九年级数学圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系知识要点归纳

初三数学全册基本知识点总结数学是被很多人称之拦路虎的一门科目,同学们在掌握数学知识点方面还很欠缺。

下面是小编为大家整理的关于初三数学基本知识点总结，希望对您有所帮助!初三数学知识总结圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距从圆心到弦的.距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

、圆周角定理及其推论1、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：dd=r 点P在⊙O上;d>r 点P在⊙O外。

过三点的圆1、过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)圆内接四边形对角互补。

初三数学轴对称知识点归纳1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。

2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

【注意：同圆或等中】一、知识梳理圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理：在中，相等的f对的相等,所对的相等，所对的弦的相等.推论：在同圆或等圆中，如果①两个圆心角，②两条弧，③两条弦，④两条弦心距中，有一组量相等,那么它们所对应的其余各组屋都分别相等.eg:在同圆或等圆中，弓玄AB=A f B f,弦心距OD、077,则有:'①(ZA0B=ZA,B,C f)③(4B=48)斗②(佔=AF)®(0D=0,D,)二、讲练结合【圆中相关弦的求解】例1、如图所示，点O是ZEPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A.B和C.D,求证：AB=CD.例2、如图，EF为OO的直径，过EF上一点P作弦AB・CD,且ZAPF=ZCPF.求证：PA=PC・VWA例3、如图，OO的弦CE・ED的延长线交于点A,且EC=DE・求证：AC=AE・【巩固练习】1.下列说法中正确的是（）A.相等的圆心角所对的弧相等B.相等的弧所对的圆心角相等C.相等的弦所对的弦心距相等D.弦心距相等，则弦相等2.P为0O内一点，已知OP=lcm,0O的半径r=2cm,则过P点弦中，最短的弦长为（）A・1cmE・JJcmC・cmD・4cm3.在0O中，AE与CD为两平行弦，AE>CD,AB、CD所对圆心角分别为120。

,60。

，若（DO的半径为6,则AB、CD两弦相距（）A・3】B・6C・A/3+1D・3、/J±34.已知：ZAOB=90°,C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F・求证：AE=BF=CD・【圆中相关圆心角的求解】例4、如图所示，在AABC中，ZA=72%OO截AABC的三条边长所得的三条弦等长，求ZEOC.1.1,MBC 内接于OO,ZC=45\AB =4则OO 的半径为（A.2>/2 E.4 C.2^3 D ・5 三. 课堂练例5、如图，在0O 中，弓玄AB=CB>ZABC=120°,OD 丄AB 于D,OE 丄EC 于E ・求证：△ODE 是等边三角形.【巩固练习】1. 如图，在0O 中「AB 的度数是50。

