2022年高考数学理科第一轮复习资料：2-3

第二节函数的单调性与最值❶函数在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质❸对于∀1，2∈D，都有1－2·[f1－f2]>0或>01．函数的单调性❶1增函数、减函数增函数减函数定义一般地，设函数f的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值1，当1＜2时，都有f1＜f2❸，那么就说函数f在区间D 上是增函数当1＜2时，都有f1>f2❹，那么就说函数f在区间D上是减函数图象描述2单调区间的定义如果函数y＝f在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f在这一区间具有严格的单调性，区间D叫做函数y＝f 的单调区间❺2．函数的最值❻前提设函数y＝f的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的∈I，都有f≤M；②存在0∈I，使得f0＝M①对于任意∈I，都有f≥M；②存在0∈I，使得f0＝M结论M为函数y＝f的最大值M为函数y＝f的最小值1，2的特征：1任意性；2有大小，即1＜21>2；3属于同一个单调区间对于∀1，2∈D，都有1－2·[f1－f2]＜0或＜01求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域．2一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．3函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y＝在－∞，0和0，＋∞上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．4“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M[熟记常用结论]1．若函数f，g在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：1f与a·f在a>0时具有相同的单调性，在a＜0时具有相反的单调性．2当f，g都是增减函数时，f＋g是增减函数．3当f，g都是增减函数时，若两者都恒大于零，则f·g也是增减函数；若两者都恒小于零，则f·g是减增函数．2．复合函数的单调性对于复合函数y＝f[g]，若t＝g在区间a，b上是单调函数，且y＝ft在区间ga，gb或gb，ga上是单调函数，若t＝g与y ＝ft的单调性相同，则y＝f[g]为增函数；若t＝g与y＝ft的单调性相反，则y＝f[g]为减函数．简称“同增异减”．3．开区间上的“单峰”函数一定存在最大值最小值．[小题查验基础]一、判断题对的打“√”，错的打“×”1函数y＝的单调递减区间是－∞，0∪0，＋∞．2函数y＝f在[1，＋∞上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞．3如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．4所有的单调函数都有最值．答案：1×2×3×4×二、选填题1．下列函数中，在区间0,1上是增函数的是A．y＝|| B．y＝3－C．y＝D．y＝－2＋4解析：选A y＝3－在R上递减，y＝在0，＋∞上递减，y ＝－2＋4在0，＋∞上递减，故选A2．函数f＝－＋在区间上的最大值是B．－C．－2 D．2解析：选A ∵函数y＝－与y＝在∈上都是减函数，∴函数f＝－＋在上是减函数，故f的最大值为f－2＝2－＝3．设定义在[－1,7]上的函数y＝f的图象如图所示，则函数y＝f的增区间为________．解析：由图可知函数的增区间为[－1,1]和[5,7]．答案：[－1,1]和[5,7]4．若函数y＝2＋1＋b在R上是减函数，则的取值范围是________．解析：因为函数y＝2＋1＋b在R上是减函数，所以2＋1＜0，即＜－答案：5．若函数f满足“对任意的1，2∈R，当1＜2时，都有f1>f2”，则满足f2－1＜f1的实数的取值范围为________．解析：由题意知，函数f在定义域内为减函数，∵f2－1＜f1，∴2－1>1，即>1，∴的取值范围为1，＋∞．答案：1，＋∞[考法全析]考法一确定不含参函数的单调性区间[例1] 1函数f＝|2－3＋2|的单调递增区间是和[2，＋∞C．－∞，1]和和[2，＋∞2函数y＝的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．[解析] 1y＝|2－3＋2|＝如图所示，函数的单调递增区间是和[2，＋∞．2令u＝2＋－6，则y＝可以看作是由y＝与u＝2＋－6复合而成的函数．令u＝2＋－6≥0，得≤－3或≥2易知u＝2＋－6在－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞上是增函数，而y＝在[0，＋∞上是增函数，∴y＝的单调递减区间为－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞．[答案] 1B 2[2，＋∞－∞，－3]考法二确定含参函数的单调性区间[例2] 试讨论函数f＝a≠0在－1,1上的单调性．[解] 法一：定义法设－1＜1＜2＜1，f＝a＝a，则f1－f2＝a－a＝由于－1＜1＜2＜1，所以2－1>0，1－1＜0，2－1＜0，故当a>0时，f1－f2>0，即f1>f2，函数f在－1,1上单调递减；当a＜0时，f1－f2＜0，即f1＜f2，函数f在－1,1上单调递增．法二：导数法f′＝＝＝－当a>0时，f′＜0，函数f在－1,1上单调递减；当a＜0时，f′>0，函数f在－1,1上单调递增．[规律探求][过关训练]1．函数f＝的单调递增区间为解析：选D 令t＝，由－2≥0，得0≤≤1，故函数的定义域为[0,1]．因为gt＝t是减函数，所以f的单调递增区间即t ＝的单调递减区间．利用二次函数的性质，得t＝的单调递减区间为，即原函数的单调递增区间为故选D2．判断函数f＝＋a>0在0，＋∞上的单调性．解：设1，2是任意两个正数，且1＜2，则f1－f2＝－＝12－a．当0＜1＜2≤时，0＜12＜a，1－2＜0，所以f1－f2>0，即f1>f2，所以函数f在0，]上是减函数；当≤1＜2时，12>a，1－2＜0，所以f1－f2＜0，即f1＜f2，所以函数f在[，＋∞上是增函数．综上可知，函数f＝＋a>0在0，]上是减函数，在[，＋∞上是增函数．[考法全析]考法一比较函数值的大小[例1] 已知函数f的图象关于直线＝1对称，当2>1>1时，[f2－f1]2－1＜0恒成立，设a＝f，b＝f2，c＝f e，则a，b，c的大小关系为A．c>a>b B．c>b>aC．a>c>b D．b>a>c[解析] 由f的图象关于直线＝1对称，可得f＝f由2>1>1时，[f2－f1]·2－1＜0恒成立，知f在1，＋∞上单调递减．∵1＜2＜＜e，∴f2>f>f e，∴b>a>c[答案] D考法二解函数不等式[例2] 1已知函数f为R上的减函数，则满足f＜f1的实数的取值范围是A．－1,1 B．0,1C．－1,0∪0,1 D．－∞，－1∪1，＋∞2定义在[－2,2]上的函数f满足1－2[f1－f2]>0，1≠2，且fa2－a>f2a－2，则实数a的取值范围为________．[解析] 1由f为R上的减函数且f＜f1，得即所以－1＜＜0或0＜＜2因为函数f满足1－2[f1－f2]>0，1≠2，所以函数在[－2,2]上单调递增，所以－2≤2a－2＜a2－a≤2，解得0≤a＜1[答案] 1C 2[0,1考法三利用函数的单调性求参数[例3] 若f＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为________．[解析] 由题意知，解得所以a∈[答案] [规律探求]看个性考法一是比较函数值的大小．解决此类问题时，应根据函数的性质如对称性等将自变量转化到函数的同一个单调区间上，利用单调性比较大小．考法二是求解与函数单调性有关的抽象函数不等式．求解此类问题，主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用．考法三是在考法一和考法二基础上的更深一步的拓展，根据函数单调性把问题转化为单调区间关系的比较找共性对于求解此类有关函数单调性应用的题目，其通用的方法是利用转化思想解题，其思维流程是：[过关训练]1．已知函数f＝log2＋，若1∈1,2，2∈2，＋∞，则A．f1＜0，f2＜0 B．f1＜0，f2>0C．f1>0，f2＜0 D．f1>0，f2>0解析：选B 因为函数f＝log2＋在1，＋∞上为增函数，且f2＝0，所以当1∈1,2时，f1＜f2＝0，当2∈2，＋∞时，f2>f2＝0，即f1＜0，f2>2．设函数f＝若函数f在区间a，a＋1上单调递增，则实数a的取值范围是A．－∞，1] B．[1,4]C．[4，＋∞D．－∞，1]∪[4，＋∞解析：选D 作出函数f的图象如图所示，由图象可知，若f在a，a＋1上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4，故选D3．已知定义在R上的奇函数y＝f在0，＋∞上单调递增，且f＝0，则不等式f log>0的解集为________．解析：∵y＝f是定义在R上的奇函数，且y＝f在0，＋∞上单调递增．∴y＝f在－∞，0上也是增函数，又f＝0，知f＝－f＝0故原不等式f log>0可化为f log>f或f＜f log＜f，∴log>或－＜log＜0，解得0＜＜或1＜＜3所以原不等式的解集为答案：[典例精析]1已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为2函数f＝的最大值为________．[解析] 1由得函数的定义域是{|－3≤≤1}，y2＝4＋2·＝4＋2，当＝－1时，y取得最大值M＝2；当＝－3或1时，y取得最小值m＝2，所以＝2当≥1时，函数f＝为减函数，所以f在＝1处取得最大值，为f1＝1；当＜1时，易知函数f＝－2＋2在＝0处取得最大值，为f0＝2故函数f的最大值为2[答案] 1C 22[解题技法]求函数最值值域的常用方法[过关训练]1．函数f＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a ＋b＝________解析：易知f在[a，b]上为减函数，所以即所以所以a＋b＝6答案：62．函数y＝－≥0的最大值为________．解析：令t＝，则t≥0，所以y＝t－t2＝－2＋，当t＝，即＝时，y ma＝答案：3．设0＜＜，则函数y＝43－2的最大值为________．解析：y＝43－2＝2[23－2]≤22＝，当且仅当2＝3－2，即＝时，等号成立．∵∈，∴函数y＝43－2的最大值为答案：一、题点全面练1．下列函数中，在区间－1,1上为减函数的是A．y＝B．y＝cosC．y＝ln＋1 D．y＝2－解析：选D 函数y＝2－＝在－1,1上为减函数．2．2022·全国卷Ⅱ函数f＝ln2－2－8的单调递增区间是A．－∞，－2 B．－∞，1C．1，＋∞D．4，＋∞解析：选D 由2－2－8＞0，得＞4或＜－2因此，函数f ＝ln2－2－8的定义域是－∞，－2∪4，＋∞．注意到函数y＝2－2－8在4，＋∞上单调递增，由复合函数的单调性知，f＝ln2－2－8的单调递增区间是4，＋∞．3．若函数f＝2－2＋m在[3，＋∞上的最小值为1，则实数m的值为A．－3 B．－2C．－1 D．1解析：选B 因为f＝－12＋m－1在[3，＋∞上为增函数，且f在[3，＋∞上的最小值为1，所以f3＝1，即22＋m－1＝1，m＝－4．函数f＝的单调递增区间是A．－∞，1 B．1，＋∞C．－∞，1，1，＋∞D．－∞，－1，1，＋∞解析：选C 因为f＝＝－1＋，所以f的图象是由y＝－的图象沿轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移一个单位得到，而y＝－的单调递增区间为－∞，0，0，＋∞；所以f的单调递增区间是－∞，1，1，＋∞．故选C5．2022·赣州模拟设函数f＝g＝2f－1，则函数g的单调递减区间是A．－∞，0] B．[0,1C．[1，＋∞D．[－1,0]解析：选B 由题知，g＝可得函数g的单调递减区间为[0,1．6．若函数f＝2＋a||＋2，∈R在区间[3，＋∞和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是B．[－6，－4]解析：选B 由于f为R上的偶函数，因此只需考虑函数f 在0，＋∞上的单调性即可．由题意知函数f在[3，＋∞上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－∈[2,3]，即a∈[－6，－4]．7．函数y＝，∈m，n]的最小值为0，则m的取值范围是A．1,2 B．－1,2C．[1,2 D．[－1,2解析：选D 函数y＝＝＝－1，且在∈－1，＋∞时单调递减，在＝2时，y＝0；根据题意∈m，n]时y的最小值为0，所以－1≤m＜28．已知函数f＝2－2a＋a在区间－∞，1上有最小值，则函数g＝在区间1，＋∞上一定A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数解析：选D 由题意知a＜1，又函数g＝＋－2a在[，＋∞上为增函数，故选D9．2022·湖南四校联考若函数f＝2＋a|－2|在0，＋∞上单调递增，则实数a的取值范围是________．解析：∵f＝2＋a|－2|，∴f＝又∵f在0，＋∞上单调递增，∴∴－4≤a≤0，∴实数a的取值范围是[－4,0]．