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考点二十 概率、随机变量及其分布一、选择题1．同时抛掷3枚硬币，那么互为对立事件的是( ) A ．“至少有1枚正面”与“最多有1枚正面” B ．“最多有1枚正面”与“恰有2枚正面” C ．“至多有1枚正面”与“至少有2枚正面” D ．“至少有2枚正面”与“恰有1枚正面” 答案 C解析 两个事件是对立事件必须满足两个条件：①不同时发生，②两个事件的概率之和等于1.故选C.2．随机向边长为10π，10π，12π的三角形中投一点M ，则点M 到三个顶点的距离都不小于π的概率是( )A ．π95B ．1πC ．9596D ．196答案 C解析 分别以三角形的三个顶点为圆心，π为半径作圆，则在三角形内部，且在三圆外部的区域即为与三角形三个顶点距离不小于π的部分，所以所求概率P ＝1－12×π×(π)212×12π×8π＝9596，故选C.3．(2019·四川成都七中5月模拟)据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级．若给有巨大贡献的2人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为( )A ．15B ．25C ．45D ．35 答案 C解析 由题意知，基本事件的总数有5×5＝25种情形，两人被封同一等级的方法种数有男、子、伯、侯、公，共5种情形，故所求事件的概率为1－525＝2025＝45.4. (2019·晋冀鲁豫中原名校第三次联考)1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统．后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”．如图，设∠BEC ＝15°，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角△CDE 中(阴影部分)的概率是()A ．32B ．34C ．23D ．22答案 C解析 在直角△BCE 中，a ＝c cos15°，b ＝c sin15°，则P ＝S △CDES 梯形ABCD ＝12c212(a ＋b )2＝c 2c 2(cos15°＋sin15°)2＝11＋sin30°＝23，故选C. 5．古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为( )A ．23B ．25 C ．12 D ．15答案 C解析 依题意，从5种物质中任取2种，共有C 25＝10种选法，根据相生相克原理，可知恰有5种选法具有相克关系，故恰是相克关系的概率为P ＝12，故选C.6．(2019·广东潮州二模)一试验田某种作物一株生长果个数x 服从正态分布N (90，σ2)，且P (x <70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X ，且X 服从二项分布，则X 的方差为( )A ．3B ．2.1C ．0.3D ．0.21答案 B解析 ∵x ～N (90，σ2)，且P (x <70)＝0.2，所以P (x >110)＝0.2，∴P (90<x <110)＝0.5－0.2＝0.3，∴X ～B (10,0.3)，则X 的方差为10×0.3×(1－0.3)＝2.1，故选B.7．将A ，B ，C ，D 这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”的概率是( )A ．12B ．14C ．16D ．18答案 B解析 A ，B ，C ，D 4名同学排成一排有A 44＝24种排法．当A ，C 之间是B时，有2×2＝4种排法，当A ，C 之间是D 时，有2种排法，所以所求概率为4＋224＝14，故选B.8．(2019·湖北武汉4月调研)为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员投篮练习，若他第1球投进则后一球投进的概率为34，若他前一球投不进则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34，则他第2球投进的概率为( )A ．34B ．58C ．716D ．916答案 B解析 第2球投进的概率为P ＝34×34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×14＝58.故选B.二、填空题9．已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为________． 答案 0.75解析 4次射击中有1次或2次击中目标的有：0371,6011,7610,1417,7140，∴所求概率P ＝1－520＝1520＝0.75.10．在棱长为4的一个正方体内，有一根细线系在上底面的中心处，下方悬挂了一个半径为1的球，且球位于正方体内，已知球面是网状的，小虫可以自由地出入．若一只小虫在某一时刻可以位于正方体内的任意一个位置，则小虫飞入网状球面球体内的概率为________．答案 π48解析 小虫飞入网状球面球体内的概率为43π·1343＝π48.11．(2019·辽宁沈阳东北育才学校八模)已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率为________．答案 15解析 记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ，“甲解答不正确”为事件B ，则P (A )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝2027，P (AB )＝13×23×23＝427， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝15. 12．(2019·山东郓城一中三模)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的．