九年级下册数学——圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系讲义【1】圆心角定义在纸上任意画一个圆，任意画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这样的角就是圆心角.如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样，顶点在圆心的角叫做圆心角．【2】圆心角、弧、弦之间的关系定理在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 【定理拓展】○1在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弦也分别相等 ○2在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弧也分别相等 综上所述，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．【经典例题】【例1】下列说法中，正确的是( B )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等 【例2】如图2，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( C )图2A.3∶2B.5∶2C.5∶2D.5∶4 【解析】作OE ⊥CD 于E ，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1.在Rt △ODE 中，OD=2211+=2.在Rt △OEB 中，OB=22OE BE +=14+=5.∴OB ∶OD=5∶2.【例3】半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ∶OF等于( D )A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0 【解析】∵AB 为直径，∴OE=0. ∴OE ∶OF=0.【例4】一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________. 【解析】41×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°. 【答案】90°【例5】弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.【解析】OD ⊥AB ，OD=DB=AD.设OD=x ，则AD=DB=x.在Rt △ODB 中，∵OD=DB ，OD ⊥AB, ∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°， OB=22222=+++x x DB OD x. ∴AB ∶BC=1∶2=2∶2.∴弦与直径的比为2∶2，弦所对的圆心角为90°. 【答案】2∶2 90°【例6】如图6，已知以点O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C 、D.图6(1)求证：AC=DB ；(2)如果AB=6 cm ，CD=4 cm ，求圆环的面积.【分析】求圆环的面积不用求出OA 、OC ，应用等量代换的方法.事实上，OA 、OC 的长也求不出来.（1）证明：作OE ⊥AB 于E ，∴EA=EB ，EC=ED.∴EA －EC=EB －ED ，即AC=BD. （2）解：连结OA 、OC.∵AB=6 cm ，CD=4 cm ，∴AE=21AB=3 cm.CE=21CD=2 cm. ∴S 环=π·OA 2－π·OC 2=π（OA 2－OC 2）=π［（AE 2＋OE 2）－（CE 2＋OE 2）］=π（AE 2－CE 2）=π（32－22）=5π（ cm 2）.【例7】如图7所示，AB 是⊙O 的弦(非直径)，C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.图7【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得出.证法一：如图(1)，分别连结OA 、OB.∵OA=OB ，∴∠A=∠B. 又∵AC=BD ，∴△AOC ≌△B OD.∴OC=OD.(1) (2) 证法二：如图(2)，过点O 作OE ⊥AB 于E ， ∴AE=BE.∵AC=BD ，∴CE=DE.∴OC=OD.【例8】如图8，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6 cm ，EB=2 cm ，∠CEA=30°，求CD 的长.图8【分析】如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF ，构造直角三角形，问题就容易解决.【解】过O 作OF ⊥CD 于F ，连结CO. ∵AE=6 cm ，EB=2 cm ，∴AB=8 cm.∴OA=21AB=4（cm ），OE=AE －AO=2（cm ）. 在Rt △OEF 中， ∵∠CEA=30°，∴OF=21OE=1（cm ）. 在Rt △CFO 中，OF=1 cm ，OC=OA=4(cm)，∴CF=22OF OC =15(cm). 又∵OF ⊥CD ，∴CD=2CF=215（ cm）.【例10】如图10所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？为什么？图10【分析】欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC与弧BE所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC以及弧BE相等.【解】弧A C=弧BE.原因如下：法一：连结AC，∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴AC＝BD.又∵BE＝BD，∴AC＝BE.∴弧AC=弧BE.法二：∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴弧AC=弧BD.∵BE＝BD，∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.【例11】如图11所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE=弧BF.图11【分析】欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF.【证明】∴∠OCD＝∠ODC.∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF.∴弧AE=弧BF.【例12】如图12，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？图12【分析】应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.【解】在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴弧DF=弧AC=弧BE.∴AC=EB=DF.【例15】如图15，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O 的半径.图15【分析】圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.【解】过O作OC⊥AB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.在Rt△OC A和△OCP中，OC2=OA2－AC2，OC2=OP2－CP2，∴OA2－AC2=OP2－CP2.∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC ，∴CP=AB －PA －BC=1，AC=5. ∴OA 2－52=52－1.∴OA=7， 即⊙O 的半径为7 cm.【例16】⊙O 的直径为50 cm ，弦AB ∥CD ，且AB=40 cm ，CD=48 cm ，求弦AB 和CD 之间的距离.【分析】（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.(1)【解】（1）当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图(1),作OG ⊥AB 于G ，交CD 于E ，连结OB 、OD.∵AB ∥CD ，OG ⊥AB ，∴OE ⊥CD.∴EG 即为AB 、CD 之间的距离. ∵OE ⊥CD ，OG ⊥AB ，∴BG=21AB=21×40=20（cm ）， DE=21CD=21×48=24（cm ）.在Rt △DEO 中，OE=22DE OD -=222425-=7（cm ）. 在Rt △BGO 中，OG=22BG OB -=222025-=15（cm ）. ∴EG=OG －OE=15－7=8（cm ）.(2)（2）当AB 、CD 在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm ，OE=7 c m ，∴GE=OG ＋OE=15＋7=22（cm ）.综上所述，弦AB 和CD 间的距离为22 cm 或7 cm.1. 过点O 作OE CD ⊥于E ∴=CE ED∴=∴≅∴=AD DB AOE BOE AO OB ∆∆2. 175mm3.略4. 85. 26. 427. 3.68. 1209. B10. D11. A 12. D13. 内部、外部14. 13cm cm 或15. BC=4cm。

