第三讲 因式分解的应用(含答案)-

第三讲 因式分解【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。

2、因式分解与整式乘法是过程，即：多项式 整式的积 【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。

】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。

提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。

【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。

2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。

3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。

】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。

①平方差公式：a 2-b 2= ,②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。

【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与b 。

如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12就不符合该公式的形式。

】 三、因式分解的一般步骤1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。

2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。

3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。

【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【重点考点例析】对应训练1．（2013•河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．a （x-y ）=ax-ayB ．x 2+2x+1=x （x+2）+1C ．（x+1）（x+3）=x 2+4x+3D ．x 3-x=x （x+1）（x-1）考点二：因式分解例2 （2013•无锡）分解因式：2x 2-4x= ．思路分析：首先找出多项式的公因式2x ，然后提取公因式法因式分解即可．点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．例3 （2013•南昌）下列因式分解正确的是（ ）A ．x 2-xy+x=x （x-y ）B ．a 3-2a 2b+ab 2=a （a-b ）2C ．x 2-2x+4=（x-1）2+3D ．ax 2-9=a （x+3）（x-3）点评：此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．（ ） （ ）例4 （2013•湖州）因式分解：mx2-my2．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．对应训练2．（2013•温州）因式分解：m2-5m= ．3．（2013•西宁）下列分解因式正确的是（）A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）22222例5 （2013•宝应县一模）已知a+b=2，则a2-b2+4b的值为．点评：本题考查了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式和提公因式法整理出a+b的形式是求解本题的关键，同时还隐含了整体代入的数学思想．对应训练【备考真题过关】一、选择题1．（2013•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x-1 C．x2-1 D．x2-6x+92．（2013•佛山）分解因式a3-a的结果是（）A．a（a2-1）B．a（a-1）2C．a（a+1）（a-1）D．（a2+a）（a-1）3．（2013•恩施州）把x2y-2y2x+y3分解因式正确的是（）A．y（x2-2xy+y2）B．x2y-y2（2x-y）C．y（x-y）2D．y（x+y）2二、填空题A．a（x﹣6）（x+2）B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x﹣4x﹣12）D．a（x+6）（x﹣2）10．（2014•漳州模拟）下列因式分解中，结果正确的是（）A．x2y﹣y3=y（x2﹣y2）B．x4﹣4=（x2+2）（x﹣）（x+）C．x2﹣x﹣1=x（x﹣1﹣）D．1﹣（a﹣2）2=（a﹣1）（a﹣3）三．解答题（共8小题）（2）通过计算，验证等式a⊕b=b⊕a成立．29．（2014•萧山区模拟）已知三条线段a，b，c，其长度分别为a=mn，b=（m2+n2），c=（m﹣n）2（其中m，n为不相等的正数），试问a，b，c三条线段能否构成三角形？请说明理由．。

第一讲 分解方法的延拓——换元法与主元法因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．例题求解【例1】分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．(第12届“五羊杯”竞赛题)思路点拨 视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z) (上海市竞赛题)思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题)(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拔 (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)； (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy 4+12y 5．(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组；(2)按次数分组； (3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多项式分解因式后的结果：（1）))((2233b ab a b a b a +±=± ；(2)))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++学历训练1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝ ．2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ．4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为 ．5．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．A ．2727923-+-x x xB ．272723-+-x x xC ．272734-+-x x xD ．279323-+-x x x (第13届“希望杯”邀请赛试题)6．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值为( )． A ．92 B ．32 C ．54 D ．0 7．分解因式:（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2； (2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001； (4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++； (6)613622-++-+y x y xy x ．8．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．9．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．10．613223+-+x x x 的因式是( )A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+xE ．12+x11．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M> NC ．M ＝ND ．不能确定12．把下列各式分解因式：(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++； (2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (黄冈市竞赛题)(3)2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (天津市竞赛题)(4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；（第13届“五羊杯”竞赛题）(5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． (天津市竞赛题)17．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+； ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-． 利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)18．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)．求证：b c a 2=+第二讲 分解方法的延拓——配方法与待定系数法在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法。

学生做题前请先回答以下问题问题1:因式分解的四种基本方法有哪些?问题2:添项拆项的目的是使多项式能够用进行因式分解，这种方法技巧性强，需要充分关注多项式的问题3:换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为因式分解综合应用(添项拆项)(人教版)一、单选题(共10道，每道10分)1.把4x4+1因式分解，正确结果是()A.4(x+1)*8.(2x²+2x+1X2x²-2x+1)c.(x²+2x+2)(x²-2x+2)p.(2x²+1)²答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法2.把x⁴+2°因式分解，正确结果是()A.(x²+8)²8.(x²-4x+8)(x²+4x+8)c.(x-2)²(x+2)²D,(x²-8)²答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法3.把x³-1因式分解，正确结果是()A.(X+1Xx-1)8.(x-1)<2-x+1)c.(x-1(2+x+1。