答案：[－4,0]10．已知函数f的值域为，则函数g＝f＋的值域为________．解析：∵≤f≤，∴≤≤令t＝，则f＝1－t2，令y＝g，则y＝1－t2＋t，即y＝－t－12＋1∴当t＝时，y有最小值；当t＝时，y有最大值∴g的值域为答案：二、专项培优练一易错专练——不丢怨枉分－2＋2＋3的单调递增区间是1．函数y＝log13A．－1,1] B．－∞，1C．[1,3 D．1，＋∞解析：选C 令t＝－2＋2＋3，由－2＋2＋3>0，得－1＜＜3函数t＝－2＋2＋3的对称轴方程为＝1，则函数t＝－2＋2＋3在[1,3上为减函数，t为定义域内的减函数，而函数y＝log13－2＋2＋3的单调递增区间是[1,3．所以函数y＝log132．2022·西安模拟已知函数y＝log2a－1在1,2上单调递增，则实数a的取值范围是A．0,1] B．[1,2]C．[1，＋∞D．[2，＋∞解析：选C 要使y＝log2a－1在1,2上单调递增，则a>0且a－1≥0，∴a≥3．已知函数f＝是R上的单调函数，则实数a的取值范围是解析：选B 由对数函数的定义可得a>0，且a≠1又函数f在R上单调，则二次函数y＝a2－－的图象开口向上，所以函数f在R上单调递减，故有即所以a∈4．已知函数f是定义在0，＋∞上的增函数，若fa2－a>fa ＋3，则实数a的取值范围为________．解析：由已知可得解得－3＜a＜－1或a>3，所以实数a的取值范围为－3，－1∪3，＋∞．答案：－3，－1∪3，＋∞二技法专练——活用快得分5．[构造法]已知减函数f的定义域是实数集R，m，n都是实数．如果不等式fm－fn>f－m－f－n成立，那么下列不等式成立的是A．m－n＜0 B．m－n>0C．m＋n＜0 D．m＋n>0解析：选A 设F＝f－f－，由于f是R上的减函数，∴f－是R上的增函数，－f－是R上的减函数，∴F是R上的减函数，∴当m＜n时，有Fm>Fn，即fm－f－m>fn－f－n成立．因此，当fm－fn>f－m－f－n成立时，不等式m－n＜0一定成立，故选A6．[三角换元法]函数y＝＋的最小值为________．解析：原函数可化为：y＝＋由2－－52≥0⇒|－5|≤，令－5＝cosα，那么|cosα|≤⇒|cosα|≤1⇒0≤α≤π，于是y＝cosα＋5＋sinα＝2sin＋5因为α＋∈，所以sin∈，所以函数的最小值为5－答案：5－7．[数形结合法]设函数f＝的图象过点1,1，函数g是二次函数，若函数fg的值域是[0，＋∞，则函数g的值域是________．解析：因为函数f＝的图象过点1,1，所以m＋1＝1，解得m ＝0，所以f＝画出函数y＝f的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞上时，横坐标在－∞，－1]∪[0，＋∞上变化．而f的值域为[－1，＋∞，fg的值域为[0，＋∞，因为g是二次函数，所以g的值域是[0，＋∞．答案：[0，＋∞三素养专练——学会更学通8．[数学抽象]已知函数f是R上的增函数，A0，－3，B3,1是其图象上的两点，那么不等式－3＜f＋1＜1的解集的补集是全集为RA．－1,2B．1,4C．－∞，－1∪[4，＋∞D．－∞，－1]∪[2，＋∞解析：选D 由函数f是R上的增函数，A0，－3，B3,1是其图象上的两点，知不等式－3＜f＋1＜1即为f0＜f＋1＜f3，所以0＜＋1＜3，所以－1＜＜2，故不等式－3＜f＋1＜1的解集的补集是－∞，－1]∪[2，＋∞．9．[数学运算]已知函数f＝－a>0，>0．1求证：f在0，＋∞上是增函数；2若f在上的值域是，求a的值．解：1证明：设2>1>0，则2－1>0，12>0，因为f2－f1＝－＝－＝>0，所以f2>f1，所以f在0，＋∞上是增函数．2因为f在上的值域是，又由1得f在上是单调增函数，所以f＝，f2＝2，解得a＝10．[数学运算]已知函数f＝lg，其中a是大于0的常数．1求函数f的定义域；2当a∈1,4时，求函数f在[2，＋∞上的最小值；3若对任意∈[2，＋∞恒有f>0，试确定a的取值范围．解：1由＋－2>0，得>0，当a>1时，2－2＋a>0恒成立，定义域为0，＋∞；当a＝1时，定义域为{|>0且≠1}；当0＜a＜1时，定义域为{|0＜＜1－或>1＋}．2设g＝＋－2，当a∈1,4，∈[2，＋∞时，g′＝1－＝>0恒成立，所以g＝＋－2在[2，＋∞上是增函数．所以f＝lg在[2，＋∞上是增函数．所以f＝lg在[2，＋∞上的最小值为f2＝lg3对任意∈[2，＋∞恒有f>0，即＋－2>1对任意∈[2，＋∞恒成立．所以a>3－2，令h＝3－2，而h＝3－2＝－2＋在[2，＋∞上是减函数，所以h ma＝h2＝2，所以a>2即a的取值范围为2，＋∞．。

第二章专练2—基本不等式（1）一、单选题1．已知实数3x >，则943x x +-的最小值是( ) A ．24B ．12C ．6D ．32．若正数x ，y 满足220x y xy +-=，则2x y +的最小值为( ) A ．9B ．8C ．5D ．43．当1x >时，2()4xf x x =+的最大值为( ) A ．14B ．12C ．1D ．24．已知102a <<，则14212a a+-的最小值是( ) A ．6B ．8C ．4D ．95．已知0a >，0b >且31a b +=，则28a b +的最小值为( )A ．B ．C ．6D ．86．设x ，y 均为正实数，且33122x y+=++，则x y +的最小值为( ) A ．8B ．16C ．9D ．67．设实数x 满足0x >，函数4231y x x =+++的最小值为( )A ．1B ．2C ．1D ．68．若正数x ，y 满足21y x+=，则2x y+的最小值为( ) A ．2 B ．4C ．6D ．8二、多选题9．已知0a >，0b >，1a b +=，则下列等式不可能成立的是( ) A ．221a b +=B ．1ab =C ．212a b +=D ．2212a b -=10．已知0a >，0b >，231a b +=，下列结论正确的是( ) A ．22a b +的最小值为112B ．2424log log a b +的最大值为1-C ．11ab+的最小值为 D ．48a b +的最小值为11．下列函数中，最小值是4的函数有( ) A ．224()f x x x=+ B ．4()cos (0)cos 2f x x x x π=+< C ．2()f x =D ．4()33x x f x =+12．已知实数a ，b 满足20(1)a ab b a -+=>，下列结论中正确的是( ) A ．4b B ．28a b + C ．111a b+>D ．274ab三、填空题13．已知0a >，0b >且25a b +=，则21ab a b++的最小值为 ． 14．已知正实数x ，y 满足1x y +=，则2y x xy+的最小值为 ． 15．若实数a ，b 满足22221a b +=，则22141a b ++的最小值为 ． 16．若正实数x ，y 满足114x xy y ++=，则11x x y++的最小值为 ． 四、解答题17．（Ⅰ）若a ，0b >，且3ab a b =++，求ab 的最小值； （Ⅱ）若a ，0b >，且ab a b =+，求4a b +的最小值． 18．设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集为(1,3)-，求a ，b 的值； （2）若当f （1）2=，且0a >，1b >-，求41a b ab a+++的最小值． 第二章专练2—基本不等式（1）答案1．解：3x >，30x ∴->，9944(3)121224(2433x x x x +=-+++=--， 当且仅当94123x x -=-时，取得最小值24． 故选：A ．2．解：由220x y xy +-=，得22x y xy +=， 所以1112y x+=， 所以112(2)1(2)()2224222x y x x y x y y x y x y +⋅=+⋅+=+++，当且仅当22x y y x=时取等号， 故选：D ． 3．解：因为1x >， 故2111()44442x f x x x x x===++⋅， 当且仅当4x x=，即2x =时取等号， 故2()4x f x x =+的最大值为14． 故选：A ．4．解：因为102a <<，所以20a >，120a ->，14141281()[2(12)]145292122122122a a a a a a a a a a --+=++-=++++---， 当且仅当128212a aa a-=-，即16a =时取等号， 所以14212a a+-的最小值是9． 故选：D ．5．解：因为0a >，0b >且31a b +=， 则28228a b a b +⋅=，当且仅当132a b ==即12a =，16b =时取等号， 故选：A ．6．解：因为x ，y 均为正实数且33122x y+=++， 则3322[(2)(2)]()22x y x y x y +++=++++++， 223(2)3(22)1222y x x y++=+++=++， 所以8x y +，当4x y ==时取等号． 故选：A ．7．解：0x >，10x ∴+>，4442323(1)33(1)123(1)11111y x x x x x x x ∴=++=++-+=++-+=+++，当且仅当43(1)1x x +=+，即23103x =->时等号成立， ∴函数4231y x x =+++的最小值为431-． 故选：A ．8．解：0x >，0y >，∴2224()()224248x y x xy y x y xy+=++=++++=， 当且仅当421xy xy y x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，∴2()8min x y+=．故选：D ．9．解：选项A ：因为1a b +=，所以222()21a b a b ab +=++=， 则22121a b ab +=-<，(0,0)a b >>，故A 不成立； 选项B ：因为2a b ab +，所以21()24a b ab +=，当且仅当a b =时取等号， 此时ab 的最大值为14，故B不成立；选项C ：因为22213311()2442a b a a a +=-+=-+>，当且仅当12a =时取等号，故C 不成立； 选项D ：若221()()2a b a b a b a b -=+-=-=，又1a b +=， 所以解得31,44a b ==，显然满足条件，故D 成立， 故选：ABC ．10．解：0a >，0b >，231a b +=，1203ab -∴=>， 故102a <<，故22222121341()39a a a ab a --++=+=， 当213a =时，上式取得最小值113，A 错误；因为12326a b ab =+，当且仅当1232a b ==，即14a =，16b =时取等号， 解得，124ab， 242424log log log 1a b ab +=-，即最大值1-，B 正确；112323325526a b a b b aa b a b a b+++=+=+++，当且仅当32b a a b =时取等号，此时取得最小值5+C 错误；48248a b a b +⋅=当且仅当23a b =且231a b +=，即14a =，16b =时取等号，此时取得最小值D 正确． 故选：BD ．11．解：:()A f x 的定义域为{|0}x x ≠，20x >，222244()24f x x x x x ∴=+⋅，当且仅当224x x =即x ± ()f x ∴的最小值为4．A ∴正确．:02B x π<，0cos 1x ∴<，4()cos 2cos 4cos f x x x x ∴=+⋅，当且仅当4cos cos x x= 即cos 2x =时取等号． cos (0x ∈，1]，∴等号取不到，()f x ∴最小值不能为4．B ∴不正确． :()C f x 的定义域为R ，2()244x f x ===，当且仅当 即x =时取等号，()f x ∴的最小值为4．C ∴正确． :()D f x 的定义域为R ，30x >，44()323433x x xx f x ∴=+⋅，当且仅当433x x = 即23log x =时取等号， ()f x ∴的最小值为4．D ∴正确．综上所述：故答案为A ，C ，D ． 故选：ACD ．12．解：实数a ，b 满足20(1)a ab b a -+=>，A ．2211111122(1)241111a a b a a a a a a a-+===++=-++-=----，当且仅当2a =时取等号，因此正确；11.2213(1)423(1)4411B a b a a a a a a +=+++=-++-=--，当且仅当1a =+取等号，因此不正确；C．1a >，∴1(0,1)a∈，2221111121(1)11a abaaaaa-+=+=-+=--+<，因此不正确；D ．2311a a ab a a a =⋅=--，令3()1x f x x =-，(1)x >．2232()2()(1)x x f x x -'=-， 可得32x =时，函数()f x 取得极小值，即最小值．33()3272()32412f ==-，27()4f x ∴，即274ab ，因此正确．故选：AD ．13．解：0a >，0b >，且25a b +=， 则212552b a ab ab ab ababab ab ab+++=+=+⋅ 当且仅当5ab ab=时取等号， 故21ab ab ++的最小值为． 故答案为：．14．