而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以湉《冷庐杂识》写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为________．答案 18解析 设包含7块板的正方形边长为4，其面积为4×4＝16，则雄鸡的鸡尾面积为标号为6的板块，其面积为S ＝2×1＝2，所以在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为P ＝216＝18.三、解答题13．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．(1)若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各1名，求至少有1名倾向于选择实体店的概率；(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X 的分布列和数学期望．解 (1)设“随机抽取2名，其中男、女各1名，至少有1名倾向于选择实体店”为事件A ，则A 表示事件“随机抽取2名，其中男、女各1名，都倾向于选择网购”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 13×C 12C 15×C 15＝1925.所以至少有1名倾向于选择实体店的概率为1925.(2)X 所有可能的取值为0,1,2,3，且P (X ＝k )＝C k 3C 3－k 7C 310，则P (X ＝0)＝724，P (X ＝1)＝2140，P (X ＝2)＝740，P (X ＝3)＝1120.所以X 的分布列为E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.14．(2019·江西赣州3月摸底)现有甲、乙、丙三名学生参加某大学的自主招生考试，考试分两轮，第一轮笔试，第二轮面试，只有第一轮笔试通过才有资格进入第二轮面试，面试通过就可以在高考录取中获得该校的优惠加分，两轮考试相互独立．根据以往多次的模拟测试，甲、乙、丙三名学生能通过笔试的概率分别为0.4,0.8,0.5，能通过面试的概率分别为0.8,0.4,0.64.根据这些数据我们可以预测：(1)甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生通过第一轮笔试的概率； (2)甲、乙、丙三名学生能获得该校优惠加分的人数X 的数学期望．解 (1)记事件A ：甲通过第一轮笔试，事件B ：乙通过第一轮笔试，事件C ：丙通过第一轮笔试，事件D ：至少有两名学生通过第一轮笔试，则P (A )＝0.4，P (B )＝0.8，P (C )＝0.5.P (D )＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＋P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )·P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝0.4×0.8×0.5＋0.4×0.2×0.5＋0.6×0.8×0.5＋0.4×0.8×0.5＝0.6，所以至少有两名学生通过第一轮笔试的概率为0.6.(2)因为甲、乙、丙三名学生中每个人获得优惠加分的概率均为0.32，所以X ～B (3,0.32)，故E (X )＝3×0.32＝0.96.一、选择题1．已知实数m ∈[0,1]，向量a ＝(2，－2)，b ＝(1,1)，则|m a |>|b |的概率是( ) A ．14 B ．13 C ．12 D ．23答案 C解析 m a ＝(2m ，－2m )，若|m a |>|b |，则(2m )2＋(－2m )2>12＋12，得m <－12(舍去)或m >12.所以|m a |>|b |的概率是P ＝1－121－0＝12.故选C.2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312答案 A解析 根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C 230.62×0.4＋0.63＝0.648.故选A.3．(2019·山东临沂二模)某人连续投篮6次，其中4次命中，2次未命中，则他第1次和第5次两次均命中的概率是( )A ．12B ．25 C ．14 D ．15答案 B解析 基本事件总数n ＝C 46C 22＝15，他第1次和第5次两次均命中包含的基本事件个数m ＝C 22C 24C 22＝6，则他第1次和第5次两次均命中的概率是P ＝m n ＝615＝25，故选B.4．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A ．110B ．15C ．25D ．12答案 C解析 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB ，“开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B |A ，由题意得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝25，故选C. 5．(2019·河南郑州第三次质检)关于圆周率，数学发展史上出现过很多有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高二年级n 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x ，y )(0<x <1,0<y <1)；②若卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m ；④根据统计数n ，m 估计π的值．那么可以估计π的值约为( )A ．m nB ．n －m nC ．4(n －m )nD ．4m n答案 C解析 由题意，实数对(x ，y )(0<x <1,0<y <1)，即面积为1.且卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，即满足x 2＋y 2＞1，且⎩⎨⎧0<x <1，0<y <1，所以面积为1－π4，所以x ，y 能与1构成锐角三角形的概率为1－π4，由题，n 张卡片上交m 张，即m n ＝1－π4⇒π＝4(n －m )n ，故选C.6．(2019·湖南师大附中模拟三)若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为( )A ．0.18B ．0.32C ．0.36D ．0.64答案 C解析 设305路车和202路车的进站时间分别为x ，y ，设所有基本事件为W ：⎩⎨⎧0≤x ≤10，0≤y ≤10，“进站时间的间隔不超过2分钟”为事件A ，则A ＝{(x ，y )|0≤x ≤10，0≤y ≤10，|x －y |≤2}，画出不等式表示的区域如图中阴影区域，则S ＝10×10－8×8＝36，则P (A )＝S A S Ω＝36100＝0.36，故选C.7. (2019·北京师大附中模拟三)剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形(即图中阴影部分)，构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．2－33π B ．4－63π C ．33π D ．63π答案 B解析 设圆的半径为r ，如图所示，12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB 的面积为S 弓形＝16πr 2－12·r 2·sin π3＝16πr 2－34r 2.∴所求的概率为P ＝24S 弓形S 圆＝24⎝ ⎛⎭⎪⎫16πr 2－34r 2πr 2＝4－63π，故选B.8．(2019·武汉4月调研)党的十九大报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展，现有4名男生和2名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教，将这6名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排2名毕业生，则每所学校男女毕业生至少安排1名的概率为( )A ．425B ．25 C ．1425 D ．45答案 C解析 由题意，将这6名毕业生全部进行安排，每所学校至少2名毕业生，基本事件的总数为N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫C 26＋C 36C 33A 22×A 22＝50种，每所学校男女毕业生至少安排1名共有：一是其中一个学校安排一女一男，另一个学校有一女三男，有C 12C 14A 22＝16种；二是其中一个学校安排一女两男，另一个学校有一女两男，有C 12C 24＝12种，共有16＋12＝28种，所以概率为P ＝2850＝1425.二、填空题9．(2019·河北石家庄二中二模)甲、乙两人组队参加猜谜语大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲、乙两人各猜一个谜语，已知甲猜对每个谜语的概率为34，乙猜对每个谜语的概率为23，甲、乙在猜谜语这件事上互不影响，则比赛结束时，甲、乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为________．答案 512解析 若甲猜对2个，乙猜对1个，则有34×34×C 12×23×13＝14，若甲猜对1个，乙猜对2个，则有C 12×34×14×23×23＝16，∴比赛结束时，甲、乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为14＋16＝512.10．某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是________．答案 25解析 如下图，利用隔板法．该问题相当于把下面七个圆圈(○○○○○○○)分成三份(每个圆圈代表1元)，其中有6个空档，需要插入2个隔板，共有C 26＝15种方法．甲领取的钱数不少于其他任何人，则有如下情况：如下图，甲领到5元，有1种， ○○○○○|○|○如下图，甲领到4元，有2种， ○○○○|○|○○ ○○○○|○○|○如下图，甲领到3元，有3种， ○○○|○|○○○○○○|○○○|○ ○○○|○○|○○所以所求概率P ＝1＋2＋315＝25.11．从区间[－2,2]中随机选取一个实数a ，则函数f (x )＝4x －a ·2x ＋1＋1有零点的概率是________．答案 14解析 令t ＝2x ，函数有零点就等价于方程t 2－2at ＋1＝0有正根，进而可得⎩⎨⎧Δ≥0，t 1＋t 2>0，t 1t 2>0⇒a ≥1，又a ∈[－2,2]，所以函数有零点的实数a 应满足a ∈[1,2]，故P ＝14.12．某个部件由三个电子元件按如图所示的方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．答案 38解析 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N (1000，502)，所以每个电子元件的使用寿命超过1000 h 的概率均为p ＝12.因为各个元件能否正常工作相互独立，所以P (该部件的使用寿命超过1000小时)＝p ×[1－(1－p )2]＝38.三、解答题13．(2019·辽宁沈阳质量监测三)某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元；方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：(注：所有小球仅颜色有区别)(1) (2)若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？ 解 (1)设事件A 为“顾客获得半价”，则P (A )＝34×24×14＝332， 所以两位顾客至少一人获得半价的概率为 P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫29322＝1831024.