.(x+1)<²-x+1)答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法4.把4x⁴+y⁴+3x²y²因式分解，正确结果是()A.(2x²+y³)²8.(2x²-xy+y²)(2x²+xy+y³)c.(2x+y)²(2x-y)²D.(2x+y+xy)(2x+y-xy)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法5.把α³+11a+12因式分解，正确结果是()A.(a+1)(a-1)(a-12)g.(α+1)(a+3)(a-4)c.(a- 1)a²+a- 12)D.(a+1)(a²-α+12)答案：D解题思路：法( 一):原式=a³-a+12a+12=a(a+1)(a-1)+12(a+1)=(a+1)(a²-a+12)法(二):原式=a+a²-a²+11a+12=a²(a+1)- (a²-1la-12)=a²(a+1)- (a-12)(a+1)=(a+1)(a²-a+12)故选D .试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法6.把m³-2m-1因式分解，正确结果是()A.m(m-1)²8(m+1)(m²-p2-1)c.(m+1)(m-1)²D.(m-1)(m²+m-1)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法Z .把x²-y²+2x-4y-3因式分解，正确结果是() A.(x-y- 1)²B.(x+y+1(x-y- 1)c.(x+y- 1)(x-y+3)o.(x+y+3)(x-y- 1)答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧--添项拆项法8.把2x³+4x²-x-3因式分解，正确结果是()A.(X- 1)(x- 1)2x+3)8.(x+1)2(2x-3)c.(x+1)(2x²+2x-3)。

第三讲 因式分解法与韦达定理知识点一、因式分解法解一元二次方程如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。

（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

常用方法有：提公因式法，公式法（平方差公式，完全平方公式），十字相乘法等。

知识点二、一元二次方程的根与系数的关系若21,x x 是一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个根，则有a b x x -=+21，a b x x =21 ，根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：（1）()2122122212x x x x x x -+=+ （2）21212111x x x x x x +=+ （3）()2212121))((a x x a x x a x a x +++=++；（4）│21x x -│=()221x x -=()212214x x x x -+例题:1.用因式分解法解下列方程：(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1．2.用适当方法解下列方程：(1)3(1－x )2＝27； (2)x 2－6x －19＝0； (3)3x 2＝4x ＋1；(4)y 2－15＝2y ； (5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0； (6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．3.已知x 2－xy －2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式22225252y xy x y xy x ++--的值．4.若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．5.解方程组6.已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =7.已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．提升练习:1.方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－82.下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．．x ＝21 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 3.方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3D ．x 1＝53，x 2＝－3 4.方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对5.方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝56.一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－4 D ．47.已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．118.方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．39．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且 10．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( ) A ．2 B ．2- C ．12D ．92 11．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于() A ．3- B ．5 C ．53-或 D ．53-或12．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b a c ∆=-和完全平方式2(2)M a t b =+的关系是( )A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定 13．若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则代数式1111b a a b --+--的值为( )A ．20-B ．2C ．220-或D ．220或 14.方程t (t ＋3)＝28的解为_______．15.方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．16.方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．17.关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．18.方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．19.．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______20.．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．21．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．22．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．23．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ．24．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0； (3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x 2－x －3＝0； (8)(x －1)2－4(x －1)－21＝0．25．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求yx y x +-的值．26．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值．27．已知x 2＋3x ＋5的值为9，试求3x 2＋9x －2的值．28．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．29．若0n >，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求m n 的值．30．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．31．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长．(1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？(2)k 的值．32．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x 。

