24.1圆-24.1.3弧、弦、圆心角的关系课件

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24.1.3弧、弦、圆心角的关系

弧
弦
相等
相等
思考：如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A′O ′ B′，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
A
B
A′
B′Leabharlann ·O· O′由∠AOB＝∠A′O ′ B′︵可得到：︵
AB A' B '.
AB A' B '.
小结
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
圆心角相等
（1）如果AB=CD，那么_A__B___=__C__D_，_____A_O_B_____C_O_D___．
（2）如果 AB = CD ，那么___A_B_=__C_D____，__A_O_B_____C_O__D_．（3）如果∠AOB=∠COD，那么___A_B___=___C_D__，___A_B_=__C_D_．
弧相等
弦相等
思考
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件 “在同圆或等圆中”去掉？为什么？
温馨提示：
由弦相等推出弧相等时，这里弧一般要求都是优弧或劣弧
探究二在同圆中，︵︵（1）、如果 AB A' B '. 那么∠AOB＝∠A′OB ′， AB A' B '. 成立吗 ?
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？
为什么？答：OE﹦OF 证明：∵ OE⊥AB OF ⊥CD
A
E
B
·O
D
∵ AB﹦CD ∴ AE﹦CF
F
∵ OA﹦OC ∴ RT△AOE≌RT △COF C
∴ OE﹦OF

24.弧、弦、圆心角(1)PPT课件(人教版)

AB=CD
B
C
证明：连接AF,∵四边形ABCD为平行四边形 ∴. AD∥BC， ∴∠GAE=∠B，∠EAF=∠AFB. 又∵AB=AF，∴∠B=∠AFB. ∴∠GAE=∠EAF. ∴GE=EF.
( (
本节课应掌握： 1．圆心角概念． 2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．
C
AC=AF
知识点二弧、弦、圆心角之间关系应用
130°
120°
例1：下列说法正确的是（ B ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等 C．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等
解析：A,C,D三项一定注意前提“在同圆和等圆中”.否则,错误.
圆心相等
相等相等
视察折扇收拢和展开的动画过程，哪些弧重合？哪些弦重合？哪些角重合？引出课题。
(1)如左下图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
(2)请同学们按下列要求作图并回答问题：
如右上图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A′OB′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到 ∠A′OB′的位置,你能发现哪些等量关系?为什么？
解：(1)如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF
理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD
∵OE⊥AB，OF⊥CD
AE 1 AB,CF 1 CD, AE CF,
2
2
又∵OA=OC
∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴OE=OF;
例3:如图,在⊙O中,AB、CD是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD,
垂足分别为EF．

圆心角、弧、弦三者的关系

C（A）
O
O1
B
精选课件
D（B） 6
⑵在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？
︵︵
当AB=CD时 ∠AOB=∠COD，AB=CD
（相等）
O1
C（A） D（B）
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
A
O
C
D
B
(在同圆︵中，相︵等的︵弦所对︵的弧相等 )
∴ AB － BD ＝ CD － BD ︵︵
即：AD ＝ BC
∴AD=BC
(在同圆中，相等的弧所对的弦相等 )
精选课件
10
1、顶点在圆心上的角叫做圆心角。 2、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等。
3、在同圆或等圆中，如果两条弧、两条弦、两个圆心角中有一组量相等，那么其余各组量也相等。
. A
o
.
弧、弦、圆心角三者关系： (定理)
在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。
︵︵即：若∠AOB=∠COD，则： AB = CD AB=CD
D C
（A）
⑴在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弦相等吗？
︵︵当 AB = CD时
AB=CD ∠AOB=∠COD (相等)
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在同圆或等圆中，如果两个圆心角、
两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应

