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圆公共弦定理证明圆的十八个定理1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等4、切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。
5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。
6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。
如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。
7、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。
8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。
9、割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心11、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦13、定理：把圆分成n（n≥3）：（1）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形14、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆15、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆16、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系解题技巧：1、顶点在圆心的角叫圆心角，顶点在圆周上的角叫圆周角2、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等（知道一组相等，就可以推出其它三组相等）3、圆周角定理：同弧所对圆周角是圆心角的一半4、直径所对圆周角等于90°，90°的圆周角所对的弦是直径例1、下列说法正确的是_________________①相等的圆周角所对的弧相等②相等的弦所对的弧相等③等弦对等弧④等弧对等弦例2、如图，点A、B、C在⊙O上，OC、OB是半径，∠COB=100°，则∠A的度数等于（）A、20°B、40°C、50°D、100°例3、如图所示，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（）A、30°B、45°C、60°D、75°例4、如图，AB是⊙O的直径，BD=BC，∠A=25°，则∠BOD的度数为（）A、12.5°B、30°C、40°D、50°例5、如图所示，AB是⊙的直径，AC=CD=BD，E是⊙O上一点，连接CE、DE，则∠CED的度数为（）A、25°B、30°C、40°D、60°例6、如图，⊙O的直径是AB，∠C=35°，则∠DAB的度数是（）A、60°B、55°C、50°D、45°例7、如图，经过原点的⊙P与x轴，y轴分别交于A（3，0）、B（0,4）两点，点C是OB上一点，且BC=2，则AC=____1、如图，AB和CD都是⊙O的直径，∠AOC=52°，则∠C的度数是（）A、22°B、26°C、38°D、48°2、如图，AB为⊙O直径，∠ABC=25°，则∠D的度数为（）A、70°B、75°C、60°D、65°3、如图，AB是⊙O的直径，若∠BDC=30°，则∠AOC的度数为（）A、80°B、100°C、120°D、无法确定4、如图，⊙O中弦AB等于半径OA，点C在优弧AB上运动，则∠ACB的度数是（）A、30°B、45°C、60°D、无法确定5、如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）A、60°B、45°C、30°D、22.5°6、如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAB的度数是（）A、35°B、55°C、65°D、70°7、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系--知识讲解（基础）【学习目标】1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.【典型例题】类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.如图，在⊙O中，，求∠A的度数.【答案与解析】.【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等．举一反三：【变式】如图所示，中弦AB=CD，求证：AD=BC.【答案】证法1：∵AB=CD，∴(在同圆中，相等的弦所对的弧(同为优弧或同为劣弧)也相等) ∴∴AD=BC(在同圆中，相等的弧所对的弦也相等)证法2：如图，连接OA，OD，OB，OC，∵AB=CD，∴(在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等)∴∴AD=BC(在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等)类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】判断圆周角必须同时满足两条：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.