(2)若选择方案一，则付款金额为320－50＝270(元)． 若选择方案二，记付款金额为X 元， 则X 可取的值为160,224,256,320. P (X ＝160)＝332，P (X ＝224)＝34×24×34＋34×24×14＋14×14×24＝1332， P (X ＝256)＝34×24×34＋14×24×34＋14×24×14＝1332， P (X ＝320)＝14×24×34＝332，∴E (X )＝160×332＋224×1332＋256×1332＋320×332＝240. 所以方案二更为划算．14．(2019·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X .(1)求X 的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i (i ＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p 0＝0，p 8＝1，p i ＝ap i －1＋bp i ＋cp i ＋1(i ＝1,2，…，7)，其中a ＝P (X ＝－1)，b ＝P (X ＝0)，c ＝P (X ＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.①证明：{p i ＋1－p i }(i ＝0,1,2，…，7)为等比数列； ②求p 4，并根据p 4的值解释这种试验方案的合理性． 解 (1)X 的所有可能取值为－1,0,1.P (X ＝－1)＝(1－α)β，P (X ＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)， P (X ＝1)＝α(1－β)． 所以X 的分布列为(2)因此p i ＝0.4p i －1＋0.5p i ＋0.1p i ＋1， 故0.1(p i ＋1－p i )＝0.4(p i －p i －1)， 即p i ＋1－p i ＝4(p i －p i －1)．又因为p 1－p 0＝p 1≠0，所以{p i ＋1－p i }(i ＝0,1,2，…，7)是公比为4，首项为p 1的等比数列．②由①可得p 8＝p 8－p 7＋p 7－p 6＋…＋p 1－p 0＋p 0 ＝(p 8－p 7)＋(p 7－p 6)＋…＋(p 1－p 0)＝48－13p 1. 由于p 8＝1，故p 1＝348－1，所以p 4＝(p 4－p 3)＋(p 3－p 2)＋(p 2－p 1)＋(p 1－p 0)＝44－13p 1＝1257.p 4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p 4＝1257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．。
考点十九 二项式定理一、选择题1．(2019·湖北四校六月考前模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，常数项为( )A ．－240B ．－60C ．60D ．240答案 D解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的通项为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝C r 6(－2)r x 12－3r，令12－3r ＝0得r ＝4，即T 5＝C 46(－2)4＝240，故选D.2．(2019·湖北黄冈2月联考)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 3(1＋x )7展开式中x 3的系数为( )A ．－7B ．28C ．35D ．42答案 B解析 ∵二项式(1＋x )7的通项为T r ＋1＝C r 7x r ，分别令r ＝3，r ＝6，则x 3的系数为C 37－C 67＝28，故选B.3．(2019·河南百校联盟仿真试卷)(2x 2－x －1)5的展开式中x 2的系数为( ) A ．400 B ．120 C ．80 D ．0答案 D解析 ∵(2x 2－x －1)5＝(x －1)5(2x ＋1)5，二项展开式(x －1)5的通项为C r 5x 5－r(－1)r ，二项展开式(2x ＋1)5的通项为C k 5(2x )5－k ，(x －1)5(2x ＋1)5的通项为(－1)r 25－k C r 5C k 5x 10－(k ＋r )，所以k ＋r ＝8，即展开式中x 2的系数为(－1)522C 55C 35＋(－1)421C 45C 45＋(－1)3C 35C 55＝0.4．(2019·山东聊城二模)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x 2n 展开式中前三项的二项式系数的和等于22，则展开式中的常数项为( )A ．1516B ．34C ．－34D ．－1516答案 A解析 因为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝22，整理得n (n ＋1)＝42，解得n ＝6，所以二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x 26展开式的通项为T k ＋1＝C k 6⎝ ⎛⎭⎪⎫126－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 6－k (－1)k x 2k ＝C k 6⎝ ⎛⎭⎪⎫126－k ·(－1)k x 3k －6，令3k －6＝0得k ＝2，所以展开式中的常数项为C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫126－2(－1)2＝1516.故选A.5.⎝⎛⎭⎪⎫yx －x y 16的展开式的项中，整式的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．