解：正实数x ，y 满足1x y +=，1y x ∴=-，(0,1)x ∈，∴21212311(1)(1)(1)y x x x xy x x x x x x x x --+=+=-++=-+---， 令3(2,3)t x =-∈， 则22111111546(3)(2)655()5y t t xxyt tt t t t+=-+=-+=-+-+-+++----+-+-，当且仅当t 时取“=”， 故答案为：4+15．解：因为22221a b +=， 所以2222(1)3a b ++=， 则22222214114()[22(1)]131a b a b a b+=+++++，222212281(10)(106313b a a b +=+++=+， 当且仅当22222281b a a b+=+且22221a b +=，即0b =，212a =时取等号， 则22141a b ++的最小值6． 故答案为：6． 16．解：由114x xy y ++=可得：11414x x y x x+-=-=, 所以(1)41x x y x +=-, 则11141(1)x x x xy x x x -++=+++ 14155(1)1(1)11x x x x x x x x x ++-=+=+=++-+++2(1)11x +=, 当且仅当511x x +=+,即1x =时取等号，此时11x xy++的最小值为1,故答案为：1．17．解：()I a ，0b >，323ab a b ab =+++， 当且仅当a b =时取等号， 3ab ，所以9ab ，即ab 的最小值9，()II a ，0b >，且ab a b =+，∴111a b+=， 1144(4)()5529b a b a b a b a b a b a +=++=+++⋅，当且仅当4b aa b=且111a b +=，即32a =，3b =时取等号，此时4a b +取得最小值9．18．解：（1）由不等式()0f x >的解集为(1,3)-可得：2(2)3ax b x +-+的两根为1-，3且0a <， 由根与系数的关系可得：213313b aa -⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩．可得1a =-，4b =， （2）若f （1）232a b =+-+=， 则1a b +=，0a >，10b +>，∴1[(1)]12a b ++=， ∴41141141149[(1)]()[5]121212a b b a a b ab a a b a b a b +++=+=+++=++++++，当且仅23a =，13b =时式中等号成立，∴41a b ab a +++的最小值为92．。

《志鸿优化设计》2022年高考数学人教A 版理科一轮复习题库：第二章函数2．3函数的奇偶性与周期性一、选择题1．f(x)是定义在R 上的奇函数，满足f(x ＋2)＝f(x)，当x ∈(0,1)时，f(x)＝2x －2，则f(12log 6)的值等于( )．A ．－43B ．－72 C ．12D ．－12[来源:Zxxk ]2．函数f(x)是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f(x)＝－x ＋1，则当x ＜0时，f(x)的表达式为( )．A ．－x ＋1B ．－x －1C ．x ＋1D ．x －13．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝x2＋2x ，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a 的取值范畴是( )．A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 4．定义两种运算：a ⊗b ＝log2(a2－b2)，a ⊗b ＝a －b 2，则函数f(x)＝2⊗xx ⊗2－2为( )．A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇且非偶函数5．函数f(x)的定义域为R ，若f(x ＋1)与f(x －1)差不多上奇函数，则()．A ．f(x)是偶函数B ．f(x)是奇函数C ．f(x)＝f(x ＋2)D ．f(x ＋3)是奇函数6．已知函数f(x)是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a3＞0，则f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值( )．A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负二、填空题7．定义在R 上的偶函数f(x)满足对任意x ∈R ，都有f(x ＋8)＝f(x)＋f(4)，且x ∈[0,4]时，f(x)＝4－x ，则f(2 011)的值为__________．8．定义在R 上的奇函数f(x)，当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x ，则不等式f(x)＜－1的解集是__________．9．定义在R 上的偶函数f(x)满足：f(x ＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，下列关于f(x)的判定：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x ＝2对称； ③f(x)在[0,1]上是增函数； ④f(x)在[1,2]上是减函数； ⑤f(4)＝f(0)．其中判定正确的序号是__________．[来源:1] 三、解答题10．已知函数y ＝f(x)的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)．且当x ＞0时，f(x)＜0恒成立，f(3)＝－3.(1)证明：函数y ＝f(x)是R 上的减函数； (2)证明：函数y ＝f(x)是奇函数；(3)试求函数y ＝f(x)在[m ，n](m ，n ∈N*)上的值域．11．已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x ＋2)＝－f(x)．若f(x)为奇函数，且当0≤x ≤1时，f(x)＝12x ，求使f(x)＝－12在[0,2 014]上的所有x 的个数．参考答案 一、选择题1．C 解析：12(log 6)f＝12(log 6)f --＝－f(log26)[来源:学*科*网Z*X*X*K][来源:1ZXXK] ＝－f(log26－2)＝2log 62(22)---＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫64－2 ＝12，故选C.2．B 解析：x ＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－[－(－x)＋1]＝－x －1.选B. 3．C 解析：∵f(x)是奇函数，∴当x ＜0时，f(x)＝－x2＋2x ，作出f (x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R 上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a ，即－2＜a ＜1，选C.4．A 解析：f(x)＝log2(4－x2)(x －2)2－2，由⎩⎪⎨⎪⎧4－x2>0，|x －2|－2≠0， 得－2＜x ＜2且x ≠0，∴f(x)＝log2(4－x2)－x为奇函数．5．D 解析：由y ＝f(x ＋1)为奇函数知f(x ＋1)＝－f(－x ＋1)．①由y ＝f(x －1)为奇函数知 f(x －1)＝－f(－x －1)．② 由①得f(－x)＝－f(2＋x)； 由②得f(－x)＝－f(x －2)， ∴f(2＋x)＝f(x －2)， 即f(x ＋4)＝f(x)．∴函数y ＝f(x)是以4为周期的函数． ∴由②知，f(x －1＋4)＝－f(－x －1＋4)． ∴f(x ＋3)＝－f(－x ＋3)， ∴函数f(x ＋3)是奇函数．6．A 解析：不妨设等差数列{an}的公差d ＞0，若a1＞0，则a5＞a3＞a1＞0.由函数f(x)在R 上是增函数且为奇函数，知f(a5)＞f(a3)＞f(a1)＞0，因此f(a1)＋f(a3)＋f(a5)＞0；若a1＜0，则a5＋a1＝2a3＞0，a5＞－a1＞0.由奇函数f(x)为R 上的增函数，知f(a5)＞f(－a1)＝－f(a1)，因此f(a1)＋f(a 5)＞0，又f(a3)＞0，因此f(a1)＋f(a3)＋f(a5)＞0.故选A.二、填空题7．1 解析：f(4)＝0， ∴f(x ＋8)＝f(x)，∴T ＝8，∴f(2 011)＝f(3)＝4－3＝1.8．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x<12，或x<－2 解析：当x ＜0时，－x ＞0，∴f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)， ∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ log2x，x>0，0，x ＝0，－log2(－x)，x<0.∴f(x)＜－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x>0，log2x<－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，0<－1或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，－log2(－x)<－1⇒0＜x ＜12或x ＜－2.[来源:Zxxk ]9．①②⑤ 解析：f(x ＋1)＝－f(x)⇒f(x ＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函数． 又f(x)＝f(－x)，因此f(x ＋2)＝f(－x)，故f(x)关于直线x ＝1对称． 同理，f(x ＋4)＝f(x)＝f(－x)， ∴f(x)关于直线x ＝2对称． 由此可得①②⑤正确． 三、解答题10．(1)证明：设任意x1，x2∈R ，且x1＜x2， f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)] ＝f(x1)＋f(x2－x1)．∵x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＜0. ∴f(x2)＝f(x1)＋f(x2－x1)＜f(x1)， 故f(x)是R 上的减函数．(2)证明：∵f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)恒成立， ∴可令a ＝－b ＝x ， 则有f(x)＋f(－x)＝f(0)．又令a ＝b ＝0，则有f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.从而任意的x ∈R ，f(x)＋f(－x)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)． 故y ＝f(x)是奇函数．(3)解：由于y ＝f(x)是R 上的单调递减函数，∴y ＝f(x)在[m ，n]上也是减函数，故f(x)在[m ，n]上的最大值f(x)max ＝f(m)，最小值f(x)min ＝f(n)． 由于f(n)＝f[1＋(n －1)] ＝f(1)＋f(n －1)＝…＝nf(1)， 同理f(m)＝mf(1)．又f(3)＝3f(1)＝－3，∴f(1)＝－1. ∴f(m)＝－m ，f(n)＝－n.因此函数y ＝f(x)在[m ，n]上的值域为[－n ，－m]．11．解：当0≤x ≤1时，f(x)＝12x ， 设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f(－x)＝12(－x)＝－12x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴－f(x)＝－12x ，即f(x)＝12x.故f(x)＝12x(－1≤x ≤1)．又设1＜x ＜3，则－1＜x －2＜1.∴f(x －2)＝12(x －2)．又∵f(x －2)＝－f(2－x)＝－f[(－x)＋2]＝－[－f(－x)]＝－f(x)，∴－f(x)＝12(x －2)．∴f(x)＝－12(x －2)(1＜x ＜3)． ∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，－1≤x ≤1，－12(x －2)，1<x<3.由f(x)＝－12，解得x ＝－1. 又∵f(x ＋2)＝－f(x)，∴f(x ＋4)＝－f(x ＋2) ＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(x)＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z)．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154， 又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z)，∴在[0,2 014]上共有503个x 使f(x)＝－12.。

