浙江专版2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性课件

重点强化训练(一) 函数的图象与性质A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( )【导学号：51062063】A ．－12B.12 C ．2D ．－2B [因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.]2．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3C [用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.]3．函数f (x )＝3x＋12x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)C [因为函数f (x )在定义域上单调递增， 又f (－2)＝3－2－1－2＝－269＜0，f (－1)＝3－1－12－2＝－136＜0， f (0)＝30＋0－2＝－1＜0，f (1)＝3＋12－2＝32＞0，所以f (0)·f (1)＜0，所以函数f (x )的零点所在区间是(0,1)．]4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0,2]C [∵f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log 2a ≤1，即1≤a ≤2.∵f (x )是偶函数，∴f (log 2a )≤f (－1)．又f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log 2a ≤0，∴12≤a ≤1.综上可知12≤a ≤2.]5．(2017·湖州质检(二))若f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∀x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，则( )A ．f (3)＜f (1)＜f (－2)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (－2)＜f (1)D [由对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，f x 2－f x 1x 2－x 1＜0得函数f (x )为[0，＋∞)上的减函数，又因为函数f (x )为偶函数，所以f (3)＜f (2)＝f (－2)＜f (1)，故选D.]二、填空题6．函数y ＝f (x )在x ∈[－2,2]上的图象如图2所示，则当x ∈[－2,2]时，f (x )＋f (－x )＝________. 【导学号：51062064】图20 [由题图可知，函数f (x )为奇函数， 所以f (x )＋f (－x )＝0.]7．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________．[0,1] [设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知，f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ≥0，解得0＜a ≤1，所以0≤a ≤1.]8．(2017·温州质检)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且f (2)＝0，则满足f (x －1)＜0的x 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(1,3) [依题意当x ∈(1，＋∞)时，f (x －1)＜0＝f (2)的解集为x ＜3，即1＜x ＜3；当x ∈(－∞，1)时，f (x －1)＜0＝f (－2)的解集为x ＜－1，即x ＜－1.综上所述，满足f (x －1)＜0的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(1,3)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝2x，当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解，两个解？ [解] 令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示.4分由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；10分当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解.15分 10．函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值.【导学号：51062065】[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2，f ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，4分解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x .6分 (2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x ＞1).8分∵x 2x －1＝x －2＋x －＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2x －1x －1＋2＝4. 12分当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·浙江五校二联)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＜f (1)的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)C [f (x )为R 上的奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝－f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＝|fx ＋fx2＝|f (ln x )|，即原不等式可化为|f (ln x )|＜f (1)，所以－f (1)＜f (ln x )＜f (1)，即f (－1)＜f (ln x )＜f (1)．又由已知可得f (x )在R 上单调递增，所以－1＜ln x ＜1，解得1e＜x ＜e ，故选C.]2．已知函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 019)的值为________．0 [g (－x )＝f (－x －1)，由f (x )，g (x )分别是偶函数与奇函数，得g (x )＝－f (x ＋1)，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，则f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)＝g (0)＝0.]3．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． [解] (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0.4分 (2)f (x )为偶函数.5分 证明如下：令x 1＝x 2＝－1， 有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数.10分(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16).12分又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴0<|x－1|<16，解得－15<x<17且x≠1，14分∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}.15分。