人教版九年级数学上册课件：24.1.3弧、弦、圆心角听课

•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。202 1/8/10 2021/8/ 102021 /8/108 /10/202 1 7:08:43 PM
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11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。202 1/8/10 2021/8/ 102021 /8/10A ug-211 0-Aug-2 1
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16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/ 8/1020 21/8/10 August 10, 2021
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17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。202 1/8/10 2021/8/ 102021 /8/102 021/8/1 0
24.1.3 弧、弦、圆心角
知识点二圆心角的概念，弧、弦、圆心角的关系
圆心角的概念
顶点在___圆__心___的角叫做圆心角
弧、弦、圆在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的___弧___
心角之间的相等，所对的___弦___也相等
关系定理
24.1.3 弧、弦、圆心角
(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它弧、弦、圆们所对的__圆_心__角___相等，所对的____弦____相等；心角的关系 (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它
•
24.1.3 弧、弦、圆心角
总结反思
知识点一圆的旋转不变性
圆的旋转不变性：把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合．
对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，它的对称轴是____经_过__圆_心__的__直_线___或__直__径_所__在_的__直__线__，它的对称中心是___圆__心___．

24.1.3_弧、弦、圆心角_课件1

⌒ ⌒ ⌒
D
C
∴∠COB=∠COD=∠DOE=35°
A
O
B
∴∠AOE=1800-∠COB-∠COD-∠DOE
=750
4、如图，AD=BC，那么比较AB与CD的大小.
A C
⌒ ⌒
D
O
B
5、如图所示，CD为⊙O的弦，在CD上取
CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O于点A、
B.
（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；
⌒
AB=CD （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，____________． AB = CD （4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
AB
=
⌒
⌒ AB
CD
AOB COD AB=CD ，那么____________，______________．
则每一份这样的弧叫做1º 的弧. 这样,1º 的圆心角对着1º 的弧, 1º 的弧对着1º 的圆心角.
n°弧
n°
1°
1°弧
n º 的圆心角对着nº 的弧,
n º 的弧对着nº 的圆心角.
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
小结
B
1、三个元素：
圆心角、弦、弧
α
Oα A1 B1
A
2、三个相等关系：
人教版九年级上册
圆心角：我们把顶点在圆心的角
叫做圆心角.
A
O·
∠AOB为圆心角圆心角∠AOB所对
B
的弦为AB，所对的弧
⌒ 为AB。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并
说明理由。
①
②
③

弧、弦、圆心角-2022-2023学年九年级数学上册教学课件(人教版)

证明：∵A⌒D=⌒BC ∴A⌒D+B⌒D=B⌒C+⌒BD 即A⌒B=C⌒D
∴AB=CD
C B
O
D A
课堂小结
弧、弦、圆心角
顶点在圆心的角
知识梳理
弧、弦圆心角
定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
要注意前提条件：在同圆或等圆中
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条推论弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组
180º
A
O
所以圆是轴对称图形
所以圆是中心对称图形
探究新知弧、弦、圆心角之间的关系知识点二
【探究3】把圆绕圆心旋转任意一个角度呢?仍与原来的圆重合吗.
·
α O
圆既是轴对称图形, 又是中心对称图形, 还具有旋转不变性。由圆的轴对称性质得出---垂径定理。由圆的旋转不变性可得出什么结论？
探究新知弧、弦、圆心角之间的关系知识点二
量也相等．
关系是否依然成立？
A
B
A´
B´
·O
·O´
条件：在等圆中∠AOB=∠A´OB´ 结论：AB=A´B´，弧AB=弧A´B´
知识归纳弧、弦、圆心角之间的关系知识点二圆心角、弧、弦之间的关系定理：
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
举例说明：为什么要说“在同圆
或等圆中”？
弦相等
03
关系定理的推论
探究新知
关系定理的推论
知识点三
【探究1】在同圆或等圆中,如果两条弧相等,能得到什么结论？
【探究2】在同圆或等圆中,如果两条弦相等,能得到什么结论？
条件：在同圆或等圆中AB=A´B´