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（真题测试）一、单选题1．（2021·河北·沧县中学高一阶段练习）函数()()()[]224,,21,2,2,1x x x f x x x ∞∞⎧--+∈--⋃+⎪=⎨-+∈-⎪⎩的值域为（ ）A ．(],4∞-B ．(],2-∞C ．[)1,+∞D ．(),4-∞【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的性质求解. 【详解】解：()()()[]224,,21,2,2,1x x x f x x x ∞∞⎧--+∈--⋃+⎪=⎨-+∈-⎪⎩, 当[]2,1x ∈-，()[]21,4f x x =-+∈，当()()1,,2x ∈+∞⋃-∞-，()()2154f x x =-++<，所以()(,4]∈-∞f x ， 故选：A2．（2008·江西·高考真题（文））已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 A ．[4,4]- B ．(4,4)-C ．(,4)-∞D ．(,4)-∞-【答案】C 【解析】 【详解】当2160m ∆=-<时，显然成立当4,(0)(0)0m f g ===时，显然不成立； 当24,()2(2),()4m f x x g x x =-=+=-显然成立；当4m <-时12120,0x x x x +，则()0f x =两根为负，结论成立故4m <,故选C.3．（2014·北京·高考真题（文））加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系p=at 2+bt+c （a ，b ，c 是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟【答案】B 【解析】 【详解】由图形可知，三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数2p at bt c =++的图象上，所以930.7{1640.82550.5a b c a b c a b c ++=++=++=，解得0.2, 1.5,2a b c =-==-，所以20.2 1.52p t t =-+-=215130.2()416t --+，因为0t >，所以当153.754t ==时，p 取最大值， 故此时的t=3.75分钟为最佳加工时间，故选B.4．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（文））设p ：二次函数()()210f x ax ax a =++≠的图象恒在x 轴的上方，q ：关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根都大于－1，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】 由p 可得20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，由q 可得1111a a ->-⎧⎨+>-⎩，进而判断两集合关系，即可得到答案. 【详解】由p ，则2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<；由q ，方程22210x ax a -+-=的两根为11x a =-，21x a =+，则1111a a ->-⎧⎨+>-⎩，解得0a >，因为{}04a a << {}0a a > ，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A5．（2022·陕西·长安一中高一期中）设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，(1)1f -=-．若函数()221f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，则当[1,1]a ∈-时，t 的取值范围是（ ） A ．22t -≤≤B ．1122t -≤≤C ．2t ≤-，或0=t ，或2t ≥D ．12t ≤-，或0=t ，或12t ≥【答案】C 【解析】 【分析】求出函数()f x 在[1,1]-上的最大值，再根据给定条件建立不等关系，借助一次型函数求解作答. 【详解】因奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，(1)1f -=-，则max ()(1)(1)1f x f f ==--=， 依题意，[1,1]a ∈-，22211()20t at g a ta t -+≥⇔=-+≥恒成立，则有22(1)20(1)20g t t g t t ⎧-=+≥⎨=-≥⎩，解得2t ≤-或0=t 或2t ≥， 所以t 的取值范围是2t ≤-或0=t 或2t ≥. 故选：C6．（2016·浙江·高考真题（文））已知函数f(x)=x 2+bx ，则“b ＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由题意知222()()24b b f x x bx x =+=+-，最小值为24b -．令2=+t x bx ，则2222(())()(),244b b b f f x f t t bt t t ==+=+-≥-，当0b <时，(())f f x 的最小值为24b-，所以“0b <”能推出“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”；当0b =时，4(())=f f x x 的最小值为0，()f x 的最小值也为0，所以“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”不能推出“0b <”．故选A ．7．（2022·广东佛山·二模）设,,R a b c ∈且0a ≠，函数2(),()(2)()g x ax bx c f x x g x =++=+，若()()0f x f x +-=，则下列判断正确的是（ ） A ．()g x 的最大值为-a B ．()g x 的最小值为-a C ．()()22g x g x +=- D ．()()2g x g x +=-【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，用a 表示b ，c ，再结合二次函数的性质求解作答. 【详解】依题意，232()(2)()(2)(2)2f x x ax bx c ax a b x b c x c =+++=+++++，因()()0f x f x +-=，则()f x 是奇函数，于是得2020a b c +=⎧⎨=⎩，即2,0b a c =-=， 因此，22()2(1)g x ax ax a x a =--=-，而0a ≠，当0a >时，()g x 的最小值为-a ，当0a <时，()g x 的最大值为-a ，A ，B 都不正确；2(2)(1)g x a x a +=+-，2(2)(1)g x a x a -=-+-，22()(1)(1)g x a x a a x a -=---=+-，即()()22g x g x +≠-，()()2g x g x +=-，因此，C 不正确，D 正确. 故选：D8．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）当11x -时，21ax bx c ++恒成立，则（ ）A ．当2a =时，||||1b c +=B ．当2a =时，||||2b c +=C ．当1b =时，||0a c +=D ．当1b =时，||||0a c +=【答案】AC 【解析】 【分析】先举出反例，排除BD 选项，对于A 选项，根据绝对值三角不等式，得到11b -≤≤，31c -≤≤-，再根据14b f ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭得到288c b ≥-，综合得到88c =-，288b -=-，求出1c =-，0b =，从而判断出A 正确；D 选项，利用类似方法得到0a c +=，验证后得到结论. 【详解】当2a =时，221x bx c ++在11x -上恒成立，可取0,1b c ==-，验证可知符合题意，此时2b c +≠，B 错误；当1b =时，21ax x c ++在11x -上恒成立，可取11,44a c ==-，验证可知符合题意，故D 错误；对于A 选项，令()22f x x bx c =++，必有()()11,11f f ≤-≤，即21,21b c b c ++≤-+≤，则222222b c b c b c b c b ≥+++-+≥++-+-=， 解得：11b -≤≤，则()f x 的对称轴1,144b x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，同理：2222222b c b c b c b c c ≥+++-+≥+++-+=+， 所以21c +≤，解得：31c -≤≤-，于是()1f x ≤要满足()()28114811212111b c b f f b c b c f ⎧⎧⎛⎫--≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪-≤⇒-+≤⎨⎨⎪⎪++≤≤⎪⎪⎪⎪⎩⎩①②③，由①知：288c b ≥-，因为11b -≤≤，故2888c b ≥-≥-④， 因为31c -≤≤-所以88c ≤-⑤，综合④⑤，可知：88c =-， 解得：1c =-，此时288b -=-，解得：0b =，所以()221f x x =-，经验证满足题意，且||||1b c +=，A 正确；对于C 选项，令()2g x ax x c =++，由()111g a c =++≤，()111g a c -=-+≤可得：2002a c a c -≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，故0a c +=， 则()2g x ax x a =+-，所以211ax x a -≤+-≤恒成立，即211x ax a x --≤-≤-，易知：1122a -≤≤即可，故C 正确 故选：AC 【点睛】对于含有绝对值不等式的二次不等式问题，要充分考虑函数图象，以及对称轴和端点值的取值范围，结合绝对值三角不等式进行求解. 二、多选题9．（2021·江西·丰城九中高二阶段练习）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为1x =，点B 坐标为()10-，，则下面结论中正确的是（ ） A ．20a b += B ．420a b c -+＜C ．240b ac -＞D ．当0y ＜时，1x -＜或4x ＞【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和二次函数的性质，可以判断各个小题的结论是否成立，即可求出答案.【详解】因为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的对称轴为1x =，所以12bx a=-=得20a b +=，故A 正确； 当2x =-时，420y a b c =-+＜，故B 正确；该函数图象与x 轴有两个交点，则240b ac -＞，故C 正确；因为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的对称轴为1x =，点B 坐标为()10-，，所以点A 的坐标为()3,0，所以当0y ＜时，1x -＜或x 3＞，故D 错误. 故选：ABC.10．（2022·全国·模拟预测）已知二次函数()()241230f x mx mx m m =-+-<，若对任意12x x ≠，则（ ）A ．当124x x +=时，()()12f x f x =恒成立B ．当124x x +>时，()()12f x f x <恒成立C ．0x ∃使得()00f x ≥成立D ．对任意1x ，2x ，均有()()831,2i f x m i ≤-=恒成立 【答案】AD 【解析】 【分析】二次函数开口向下，对称轴为2x =，结合二次函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】依题意，二次函数()()241230f x mx mx m m =-+-<的对称轴为422-=-=mx m. 因为0m <，所以其函数图象为开口向下的抛物线，对于A 选项，当124x x +=时，1x ，2x 关于直线2x =对称， 所以()()12f x f x =恒成立，所以A 选项正确；对于B 选项，当124x x +>，若12x x >，则不等式可化为1222x x ->-， 所以()()12f x f x <；若12x x <，则不等式可化为2122x x ->-，所以()()21f x f x <，所以B 选项错误； 对于C 选项，因为0m <，所以()()224412332120m m m m m ∆=---=-+<，所以二次函数()()241230f x mx mx m m =-+-<的图象开口向下，且二次函数与x 轴无交点，所以不存在0x 使得()00f x ≥成立，所以C 选项错误；对于D 选项，()()max 24812383f x f m m m m ==-+-=-，所以对任意1x ，2x ，均有()()831,2i f x m i ≤-=恒成立，所以D 选项正确， 故选：AD.11．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．()30-，B ．(]30-，C ．()31--，D ．()3∞-+，【答案】AC 【解析】 【分析】先求命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.