圆周角定理及其推论一、知识点总结1．圆心角：顶点在圆心的角．注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数．2．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等考点一：圆心角，弧，弦的位置关系二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例例1 如图，AB 为⊙O 的弦，点C 、D 为弦AB 上两点，且OC=OD ，延长OC 、OD 分别交⊙O 于点E 、F ，试证明弧AE=弧BF ． 分析：“弧AE=弧BF”←“∠______=∠______” 把证弧相等转化为证________________． 证明：例2 如图，点O 是∠BPD 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D ．求证：AB=CD ． 分析：把证明弦相等转化为证明_弦心距_相等．例3如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，连接AC 、 OC 、BC ．(1)求证：∠ACO=∠BCD ．(2)若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径． 分析： (1)∠ACO=∠______， 而∠______=∠______． (2)在Rt ⊿______中，利用勾股定理列方程求例4 已知，如图，在⊿ABC 中，AD ，BD 分别平分∠BAC 和∠ABC ，延长AD 交⊿ABC 的外接圆于E ，连接BE ．求证：BE=DE ． 分析：把证BE=DE 转化为证∠____=∠____． CDBF E ONMDCB AOEAO DC DA1.如图1，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）2.如图2，BE是半径为6的圆D的14圆周，C点是BE上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）2、已知AB^、CD^是同圆的两段弧，且AB^=2CD^，则弦AB与2CD之间的关系为（）A、AB=2CDB、AB＜2CDC、AB＞2CDD、不能确定4、下列语句中正确的是（）A、相等的圆心角所对的弧相等B、平分弦的直径垂直于弦C、长度相等的两条弧是等弧D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴5、在一扇形统计图中，有一扇形的圆心角为60°，则此扇形占整个圆的（）6、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）7、如图3，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是（）图1图2图38.如图所示，⊙O半径为2，弦，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，则四边形ABCD的面积为9.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．（1）P是CAD^上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．3．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．1.如图1，∠A 是⊙O 的圆周角，且∠A ＝35°,则∠OBC=_____.2.如图2，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB= ．3：如图3，AB 是⊙O 的直径，点C D E ，，都在⊙O 上，若C D E ==∠∠∠，则A B +=∠∠ º． 4：如图4，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，40EOD ∠=，则DCF ∠= ．图2 图14．圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注：有直径时，常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．考点2：圆周角定理1、如图，△ABC 中，∠A=60°，BC 为定长，以BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ．连接DE ，已知DE=EC ．下列结论：①BC=2DE ；②BD+CE=2DE ．其中一定正确的有（ ）2.一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD 为（ ）3.如图AB 是⊙O 的直径， AC^所对的圆心角为60°， BE^所对的圆心角为20°，且∠AFC=∠BFD ，∠AGD=∠BGE ，则∠FDG 的度数为（ ）4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，若∠C=40°，则∠ABD 的度数为（ ）1题图 2题 3题4题5：已知：如图，AD•是⊙O•的直径，∠ABC=•30•°，则∠CAD=_______．CBO A O AB C 图3 B C D E O EF C DG O 图46：已知⊙O 中，30C ∠=，2cm AB =，则⊙O 的半径为cm ．7.已知：如图等边ABC △内接于⊙O ，点P 是劣弧BC ⋂上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD AP =，连结CD ．（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断PDC △是什么三角形？并说明理由． （2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形？为什么？8.如图AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，若AC=8㎝，AB=10㎝，OD ⊥BC 于点D ，求BD 的长9.如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，∠CAB=40°，∠APD=65°． （1）求∠B 的大小；（2）已知圆心0到BD 的距离为3，求AD 的长．_D_B _A_O OAA O C PB 图① AOC PB 图②10.11.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长是12.如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OC⊥BD 于点M，CF⊥AB于点F交BD于点E，BD=8，CM=2．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE=BE．13.5.圆内接多边形：一个多边形的顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆6.圆内接四边形：圆内接四边形的对角互补如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°7.确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图5所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块 C．第③块D．第④块8.三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．这个三角形叫做圆的内接三角形。

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在几何学中，圆是一种特殊的图形，由一组在同一平面上距离相等的点组成。