第三节 函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( ) (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( ) (4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13C.12D ．－12B [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.]3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x ＋e xD [A 选项定义域为R ，由于f (－x )＝1＋－x 2＝1＋x 2＝f (x )，所以是偶函数．B选项定义域为{x |x ≠0}，由于f (－x )＝－x －1x＝－f (x )，所以是奇函数．C 选项定义域为R ，由于f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x ＋2x＝f (x )，所以是偶函数．D 选项定义域为R ，由于f (－x )＝－x ＋e －x＝1ex －x ，所以是非奇非偶函数．]4．若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.－2 [∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－4＝－2，f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2＋0＝－2.]5．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________.x (1－x ) [当x ＜0时，则－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )．](1)f (x )＝x 3－2x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.【导学号：51062025】[解] (1)定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝－x 3＋2x ＝－(x 3－2x )＝－f (x )． ∴该函数为奇函数.4分(2)由1－x 1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数.8分(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x ＜0时，－x ＞0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数.15分 [规律方法] 1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断．[变式训练1] (1)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数(2)判断函数f (x )＝3－x 2＋x 2－3的奇偶性．(1)C [A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，A 错．B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数，B 错．C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确．D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．](2)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，∴x ＝±3，4分即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.10分 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.15分(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________.(1)1 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0[(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， 即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.][规律方法] 1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；2．已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f (x )的方程(组)，从而可得f (x )的值或解析式．[变式训练2] 设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A．－3 B．－1C．1 D．3A[因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.]时，f(x)＝2x －x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝________. 【导学号：51062026】1 009 [∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝2.又当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，f(0)＋f(1)＝1.∴f(0)＋f(1)＝f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＝…＝f(2 016)＋f(2 017)＝1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.][迁移探究1] 若将本例中“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝－f(x)”，则结论如何？[解]∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x).5分故函数f(x)的周期为2.8分由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.15分[迁移探究2] 若将本例中“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝1f x”，则结论如何？[解]∵f(x＋1)＝1f x，∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝1f x ＋＝f(x).5分故函数f(x)的周期为2.8分由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.15分[规律方法] 1.判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质．2．函数周期性的三个常用结论：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a，(3)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a(a＞0)．[变式训练3] (2017·杭州模拟(一))已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f (x )，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－1＜x ≤0，－1，0＜x ≤1，则下列函数值为1的是( )A ．