因式分解综合应用（讲义）课前预习1.因式分解的基本方法有______________________________．因式分解是有顺序的，需记住口诀：“___________________”．其中“查”指的是“检查”，特别需要检查的是分解是否彻底．2.把下列各式因式分解．（1）224x y x -；（2）221216a a -+-；（3）222221x xy y x y -+-++；（4）42627x x --．知识点睛1._____________、__________、___________、__________是因式分解的四种基本方法，换元、添项拆项是复杂多项式进行因式分解的常用技巧，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为___________________．①换元：当多项式中的某一部分________________时，我们会___________将其替换，从而简化式子的形式．②添项拆项：其目的是使多项式能够用__________________进行因式分解，这种方法技巧性强，需要充分关注多项式的__________________．精讲精练1.把下列各式因式分解．（1）222(2)7(2)8x x x x +-+-；（2）22(42)(46)4x x x x -+-++；（3）(1)(3)(5)(7)15a a a a +++++；（4）(1)(2)(3)(4)24x x x x -----；（5）22423a b a b -+++；（6）326116x x x +++；（7）44x +；（8）31x +；（9）398x x -+；（10）376m m -+．2.基本事实：若ab =0，则0a =或0b =．对于方程220x x --=，可通过因式分解，化为(2)(1)0x x -+=，由基本事实得，20x -=或10x +=，即方程的解为2x =或1x =-．利用上述基本事实，可求得方程220x x -=的解为______________．3.若2222()(1)20x y x y ++--=，则22x y +=_____________．4.已知a ，b ，c 分别是三角形的三边长，且满足222166100a b c ab bc --++=，则2b a c --=____________．5.阅读下面的学习材料：已知多项式322x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值．解法：设3222(21)()x x m x x ax b -+=+++，则323222(21)(2)x x m x a x a b x b -+=+++++，比较系数得21120a a b b m +=-⎧⎪+=⎨⎪=⎩，解得11212a b m ⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，∴12m =．根据以上学习材料，解答下面的问题．已知多项式3245x x mx +++有因式1x +，求m 的值．6.对于多项式32510x x x -++，如果我们把2x =代入此多项式，发现多项式325100x x x -++=，这时可以断定多项式中有因式2x -（注：把x a =代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式x a -），于是我们可以把多项式写成：322510(2)()x x x x x mx n -++=-++．（1）式子中m =_______，n =_______；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法将多项式3221310x x x ---因式分解．7.将下图中的1个正方形和3个长方形拼成一个大长方形，并观察这4个图形的面积与拼成的大长方形的面积有什么关系．你能据此将2()x p q x pq +++因式分解吗？8.（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用这样的硬纸片拼成一个新的矩形，如图2．图1图2①用两种不同的方法，计算图2中矩形的面积；②由此，你可以得到一个等式为______________________．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示，图3①请用拼图的方法推出一个完全平方式，并画出你的拼图；②请用拼图的方法推出22252a ab b ++因式分解的结果，并画出你的拼图．【参考答案】课前预习1.提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法一提二套三分四查2.（1）2()()x y x y x +-（2）2(2)(4)a a ---（3）2(1)x y --（4）2(3)(3)(3)x x x +-+ 知识点睛1.提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法；基本方法1重复出现，设元2分组分解法，式子结构精讲精练1.（1）2(1)(4)(2)x x x ++-（2）4(2)x -（3）2(2)(6)(810)a a a a ++++（4）2(5)(510)x x x x --+（5）(1)(3)a b a b ++-+（6）(1)(2)(3)x x x +++（7）22(22)(22)x x x x ++-+（8）2(1)(1)x x x +-+（9）2(1)(8)x x x -+-（10）(1)(2)(3)m m m --+2.x =0或12x =3.24.05.m =86.（1）-3，-5（2）3221310(1)(2)(5)x x x x x x ---=++-7.2()()()x p q x pq x p x q +++=++，画图略8.（1）①2121s a a =++，22(1)s a =+；②22(1)21a a a +=++（2）①222()2ab a ab b +=++，拼图略；②22252(2)(2)a ab b a b a b ++=++，拼图略。

第三讲因式分解因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．【例1】将x4+8分解因式正确的是（）A、（x4﹣16）B、（x2+4）（x2﹣4）C、（x2+4）（x+2）（x﹣2）D、（x2+2）（x2﹣2）2考点：因式分解-运用公式法。

分析：先提取公因式，然后套用公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），再进一步分解因式．解答：解：x4+8，=（x4﹣16），=（x2﹣4）（x2+4），=（x﹣2）（x+2）（x2+4）．故选C．点评：本题考查了用公式法进行因式分解的能力，进行因式分解时，若一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再套用公式进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．【例2】20、分解因式：（x﹣3）（x﹣1）+1．考点：因式分解-运用公式法。

专题：常规题型。

分析：先根据多项式的乘法整理成多项式的一般形式，然后再利用完全平方公式进行因式分解．解答：解：（x﹣3）（x﹣1）+1=x2﹣4x+3+1=x2﹣4x+4=（x﹣2）2．点评：本题考查了利用完全平方公式分解因式，先利用多项式的乘法整理成多项式的一般形式是解题的关键．【例3】分解因式x4﹣2x2+1.解：x4﹣2x2+1=（x2﹣1）2=[（x﹣1）（x+1）]2=（x﹣1）2（x+1）2.【例4】多项式x2y﹣y2z+z2x﹣x2z+y2x+z2y﹣2xyz因式分解后的结果是（）A、（y﹣z）（x+y）（x﹣z）B、（y﹣z）（x﹣y）（x+z）C、（y+z）（x一y）（x+z）D、（y十z）（x+y）（x一z）考点：因式分解-分组分解法。