7答案 B解析 二项展开式的通项T k ＋1＝C k 16⎝⎛⎭⎪⎫y x 16－k ·⎝⎛⎭⎪⎫－x y k ＝(－1)k C k16x 3k 2-8 y 16-3k 2 (k ∈Z,0≤k ≤16)，要使得它为整式，则3k 2－8与16－3k 2均为非负整数，即8≤3k2≤16，k ＝6,8,10，故有3项，选B.6．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n 的展开式的各项系数和为243，则展开式中x 7的系数为( )A ．5B ．40C ．20D ．10答案 B解析 令x ＝1，可得3n ＝243，n ＝5，故展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(x 3)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝2r C r 5x 15－4r .令15－4r ＝7，得r ＝2，所以T 3＝22C 25x 7＝40x 7，展开式中x 7的系数为40.7．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( )A ．3B ．5C ．6D ．7答案 D解析 因为展开式中只有第11项的二项式系数最大，所以n ＝20.二项式展开式的通项为T r ＋1＝C r 20(3x )20－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r 20320－r2 x 20-43r ，由题得20－43r 为整数，所以r ＝0,3,6,9,12,15,18，所以展开式中x 的指数为整数的项的个数为7.8．(2019·湖北八市3月联考)若(x －2)5－3x 4＝a 0＋a 1(x －3)＋a 2(x －3)2＋a 3(x －3)3＋a 4(x －3)4＋a 5(x －3)5，则a 3＝( )A ．－70B ．28C ．－26D ．40答案 C解析 令t ＝x －3，则(x －2)5－3x 4＝a 0＋a 1(x －3)＋a 2(x －3)2＋a 3(x －3)3＋a 4(x －3)4＋a 5(x －3)5可化为(t ＋1)5－3(t ＋3)4＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋a 4t 4＋a 5t 5，则a 3＝C 25－3C 14×3＝10－36＝－26.故选C.二、填空题9.⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 6的展开式中x 3的系数为________．(用数字作答) 答案 60解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r 26－r C r 6x 6-32r，令6－32r ＝3，得r ＝2，∴x 3的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－122·26－2·C 26＝60.10．(2019·山西晋城三模)(2－3x )2(1－x )7的展开式中，x 3的系数为________． 答案 －455解析 依题意，x 3的系数为4×C 37×(－1)3－12×C 27×(－1)2＋9×C 17×(－1)＝－455.11．(2019·陕西咸阳模拟检测三)若a >0，b >0，二项式(ax ＋b )6的展开式中x 3项的系数为20，则定积分⎠⎛0a 2x d x ＋⎠⎛0b 2x d x 的最小值为________．答案 2解析 二项式(ax ＋b )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6a6－r b r x 6－r，当6－r ＝3，即r＝3时，二次项系数为C 36a 3b 3＝20，∴ab ＝1，∴⎠⎛0a 2x d x ＋⎠⎛0b 2x d x ＝a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b 时取等号．12．已知m 是常数，(mx －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝33，则m ＝________.答案 3解析 令x ＝0得a 0＝－1，令x ＝1得(m －1)5＝a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝33＋(－1)＝32，所以m －1＝2，故m ＝3.三、解答题13．已知(3x 2＋3x 2)n 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为32.(1)求n ；(2)求展开式中二项式系数最大的项．解 (1)令x ＝1，则(3x 2＋3x 2)n 展开式的各项系数和为4n ，又(3x 2＋3x 2)n 展开式的各项二项式系数和为2n，所以4n2n ＝32，即2n ＝32，解得n ＝5.(2)由(1)可知：n ＝5，所以(3x 2＋3x 2)5展开式的中间两项二项式系数最大，即T 3＝C 25(3x 2)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(3x 2)2(3x 2)3＝270x 223. 14．(2019·江苏高考)设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ≥4，n ∈N *.已知a 23＝2a 2a 4.(1)求n 的值；(2)设(1＋3)n ＝a ＋b 3，其中a ，b ∈N *，求a 2－3b 2的值．解 (1)因为(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ，n ≥4，n ∈N *，所以a 2＝C 2n ＝n (n －1)2，a 3＝C 3n ＝n (n －1)(n －2)6， a 4＝C 4n ＝n (n －1)(n －2)(n －3)24.