f (2.5)B ．f (f (2.5))C ．f (f (1.5))D ．f (2)D [由f (x ＋1)＝－f (x )知f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，于是f (x )是以2为周期的周期函数，从而f (2.5)＝f (0.5)＝－1，f (f (2.5))＝f (－1)＝f (1)＝－1，f (f (1.5))＝f (f (－0.5))＝f (1)＝－1，f (2)＝f (0)＝1，故选D.][思想与方法]1．函数奇偶性的三个常用性质(1)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0. (2)若f (x )为偶函数，则f (|x |)＝f (x )．(3)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性．3．在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用．[易错与防范]1．判断函数的奇偶性，应首先判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．3．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不能用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．课时分层训练(五) 函数的奇偶性与周期性A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·嘉兴三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0B [y ＝x cos x 是奇函数，y ＝lg x 2－2和y ＝x sin x 是偶函数，y ＝e x ＋x 2是非奇非偶函数，故选B.]2．函数y ＝log 21＋x1－x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称A [由1＋x 1－x ＞0得－1＜x ＜1，即函数定义域为(－1,1)，又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x1－x ＝－f (x )，∴函数y ＝log 21＋x1－x为奇函数，故选A.]3．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2D [由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x <0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D.]4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝( ) 【导学号：51062027】A ．－2B ．2C ．－98D ．98A [∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)． 又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2， 即f (2 019)＝－2.]5．对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝cos(x ＋1)D [由f (x )为准偶函数的定义可知，若f (x )的图象关于x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )为准偶函数，A ，C 中两函数的图象无对称轴，B 中函数图象的对称轴只有x ＝0，而D 中f (x )＝cos(x ＋1)的图象关于x ＝k π－1(k ∈Z )对称．]二、填空题6．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________. 【导学号：51062028】－－x －1 [∵f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x ＜0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.] 7．(2017·浙江五校二模)函数f (x )＝x ＋x ＋ax是奇函数，则实数a ＝________.－2 [由题意知，g (x )＝(x ＋2)(x ＋a )为偶函数，∴a ＝－2.]8．(2017·杭州模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________．1 [由题意得f (2)＝f (－2＋4)＝f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＝0.∵f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (2)－f (3)＝1.] 三、解答题9．若f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1，求f (x )的表达式. 【导学号：51062029】[解] 在f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1中用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1－x2－－x ＋1，4分又f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， 所以－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，8分联立方程⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋g x ＝1x 2－x ＋1，－f x ＋g x ＝1x 2＋x ＋1，12分两式相减得f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－x ＋1－1x 2＋x ＋1＝x x 4＋x 2＋1.15分 10．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式． [解] (1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (2－1)＝f (－1)＝－f (1)，4分 ∴f (1)＝0，f (－1)＝0.7分(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． 由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，10分综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈，，－2x 4x＋1，x ∈－1，，0，x ∈{－1，0，1}.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 018)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2 A [∵g (－x )＝f (－x －1)，∴－g (x )＝f (x ＋1)．又g (x )＝f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 018)＝f (4×504＋2)＝f (2)＝2.]2．(2017·浙江镇海中学测试卷二)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2，x <2，x 2，x ≥2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________，若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是________.