在圆周上有许多重要的概念，其中包括圆心角、弧、弦和弦心距。

本文将介绍这些概念之间的关系。

圆心角圆心角是指以圆心为顶点的角。

以弧上两点为端点的弧度被称为圆心角。

通常用希腊字母θ表示圆心角的大小。

圆心角可以用度数或弧度来度量。

弧在圆周上，弧是连接两个点的曲线部分。

弧的长度取决于圆的半径和弧所对应的圆心角。

根据弧的长度可以将其分类为小弧和大弧。

当弧的长度等于或小于半径的时候，称为小弧；当弧的长度大于半径时，称为大弧。

弦弦是连接圆周上任意两点的线段。

弦的长度也取决于圆的半径和弦所对应的圆心角。

弦可以划分为直径和非直径弦。

直径是通过圆心的弦，其长度等于圆的直径。

弦心距弦心距是指从圆心到弦的垂直距离。

当弦垂直于半径时，弦心距最短。

弦心距的长度也与圆的半径和弦所对应的圆心角有关。

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦和弦心距之间存在一些重要的关系。

下面将分别介绍它们之间的关系。

1.圆心角和弧的关系：圆心角等于它所对应的弧的角度。

换句话说，如果一个圆心角的度数为θ，则对应的弧度长度为θ。

2.弦和圆心角的关系：当圆心角是一个锐角时，弦的长度小于半径，而当圆心角变为直角或钝角时，弦的长度会增加。

特别地，当圆心角为180度时，对应的弦称为直径，其长度等于圆的直径。

3.弦心距和圆心角的关系：弦心距等于2倍的半径乘以正弦(θ/2)，其中θ是对应的圆心角的度数。

对于同一弧度角，弦心距不受弦的位置影响。

综上所述，圆心角、弧、弦和弦心距之间存在着密切的关系。

它们的长度和大小相互影响，同时还与圆的半径有关。

理解这些关系有助于我们更好地理解和运用圆周几何学。

结论在圆周几何学中，圆心角、弧、弦和弦心距是重要的概念。

它们之间的关系非常密切，彼此之间的角度和长度相互耦合，同时又与圆的半径有关。

通过研究和理解这些关系，我们能够更好地解决与圆相关的问题，以及在实际应用中运用这些概念。

第01讲圆的确定与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系目录考点一：圆的认识考点二：点与圆的位置关系考点三：圆心角、弧、弦的关系考点四：三角形的外接圆与外心考点五：综合应用【基础知识】一．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．二．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．三．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．四．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．【考点剖析】一．圆的认识（共2小题）1．（2020秋•浦东新区月考）下列说法正确的是（）A．半圆是弧B．过圆心的线段是直径C．弦是直径D．长度相等的两条弧是等弧2．（2018秋•嘉定区期末）已知点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，过点B、C的圆记作为圆O2，过点C、A的圆记作为圆O3，则下列说法中正确的是（）A．圆O1可以经过点C B．点C可以在圆O1的内部C．点A可以在圆O2的内部D．点B可以在圆O3的内部二．点与圆的位置关系（共7小题）3．（2022•宝山区模拟）在直角坐标平面内，如果点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，那么a的取值范围是（）A．a＞﹣1B．a＜3C．﹣1＜a＜3D．﹣1≤a≤3．4．（2022•嘉定区校级模拟）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外，点C在圆P内C．点B在圆P内，点C在圆P外D．点B，C均在圆P内5．（2022春•徐汇区校级期中）在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a＝﹣1时，点B在圆A上B．当a＜1时，点B在圆A内C．当a＜﹣1时，点B在圆A外D．当﹣1＜a＜3时，点B在圆A内6．（2022•静安区二模）如图，已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝8，现以点A为圆心作圆，如果B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么⊙A半径r的取值范围是．7．（2022•黄浦区二模）已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，cot B＝，如果顶点C在⊙B内，顶点A 在⊙B外，那么⊙B的半径r的取值范围是．8．（2022•宝山区模拟）已知圆O的半径为5，点A在圆O外，如果线段OA的长为d，那么d的取值范围是．9．（2022春•长宁区校级期中）已知：如图，E是菱形ABCD内一点，∠BEC＝90°，DF⊥CE，垂足为点F，且DF＝CE，联结AE．（1）求证：菱形ABCD是正方形；（2）当F是线段CE的中点时，求证：点F在以AB为半径的⊙A上．三．圆心角、弧、弦的关系（共4小题）10．（2022春•浦东新区校级期中）已知OA，OB，OM均是⊙O的半径，OA⊥OB，＝．如果+＝k，那么k的值是．11．（2022春•徐汇区校级期中）⊙O中，点C在直径AB上，AC＝3BC，过点C作弦EF⊥AB，那么∠EOF ＝度．12．（2022•宝山区模拟）已知△ABC中，∠B＝45°，AB＝，tan C＝2，⊙O过点A、C，交BC边于点D．且，求CD的长．13．（2022春•长宁区校级月考）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为的中点，且BD＝8，AC＝9，sin C＝，求⊙O的半径．四．三角形的外接圆与外心（共8小题）14．（2022•长宁区模拟）如图，⊙O的半径为10cm，△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC内部．如果AB ＝AC，BC＝12cm，那么△ABC的面积为cm2．15．（2022春•虹口区期中）半径为4的圆的内接正三角形的边长为．16．（2022•松江区二模）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝8，OA＝5．（1）求∠BAO的正弦值；（2）求弦BC的长．17．（2022•静安区二模）如图，已知△ABC外接圆的圆心O在高AD上，点E在BC延长线上，EC＝AB．