分析：原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式（y﹣z）x2+（z2+y2﹣2yz）x+z2y﹣y2z，再运用提取公因式法和十字相乘法分解因式．解答：解：x2y﹣y2z+z2x﹣x2z+y2x+z2y﹣2xyz=（y﹣z）x2+（z2+y2﹣2yz）x+z2y﹣y2z=（y﹣z）x2+（y﹣z）2x﹣yz（y﹣z）=（y﹣z）[x2+（y﹣z）x﹣yz]=（y﹣z）（x+y）（x﹣z）．故选A．点评：本题考查了用分组分解法进行因式分解，难点是将原式重新整理成关于x的二次三项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例5】分解因式：（x2+3x）2﹣2（x2+3x）﹣8=（x+1）（x+2）（x﹣1）（x+4）．考点：因式分解-十字相乘法等。

课后练习3因式分解A组1. 把x2y—2y2x+ y3分解因式正确的是（）A . y（x2—2xy+ y2）2 2B . x y—y （2x—y）2C. y（x—y）D . y（x+ y）22. （2015宜宾）把代数式3x3—12x2+ 12x分解因式，结果正确的是（）2 2 2A . 3x（x —4x+ 4）B. 3x（x—4） C . 3x（x+ 2）（x—2） D . 3x（x—2）3 . （2016台湾）多项式77x2—13x—30可因式分解成（7x+ a）（bx+ c），其中a、b、c均为整数，求a+ b + c之值为何？（）A. 0B. 10C. 12D. 224. 若A = 101 X 9996X 10005, B= 10004 X 9997X 101,则A—B 之值为（）A. 101B. —101C. 808D. —80825 . （1）（2017 丽水）分解因式：m+ 2m = ________________ .⑵（2017湖州）把多项式x2—3x因式分解，正确的结果是 ______________________ .2（3）________________________________________ （2016舟山）因式分解：a —9 = .2（4）___________________________________________ （2016 台州）因式分解：x —6x+ 9 = .2 26 . （2016杭州）若整式x + ky （k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是 _________________ （写出一个即可）.7.分解因式：3 2（1）（2015 黄冈）x —2x + x;(2)(2015 深圳)3a2—3b2;2 2⑶ am —4an ;o凶（2015绵阳）xy—3y（实数范围内因式分解）.& 已知：a+ b= 3, ab= 2，求下列各式的值:2 2⑴ a b+ ab ；(2) a2+ b2.B组9. 已知(19x—31)(13x—17)—(13x—17)(11x—23)可因式分解成(ax+ b)(8x+ c),其中a、b、c均为整数，则a+ b+ c=( )A . —12B . —32 C. 38 D. 7210. 已知a、b、c是厶ABC的三边长，且满足a3+ ab2+ bc2= b3+ a2b+ ac2,则厶ABC的形状是()A •等腰三角形B •直角三角形C •等腰三角形或直角三角形D •等腰直角三角形11. (3x + 2)( - x6+ 3x5)+(3x + 2)( - 2x6+ x5) +(x+ 1)(3x6- 4x5)与下列哪一个式子相同( )6 5A . (3x - 4x )(2x+ 1)6 ,5B . (3x - 4X)(2X+ 3)6C. - (3x - 4x )(2x+ 1)6 ,5D . - (3x -4x )(2x+ 3)12.(2016 •湾)已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数. 若甲与乙相乘为x2-4，乙与丙相乘为x2+ 15x- 34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？()A . 2x+ 19 B. 2x- 19 C . 2x+ 15 D . 2x - 1513 .分解因式：(a+ 2)(a—2) + 3a= _____________________ .14 .多项式ax2—a与多项式x2—2x+ 1的公因式是___________________ .15 . (2017 •城模拟)如图，边长为(m + 3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是第15题图C组16 . (2015 杭州市下城区模拟)若z= 3x(3y- x) - (4x- 3y)(x+ 3y).(1)若x, y均为整数，求证：当x是3的倍数时，z能被9整除；⑵若y = x+ 1,求z的最小值.参考答案课后练习3因式分解A组1. C2.D3.C4.D25. (1)m(m+ 2) (2)x(x—3) (3)(a + 3)(a—3) (4)(x—3)6. —17. (1)x(x—1)2. (2)3(a + b)(a —b). (3)a(m+ 2n)(m—2n). (4)y(x + . 3)(x —3).8. (1)6 (2)5B组9. A 10.C 11.C 12.A 13.(a—1)(a + 4)14. x—1 15.2m+ 3C组16. (1)z= 3x(3y—x)—(4x—3y)(x+ 3y) = 9xy—3x2—(4^+ 9xy—9y2)= 9xy—3x2—4x2—9xy + 9y2=—7x2+ 9y2,v x 是3 的倍数，二z 能被9 整除. (2)当y = x+ 1 时，贝U z= —7x2+ 9(x + 1)2= 2x2+ 18x+ 9 = 2 x+ 2 —63，：2 x+ 号》0,「・z 的最小值是一穿.。

