a ， 真数0>N ．2．要掌握好对数的运算性质以及公式满足的条件)(log log log MN N M a a a =+ )10,0,0(≠>>>a a N M 且 )(log log log NMN M a a a =- )10,0,0(≠>>>a a N M 且 log log a a a M a M =3．要充分掌握好对数的换底公式及它的变形及其灵活应用abb c c a log log log =0(>a 且1≠a ，0>b ，0>c 且)1≠c b mnb a n a m log log =0(>a 且1≠a ，0>b ，)0≠m 对数恒等式：b a ba =log 0(>a 且1≠a ，)0>bb a b a =log 0(>a 且1≠a ，)R b ∈4．掌握自然对数和常用对数的记法．5．对数的大小比较时，常见的方法有中间量法和作差法，在含有绝对值的对数大小 比较时常进行等量代换，要注意各种方法的指导思想和依据．6．在指对数函数互化及求解问题中，要注意其格式、换底公式及转换的依据．3.2.1 对数及其运算（1）经典题例例题1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.⑴62554=，04.052=-； ⑵38log 2=,31000log 10=.分析 应根据a 、x 、N 三个量之间的同一关系及指数与对数的关系，进行正确的转化，进一步强化对数与指数的概念.解析 ⑴因为62554=，所以4625log 5=.因为04.052=-，所以204.0log 5-=.⑵因为38log 2=，所以823=.因为31000log 10=，所以1000103=.例题2 求下列各式中的X ： （1）3log 274x =； （2）3log (lg )1x =。

对数与对数函数1．对数的定义如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质与运算及换底公式 (1)对数的性质(a >0且a ≠1)：①log a 1＝0；②log a a ＝1；③a log a N ＝N . (2)对数的换底公式基本公式：log a b ＝log c blog c a (a ，c 均大于0且不等于1，b >0)．(3)对数的运算法则：如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， ②log a MN ＝log a M －log a N ，③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 3．对数函数的图像与性质a >10<a <1图像定义域 (0，＋∞)值域 R 定点 过点(1,0)单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 函数值正负当x >1时，y >0； 当0<x <1，y <0当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y >04．反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称．1．在运算性质log a M n ＝n log a M 中，易忽视M >0. 2．解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域； (2)对数底数的取值范围． [试一试]1．(2013·苏中三市、连云港、淮安二调)“M >N ”是“log 2M >log 2N ”成立的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)．2．(2014·常州期末)函数f (x )＝log 2(4－x 2)的值域为________．1．对数值的大小比较的基本方法(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法； (3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图像比较． 2．明确对数函数图像的基本点(1)当a >1时，对数函数的图像“上升”； 当0<a <1时，对数函数的图像“下降”．(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图像只在第一、四象限． [练一练]1．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图像经过定点A ，则A 点坐标是________．2．(2013·全国卷Ⅱ改编)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为________．考点一对数式的化简与求值计算下列各题：(1)lg 37＋lg 70－lg 3－(lg 3)2－lg 9＋1；(2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245[类题通法]对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．考点二对数函数的图像及应用[典例] (1)(2014·南通期末)如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎫22x 的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是________．若本例(2)变为：若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为________.[类题通法]应用对数型函数的图像可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解． [针对训练]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， 0<x ≤10，⎪⎪⎪⎪－12x ＋6， x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．考点三对数函数的性质及应用[典例] 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．[类题通法]求复合函数y ＝f (g (x ))的单调区间的步骤(1)确定定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数y ＝f (u )，u ＝g (x )； (3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y ＝f (g (x ))为增函数，若一增一减，则y ＝f (g (x ))为减函数，即“同增异减”． [针对训练]已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．[课堂练通考点]1．(2014·深圳第一次调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝________.2．(2013·广东高考改编)函数y ＝lg (x ＋1)x －1的定义域是________．。