弧、弦、圆心角ppt课件

⌒
⌒
可推出
┏ A′ D′ B′ ①∠AOB=∠A′O′B′
③AB=A′B′ ④ OD=O′D′
推论
• 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
A
●
D
D O
A
●
B
B
O
●
O′
┏ A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
ＯＢＣ
已知AB是⊙O的直径，M.N是AO.BO的中点。 CM⊥AB,DN⊥AB,分别与圆交于C.D点。求证：⌒ ⌒ AC=BD
ＤＡＭ o ＮＣＢ
下面的说法正确吗?为什么?
如图,因为 AOB AOB，根据圆心角、弧、弦、
弦心距的关系定理可知：
O ⌒ ⌒
AB AB
A
A
B
B
例题与练习
• 如图：已知OA.OB是⊙O中的两条半径，且 OA⊥OB,D是弧AB上的一点，AD的延长线交OB延长线于C。已知∠ C=250，求圆心角∠DOB的度数，ＡＤ
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B

C
o
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D
A B
o
C
D

人教版九年级数学上册24.1.3弧、弦、圆心角课件

的顺的位序位置排置列关顺关过，系序系点若，排，O列并并A作D，说说=O若明明BEC理理A，D由由=根A..BB据C于题，点意根E补据，全题交图意形补DC，全于探图点究形，AFB探, ，究 AB ，
C（D2的）位当置A关B 、系，CD并位说于明圆理心由O. 的异侧时，
连C交接D 的AOB位A于，置点关OB系G，，，并OC说，明理OD由..
D
F
C
∵ AD=BC ，
12
O
A
E
B
∴ 1 2 .
G
∴ 1 2，
解： AB交交∥∵AACBBDA于于D. =点点BGGC ，，，
证明：∵∵∵ ∴连OAA接E1DD==OBBAACC2B，，，，，OB ， OC ， OD ，
过点 O∴∴∴ ∵作O11E3OEA224BA，，，B，于点 E ，交交DDCC于于点点FF，, 交 AB 于点 G .
12
3 O4 E
G
B
∴
∴∴ ∴3DDDFFF4OOO，≌≌ CCCFFFOOO
，， 90
，
已知 AB 是 O 的弦， C ， D 是 O 上位于弦 AB
例3 已知 AB 是 O 的弦， C ， D 是 O 上位于弦 AB
顺同顺序侧序排的排两列同列个，侧，点若的若，两AADD且个==点ABBCC，，，，且B根根，A据据，C题题，B意意，D作作四C图图，点，，在D探探圆四究究上点按在AABB逆圆，，时上CC针按DD逆时针
的顺的CD位序位的置排置位列关顺关C置D，系序系D关的若，排，3 系位列并并A，置D，说说4 =并关C若明明B说系C理理A明，，D由由=理根并..B由据说C∴∵题 .明，A意理根1B+补由据为全题 .2+图意O形∴ ∵ ∴补C的O，全直D探图113径+++究形1, 8，224A0++B探.，究CC3OOADDB，41,18800，,

《24.1.3弧、弦、圆心角》课件

A B′
分析
B O
A′
∴
AB与A'B'
重合，AB与A′B′重合，
AB A ' B '．
即
AB=A'B'
9
弧、弦、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 A B′ 的弦也相等． B
O
①∠AOB=∠A′OB′
A′
②
AB=A'B'
③AB=A′B′．
10
弧、弦、圆心角关系定理的推论在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所 A B′ 对的圆心角相等，所对的弧相等． B
AB=CD （1）如果AB=CD，那么_________ ，______________ ∠AOB=∠COD ．
AB=CD ，______________ ∠AOB=∠COD．（2）如果 AB=CD ，那么________
AB=CD ，_______ （3）如果∠AOB=∠COD，那么_________ AB=CD．
均分别相等． B
知一得二．
A B′
A′
O
13
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同
A B′
圆或等圆中”去掉？为什么？
不能去掉． B
反例：如图，虽然∠AOB=∠A′OB′，
但是AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′．
O
A′
14
1．如图，AB，CD是⊙O的两条弦．
对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．
（3）将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．
6