因为a 23＝2a 2a 4，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n －1)(n －2)62 ＝2×n (n －1)2×n (n －1)(n －2)(n －3)24.解得n ＝5. (2)由(1)知，n ＝5.(1＋3)n ＝(1＋3)5＝C 05＋C 153＋C 25(3)2＋C 35(3)3＋C 45(3)4＋C 55(3)5＝a ＋b 3.解法一：因为a ，b ∈N *，所以a ＝C 05＋3C 25＋9C 45＝76， b ＝C 15＋3C 35＋9C 55＝44，从而a 2－3b 2＝762－3×442＝－32.解法二：(1－3)5＝C 05＋C 15(－3)＋C 25(－3)2＋C 35(－3)3＋C 45(－3)4＋C 55(－3)5＝C 05－C 153＋C 25(3)2－C 35(3)3＋C 45(3)4－C 55(3)5.因为a ，b ∈N *，所以(1－3)5＝a －b 3.因此a 2－3b 2＝(a ＋b 3)(a －b 3)＝(1＋3)5×(1－3)5＝(－2)5＝－32.一、选择题1．(2019·安徽黄山第三次质检)已知(1＋x )(1－ax )5的展开式中x 2的系数为－58，则a ＝( )A ．1B ．12 C ．13 D ．14答案 D解析 根据题意知，(1－ax )5的展开式的通项公式为C r 5(－a )r x r，∴展开式中含x 2项的系数为C 25a 2－C 15a ＝－58，即10a 2－5a ＝－58，解得a ＝14，故选D.2．在二项式(1－2x )n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为( )A ．－960B ．960C ．1120D ．1680答案 C解析 因为偶数项的二项式系数之和为2n －1＝128，所以n －1＝7，n ＝8，则展开式共有9项，中间项为第5项，因为(1－2x )8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(－2x )r＝C r 8(－2)r x r ，所以T 5＝C 48(－2)4x 4，其系数为C 48(－2)4＝1120.3．(2019·江西新八校第二次联考)若二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －23x n 的展开式中第m 项为常数项，则m ，n 应满足( )A ．3n ＝4(m ＋1)B ．4n ＝3(m ＋1)C ．3n ＝4(m －1)D ．4n ＝3(m －1)答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －23x n 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n x n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23x r ＝C r n (－2)r xn －4r 3，第m 项为C m －1n (－2)m －1·x n －4(m －1)3 ，由n －4(m －1)3＝0得3n ＝4(m －1)，故选C.4．(2019·广东佛山质检一)(2x －y )(x ＋2y )5展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－40 B ．120 C ．160 D ．200答案 B解析 展开式中含x 3y 3的项为2x ·C 35x 2·(2y )3＋(－y )C 25·x 3·(2y )2＝160x 3y 3－40x 3y 3＝120x 3y 3，则展开式中x 3y 3的系数为120，故选B.5．(2019·湖南长沙一中模拟三)若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －13x 2n 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是( )A ．14B ．－14C ．7D ．－7答案 A解析 ∵2n＝128，∴n ＝7，∴展开式的通项T r ＋1＝C r 7(2x )7－r ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 2r ＝C r 727－r(－1)r x 7-5r3 ，令7－53r ＝－3，解得r ＝6，∴1x 3的系数为C 6727－6·(－1)6＝14，故选A.6．已知(ax 2＋x －1)n (n ∈N *)展开式中x 最高次项系数是x 最低次项系数的－32倍，且不含x 2项，则x 3的系数为( )A ．10B ．30C ．－10D ．－30答案 D解析 依题意，x 最高次项的系数为C n n a n，x 最低次项即为常数项，常数项为C n n (－1)n ，所以C n n a n ＝－32C n n ×(－1)n ，又不含x 2项，所以C 1n a ×(－1)n －1＋C 2n ×(－1)n －2＝0，所以a ＝2，n ＝5，所以x 3的系数为C 15×2×C 14×(－1)3＋C 35×(－1)2＝－30，故选D.7．已知S 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫S x －3x 6的展开式中常数项是( )A ．－20B ．20C ．－203 D ．60答案 A解析 输入i ＝0，S ＝1，i ＝1<4是， S ＝1－21＝－1，i ＝2<4是， S ＝－1－2－1＝3，i ＝3<4是，S ＝3－23＝13，i ＝4<4否． 输出S ＝13.所以二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫S x －3x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－3x 6. ⎝⎛⎭⎪⎫x 3－3x 6展开式的通项为T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 36－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x r ＝(－1)r 32r －6·C r 6x 3－r，当r ＝3时，得T 4＝－C 36＝－20.8．