【详解】因为23,208x R kx kx ∀∈+-<为真命题，所以0k =或230k k k <⎧⎨+<⎩30k ⇔-<≤， 所以()30-，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题充分不必要条件，A 对， 所以(]30-，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题充要条件，B 错， 所以()31--，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题充分不必要条件，C 对， 所以()3∞-+，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题必要不充分条件，D 错， 故选：AC12．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对于()()y f x x R =∈，当12,(,0)x x ∞∈-时，()()12210f x f x x x -<-恒成立，若()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的范围可以是下面选项中的（ ）A ．()B ．(),1-∞C ．(0D ．)+∞【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意求得函数()f x 为偶函数，且在()0-∞，上为减函数，在()0+∞，上为增函数，把不等式转化为2221ax x <+，得到不等式4224(44)10x a x +-+>恒成立，设20t x =≥，令()224(44)1g t t a t =+-+，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于1x =对称， 可得函数()f x 关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，又当12,(,0)x x ∞∈-时，()()12210f x f x x x -<-恒成立，所以()f x 在()0-∞，上为减函数，则()f x 在()0+∞，上为增函数， 又因为()()2221f ax f x <+，所以2221ax x <+，即22424441a x x x <++恒成立，即4224(44)10x a x +-+>恒成立，设20t x =≥，令()224(44)1g t t a t =+-+，即()0g t >在区间[0,)+∞上恒成立，当2102a t -=≤时，即11a -≤≤时，()g t 在[0,)+∞为单调递增函数，则满足()min (0)10g t g ==>，符合题意；当当2102a t -=>时，即1a <-或1a >时，要使得()0g t >在区间[0,)+∞上恒成立，则满足22(44)160a ∆=--<，解得a <0a ≠，即1a <<-或1a <<综上可得，实数a 的取值范围是(， 结合选项，选项A 、C 符合题意. 故选：AC.三、填空题13．（2012·江苏·高考真题）已知函数的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为__________． 【答案】9． 【解析】 【详解】∵f(x)＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴b －24a ＝0，∴f(x)＝x 2＋ax ＋14a 2＝12x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2.又∵f(x)＜c 的解集为(m ，m ＋6)，∴m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋24a－c ＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得()226{64m a a m m c +=-+=-解得c ＝9.14．（2022·天津·耀华中学二模）已知不等式28(8)0x x a a -+-<的解集中恰有五个整数，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】[)(]1,26,7⋃ 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合已知分类讨论进行求解即可. 【详解】28(8)0()[(8)]0x x a a x a x a -+-<⇒---<，当4a =时，原不等式化为2(4)0x -<，显然x ∈∅，不符合题意； 当4a >时，不等式的解集为8a x a -<<，其中解集中必有元素4，若五个整数是0,1,2,3,4时，可得18045a a -≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是1,2,3,4,5时，08156a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是2,3,4,5,6时，18267a a ≤-<⎧⎨<≤⎩67a ⇒<≤，若五个整数是3,4,5,6,7时，28378a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是4,5,6,7,8时，38489a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集；当4a <时，不等式的解集为8a x a <<-，其中解集中必有元素4，若五个整数是0,1,2,3,4时，可得10485a a -≤<⎧⎨<-≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是1,2,3,4,5时，01586a a ≤<⎧⎨<-≤⎩，此时解集为空集， 若五个整数是2,3,4,5,6时，1212687a a a ≤<⎧⇒≤<⎨<-≤⎩， 若五个整数是3,4,5,6,7时，23788a a ≤<⎧⎨<-≤⎩，此时解集为空集， 五个整数是4,5,6,7,8时，38489a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集， 故答案为：[1,2)(6,7].15．（2015·湖北·高考真题（文））a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()h a . 当=a _________时，()h a 的值最小.【答案】2．【解析】【详解】因为函数2()||f x x ax =-，所以分以下几种情况对其进行讨论：①当0a ≤时，函数22()f x x ax x ax =-=-在区间[0,1]上单调递增，所以max ()()1f x g a a ==-；②当02a <<时，此时22()()2224a a a a f a =-⨯=，(1)1f a =-，而22(2)(1)2044a a a +--=-<，所以max ()()1f x g a a ==-； ③当22a ≤<时，22()f x x ax x ax =-=-+在区间(0,)2a 上递增，在(,1)2a 上递减．当2a x =时，()f x 取得最大值2()24a a f =； ④当2a ≥时，22()f x x ax x ax =-=-+在区间[0,1]上递增，当1x =时，()f x 取得最大值(1)1f a =-，则()21,2{,2241,2a a a h a a a a -<=≤<-≥在(,2)-∞上递减，2,)+∞上递增，即当2a =时，()g a 的值最小．故答案为：2．16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知()283f x ax x =++，对于给定的负数a ，有一个最大的正数()M a ，使得()0,x M a ∈⎡⎤⎣⎦时，都有()5f x ≤，则()M a 的最大值为___________.【解析】【分析】二次函数配方得到()f x 的含有参数的最大值，研究二次函数最值与5的大小关系，分类讨论，求出()M a 的最大值.【详解】()22416833f x ax x a x a a ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭，当1635a ->，即80a -<<时，要使()5f x ≤在()0,x M a ∈⎡⎤⎣⎦上恒成立，要使()M a 取得最大值，则()M a 只能是2835ax x ++=的较小的根，即()M a =当1635a-≤，即8a ≤-时，要使()M a 取得最大值，则()M a 只能是2835ax x ++=-的较大的根，即()M a =当80a -<<时，()12M a ==<，当8a ≤-时，()M a =()M a .四、解答题17．（2022·山西运城·高二阶段练习）已知函数2()2(0)f x ax ax b a =-+>的定义域为R ，且在区间[0,3]上有最大值5，最小值1．(1)求实数a ，b 的值；(2)若函数()()22g x f x mx m =-+-，求()0>g x 的解集．【答案】(1)1,2a b ==(2)答案见解析【解析】【分析】（1）由二次函数的性质可知函数在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，则()()11,35,f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩从而可求出a ，b 的值，（2）由（1）得2()(2)2(2)()g x x m x m x x m =-++=--，然后分2m =，2m >和2m <三种情况解不等式(1)∵22()2(1)(0)f x ax ax b a x b a a =-+=-+->，在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，∴()()11,35,f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩即21,965,a a b a a b -+=⎧⎨-+=⎩解得1,2.a b =⎧⎨=⎩ (2)由（1）知2()(2)2(2)()g x x m x m x x m =-++=--，①2m =时，()0>g x 的解集为{}2x x ≠；②2m >时，()0>g x ，则x m >或2m <，故2m >时，()0>g x 的解集为{x x m >或2}x <；③2m <时，()0>g x ，则2x >或x m <，故2m <时，()0>g x 的解集为{2x x >或}x m <．综上，当2m =时，解集为{}2x x ≠；当2m >时，解集为{x x m >或2}x <；当2m <时，解集为{2x x >或}x m <． 18．（2015·浙江·高考真题（理））已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是()f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1）证明：当2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求a b +的最大值.【答案】（1）详见解析；（2）3.【解析】【详解】（1）分析题意可知()f x 在[1,1]-上单调，从而可知{}(,)max (1),(1)M a b f f =-，分类讨论a 的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知,0{,0a b ab a b a b ab +≥+=-<，再由(,)2M a b ≤可得1(1)2a b f ++=≤，1(1)2a b f -+=-≤，即可得证.试题解析：（1）由22()()24a a f x xb =++-，得对称轴为直线2a x =-，由2a ≥，得 12a -≥，故()f x 在[1,1]-上单调，∴{}(,)max (1),(1)M a b f f =-，当2a ≥时，由 (1)(1)24f f a --=≥，得{}max (1),(1)2f f -≥，即(,)2M a b ≥，当2a ≤-时，由(1)(1)24f f a --=-≥，得{}max (1),(1)2f f --≥，即(,)2M a b ≥，综上，当2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）由(,)2M a b ≤得1(1)2a b f ++=≤，1(1)2a b f -+=-≤，故3a b +≤，3a b -≤，由,0{,0a b ab a b a b ab +≥+=-<，得3a b +≤，当2a =，1b =-时，3a b +=，且221x x +-在[1,1]-上的最大值为2，即(2,1)2M -=，∴a b +的最大值为3.19．（2014·辽宁·高考真题（文））设函数()211f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ；（2）当x M N ∈⋂时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤. 【答案】（1）4|03M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）详见解析. 