九年级数学人教版(上册)24.1.3 弧、弦、圆心角

易错点对弧、弦、圆心角的关系理解有误致错 9．如图，在⊙O 中，A︵C＝2A︵B，试判断 AC 与 2AB 的大小关系，并说明理由．解：∵在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等， ∴当A︵C＝2A︵B时，AC＝2AB.
以上解答是否正确？若不正确，请改正．
解：不正确，2AB＞AC.
理由：连接 BC， ∵A︵C＝2A︵B， ∴A︵B＝B︵C. ∴AB＝BC. ∵在△ABC 中，AB＋BC＞AC，
∴△OAD 是等边三角形． ∴OA＝AD. 同理可证△OBD 是等边三角形． ∴OB＝BD. ∴AD＝BD＝OA＝OB. ∴四边形 OADB 是菱形．
13．如图，MN 是⊙O 的直径，点 A 是半圆上一个三等分点，点 B 是A︵N的中点，点 B′是点 B 关于 MN 的对称点，⊙O 的半径为 1，则 AB′的长为 2 ．
第二十四章圆
24.1 圆的有关性质 24.1.3 弧、弦、圆心角
知识点 1 圆心角的概念及其计算 1．下图中∠ACB 是圆心角的是( B )
2．如图，已知 AB 为⊙O 的直径，点 D 为半圆周上的一点，且 A︵D所对圆心角的度数是B︵D所对圆心角度数的 2 倍，则圆心角∠BOD ＝ 60° ．
33
E，OD⊥AC，垂足为 F，AC＝BD，则弦 BD 的长为 2 ．
12．如图，在⊙O 中，A︵B＝A︵C，∠ACB＝60°.
(1)求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 证明：∵A︵B＝A︵C， ∴AB＝AC. 又∵∠ACB＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． ∴AB＝BC＝AC. ∴∠AOB＝∠AOC＝∠BOC.
(2)若 D 是A︵B的中点，求证：四边形 OADB 是菱形．证明：∵∠AOB＋∠AOC＋∠BOC＝360°， ∴∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝120°. 连接 OD，交 AB 于点 M. ∵D 是A︵B的中点， ∴A︵D＝B︵D.

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同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
四、练习
如图，AB、CD是⊙O的两条弦． ⌒ ⌒ AOB COD ． AB CD ，_________________ （1）如果AB=CD，那么___________ （2）如果
·
五、例题
例1 如图, 在⊙O中， AB＝ AC ，∠ACB=60°，
求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
⌒
⌒Leabharlann 证明： ⌒ ⌒ AB AC，
B
O
∴ AB=AC．又∠ACB=60°， ∴ AB=BC=CA.
·
C
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
六、练习
⌒ ⌒ ⌒ 如图，AB是⊙O 的直径， BC＝CD DE, ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
E
解：
D C
⌒ ⌒ ⌒ BC CD DE
A
O
·
BOC=COD=DOE=35
B

AOE 180 3 35

75

七、思考
如图，已知AB、CD为 O 的两条弦， ⌒ ⌒ AD BC ，求证AB＝CD.
C B O D A
八、作业
⌒ ⌒ AB=CD ．（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________ AB CD ，_________
，那么____________ AOB COD． AB=CD ， _____________ AB CD
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？ OE OF , E B A 证明： OE AB, OF CD 1 1 AE AB, CF CD O 2 2 D 又 AB＝CD AE＝CF F 又 OA＝OC Rt AOE Rt COF C OE OF .
C
O A E D B
AE BE CD AB AD BD AC BC
在直径是20cm的 O 中， AB 的度数是
60 ，那么弦AB的弦心距是 5 3cm .

O D A B
弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为
C A D O B
O
·
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重合，B与B′重合．
⌒ ⌒ ∴ AB与 A ' B ' 重合，AB与A′B′重合．
AB A ' B ',
AB A ' B '.
三、定理
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦________ 相等； _____
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角
相等，所对的弧_________ 相等 ______ ．
1、教材94－95页
2，3,
10，12
2、完成引领训练49页一级目标
13 cm 4
.
已知P为 O内一点，且OP＝2cm，如果
O 的半径是 3cm ，那么过P点的最短
的弦等于
2 5cm .
B O E C A P D
一、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. A O· B
O
A
D
B
二、
探究
A′ B B′ B′
A′ B
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？