1.5 因式分解的应用◆赛点归纳因式分解在初中数学竞赛中，用途很广泛，具体来说用得较多的有如下几个方面：（1）利用因式分解简化计算；（2）利用因式分解求较复杂的代数式的值；（3）利用因式分解确定多项式中的某些相关的待定系数；（4）利用因式分解解决某些数的整除问题；（5）利用因式分解解某些特殊的方程或方程组等问题．◆解题指导例1化简：222 2000199819971997 19982000199820014+--⨯-．【思路探究】本题直接计算比较复杂，由于分子和分母都有平方与差的关系，由此可联想到运用因式分解方法简化计算．例2 （2001，“五羊杯”，初二）若（x－1）（y+1）=3，xy（x－y）=4，则x7－y7=_______．【思路探究】由（x－1）（y+1）=3，知xy+（x－y）=4，经观察可知，两个条件等式都含有xy和x－y的关系式．若设xy=u，x－y=v，则u+v=4，uv=4，于是有u（4－u）=4，经过变形知它符合完全平方公式，即（u－2）2=0，故可知u=2，v=2，即xy=2，x－y=2．至此，将x7－y7分解成和xy和x－y相关的因式就不难求值．【思维误区】有位同学这样解答例2，你认为对吗？解：∵（x－1）（y+1）=3，∴xy+（x－y）=4．设xy=u，x－y=v，则u+v=4．①uv=4．②由①、②，得u2－4u+4=0．∴（u－2）2=0．∴u=2．∴v=2．∴x2+y2=（x－y）2+2xy=22+2×2=8，x3－y3=（x－y）（x2+xy+y2）=2（8+2）=20，x4+y4=（x2+y2）2－2x2y2=82－2×22=56．∴x7－y7=（x4+y4）（x3－y3）=56×20=1120．例3 （2004，“TRULY○R信利杯”）已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=•2，•ax+by=5，则（a2+b2）xy+ab（x2+y2）的值为________．【思路探究】求待求式的值，由条件等式可知，需将待求式进行合理变形，使它含有因式ax+by．这里用多项式分解因式的方法是可以达到的．例4 （2001，北京市竞赛）证明恒等式：a4+b4+（a+b）4=2（a2+ab+b2）2．【思路探究】若能证明a4+b4+（a+b）4－2（a2+ab+b2）2的值为零，则可说明左右相等．•由观察可知，这个“差式”具有平方差公式的特征．因此，可先设法利用平方差公式分解因式，然后证明其中某个因式为零．例5 （2002，太原市竞赛）已知a、b、c为△ABC的三条边，且满足a2+ab－ac－bc=0，b2+bc－ba－ca=0，则△ABC是（）．A．等腰三角形B．直角三B．角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形【思路探究】要判断这个三角形的形状，由条件等式要么证明三边的平方关系，要么证明三边有两边或三边相等关系．这由条件等式分解因式就可判断．例6 （2000，“五羊杯”，初二）设自然数N是完全平方数，N至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2•位数字后，•剩下的数还是完全平方数．•则N•的最大值是_______．【思路探究】由N是完全平方数和去掉它的末两位数仍是完全平方数，可知这个数是一个特殊数．若设N=x2，去掉的末两位数为y，去后所得的整数M=m2，•则可得它们之间的关系式x 2=100m 2+y ，故y=x 2－100m 2．利用平方差公式可得两个关于x 的一次式．再根据题设不难探求N 的最大值．【拓展题】已知多项式x 3+bx 2+cx+d 的系数都是整数，bd+cd 是奇数，求证这个多项式不能分解为两个整系数多项式的积．◆探索研讨因式分解是初中数学的常用解题方法，加之解法比较多，因此，对于它在不同的方面的应用应选择不同的思维方式，有时要整体分解因式，有时要部分分解因式．请结合本节的例题，总结自己的发现．◆能力训练1．已知四个代数式：①m+n ；②m －n ；③2m+n ；④2m －n ，当用2m 2n 乘以上述四个式中的两个的积时，便得到多项式4m 4n －2m 3n 2－2m 2n 3，那么这两个式子的编号是（ ）．A ．①与②B ．①与③C ．②与③D ．③与④2．（2005，全国竞赛）已知A=48×（22211134441004+++---）．则与A 最接近的正整数是（ ）．A ．18B ．20C ．24D ．253．*若3x 3－x=1，则9x 4+12x 3－3x 2－7x+2002的值等于（ ）．A ．2002B ．2004C ．2005D ．20064．已知三个整数a 、b 、c 的和为奇数，那么，a 2+b 2－c 2+2ab （ ）．A ．一定是非零偶数B ．等于零C ．一定是奇数D ．可能是奇数，也可能是偶数5．关于x 、y 的方程x 2y=180的正整数解有（ ）．A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组6．方程2x 2－3xy －2y 2=98的正整数解有（ ）．A ．3组B ．2组C ．1组D ．0组7．（2001，全国竞赛）若x 2+xy+y=14，y 2+xy+x=28，则x+y 的值为______．8．*设m 2+m －1=0，则m 3+2m 2+2005=________．