【解析】【详解】试题分析：（1）由所给的不等式可得当1x ≥时，由()331f x x =-≤，或 当1x <时，由()11f x x =-≤，分别求得它们的解集，再取并集，即得所求．（2）由4g x ≤（） ，求得N ，可得3{|0}4M N x x ⋂=≤≤．当x ∈M∩N 时，f （x ）=1-x ，不等式的左边化为211()42x --，显然它小于或等于14，要证的不等式得证． （1）33,[1,)(){1,(,1)x x f x x x -∈+∞=-∈-∞ 当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤，故413x ≤≤； 当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<；所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.（2）由2()16814g x x x =-+≤得2116()4,4x -≤解得1344x -≤≤，因此13{|}44N x x =-≤≤，故3{|0}4M N x x ⋂=≤≤. 当x M N ∈⋂时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +=+2111()(1)()424xf x x x x ==-=--≤. 20．（2021·河北·沧县中学高一阶段练习）已知二次函数()()223R f x x kx k =-+∈．(1)若()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求实数k 的取值范围；(2)若()2f x ≥在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)1k ≤(2)1k ≤【解析】【分析】（1）利用二次函数的单调性求解；（2）将()2f x ≥在()0,x ∈+∞上恒成立，转化为12k x x≤+在()0,x ∈+∞恒成立求解． (1)解：因为()f x 在()1,x ∈+∞单调递增，所以()212k --≤， 解得1k ≤；(2)因为()2f x ≥在()0,x ∈+∞上恒成立，所以2210x kx -+≥在()0,x ∈+∞恒成立， 即12k x x≤+在()0,x ∈+∞恒成立．令()1g x x x =+，则()12g x x x =+≥=， 当且仅当1x =时等号成立．所以1k ≤．21．（2021·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第n 年(*)n ∈N 花在该台运输车上的维护费用总计为2(5)n n +万元，该车每年运输收入为25万元.(1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.【答案】(1)3年(2)方案①较为合算【解析】【分析】（1）由22549(5)0n n n --+≥，能求出该车运输3年开始盈利.（2）方案①中，22549(5)4920()6n n n n n n--+=-+≤.从而求出方案①最后的利润为59（万)；方案②中，2222549(5)2049(10)51y n n n n n n =--+=-+-=--+，10n =时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万)，比较时间长短，进而得到方案①较为合算.(1)由题意可得22549(5)0n n n --+≥，即220490n n -+≤，解得1010n ≤≤3n ∴≥，∴该车运输3年开始盈利.；(2)该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，22549(5)4920()6n n n n n n--+=-+≤， 当且仅当7n =时，取等号，∴方案①最后的利润为：25749(4935)1759⨯--++=（万)；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，2222549(5)2049(10)51y n n n n n n =--+=-+-=--+，10n ∴=时，利润最大，∴方案②的利润为51859+=（万)，两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短， ∴方案①较为合算.22．（2009·江苏·高考真题）设a 为实数，函数2()2()f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.【答案】（1） （2）22min 2,0(){2,03a a f x a a -≥=<(3) 当26(,)22a ∈时，解集为(,)a +∞;当62(,)22a ∈--时，解集为223232(,][,)33a a a a a --+-⋃+∞; 当[a ∈时，解集为)+∞. 【解析】【详解】(3)。

第二节充分条件与必要条件一、教材概念·结论·性质重现1．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B⇒/A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A⇒/B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．(√)(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(√)(4)若q不是p的必要条件，则p⇒/q．(√)(5)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则B是A的子集．(×)2．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B解析：若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B．3．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要的条件是()A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3A解析：选项A中，a>b＋1>b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a＞b＋1”为“a＞b”成立的充分不必要条件．4．已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．(－∞，2]解析：由已知，可得{x|2<x<3}{x|x>a}，所以a≤2.5．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)．充分不必要充要解析：由题意知p⇒q，q⇔s，s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分不必要条件，r是t的充要条件.考点1充分条件与必要条件的判断——基础性1．(2020·天津卷)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：因为a2>a⇔a＜0或a>1，所以a>1⇒a2>a，反之不成立．故“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件．2．(2019·浙江卷)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：当a>0，b>0，a＋b≤4时，有2ab≤a＋b≤4.所以ab≤4，此时充分性成立．当a>0，b>0，ab≤4时，令a＝4，b＝1，则a＋b＝5>4，这与a ＋b≤4矛盾，因此必要性不成立．综上所述，当a>0，b>0时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A．3．设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B解析：由x2－5x<0可得0<x<5；由|x－1|<1可得0<x<2.因为0<x<5⇒/ 0<x<2，但0<x<2⇒0<x<5，所以“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要不充分条件．判断充分、必要条件的两种方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．考点2充分条件与必要条件的探究与证明——综合性(1)命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥9 B．a≤9C．a≥10 D．a≤10C解析：∀x∈[1,3]，x2－a≤0⇔∀x∈[1,3]，x2≤a⇔9≤a.所以a≥10是命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．(2)设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.证明：设p：xy≥0，q：|x＋y|＝|x|＋|y|.①充分性(p⇒q)：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况．当xy＝0时，不妨设x＝0，则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立．当xy>0时，则x>0，y>0，或x<0，y<0.又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，所以等式成立．综上，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．②必要性(q⇒p)：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|.所以|xy|＝xy，所以xy≥0.由①②可得，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．1．区分两种易混说法“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”，前者是“p⇒q，且q⇒/p”，后者是“p⇒/q，q⇒p”，这种推导关系极易混淆．2．充要条件的证明策略(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”和“若q，则p”均为真．(2)证明前必须分清楚充分性和必要性，即清楚由哪个条件推证到哪个结论．1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于y轴对称的充要条件是()A．b＝c＝0 B．b＝0且c≠0C．b＝0 D．b≥0C解析：函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于y轴对称⇔－b2a＝0⇔b＝0.2．设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x||x|≥1}，则“x∈A且x B”成立的充要条件是()A．－1＜x≤1 B．x≤1C．x＞－1 D．－1＜x＜1D 解析：由题意可知，x ∈A ⇔x ＞－1，x B ⇔－1＜x ＜1，所以“x ∈A 且x B ”成立的充要条件是－1＜x ＜1.故选D.3．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.3或4 解析：一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有实数根⇔(－4)2－4n ≥0⇔n ≤4.又n ∈N *，则n ＝4时，方程x 2－4x ＋4＝0，有整数根2；n ＝3时，方程x 2－4x ＋3＝0，有整数根1,3；n ＝2时，方程x 2－4x ＋2＝0，无整数根；n ＝1时，方程x 2－4x ＋1＝0，无整数根．所以n ＝3或n ＝4.考点3 充分条件、必要条件的应用——应用性已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．[0,3] 解析：由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}．因为x ∈P 是x ∈S 的必要条件，所以S ⊆P .所以⎩⎨⎧ 1－m ≥－2，1＋m ≤10，1－m ≤1＋m ，解得0≤m ≤3. 故0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．若本例条件不变，是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？说明理由． 解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}．若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，所以⎩⎨⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，得⎩⎨⎧m ＝3，m ＝9.这样的m 不存在．充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．