浙江省衢州市高三数学一轮复习 对数与对数函数2教案教材分析：对数函数放在指数函数之后学习，它是指数函数的反函数，与指数函数关系密切。

对数函数的性质是高考的热点，题型一般为选择题、填空题，属于中低档题。

主要考察利用对数函数的性质比较数值大小，求定义域、值域以及对数函数与相应指数函数的关系。

学情分析：对数函数是指数函数的反函数，在研究对数函数之前首先要掌握指数式与对数式的对应关系，在此基础上研究对数的相关性质。

由于对数是高一上学期学的，现在对于这些概念性的题肯定已经模糊，故在教学上以基本的概念、性质为主，为接下来对数函数性质的学习做铺垫。

教学目标：C 层目标1. 通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能；B 层目标2. 运用对数运算性质解决有关问题； A 层目标3. 培养学生分析、综合解决问题的能力. 教学重点：对数运算的性质与对数知识的应用. 教学难点：正确使用对数的运算性质. 教学过程： 一、知识梳理：1．复习回顾对数的定义及对数恒等式log b a N b a N =⇔= （a ＞0，且a ≠1，N ＞0）， 指数的运算性质.;m n m n m n m n a a a a a a +-⋅=÷=();nm nmnma a a ==2．对数运算性质我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道mnm na a a +⋅=，那m n +如何表示，能用对数式运算吗？如：,,mnm nm n a a aM a N a +⋅===设。

于是,m nMN a += 由对数的定义得到 log ,log m n a a M a m M N a n N =⇔==⇔= log m n a MN a m n MN +=⇔+= MN N M a a a log log log =+∴即：同底对数相加，底数不变，真数相乘提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？（让学生探究，讨论）如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： （1）log log log a a a MN M N =+ （2）log log log aa a MM N N=- （3）log log ()n a a M n M n R =∈证明：（2）令,m n M a N a ==则：m n m n Ma a a N-=÷= log a Mm n N∴-=又由,m n M a N a ==log ,log a a m M n N ∴==即：log log log a a aM M N m n N-=-= （3）0,log ,N nna n N M M a ≠==时令则 log ,b na b n M M a ==则N b n na a ∴= Nb ∴=即M n M a n a log log = 当n =0时，显然成立. log log n a a M n M ∴=提问：1. 在上面的式子中，为什么要规定a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0？ 你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗？二、例题讲解例题：1. 判断下列式子是否正确，a ＞0且a ≠1，x ＞0且a ≠1，x ＞0，x ＞y ，则有（1）log log log ()a a a x y x y ⋅=+ （2）log log log ()a a a x y x y -=- （3）log log log aa a xx y y=÷ （4）log log log a a a xy x y =-（5）(log )log n a a x n x = （6）1log log a a x x=- （71log a x n=例2：用log a x ，log a y ，log a z 表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值.（1）log a xy z （2）log a （3）75log (42)z ⨯ （4）分析：利用对数运算性质直接计算： （1）log log log log log log a a a a a a xyxy z x y z z=-=+- （2）2log log log log log log aa a a aa x x ==+ =112log log log 23a a a x y z +- （3）7575222log (42)log 4log 214519⨯=+=+= （4）252lg105==点评：此题关键是要记住对数运算性质的形式，要求学生记住公式. 提出问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？ a ＞0，且a ≠1，c ＞0，且e ≠1，b ＞0log log log c a c bb a=先让学生自己探究讨论，教师巡视，最后投影出证明过程. 设log ,log ,,M N c c M a N b a c b c ====则 且11,()N NMMMac a ab ====N所以c即：log log ,log c a c b N N b M M a ==又因为 所以：log log log c a c bb a=小结：以上这个式子换底公式，换的底C 只要满足C ＞0且C ≠1就行了，除此之外，对C 再也没有什么特定的要求.两个常用的推论：①xx b a b a b a b a log log .log ,1log .log ==②b mnb a na m log log =（a,b>0且不为1）例3、计算（1）3log 12.05- （2）4219432log 2log .3log -三、归纳小结（1）积、商、幂的对数运算法则：如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：①log log log a a a MN M N =+ ②log log log aa a MM N N=- ③log log ()n a a M n Mn R =∈（2）对数换底公式：log log log c a c bb a=两个常用的推论：①xx b a b a b a b a log log .log ,1log .log ==②b mnb a na m log log =（a,b>0且不为1）四、布置作业C 组1、计算（1）1log 4.0 （2）)24(log 572⨯ （3）5100lg （4）9lg 243lg B 组2、已知b c x a a +=log log ，求x 的值。