9．若x3+3x2－3x+k有一个因式是x+1，则k=______．10．（2000，“五羊杯”，初二）若x－y=1，x3－y3=4，则x13－y13=______．11．（2003，四川省竞赛）对一切大于2的正整数n，•数n5－5n3+4n的最大公约数是________．12．设x3+3x2－2xy－kx－4y可分解为一次与二次因式之积，则k=________．13．*若a=20052+20062+20052·20062，求证：a是一个完全平方数．14．某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11•个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（mn+9m+11n+145）元，•已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数．15．已知A=a+2b+3c+4d=3，B=a－2b+4c+5d=2，试求a+10b+c+2d的值．16．（2000，武汉市竞赛）如果一个自然数的立方的末三位数字为999，则称这样的自然数为“千禧数”，试求最小的“千禧数”．答案:解题指导例1 设1998=x，则原式=2222(54)(32)(1)(4)(1)(2) (2)(34)(1)(2)(1)(4)x x x x x x x xx x x x x x x x++-+++--=--+-+--+=1．例2 1136．[提示：设xy=u，x－y=v，则u+v=4，uv=4，从而可得（u－2）2=0，即u=2．∴v=2．于是x2+y2=（x－y）2+2xy=22+2×2=8，x3－y3=（x－y）（x2+xy+y2）=2（8+2）=20，x4+y4=（x2+y2）2－2x2y2=82－2×22=56．∴x7－y7=（x4+y4）（x3－y3）+x3y3（x－y）=56·20+23·2=1136．]例3 －5．[提示：由a+b=x+y=2，得（a+b）（x+y）=ax+by+ay+bx=4．①∵ax+by=5，将它代入①式，得ay+bx=－1．∴（a2+b2）xy+ab（x2+y2）=（a2xy+aby2）+（b2xy+abx2）=ay（ax+by）+bx（by+ax）=（ax+by）（ay+bx）=5×（－1）=－5．]例4 ∵a4+b4+（a+b）4－2（a2+ab+b2）=（a2+b2）2－2a2b2+（a2+2ab+b2）2－2（a2+ab+b2）2=[（a2+b2）2－（a2+ab+b2）2]+[（a2+2ab+b2）2]－（a2+ab+b2）2]－2a2b2=（2a2+2b2+ab）（－ab）+（2a2+3ab+2b2）·ab－2a2b2=ab（－2a2－2b2－ab+2a2+3ab+2b2－2ab）=0，∴a4+b4+（a+b）4=2（a2+ab+b2）2．你还能给出别的证法吗？不妨试一试．例5 C [提示：由a2+ab－ac－bc=0，得a（a+b）－c（a+b）=0，∴（a+b）（a－c）=0，∴a=c，a=－b （舍去）．由b2+bc－ba－ca=0，得b（b+c）－a（b+c）=0，∴（b+c）（b－a）=0，∴b=a，b=－c（舍去）．∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形．]例6 1681．[提示：设N=x2，x为自然数，N的末2位数字组成整数y，去掉此2•位数字后得到整数M，M=m2，m为自然数，则1≤y≤99．∴x2=100m2+y．∴y=x2－100m2=（x+10m）（x－10m）．令x+10m=a，x－10m=b，则b≥1，m≥1．x=10m+b≥11，a=x+10m≥21．若m≥4，则x=10m+b≥41，a=x+10m≥81，唯有b=1，m=4，x=41，a=81，y=81，M=16，N=1681．显然当m≤3时，x≤40，故N=1681为所求的最大值．]【拓展题】假设x3+bx2+cx+d=（x+p）（x2+qx+r），其中p、q、r均为整数．令x=0，得pr=d，由bd+cd=（b+c）d为奇数知，b+c与d•均为奇数，从而p、r也都是奇数，再取x=1．由假设有1+（b+c）+d=（1+p）·（1+q+r）．左边是3个奇数之和，必为奇数；右边的因式（1+p）为偶数，从而（1+p）（1+q+r）必为偶数，显然奇数不等于偶数，所以假设不成立，故原式不能分解成两个整系数多项式的积．能力训练1．C [提示：对多项式做因式分解：原式=2m2n（2m2－mn－n2）=2m2n（2m+n）（m－n）．]2．D [提示：对于正整数n（n≥3），有21111(),442211111148[(1)()]429856102111111112(1)2349910010110211112512().9910010110211114112()12,99100101102992n n n A =---+=⨯+++-+++=+++----=-++++++<⨯<则 ∴与A 最接近的正整数为25．]3．D [提示：由3x 3－x=1，得3x 3=x+1，∴3x 4=x （3x 3）=x （x+1）=x 2+x ．∴原式=3·3x 4+4·3x 3－3x 2－7x+2002=3（x 2+x ）+4（x+1）－3x 2－7x+2002=3x 2+3x+4x+4－3x 2－7x+2002=4+2002=2006．]