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第三章小结本章主要介绍了求解曲线积分的各种方法，另外还介绍了解析函数与调和函数的关系一、求解曲线积分()Cg z dz ⎰的步骤先利用C 的复数方程将被积函数化简情况1. C 非封闭若能找到包含C 的单连通域B 使得在B 内()g z 处处解析，在此邻域内将给定的曲线积分转化为定积分利用牛-莱公式求解，否则利用参数方程法求解例 计算1C dz z ⎰，其中C 为上半平面的圆1z =，起点为负实轴上的点，终点为正实轴上的点 解：111111C dz dz L nz z z --==⎰⎰判断上述解法的对错情况2. C 封闭1. 寻找被积函数在整个复平面上的全部奇点2. 分析这些奇点与曲线的位置关系，从而确定出曲线内奇点的个数3. 若曲线内无奇点，则由基本定理知()0Cg z dz =⎰，否则 4. 在曲线内分别做一些包围这些奇点的正向圆i C 使得这些圆互不相交互不包含且每个圆内只有()g z 的一个奇点i z ，利用复合闭路定理将计算曲线积分()Cg z dz ⎰的问题转化为计算()iC g z dz ⎰的问题5. 若()()()()n i f z g z n N z z =∈-且()f z 在C 上及C 内解析，利用高阶导公式或柯西积分公式求解，否则参数方程法二、解析函数与调和函数的关系1．解析函数的实虚部均为调和函数2. 满足一定条件的调和函数也可确定解析函数：例知调和函数v ，求解析函数u iv +不定积分法步骤(1). 将'()vvf z i y x ∂∂=+∂∂中的,x y 用z 表示：将关于y 的运算转为关于iy 的运算(2). 将'()f z 关于z 求不定积分得()f z偏积分步骤：围绕C-R 方程展开由C-R 方程中的任一个uvx y ∂∂=∂∂得1(,)()uu dx h x y g y x ∂==+∂⎰利用v ux y∂∂=-∂∂得12'()()g y g y=。
第三章：幂级数展开1. 一致收敛的复变项级数已知复变项级数： +++++=∑∞=)()()()()(2100z w z w z w z w z w k k k ，该级数的前1+n 项和)()()()()(2100z w z w z w z w z w n nk k ++++=∑= 称为级数的部分和。
把部分和序列∑=n k k z w 0)(表示为∑∑∑===+=nk k n k k n k k y x v i y x u z w 0),(),()(，则有：∑∑∑=∞→=∞→=∞→+=nk k n n k k n n k k n y x v i y x u z w 0),(lim ),(lim )(lim这样把复变项级数的收敛问题归结为两个实变项级数。
复变项级数的收敛性和一致收敛性：任给一个数0>ε，总可找出一个),(z N ε，使得当),(z N n ε>时，对于区域E （或曲线l ）上的所有点z 来说，部分和满足不等式ε<-∑=)()(0z w z w nk k ，则称级数∑∞=0)(k k z w 在区域E （或曲线l ）上收敛于函数)(z w ，如果)(εN 只与ε有关，则称级数∑∞=0)(k k z w 在区域E （或曲线l ）上一致收敛于函数)(z w 。
复变项级数在区域E （或曲线l ）上收敛和一致收敛的充要条件（柯西判据）： 对于区域E （或曲线l ）上的所有点z ，任给一个数0>ε，总可找出一个),(z N ε，使得当),(z N n ε>时，有不等式ε<∑++=pn n k kz w1)(（其中p 为任意正整数），则级数∑∞=0)(k kz w在区域E （或曲线l ）上收敛于函数)(z w ；如果)(εN 只与ε有关，则级数∑∞=0)(k k z w 在区域E （或曲线l ）上一致收敛于函数)(z w 。
绝对收敛：如果复变项级数各项的模组成的级数∑∞=0)(k k z w 收敛，则称复变项级数∑∞=0)(k kz w绝对收敛。