（1）求证：∠B＝2∠AEC；（2）当OA＝2，cos∠BAO＝时，求DE的长．18．（2021•上海模拟）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当OA＝2，AB＝3，求边BC的长．19．（2021•崇明区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝5，BC＝8，sin B＝．（1）求边AC的长；（2）求⊙O的半径长．20．（2020秋•闵行区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB长为4，AB＝AC，连接CO并延长，交边AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点．求：（1）边BC的长；（2）⊙O的半径．21．（2020•黄浦区二模）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．五．综合应用（共7小题）22．（2022•松江区二模）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝．D、E分别是边BC、AB上的点，DE∥AC，且BD＝2CD．如果⊙E经过点A，且与⊙D外切，那么⊙D与直线AC的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不能确定23．（2022春•虹口区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝，BC＝1，则⊙O的半径为（）A．B．C．D．24．（2022•静安区二模）如图，已知半圆直径AB＝2，点C、D三等分半圆弧，那么△CBD的面积为．25．（2022春•虹口区校级期中）如图，AB是圆O的直径，＝＝，AC与OD交于点E．如果AC ＝3，那么DE的长为．26．（2022•长宁区二模）如图，已知在半圆O中，AB是直径，CD是弦，点E、F在直径AB上，且四边形CDFE是直角梯形，∠C＝∠D＝90°，AB＝34，CD＝30．求梯形CDFE的面积．27．（2022春•金山区校级月考）已知CD为⊙O的直径，A、B为⊙O上两点，点C为劣弧AB中点，连接DA、BA、AC，且∠B＝30°．（1）求证：∠D＝30°；（2）F、G分别为线段CD、AC上两点，满足DF＝AG，连接AF、OG，取OG中点H，连接CH，请猜测AF与CH之间的数量关系，并证明．28．（2022•金山区校级模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cot∠BAC＝2，BC＝4，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．（1）求⊙O的半径；（2）点P是劣弧的中点，求tan∠P AB的值．【过关检测】1．（2021·上海浦东新·模拟预测）下列四个命题：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2019·上海嘉定·九年级期末）已知点C 在线段AB 上（点C 与点,A B 不重合），过点,A B 的圆记为圆1O ，过点,B C 的圆记为圆2O ，过点,C A 的圆记为圆3O ，则下列说法中正确的是（ ）A ．圆1O 可以经过点CB ．点C 可以在圆1O 的内部 C ．点A 可以在圆2O 的内部D ．点B 可以在圆3O 内部3．（2018·上海宝山·九年级期末）若⊙A 的半径为5，圆心A 的坐标是（1，2），点P 的坐标是（5，2），那么点P 的位置为（ ）A ．在⊙A 内B ．在⊙A 上C ．在⊙A 外D ．不能确定4．（2019·上海上海·九年级期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，tan B ＝2，以AB 的中点D 为圆心，r 为半径作⊙D ，如果点B 在⊙D 内，点C 在⊙D 外，那么r 可以取（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题 5．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知点C 在线段AB 上，且0＜AC ＜12AB ．如果⊙C 经过点A ，那么点B 与⊙C 的位置关系是_____．6．（2018·上海金山·九年级期末）如图， AB 是⊙O 的弦，∠OAB=30°．OC ⊥OA ，交AB 于点C ，若OC=6，则AB 的长等于__．7．（2020·上海松江·二模）如图，已知AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AO 平分∠BAC ．点M 、N 分别在弦AB 、AC上，满足AM＝CN．（1）求证：AB＝AC；（2）联结OM、ON、MN，求证：MN OM AB OA．8．（2021·上海嘉定·二模）已知四边形ABCD是菱形（如图），以点B为圆心，BD长为半径的圆分别与边AD、CD、BC、AB，相交于点E、F、G、H，联结BE．（1）求证：~BDE ADB△△；（2）联结EG ，如果//EG AB ，求证：2AE DE CB =⋅．9．（2018·上海普陀·一模）已知：在⊙O 中，弦AB=AC ，AD 是⊙O 的直径．求证：BD=CD ．10．（2019·上海长宁·一模）如图，AB 是圆O 的一条弦，点O 在线段AC 上，AC=AB ，OC=3，sinA=35．求：(1)圆O 的半径长；(2)BC 的长．11．（2019·上海市南塘中学中考模拟）如图，在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=，以点A 为圆心，AC 长为半径的圆交AB 于点D ，BA 的延长线交⊙A 于点E ，连接,CE CD ，F 是⊙A 上一点，点F 与点C 位于BE 两侧，且FAB ABC ∠=∠，连接BF ．（1）求证：BCD BEC ∠=∠；（2）若2BC =，1BD =，求CE 的长及sin ABF ∠的值．12．（2021·上海杨浦·二模）已知：如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上一点（不与点A 、B 重合），过点A 作AD //OC 交半圆于点D ，E 是直径AB 上一点，且AE ＝AD ，联结CE 、CD ．（1）求证：CE ＝CD ；（2）如果3AD CD =，延长EC 与弦AD 的延长线交于点F ，联结OD ，求证：四边形OCFD 是菱形．。