【导学号：51062030】254 (－∞，2] [因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝52， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝254.因为函数f (x )在实数集上单调递增，故有a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.] 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． [解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .2分 又f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.7分(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数， 要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2＞－1，a －2≤1，12分所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3].15分。

第三节函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特色假如关于函数( )的定义域内任意一个，都有(－)＝偶函数关于y轴对称f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数假如关于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝奇函数关于原点对称－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数2．函数的周期性(1)周期函数关于函数f (x)，假如存在一个非零常数，使适合x取定义域内的任何值时，都有f(xT＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期假如在周期函数的最小正周期．[小题体验]f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)1．(2018·杭州模拟)已知函数f(x)是奇函数，且当x＜021时，f(x)＝2x－x，则f(1)的值是( )A．－3B．－1C．1D．3分析：选A由于函数f(x)为奇函数，因此f(1) ＝－f(－1)＝－－2－ 1－＝－3，应选A.2．(2018·台州月考)偶函数y＝f(x)在区间[0,4] 上单调递减，则有( )πA．f(－1)＞f3＞f(－π)πB．f3＞f(－1)＞f(－π)πC．f(－π)＞f(－1)＞f3D ．f (－1)＞f (－π)＞fπ3ππ分析：选A 由题意得，0＜1＜3＜π＜4?f (－1)＝f (1)＞f3＞f (π)＝f (－π)，应选A.3．(2018·金华模拟)已知函数y ＝f (x )为R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－3，则f (6)＝____________，f (f (0)) ＝________________.分析：∵当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－3， ∴ f (6)＝log 2(6＋2)－3＝3－3＝0， f (0)＝1－3＝－2，∵函数y ＝f (x )为R 上的偶函数， ∴ f (f (0))＝f (－2)＝f (2)＝2－3＝－1. 答案：0－11．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域能否关于原点对称．定义域关于原点对 称是函数拥有奇偶性的一个必需条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，一定对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )或f (－ x )＝f (x )，而不可以说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判准时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在 整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么 a ＋b 的值是( )1 1 1 1 A ．－3 B.3C.2D ．－2分析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝113.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝3.x 2＋2x ＋1，x ＞0，2．(2018·宁波模拟)若函数f (x )＝a ，x ＝0，为奇函数，则a ＝gx ，x ＜0 ________，f (g (－2))＝________.分析：由题意a ＝f (0)＝0，g (2x )＝f (x )， 因此g (－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－4， 因此f (g (－2))＝f (－4)＝－f (4)＝－25. 答案：0－25考点一函数奇偶性的判断基础送分型考点——自主练透[题组练透]判断以下函数的奇偶性：1－x(1)f(x)＝(x＋1)1＋x；－x2＋2x＋1，x＞0，(2)f(x)＝x2＋2x－1，x＜0；4－x2(3)f(x)＝x2；(4)f(x)＝log a(x＋x2＋1)(a＞0且a≠1)．1－x解：(1)由于f(x)有意义，则满足1＋x≥0，因此－1＜x≤1，因此f(x)的定义域不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数．(2)法一：(定义法)当x＞0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．因此f(x)为奇函数．法二：(图象法)作出函数f (x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特色知函数f( )为奇函数．x4－x2≥0，因此－2≤x≤2且x≠0，(3)由于x2≠0，因此定义域关于原点对称．又f(－x)＝4－－x 2 4－x22 ＝2，－x x因此f(－x)＝f(x)．故函数f(x)为偶函数．(4)函数的定义域为R，由于f(－x)＋f(x)＝log a [－x＋－x 2＋1] ＋log a(x＋x2＋1)a ( 2 a 2＋1＋x)＝log x＋1 －x)＋log( x＝log a [( x2＋1－x)( x2＋1＋x)]＝log a(x2＋1－x2)＝log a1＝0，即f(－x)＝－f(x)，因此f(x)为奇函数．[牢记通法]判断函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提示](1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x 都满足同样的关系时，才能判断其奇偶性．考点二函数的周期性要点保分型考点——师生共研[典例引领](1)已知函数f(x)＝－x，0≤x≤1，若对任意的n∈N*，定义f n(x)＝f{f[fx－1，1＜x≤2，n个f(x)]}，则f2019(2)的值为( )A．0 B．1 C．2 D．3(2)设定义在R 上的函数 f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1) ＋f (2)＋＋f(2019) ＝________.分析：(1) ∵f (2)＝f (2)＝1，f2(2)＝f (1)＝0，f (2)＝f (0)＝2，13∴f n (2)的值拥有周期性，且周期为 3，∴f 2019(2) ＝f 3×673(2)＝f 3(2)＝2，应选C.