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x －x 2020201912的展开式中，x 5的系数为( )A ．252B ．264C ．512D ．528答案 B解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x －x 2020201912的通项为T r ＋1＝C r 12(2＋x )12－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 20202019r ，必须满足r ＝0，T 1＝(2＋x )12，x 5的系数为22C 1012＝264.二、填空题9．若⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1x n 的展开式中所有项的系数的绝对值之和为64，则n ＝________；该展开式中的常数项是________．答案 3 －27解析 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n 的展开式中所有项的系数之和为64，令x ＝1得(3＋1)n ＝64，解得n ＝3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1x 3的展开式的通项为T r ＋1＝C r 3(3x )3－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r ·33－r C r 3x 3-3r2 .令3－3r2＝0得r ＝1，所以展开式中的常数项为T 2＝(－1)×32×C 13＝－27.10．(2019·河北衡水第三次质检)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1x 2(1＋x 2)5展开式中x 2的系数为________．答案 15解析 因为二项式(1＋x 2)5展开式的通项为T k ＋1＝C k 5x10－2k，分别令10－2k ＝2,3,4，可得k ＝4，72，3，因为k 是正整数，所以k ＝4,3，所以k ＝4时，T 5＝C 45x 2；k ＝3时，T 4＝C 35x 4，因此⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1x2(1＋x 2)5展开式中x 2的系数为C 45＋C 35＝15.11．(2019·江西南昌外国语学校适应性测试)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若15a ＝8b ，则m ＝________.答案 7解析 (x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为a ＝C m 2m ，(x ＋y )2m ＋1展开式中二项式系数的最大值为b ＝C m ＋12m ＋1，因为15a ＝8b ，所以15C m 2m ＝8C m ＋12m ＋1，即15(2m )！m ！·m ！＝82m ＋1！m ！·m ＋1！，解得m ＝7. 12．(2019·广东梅州质检)若(1＋ex )2019＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2019x 2019，则－a 1e ＋a 2e 2－a 3e 3＋a 4e 4－…－a 2019e 2019＝________.答案 －1解析 在(1＋ex )2019＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2019x 2019中，令x ＝0可得a 0＝1，再令x ＝－1e 可得0＝a 0－a 1e ＋a 2e 2－a 3e 3＋a 4e 4－…－a 2019e 2019，所以－a 1e ＋a 2e 2－a 3e 3＋a 4e 4－…－a 2019e 2019＝－1.三、解答题13．在二项式(ax m ＋bx n )12(a >0，b >0，m ，n ≠0)中有2m ＋n ＝0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项．(1)求它是第几项； (2)求ab 的取值范围．解 (1)设T r ＋1＝C r 12(ax m )12－r ·(bx n )r ＝C r 12a12－r ·b r x m (12－r )＋nr为常数项， 则有m (12－r )＋nr ＝0，即m (12－r )－2mr ＝0，∴r ＝4，它是第5项． (2)∵第5项是系数最大的项，∴有⎩⎨⎧C 412a 8b 4≥C 312a 9b 3，①C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5.②由①得12×11×10×94×3×2a 8b 4≥12×11×103×2a 9b 3，∵a >0，b >0，∴94b ≥a ，即a b ≤94. 同理由②得a b ≥85，∴85≤a b ≤94.14．(2019·扬州中学月考)设函数f (x ，n )＝(1＋x )n (n ∈N *)． (1)求f (x,6)的展开式中系数最大的项；(2)若f (i ，n )＝32i(i 为虚数单位)，求C 1n －C 3n ＋C 5n －C 7n ＋C 9n . 解 (1)展开式中系数最大的项是第4项T 4＝C 36x 3＝20x 3.(2)由已知(1＋i)n ＝32i ，两边取模，得(2)n ＝32，所以n ＝10.所以C 1n －C 3n ＋C 5n －C 7n ＋C 9n ＝C 110－C 310＋C 510－C 710＋C 910.而(1＋i)10＝C 010＋C 110i ＋C 210i 2＋…＋C 910i 9＋C 1010i 10＝(C 010－C 210＋C 410－C 610＋C 810－C 1010)＋(C 110－C 310＋C 510－C 710＋C 910)i ＝32i ，所以C 110－C 310＋C 510－C 710＋C 910＝32.。