已知p：x∈A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：x∈B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．若p是﹁q的充分条件，则实数m的取值范围是________．(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析：因为A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m ＋2}，所以∁R B＝{x|x<m－2或x>m＋2}．因为p是﹁q的充分条件，所以A⊆∁R B，所以m－2>3或m＋2<－1，所以m>5或m<－3.已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则﹁p是﹁q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[四字程序]读想算思判断充分必要条件1.充分必要条件的概念；2.判断充分、必要条件的方法解不等式转化与化归不等式5x－6>x21.定义法；2.集合法；3.等价转化法1.一元二次不等式的解法；2.集合间的包含关系充分必要条件与集合包含关系思路参考：解不等式＋求﹁p，﹁q.A解析：由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.﹁p：－3≤x≤1；﹁q：x≥3或x≤2.显然﹁p⇒﹁q，﹁q⇒/﹁p，所以﹁p是﹁q的充分不必要条件．故选A．思路参考：解不等式＋判断集合间的包含关系．A解析：由5x－6>x2，得2<x<3，即﹁q：A＝{x|x≤2或x≥3}，﹁p：B＝{x|－3≤x≤1}．显然B A，故﹁p是﹁q的充分不必要条件．故选A．思路参考：原命题与逆否命题的等价性＋转化．A解析：利用命题与其逆否命题的等价性，该问题可转化为判断q是p的什么条件．由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.显然q是p的充分不必要条件．故选A．判断充分、必要、充要条件关系的三种方法：(1)定义法是最基本、最常用的方法．(2)集合法主要是针对与不等式解集有关的命题的问题．(3)等价转化法体现了“正难则反”的解题思想，在正面解题受阻或不易求解时可考虑此法．1．若集合A＝{x|x－x2>0}，B＝{x|(x＋1)(m－x)>0}，则“m>1”是“A∩B≠∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：A＝{x|0<x<1}．若m>1，则B＝{x|－1<x<m}，此时A∩B≠∅；反之，若A∩B≠∅，则m>0.故选A．2．若“x>2m2－3”的充分不必要条件是“－1<x<4”，则实数m的取值范围是()A．[－3,3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D. [－1,1]D解析：因为“－1<x<4”是“x>2m2－3”的充分不必要条件，所以(－1,4)(2m2－3，＋∞)，所以－1≥2m2－3，解得－1≤m≤1.故选D.。

第2章 第四讲时间：60分钟 满分：100分一、选择题(8×5＝40分)1．(2009·北京朝阳)下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是 ( )A ．y ＝－2xB ．y ＝11－xC ．y ＝－(x －1)2D ．y ＝log 12x答案：B解析：根据增函数的定义．易判断y ＝11－x 为(1，＋∞)上的增函数．2．已知f (x )是R 上的增函数，若令F (x )＝f (1－x )－f (1＋x )，则F (x )是R 上的 () A ．增函数B ．减函数C ．先减后增的函数D ．先增后减的函数答案：B解析：取f (x )＝x ，则F (x )＝(1－x )－(1＋x )＝－2x 为减函数，选B.3．函数y ＝log a |x ＋2|在(－2,0)上是单调递增的，则此函数在(－∞，－2)上是 () A ．单调递增 B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增答案：B解析：∵|x ＋2|在(－2,0)上为增函数，又y ＝log a |x ＋2|在(－2,0)上也为增函数， ∴a >1，∴y ＝log a |x ＋2|在(－∞，－2)上是减函数．故选B.4．函数y ＝log 12(x 2－5x ＋6)的单调增区间为 () A ．(52，＋∞) B ．(3，＋∞)C ．(－∞，52)D ．(－∞，2)答案：D命题思路：考查复合函数的单调性．解析：令x 2－5x ＋6>0得x >3或x <2.又∵y ＝log 12t 令t ＝x 2－5x ＋6在(0，＋∞)上为减函数，t ＝x 2－5x ＋6在(－∞，2)上为减函数，∴y ＝log 12(x 2－5x ＋6)在(－∞，2)为增函数，故选D.5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1，是R 上的增函数，那么a 的取值范围是() A ．(1，＋∞) B ．(1，32]C ．(1,2)D ．[32，2)答案：D解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，a ≥(2－a )×1＋1，解得a 的取值范围是32≤a ＜2，故选D. 6．已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 ( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．[2，＋∞)答案：B解析：a 是对数的底，所以a ＞0，设g (x )＝2－ax ，则g (x )在区间[0,1]上是减函数． 设u ＝2－ax ，由于y ＝log a (2－ax )是区间[0,1]上的减函数．所以y ＝log a u 是增函数．故a ＞1.还要使2－ax ＞0在区间[0,1]上总成立，即g (x )＞0在区间[0,1]上总成立，由于g (x )是减函数，x ＝1时g (x )有最小值．只有g (1)＞0，即2－a ＞0，得a ＜2∴1＜a ＜2.故选B.7．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )＜0的x 的取值范围是 ( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,2)答案：D解析：∵f (2)＝0且f (x )为偶函数，∴f (－2)＝0.又∵f (x )在(－∞，0]上递减，∴f (x )在(－2,0]上递减．∴对于x ∈(－2,0]必有f (x )＜0.由对称性得对于x ∈[0,2)必有f (x )＜0.∴使得f (x )＜0的x 的范围是(－2,2)．8．(2009·天津六区联考)设f (x )是定义在R 上的单调递减的奇函数，若x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则( )A ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0B ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0C ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＝0D ．f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)答案：B解析：∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1.又f (x )是定义在R 上的单调递减的奇函数，∴f (x 1)<－f (x 2)，f (x 2)<－f (x 3)，f (x 3)<－f (x 1)．∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<－[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)]．∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0，故选B.二、填空题(4×5＝20分)9．函数f (x )＝log 0.1|x |的定义域是________，单调递增区间是________．答案：{x |x ∈R 且x ≠0}(－∞，0)解析：∵|x |>0，∴x ∈R 且x ≠0，令t ＝|x |，∵y ＝log 0.1t 是单调递减函数，∴f (x )＝log 0.1|x |的增区间为(－∞，0)．10．对于函数①f (x )＝|x ＋2|，②f (x )＝(x －2)2，③f (x )＝cos(x －2)，f (x )在(－∞，2)上是减函数的所有函数的序号是__________．答案：②解析：①f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2－x －2，x <－2，在(－∞，－2)上为减函数，在(－2，＋∞)上为增函数；②f (x )的图象开口向上且关于x ＝2对称，故函数在(－∞，2)上为减函数；③该函数具有周期性．故选②.11．函数y ＝x x ＋a在(－2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围是________． 答案：a ≥2解析：y ＝x x ＋a ＝1－a x ＋a，依题意得函数的单调增区间为(－∞，－a )，(－a ，＋∞)，要使y 在(－2，＋∞)上为增函数，只要－2≥－a ，即a ≥2即可．12．(2011·原创题)已知函数y ＝f (x )对任意x 都有f (x )＝f (4－x )且在[2，＋∞)上为增函数，则f (35)、f (65)、f (4)按从大到小的顺序排列出来是______________________________． 答案：f (4)＞f (35)＞f (65) 解析：f (35)＝f (4－35)＝f (325)，f (65)＝f (4－65)＝f (245)， ∵245＜325＜4，f (x )在x ＞2时为增函数， ∴f (4)＞f (35)＞f (65)． 三、解答题(4×10＝40分)13．(2009·青岛调研)已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．解析：(1)证明：任设x 1＜x 2＜－2则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)解：任设1＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a ＞0，x 2－x 1＞0，∴要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，∴a ≤1.综上所述：0＜a ≤1.14．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值． 解答：(1)证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0. ∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)解：f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]， 又f (x )在[12，2]上单调递增， ∴f (12)＝12，f (2)＝2. 故12、2是方程f (x )＝x ，即1a －1x ＝x 的两个根，整理得x 2－1ax ＋1＝0， 由根与系数的关系得：1a ＝2＋12＝52. ∴a ＝25. 15．已知函数f (x )＝|x －a |，g (x )＝x 2＋2ax ＋1(a 为正常数)，且函数f (x )与g (x )的图象在y 轴上的截距相等．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＋g (x )的单调递增区间．解：(1)由题意，f (0)＝g (0)，|a |＝1，又a >0，∴a ＝1.(2)f (x )＋g (x )＝|x －1|＋x 2＋2x ＋1，当x ≥1时，f (x )＋g (x )＝x 2＋3x ，它在[1，＋∞)上单调递增；当x <1时，f (x )＋g (x )＝x 2＋x ＋2，它在[－12，1)上单调递增． 因此，函数f (x )＋g (x )的单调递增区间为[－12，＋∞)． 16．f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f (x y)＝f (x )－f (y )． (1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f (1x)<2. 解析：(1)令x ＝y ，得f (1)＝0.(2)由x ＋3>0及1x>0，得x >0. 又由f (6)＝1，f (x ＋3)－f (1x)<2，得f [x (x ＋3)]<2f (6)，即f [x (x ＋3)]－f (6)<f (6)，亦即f [x (x ＋3)6]<f (6)． ∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数．∴0<x (x ＋3)6<6，解得－3－3172<x <－3或0<x <－3＋3172. 综上所述，不等式的解集是{x |0<x <－3＋3172}．。