【答案与解析】(a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【总结升华】紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．3.如图所示，AB为⊙O的直径，动点P在⊙O的下半圆，定点Q在⊙O的上半圆，设∠POA=x°，∠PQB=y°，当P点在下半圆移动时，试求y与x之间的函数关系式.【答案与解析】解法1：如图所示，∵AB为⊙O的直径，∠AOP=x°∴∠POB=180°-x°=(180-x)°又解法2：如图所示，连结AQ，则又∵AB是⊙O的直径，∴∠AQB=90°【总结升华】考查圆周角定理的应用.4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？【思路点拨】连结AD，易证∠ADB=90°，即AD是等腰三角形△ABC的高．再由三线合一的性质得出BD与CD的大小关系.【答案与解析】BD=CD.理由是：如图，连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB，∴BD=CD.【总结升华】BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD，证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．举一反三：【变式】如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC等于（）A. 60°B. 100°C. 80°D. 130°【答案】C.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
圆心角弧弦之间的关系公式文章一朋友们，咱们今天来聊聊圆心角弧弦之间的关系公式。
比如说，你想象一下有个圆形的大蛋糕，从圆心切出一个角来，这就是圆心角。
那连接圆心角两端的曲线就是弧啦。
而从圆心角的两个端点连接到圆上的线段，就是弦。
咱就拿个实际的例子说，一个半径为 5 厘米的圆，有个圆心角是60 度，那对应的弧长怎么算呢？这时候关系公式就派上用场啦！通过公式，咱们就能算出这段弧的长度。
其实啊，圆心角、弧和弦，它们就像是圆这个大家庭里的好伙伴，相互之间有着密切的联系，只要掌握了它们的关系公式，就能轻松解决好多和圆有关的问题。
文章二嗨，大家好！今天咱们要弄明白圆心角弧弦之间的关系公式。
比如说，你去公园玩，看到了一个圆形的喷泉，这时候你就可以想想圆心角弧弦啦。
想象一下从喷泉的中心引出一个角度，这就是圆心角。
沿着这个角度的边，那弯曲的部分就是弧。
而连接角度两边端点到圆边的线段，就是弦。
就像一个半径是 3 厘米的圆，有个圆心角是 90 度，那根据关系公式，就能很快算出弧长和弦长。
所以说，只要理解了这个公式，以后再看到圆的东西，心里就有数啦，是不是挺有趣的？文章三亲爱的小伙伴们，咱们一起来讲讲圆心角弧弦之间的关系公式。
打个比方，你正在画一个圆，然后在圆里随便画一个角，从圆的中心出发的这个角就是圆心角。
这个角所对应的圆上那一段弯曲的线，就是弧。
而把这个角的两个端点和圆连接起来的线段，就是弦。
比如说有个圆，半径是 4 厘米，圆心角是 120 度。
这时候用关系公式，就能算出弧长和弦长到底是多少。
学会了这个公式，不管是做数学题，还是在生活中看到圆形的东西，都能更明白其中的道理啦。
文章四朋友们，今天咱们来探讨一下圆心角弧弦之间的关系公式。
你可以想象一下，一个圆形的摩天轮，当你坐在上面，从摩天轮的中心看出去的角度就是圆心角。
你所经过的那一段圆形轨道就是弧。
而连接你所在位置和摩天轮边缘的线段就是弦。
比如有个半径为 6 厘米的圆，圆心角是 45 度，通过关系公式就能算出弧和弦的长度。
弧弦圆心角之间的关系
圆心角、弧、弦之间的关系如下：
1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。
连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord），在同一个圆内最长的弦是直径。
顶点在圆心上的角叫做圆心角。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc），以“⌒”表示。
相关计算公式：（R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，L是扇形对应的弧长）
扇形弧长L=圆心角（弧度制）×R= nπR/180（θ为圆心角）（R 为扇形半径）
扇形面积S=nπ R²/360=LR/2（L为扇形的弧长）
圆锥底面半径 r=nR/360（r为底面半径）（n为圆心角）。
弧弦圆心角关系定律稿子一嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊弧弦圆心角关系定律，这可是个超有趣的数学知识哟！你知道吗，当圆心角变大的时候，对应的弧也会变长，弦也会跟着变长。
就好像圆心角是个大老板，它一发话，弧和弦都得乖乖听话跟着变。
比如说，在一个圆里，如果圆心角是个小小的锐角，那对应的弧就像个胆小的孩子，不敢伸太长；弦呢，也像个害羞的小姑娘，不敢太张扬。
