第三章 时域分析

eT
T
c(t )

1
t2
Tt
T 2 (1
t
eT
)
2
§3 二阶系统的时域分析
二阶系统的定义：用二阶微分方程描述的系统 微分方程的标准形式：
d 2 c(t ) dt 2

2 n
dc(t) dt

n 2 c(t )

n 2 r (t )
—阻尼比，n —无阻尼自振频率。
传递函数及方框图
d 1 2
cos d t p )
0
- n (cos d t p
1 2
sin d t )
d (-sin d t p
d 1 2
cos d t p )
0
sin d t p 0, d t p 0, ,2 ,3 .......
R(s) Ts 1
1 TS 1
一．单 位 阶 跃 响 应
r(t) 1(t) R(s) 1 s
C(s) (s)R(s) 1 1 1 T Ts 1 s s Ts 1
t
c(t) 1 e T
说明:
1.可以用时间常数去度量系统输出量的数值
t t

T时, c(t) 1 e1 0.632 3T时, c(t) 0.95 95%
好 等 于c(), 令N m , 得 2
n
N
1 2 t s arctg
1 2



2
将t s

1
n
ln
1 代入,并取整数得
1- 2
N N(
1- 2 2
ln
1

§ 3.2 一阶系统的时间响应
一、一阶系统的数学模型 数学模型
其中时间常数T＝1 / K
二、一阶系统的单位阶跃响应
对于单位阶跃输入
xi
(t )
1(t ),
Xi
(s)
1 s
故系统单位阶跃响应象函数为
1
1 s
s
T
1
A s
s
B 1
1 s
s
1
1
T
T
T
取拉氏反变换得系统单位阶跃响应为
1t
xo (t) 1 e T
，为闭环极点的实部； ，为闭环极点的虚部；
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的象函数为
。
将上式进行拉氏反变换，单位阶跃响应为
(3.33)
x0 (t) 1
e n t
1 2
(n
1 2 n
cosdt sin dt)
1
ent
1 2
(sin
c osd t
cos
sin d t )
1
e nt
1
2
sin(
则
Xo
s
Xo Xi
s s
X
i
s
1 1 Ts 1
1
T
s
1 T
进行拉氏反变换
x0
(t
)
1 T
t
eT
四、响应之间的关系 对线性定常系统，输入之间存在微积分关系，其响
应间也存在相应微积分关系。
作用：在测试系统时，可由一种信号推断几种信号的相应响应。
§ 3.3 二阶系统的时间响应
一、典型二阶系统的数学模型
决定。
在稳态下，输出 x0 (t) 和输入 xi (t) 之间不存在误差，即系统

第3章时域分析法基本要求3－1 时域分析基础3－2 一、二阶系统分析与计算3－3 系统稳定性分析3－4 稳态误差分析计算返回主目录基本要求1熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。

熟练计算性能指标和结构参数，特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。

2了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。

3正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。

4正确理解稳态误差的概念，明确终值定理的应用条件。

5熟练掌握计算稳态误差的方法。

6掌握系统的型次和静态误差系数的概念。

控制系统的数学模型是分析、研究和设计控制系统的基础，经典控制论中三种分析（时域，根轨迹，频域）、研究和设计控制系统的方法，都是建立在这个基础上的。

3－1 时域分析基础一、时域分析法的特点它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。

依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。

这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。

二、典型初始状态，典型外作用1. 典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为零状态。

即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。

2. 典型外作用①单位阶跃函数1(t)tf(t)⎩⎨⎧<≥==0t 00t 1)t (1)t (f 其拉氏变换为：s 1dt e 1)s (F )]t (f [L 0st===⎰∞-其数学表达式为：t②单位斜坡函数0t 0t 0t)t (1t )t (f <≥⎩⎨⎧=.=其拉氏变换为：2sts 1dt e t )s (F )]t (f [L ===⎰∞-f(t)其数学表达式为：③单位脉冲函数000)()(=≠⎩⎨⎧∞==t t t t f d 其数学表达式为：其拉氏变换为：1)()]([==s F t f L ⎰+∞∞-=1)(dt t d 定义：图中1代表了脉冲强度。

h(t)
Mp超 调 量 允 许 误 差 1 0.9
h() h() h() h()
0
td
0.02 或 0.05
0.5
0.1
tr tp ts
t
图 3-2 表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts 的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
四、典型时间响应
系统响应之间有什么关系?
1、 单位脉冲函数 对单位脉冲输入信号（函数）的响应。
系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信
号的响应特性之间，存在着一定的关系. 所以采用试验 信号来评价系统性能是合理的。
怎样建立系统性能评判依据?
一.典型试验信号
选择典型试验信号的原则 (1) 反映实际情况; (2) 数学形式简单; (3) 实验室容易得到. 典型试验信号: 1、（单位）阶跃函数: 2、（单位）斜坡(速度)函数:
例如，切削机床的自动控制的例子。那么如何来规定衡
量系统性能的输入信号呢?
3.2.1 典型输入信号
在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有 评判、比较的依据。 这个依据也许可以通过对这些系统 加上各种输入信号， 比较它们对特定的输入信号的响应 来建立。 许多设计准则就建立在典型试验信号的基础上. 因为
1
1 t e(t ) r (t ) c(t ) Tt T 2 (1 e T )
t 1 c(t ) t 2 Tt T 2 (1 e T ) 2
(t 0)
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
表3-1一阶系统对典型输入信号的响应
+
r(t)
R
+