第2章第五讲时间：60分钟满分：100分一、选择题(8×5＝40分)1．对于任意实数x，下列函数中为奇函数的是() A．y＝2x－3B．y＝－3x2C．y＝ln5x D．y＝－|x|cos x答案：C解析：∵f(x)＝ln5x＝x ln5，∴f(－x)＝ln5－x＝－x·ln5＝－f(x)，∴y＝ln5x是奇函数．同理由奇函数的定义依次验证可知A、B、D均不是奇函数．2．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中是偶函数的是()①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝x·f(x)；④y＝f(x)＋x.A．①③B．②③C．①④D．②④答案：A解析：①∵f(x)的定义域为R，∴f(|－x|)＝f(|x|)，∴y＝f(|x|)是偶函数；②令F(x)＝f(－x)，则F(－x)＝f(x)＝－f(－x)＝－F(x)，∴F(x)是奇函数，∴②是奇函数；③令M(x)＝x·f(x)，则M(－x)＝－x·f(－x)＝x·f(x)＝M(x)，∴M(x)是偶函数；④令N(x)＝f(x)＋x，则N(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－[f(x)＋x]＝－N(x)，∴N(x)是奇函数，故①③是偶函数．3．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a的值等于() A．0B．1C．－1D．±1答案：A解析：∵x∈R且函数f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，即0＝sin0－|a|.∴a＝0.4．(2009·黄冈市3月高三质量检测)命题甲：已知函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称；命题乙：函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图象关于直线x＝1对称，则() A．甲真乙假B．甲假乙真C．甲、乙均真D．甲、乙均假答案：A解析：依题意，函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，命题甲正确；因为函数y＝f(－x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，而函数y＝f(1－x)＝f[－(x－1)]的图象是由函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到的，函数y ＝f(1＋x)的图象是由函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位得到的，所以函数y＝f(1－x)的图象与函数y＝f(1＋x)的图象关于y轴对称，故命题乙错误，选择A.5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且满足f(x＋2)＝－1f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)等于() A．－2.5B．2.5C．5.5D．－5.5答案：B解析：∵f(x＋2)＝－1f(x)，∴f(x＋4)＝－1f(x＋2)＝f(x)，∴f (x )是周期为4的周期函数．∴f (105.5)＝f (－2.5＋4×27)＝f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5.6．(2009·陕西，10)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，则 ( )A ．f (3)＜f (－2)＜f (1)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)答案：A解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (3)＜f (－2)＜f (1)，故选A.此类题能用数形结合更好．7．(2009·江西，5)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2008)＋f (2009)的值为 ( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：C解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2008)＝f (2008)．∵f (x )在x ≥0时f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2.∴f (－2008)＋f (2009)＝f (2008)＋f (2009)＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 22＝0＋1＝1，故选C.8．(2010·湖南岳阳市月考试题)定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则 ( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)答案：D解析：∵f (x －4)＝－f (x )，∴f (x )＝－f (x －4)，∴f (x －4)＝－f (x －8)，∴f (x )＝f (x －8)，∴T ＝8，∴f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝－f (－1)＝f (1)，f (－25)＝f (－1)＝－f (0)又∵f (x )在[0,2]递增，∴f (1)>f (0)＝0>－f (1)，因此f (11)>f (80)>f (－25)，故选D.二、填空题(4×5＝20分)9．若f (x )＝(m －1)x 2＋6mx ＋2是偶函数，则f (0)、f (1)、f (－2)从小到大的顺序是________． 答案：f (－2)＜f (1)＜f (0)解析：∵f (－x )＝(m －1)x 2－6mx ＋2，f (x )＝(m －1)x 2＋6mx ＋2，由f (－x )＝f (x )得12mx ＝0，x 不恒为0，∴m ＝0，∴f (x )＝－x 2＋2，由图象知f (－2)＜f (1)＜f (0)．10．若函数f (x )＝e －(x －u )2(e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋u ＝__________.答案：1命题思路：考查偶函数的定义及函数单调性与最值的求法．解析：由f (x )是偶函数知u ＝0，∴f (x )＝e －x 2＝1ex 2≤1e0＝1，∴m ＋u ＝1＋0＝1，故填1. 11．(2009·江西模拟)若函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋2a 2)是奇函数，则a ＝________.答案：22解析：方法一：由于y ＝f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0即log a (x ＋x 2＋2a 2)＋log a (－x ＋x 2＋2a 2)＝0∴log a 2a 2＝0，∴2a 2＝1，∴a ＝±22， 又a >0，故填a ＝22. 方法二：由于y ＝f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，因此log 2a 2a ＝0，∴2a 2＝1，∴a ＝±22， 又a >0，∴a ＝22. 12．(2009·浙江台州调研)已知f (x )是R 上的奇函数，若将f (x )的图象向右平移一个单位，则得到一个偶函数的图象，若f (－1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2009)＝________.答案：－2解析：由题意可得：f (x －1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x )＝－f (x －2)．∵f (－1)＝2，可得f (1)＝－f (－1)＝－2，f (2)＝－f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝2，f (4)＝－f (2)＝0，…，可知f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＝－2＋0＋2＋…－2＝－2.三、解答题(4×10＝40分)13．已知函数f (x )，当x ＜0时，f (x )＝x 3＋2x －1.(1)若f (x )为R 上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由；(2)若f (x )为R 上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由．解析：(1)可以确定其解析式，为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －1(x ＜0)，0 (x ＝0)，－x 2＋2x ＋1(x ＞0).(2)不能确定其解析式．因为只需当x ＞0时，f (x )＝x 2－2x －1，而f (0)可取任意实数而不影响f (x )为偶函数．14．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )是奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求x ∈[－1,3)的解析式． 解析：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )．∴f (x )是以4为周期的函数．(2)由0≤x ≤1时，f (x )＝12x . 设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x ，即－f (x )＝－12x . ∴f (x )＝12x ，故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)． 当1＜x ＜3时，同理可求f (x )＝－12(x －2)， ∴f (x )＝⎩⎨⎧12x (－1≤x ≤1)，－12(x －2) (1＜x ＜3). 15．设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝1对称．对任意x 1、x 2∈[0，12]都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)．(1)设f (1)＝2，求f (12)，f (14)； (2)证明：f (x )是周期函数．解析：(1)由f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)，x 1、x 2∈[0，12]． 知f (x )＝f (x 2)·f (x 2)≥0，x ∈[0,1]． ∵f (1)＝f (12)·f (12)＝⎣⎡⎦⎤f (12)2， ∴f (12)＝212.同理f (12)＝⎣⎡⎦⎤(14)2， ∴f (14)＝214. (2)证明：依题设y ＝f (x )关于直线x ＝1对称，故f (x )＝f (1＋1－x )，即f (x )＝f (2－x )，x ∈R .又由f (x )是偶函数知f (－x )＝f (x )，x ∈R ，∴f (－x )＝f (2－x )，x ∈R ，将上式中－x 以x 代换，得f (x )＝f (x ＋2)，x ∈R ，这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期．16．已知函数f (x )＝1－42a x ＋a(a ＞0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． (1)求a 的值；(2)当函数f (x )的值域；(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x －2恒成立，求实数t 的取值范围． 解析：(1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数， 即f (－x )＝－f (x )．令x ＝0，得f (0)＝1－42×a 0＋a＝0. 解得a ＝2.(2)记y ＝f (x )，即y ＝2x －12x ＋1， ∴2x ＝1＋y 1－y ，由2x ＞0知1＋y 1－y＞0， ∴－1＜y ＜1，即f (x )的值域为(－1,1)．(3)不等式tf (x )≥2x －2即为t ·2x －t 2x ＋1≥2x －2. 即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x ＝u ，∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．∵当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x －2恒成立．即为u ∈(1,2]时，u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－(t ＋1)×1＋t －2≤0，22－(t ＋1)×2＋t －2≤0，解得t ≥0.。