(2)∵f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝2，∵当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2， ∴f (0) ＝0，f (1)＝1， ∴f (0) ＝f (2)＝f (4)＝＝f(2018)＝0，f (1)＝f (3)＝f (5)＝＝f (2 019)＝1. 故f (0)＋f (1)＋f (2)＋＋f (2019)＝1010.答案：(1)C(2)1010[由题悟法]1．判断函数周期性的2个方法 (1) 定义法． (2) 图象法．2．周期性3个常用结论(1) 若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a . (2)若f ( x＋)＝1 ，则＝2.af xTa(3)若f (x ＋a )＝－f1，则 T ＝2a (a ＞0)．x[ 即时应用]1．已知函数f (x )的定义域为R ，当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )1x ＋ 1 ＝f x － 1，则f (6) 等于()＝－f (x )；当x ＞时，f2 22A ．－2B ．－1C ．0D ．21＋11分析：选D 当x ＞2时，fx 2＝f x －1，则f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝2，即周期为－[(－1)3－1]＝2.2．已知定义在R 上的函数满足f ( x ＋2)＝－1，∈(0,2]时，( x )＝2 x －1.则f (1)fxxf＋f (2)＋f (3) ＋＋f (2018) 的值为________．分析：∵f (x ＋2)＝－f1，x ∴f (x ＋4)＝－f 1＝f (x )， x ＋ ∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4. 又x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)11， ＝－f＝－f (4) 1 1＝－f＝－ 3.∴ f (1)＋f (2)＋f (3)＋＋f (2018) ＝ 504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＋f (504×4＋2)1＝ 5041＋3－1－3＋1＋3 ＝ 1348. 答案：134813．(2018·温州模拟)已知定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2＋fx －f 2x ，则f (0)＋f (2017)的最大值为________．分析：由于f (x ＋1)1f x －f 2x ，＝2＋1212 1因此f x ＋－2＋fx －2 ＝4.令 ( x )＝f 2( x)－( x )，则(x ＋1)＋( )＝－ 1 ，(＋2)＋( ＋1)＝－1 ，因此 ( xgfggx4 gxgx 4g＋2) ＝g (x )，因此g (x )是以2为周期的函数，g (2017)＝g (1) ，因此f (2017)＝f(1)，f (0)122＋f (2017)＝f (0) ＋f (1) ＝f (0) ＋2＋f－f.令t ＝f－f≥0，则1±1－4t 2112f (0)＝2，t ∈ 0，＋f (1)＝1＋t ±21－4t ，令2t ＝sin θ≥0，2，因此f (0)则 f (0) ＋(1) 112 π 2＝1＋sinθ±cos θ＝1＋sinθ±4 ≤1＋.f22222 故所求最大值为1＋2.答案：1＋22考点三函数性质的综合应用题点多变型考点——多角探明[锁定考向]函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，此中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．常有的命题角度有：(1)奇偶性的应用；(2)单调性与奇偶性结合；(3)周期性与奇偶性结合；(4)单调性、奇偶性与周期性结合．[题点全练]角度一：奇偶性的应用1．(2018·福建三明模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x＜0 时，f(x)＝2 x，则当x＞0时，f(x)＝( )A．－2x B．2－xC．－2－x D．2x分析：选C x＞0时，－x＜0，∵x＜0时，f(x)＝2x，∴当x＞0 时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＞0 时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.应选C.角度二：单调性与奇偶性结合2．(2019·嘉兴质检)已知f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)单调递加，f(1)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围为( )A．{x|0＜x＜1或x＞2} B．{x|x＜0或x＞2}C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|x＜－1或x＞1}分析：选A 由于函数f(x)为奇函数，因此f(－1)＝－f(1) ＝0，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递加，因此可作出函数f(x)的表示图，如图，则不等式f(x－1)＞0可转变成－1＜x－1＜0或x－1＞1，解得0＜x＜1或x＞2.角度三：周期性与奇偶性结合3．(2019·宁波月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)＞1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)分析：选D∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，∴f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又∵函数f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)＞1，∴a＞1，即a∈(1，＋∞)．角度四：单调性、奇偶性与周期性结合4．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则以下结论正确的选项是( )A．0＜f(1) ＜f(3) B．f(3) ＜0＜f(1)C．f(1)＜0＜f(3) D．f(3) ＜f(1) ＜0分析：选C 由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因此f(3)＝f(－1)．又f(x)在[0,2)上单调递减，因此函数f(x)在(－2,2)上单调递减，因此f(－1)＞f(0)＞f(1)，即f(1)＜0＜f(3)．应选C.[通法在握]函数性质综合应用问题的常有种类及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多观察求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转变到已知分析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题平时先利用周期性转变自变量所在的区间，而后利用奇偶性和单调性求解．[演练冲关]1．(2018·杭二一模)以下函数中，既是奇函数，又是增函数的为( )A．y＝x＋1 B．y＝－x21C．y＝x D．y＝x|x|分析：选D 关于A，y＝x＋1为非奇非偶函数，不满足条件．关于B，y＝－x2是偶函1数，不满足条件．关于C，y＝x是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．关于D，设f(x)＝x|x|，则f(－x)＝－x|x|＝－f(x)，则函数为奇函数，当x＞0时，y＝x|x|＝x2，此时为增函数，当x≤0时，y＝x|x|＝－x2，此时为增函数，综上，y＝x|x|在R上为增函数．应选D.2．