可要是圆心角突然变成个大大的钝角，哇，那对应的弧就像吃了大力菠菜，一下子变得长长的；弦也变得勇敢起来，变得更长更有气势！这三者之间的关系呀，紧密得就像一家人。
圆心角是家长，弧和弦就是听话的孩子。
家长一变，孩子们也跟着变。
而且哦，不管圆的大小怎么变，这个定律都一直存在呢。
是不是很神奇？就好像是一个永恒的魔法，一直守护着圆的世界。
所以呀，下次看到圆里的弧和弦，咱们就可以想想圆心角在背后捣的鬼，是不是很有意思呢？好啦，今天关于弧弦圆心角关系定律就聊到这儿，小伙伴们，拜拜啦！稿子二嘿，朋友们！今天咱们来好好唠唠弧弦圆心角关系定律。
咱们先想象一下，一个圆就像一个大舞台，圆心角就是舞台上的主角，弧和弦就是配角。
当圆心角这个主角开始表演，它的动作幅度大小可就决定了弧和弦这两个配角的表现。
如果圆心角轻轻摆动，那弧就像小步慢跑，不长不短；弦呢，也只是微微伸展。
可要是圆心角来个大幅度的旋转跳跃，那弧就像是飞奔起来，长得不得了；弦更是像被施了魔法，一下子拉长好多。
而且哟，这三者之间的关系是相互影响的。
弧变长了，圆心角肯定也变大了，弦自然也就跟着长啦。
比如说，我们画一个超级大的圆和一个小小的圆，就算它们大小不一样，但是只要圆心角相同，对应的弧和弦的比例关系也是一样的呢。
这就好像不管是在大城市还是小乡村，一家人之间的爱和关系都是不变的。
怎么样，是不是觉得这个弧弦圆心角关系定律还挺好玩的？数学世界里的这些小秘密，就等着我们去发现和探索呢！好啦，今天就聊到这儿，咱们下次见哟！。
弧弦圆心角三个定理
弧弦圆心角三个定理是三个基本的几何定理，用于理解和应用圆中的几何关系，主要包括以下几个方面：
1. 圆心角定理：在同一个圆中，如果两个圆心角相等，则它们所对应的弧相等。
同时，这也意味着同弧所对的圆心角相等。
2. 弧长定理：在同一个圆中，弧长等于圆心角所对应的弧度的大小乘以半径的长度。
3. 弦长定理：在同一个圆中，弦长等于圆心角所对应的弧度的大小乘以弦心距的长度。
弦的大小与弦心距的大小有关，弦心距越小，弦越大。
这些定理在数学上有很多应用，例如勾股定理的应用。
在解题过程中，我们通常需要根据题目中的条件，灵活运用这些定理来推导出正确的结论。
需要注意的是，这三个定理在同圆或等圆中成立，如果两个角或两个弧不是在同一个圆中，那么它们所对应的弧和弦就不一定相等。
此外，当有弦的中点时，我们常连接弦心距，证两弦相等时也常作弦心距。
圆心角弧弦之间的关系
《圆心角弧弦之间的关系》
在数学中，圆心角弧弦之间的关系可被简单地描述为，一个弧（圆线）的所在
的扇形的圆心几个与该弧（圆线）的弦所夹的角的大小相等。
也就是说，在数学上，圆心角弦的关系能够有效地帮助我们确定不同圆线及扇形之间的关系。
圆心角弦之间的关系思想源自半径角关系，具体来讲，该关系给出了一个三点
在一个圆上的关系：半径上垂直与弦（圆线）夹角相等，从而形成了一个三角形。
与半径角关系类似，圆心角弦之间的关系也给出了两个三角形：一个角落点位于圆心，相邻的两条边为该弧（圆线）的两个切点，而另一个三角形的第三个顶点位于圆心外的另一条弧（圆线）上。
同样，圆心角弦之间的关系也能用来说明圆的特点，比如圆的周长、圆的面积
或者半径的变化等现象。
例如，两个具有不同半径的圆，同样的圆心角所夹的弦（圆线）距离也不相同，且距离变化越大，其弦越长。
同时，圆心角弦之间关系还可以用于几何形状的构建。
比如，根据两个圆形构
成的扇形，如果让圆心角相等，同时弦（圆线）之间的距离也相等，则就可以构建一个几何形状，即“几何-半径-弦角”关系构建的图形。
总之，圆心角弦之间的关系是一种综合性的数学关系，可以用来确定不同圆线
及扇形之间的关系，也可以用来说明圆的特点，也可以一定程度上构建相关几何形状，所以该关系十分重要，有着丰富的应用价值。
四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）例1．如图所示，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD．ABE OOPO 1O 2O例2、已知：如图，EF 为⊙O 的直径，过EF 上一点P 作弦AB 、CD ，且∠APF=∠CPF 。
求证：PA=PC 。
例3．如图所示，在ABC ∆中，∠A=︒72，⊙O 截ABC ∆的三条边长所得的三条弦等长，求∠BOC.例4．如图，⊙O 的弦CB 、ED 的延长线交于点A ，且BC=DE ．求证：AC=AE ．·OAB CO ·CAEBD例5．如图所示，已知在⊙O 中，弦AB=CB ，∠ABC=︒120，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥BC 于E ． 求证：ODE ∆是等边三角形．综合练习一、选择题1．下列说法中正确的是（ ）A 、相等的圆心角所对的弧相等B 、相等的弧所对的圆心角相等C 、相等的弦所对的弦心距相等D 、弦心距相等，则弦相等2．如图，在⊙O 中，AB 的度数是︒50，∠OBC=︒40，那么∠OAC 等于（ ） A 、︒15 B 、︒20 C 、︒25 D 、︒303．P 为⊙O 内一点，已知OP=1cm ，⊙O 的半径r=2cm ，则过P 点弦中，最短的弦长为（ ） A 、1cm B 、3cm C 、32cm D 、4cm4．在⊙O 中，AB 与CD 为两平行弦，AB >CD ，AB 、CD 所对圆心角分别为︒︒60,120，若⊙O 的半径为6，则AB 、CD 两弦相距（ ）A 、3B 、6C 、13+D 、333± 5.如图所示，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E 。