第四节圆心角知识点梳理【知识点一】圆心角定理1.圆的中心对称性：圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心2.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角3.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

【知识点二】圆心角与它所对弧的度数关系1.1o 圆心角所对的弧叫做1o 的弧，n o 圆心角所对的弧叫做n o的弧2.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。

【知识点三】圆心角、弧、弦、弦心距的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等典例分析【题型一】利用圆心角的关系说明弧的关系【例1】 如图,在⊙O 中,D,E 分别是半径OA ,OB 上的点,且AD=BE,C 为AB 上的一点,且CD= CE,那么AC =BC 吗?为什么?【变式1】 如图,在⊙O 中,AB 为直径，CO ⊥AB ，D 为CO 的中点，DE ∥AB ，求证：2EC EA【题型二】利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系进行证明【例1】如图,⊙O 的弦 AB, CD 相交于点 P ,P0平分∠APD.求证:AB=CD【变式1】小林根据在一个圆中圆心角、弦、弧三个量之间的关系认为在图中，若∠AOB=2∠COD，则2，AB=2CD，你同意吗？说明理由。

AB CD【题型三】与圆心角有关的实际问题【例1】已知来庄、李庄分别位于直径为300 m的半圆弧上的三等分点的位置,现在要在河(半圆弧所在圆的直径所在的直线)修建水泵站，分别向两个村庄供水，求最少需要多少米水管。

【变式1】某村想在村口建如图形状的门, 已知AB的度数为120°,立柱AC高2m.若要使高3 m，宽2m的集装箱货车能通过该门.问：AB的半径应大于于多少？【题型四】弧、弦之间的关系与垂径定理的综合应用【例1】如图，已知AB为⊙O的弦，从圆上任一点引弦CD⊥AB，作∠OCD的平分线交⊙O于点P，连结PA，PB。

人教版九年级数学第二十四章《圆》单元知识点总结1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.①半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；②优弧：大于半圆的弧叫做优弧；③劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.5、弧、弦、圆心角的关系(1)圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．(2)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．6、圆周角（1）圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（3）.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.7.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．8.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。

九年级数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系［学习目标］1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。

（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。

已知其中两项，可推出其余三项。

注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。

”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。

2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。

（M点是两点重合的一点，代表两层意义）3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM，在Rt△AOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。

无该Rt△AOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。

4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。

5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。

四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。

源于圆的旋转不变性。

即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。

(1)⇔(2)⇔(3)⇔(4)6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。

7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。

二. 重点、难点：垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。

COMBD所示：11AB=⨯12=6(cm) 22由垂径定理知：AE=BE=6cm∴OE=∴△AOE、△BOE为等腰直角三角形∴∠AOB＝90°由△AOE是等腰直角三角形∴OA=62，AE=6 即⊙O的半径为62cm点拨：作出弦（AB）的弦心距（OE），构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键。