4．C [提示：a 2+b 2－c 2+2ab=（a+b ）2－c 2=（a+b+c ）（a+b －c ）．∵a+b+c 为奇数，∴a 、b 、c 三数中可能有一个奇数、两个偶数，或者三个都是奇数． 当a 、b 、c 中有一个奇数、两个偶数时，则a+b －c 为奇数；当a 、b 、c 中三个都是奇数时，也有a+b －c 为奇数．∴（a+b+c ）（a+b －c ）是奇数．]5．D [提示：∵180=1×22×32×5，又x 2y=180．∴x 2y=1×22×32×5，且x 、y 为正整数/∴12,3,6,1804520 5.x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩或或或 故共有四组正整数解．]6．C [提示：∵（x －2y ）（2x+y ）=98，x 、y 是正整数，∴x>2y ，且2x+y>x －2y ．∴方程可能的解只有以下情形：21,22,27,298;249;214.x y x y x y x y x y x y -=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨+=+=+=⎩⎩⎩ 其中只有第二种情形有解x=20，y=9．]7．6或－7． [提示：把两个已知等式相加，得（x+y ）2+（x+y ）=42，即（x+y ）2+（x+y ）－42=0．∴（x+y －6）（x+y+y ）=0．∴x+y=6或x+y=－7．]8．2006． [提示：原式=m 3+m 2－m+m 2+m －1+2006=m （m 2+m －1）+（m 2+m －1）+2006=（m 2+m －1）（m+1）+2006．∵m 2+m －1=0，∴原式=2006．]9．－5． [提示：∵x 3+3x 2－3x+k 有一个因式是x+1，∴x 3+3x 2－3x+k=x 3+x 2+2x 2+2x －5x －5+5+k=x 2（x+1）+2x （x+1）－5（x+1）+（k+5）=（x+1）（x 2+2x －5）+（k+5）．∴当k+5=0，即k=－5时，原多项式有一个因式是x+1．]10．521． [提示：由x 3－y 3=（x －y ）（x 2+xy+y 2）=4和x －y=1，可得x 2+xy+y 2=4； 由（x －y ）2=x 2－2xy+y 2=1，可得xy=1．又x 6+y 6=（x 3－y 3）2+2x 3y 3）=42+2×13=18，x 4+y 4=（x 2+y 2）2－2x 2y 2=（1+2×1）2－2×12=7，x 7－y 7=（x 4+y 4）（x 3－y 3）+x 3y 3（x －y ）=7×4+1×1=29．从而x 13－y 13=（x 7－y 7）（x 6+y 6）－x 6y 6（x －y ）=29×18－16×1=522－1=521．] 11．120． [提示：n 5－5n 3+4n=（n －2）（n －1）n （n+1）（n+2）．对于大于2的任何正整数n，数n5－5n3+4n都含有公约数1×2×3×4×5=120．故这些数的最大公约数是120．]12．－2．[提示：x3+3x2－2xy－kx－4y=（x3+3x2－kx）－（2xy+4y）=x（x2+3x－k）－2y（x+2）．欲使此式可分解，则x2+3x－k应含因式x+2．将x=－2代入得（－2）+3（－2）－k=0，即－2－k=0，故k=－2．]13．∵a=20052+20062+20052·20062=（2005·2006）2+20052－1+20062+1=（2005·2006）2+（2005+1）（2005－1）+20062+1=（2005·2006）2+2006·2004+20062+1=（2005·2006）2+2006（2004+2006）+1=（2005·2006）2+2×2005·2006+1=（2005·2006+1）2．∴a是一个完全平方数．14．mn+9m+11n+145=（m+11）（n+9）+46，由已知m+11│（mn+9m+11n+145），（n+9）│（mn+9m+11n+145），m+11=n+9，得（m+11）│46，（n+9）│46．∵46=46×1=23×2，∴m+11=n+9=46，或m+11=n+9=23．由此可得，每人捐款数为47元或25元．15．设a+10b+c+2d=mA+mB=（m+n）a+（2m－2n）b+（3m+4n）c+（4m+5n）d．则m+n=1，2m－2n=10，3m+4n=1，4m+5n=2．解得m=3，n=－2．故a+10b+c+2d=3A－2B=3×3－2×2=5．16．设“千禧数”为x，则x3=1000k+999（k为自然数）．∴x3+1=1000（k+1），即（x+1）（x2－x+1）=1000（k+1）．∵x2－x+1=x（x－1）+1为奇数，可设x+1=8m（m为自然数），∴m（x2－x+1）=125（k+1）．下面证明5（x2－x+1）．若5│x，显然5（x2－x+1），若5トx，设x=5n+p（1≤p≤4）．当p=1时，x2－x+1=5n1+1；当p=2时，x2－x+1=5n2+3；当p=3时，x2－x+1=5n3+2；当p=4时，x2－x+1=5n4+3．综上所述5 ト（x2－x+1）．∴x+1=1000t，为使x最小，应取t=1，∴x=999．经验证得999是“千禧数”．故最小的“千禧数”是999．。

第三讲 分解因式【基础知识】1．分解因式的概念：，叫做把这个多项式分解因式。

2．分解因式的方法：（法则：分解到不可再分）（1）提公因式法：(1) 对于系数；（2）对于字母，（3）首项是负数，则公因式符号取“－”拓展：()222222a b c ab ac ac a b c ++±±±=±±③公式的拓展：立方和（差）公式：()()3322a b a b a ab b +=+-+ ； ()()3322a b a b a a b b-=-++ ④三平方，三一倍公式：222222()()()2a b b c a c a b c ab bc ac ±+±+±++±±±=（3）分组分解法：原则：分组后有公因式可提或能用公式分解，且每组之间又有公因式可提或能使用公式。

（4）十字相乘法：()2()()a b x ab x a x b +++=++方法是：拆两边，凑中间【课前热身】1、下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．9)3)(3(2-=-+a a aB ．6)2(10422++=++x x xC ．22)3(96-=+-x x x D ．)12(122xx x x x --=--2、若2249b kab a +-是一个完全平方式，则k 的值为（ ）A ．6B ．±6C ．12D ．±12【典型例题】例1：把下列各式分解因式 提公因式法：（1）323129x x x -+- （2）3222)2(12)2(24)2(18m n m m n mn n m m -----（3）231(1)(1)(1)x x x x x x x +++++++平方差公式：（1）22(23)36(2)a b a b +-- （2）4481a b -（3）（2010成外半期）22221111(1)(1)(1)(1)234n ----，n 为正整数，且2n ≥完全平方公式：（1）224a b - （2）221222m mn n ++ （3）42167281x x -+分组分解法：（1）3223x x y xy y+--（2）2221x y y --- （3）2222a ab ab a b b -+-+-（4）224963a a b b ---+ （5）2269103025x xy y x y -+-++（6）（2010实外半期）a a b b a b ab ++--422433222十字相乘法：（1）892++x x ； （2）3x 2－11xy －14y 2 ；（3）6(x+y)2 －7(x+y)－3． （4）10x 4－23x 2y 2－5y 4（在实数范围内分解）双十字相乘：（1）()(2)453x y x y x y +++++ （2）（2010实外半期）x x y y --+-229643（3）22276x xy y x y -----例2．（换元法）分解因式()()2232712120x x xx ++++－． （abcd e +型）变式练习： (2010成外半期)分解因式：(2)(3)(1)8x x x x -+++=例3．（添项法）分解因式（1）444x y + （2）42951x x ++例4.（三平方、三一倍公式） 已知：4,3-=-=+c b b a ，求bc ac ab c b a -++++222的值.例5．待定系数法：已知2x nx m +-有因式()()12x x --和，求m= ，n .变式:1．（08福建）若二次多项式2232k kx x -+能被1x -整除，试求k 的值为2．若二次三项式kx 2+32x –35（k ≠0）有一个因式是2x+7，求k 及另一个因式.例6.主元法：（2010实外半期）()()ab bc ca a b c abc ++++-变式练习：已知一个三角形的三边,,a b c 满足()()()2220a b c b c a c a b -+-+-=，试判断这个三角形的形状，并证明你的结论。