(2018·台州测试)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意的x∈[a－1，a＋1]，关于x的不等式f(x2＋a)＞a2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是( )A．(0,2] B ．(0,4]C．(0，＋∞)D．[2，＋∞)分析：选C 当x≥0时，f(x)＝x2，∵函数是奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－x2，x2，x≥0，∴f(x)＝－x2，x＜0，∴f(x)在R上是单调递加函数，且满足a2f(x)＝f(ax)，∵不等式f(x2＋a)＞a2f(x)＝f(ax)在x∈[a－1，a＋1]恒成立，∴x2＋a＞ax在x∈[a－1，a＋1]恒成立，令( )＝x 2ax ＋，函数的对称轴为xa －＝，gx a 2a 2当2＜a－1，即a＞2 时，不等式恒成立，可得g(a－1)＝(a－1)－a( a－1)＋a＝1＞0 恒成立；a a a2 a当a－1≤2≤a＋1，即－2≤a≤2时，不等式恒成立，可得g2 ＝2－a2＋a＞0恒成立，解得a∈(0,2] ；a 2当2＞a＋1，即a＜－2时，不等式恒成立，可得g(a＋1)＝(a＋1) －a(a＋1)＋a＝2a ＋1＞0，无解；综上，a＞0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江名校协作体联考)以下函数为奇函数的是( )A．y＝x B．y＝e xC．y＝cos xx －x D．y＝e －e分析：选D关于A，定义域不关于原点对称，故不吻合要求；关于B，y＝e x为非奇非偶函数，故不吻合要求；关于C，满足f(－x)＝f(x)，故不吻合要求；－x x x －x关于D，∵f(－x)＝e －e＝－(e－e )＝－f(x)，∴y＝e x－e－x为奇函数，应选D.2．设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－2)＝( )1 1A．－2 B．2C．2 D．－2由已知得f(－2)＝f( 1分析：选B 2)＝log2 2＝2.13．函数f(x)＝x＋x＋1，f(a)＝3，则f(－a)的值为( ) A．－3 B．－1C．1 D．2分析：选B 由题意得f ( )＋(－)＝＋1＋1＋(－)＋1＋1＝2.a f a a a a －a∴f(－a)＝2－f(a)＝－1，应选B.4．(2019·绍兴六校联考)若函数f ( )＝ln(e x＋1)＋ax为偶函数，则实数＝________. x a分析：法一：(定义法)∵函数f(x)＝ln(e x＋1)＋ax为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即ln(e－x ＋1)－ax＝ln(e x ＋1)＋ax，∴2ax＝ln(e －x ＋1)－ln(e x e－x＋1 1x x1＝－1，解得a＝－2.法二：(取特别值)由题意知函数f(x)的定义域为R，由f(x)为偶函数得f(－1)＝f(1)，－1＋1)－a＝ln(e 1＋a，∴2a＝ln(e－1 1e－1＋1 1∴ln(e ＋1) ＋1) －ln(e ＋1) ＝ln e＋1 ＝ln e＝－1，∴1a＝－2.1答案：－23 5．设函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，则f2 ＝________.分析：依题意得，f (2＋) ＝(x)，(－)＝(x)，x f f x f3 1 1 1 3 则f 2＝f －2＝f 2＝2＋1＝2.3答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·浙江名校协作体联考 )已知 f (x )是定义在R 上的奇函数，当 x ≥0时，f (x )＝3x ＋(为常数)，则 f (－log 35)的值为()mmA ．4B ．－4C ．6D ．－6分析：选B由 f ( x )是定义在 R 上的奇函数得 f(0)＝1＋＝0?＝－1， (－log 35)＝m m f－ f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4，选B.2．奇函数f (x )的定义域为R.若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝()A ．－2C ．0B D．－1 ．1分析：选D由函数f (x ＋2)为偶函数可得，f (2＋x )＝f (2－x )．又f (－x )＝－f (x )，故f (2－x )＝－f (x －2)， 因此f (2＋x )＝－f (x －2)，即f (x ＋4)＝－f (x )．因此f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，故该函数是周期为8的周期函数． 又函数f (x )为奇函数，故f (0)＝0.因此f (8) ＋f (9)＝f (0)＋f (1)＝0＋1＝1.3．(2018·宁波适应性考试)若函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，y ＝g (x )是R 上的奇函数， 它们都是周期函数，则以下必定正确的选项是 ( )A ．函数y ＝(( ))是偶函数，函数y ＝ ( x )＋( x )是周期函数ggxf gB ．函数y ＝g (g (x ))是奇函数，函数y ＝f (x )g (x )不必定是周期函数 C ．函数y ＝f (g (x ))是奇函数，函数 y ＝f (g (x )) 是周期函数D ．函数 y ＝(( ))是偶函数，函数y ＝ ( x ) ( x )是周期函数f gx f g分析：选D ∵y ＝f (x )是R 上的偶函数，y ＝g (x )是R 上的奇函数，故有f (－x )＝f (x )，且g (－x )＝－g (x )．则g (g (－x ))＝g (－g (x ))＝－g (g (x ))， f (g (－x ))＝f (－g (x ))＝f (g (x ))；故g (g (x )) 为奇函数， f (g (x ))为偶函数，故消除 A 、C ；∵f (x )和g (x )都是周期函数，设它们的周期的最小公倍数为t ，即 f (x ＋t )＝f (x )，g (x ＋t )＝g (x )，令n (x )＝f (x )g (x )，则n (x ＋t )＝f (x ＋t )g (x ＋t )＝f (x )g (x )＝n (x )， ∴n (x )＝f (x )g (x )必定为周期函数，应选D.4．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x2－fx1＜0，则( )x2－x1A．f(3)＜f(－2)＜f(1) B ．f (1) ＜f(－2)＜f(3)C．f(－2)＜f(1)＜f(3) D．f (3) ＜f(1) ＜f(－2)分析：选A ∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2) ．又∵任意的x，x ∈[0，＋∞)( x≠x )，1 2 1 2f x2－f x1(1)＞f(2)＝f(－有x2－x1＜0，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．又∵1＜2＜3，∴f2)＞f(3)，应选A.5．(2018·温州十校联考)设函数＝(x )的定义域为，若关于任意x1，2∈，当x 1yf D x D ＋x2＝2a时，恒有f(x1)＋f(x2)＝2b，则称点(a，b)为函数y＝f(x)图象的对称中心．研究函数f(x)＝x＋sinπx－3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可获取f1 20182 3 4034 4035＋f 2018＋f2018＋＋f2018＋f2018 的值为( )A．－4035 B．4035C．－8070 D．8070分析：选C∵f(x)＝x＋sin πx－3，∴当x＝1 时，f(1)＝1＋sin π－3＝－2，∴依据对称中心的定义，可适合x1＋x2＝2 时，恒有f(x1)＋f(x2)＝－4，1 2 3 4034 4035∴f2018＋f2018＋f2018 ＋＋f 2018＋f2018 1 4035 2018＝2017×f2018＋f 2018 ＋f2018＝2017×(－4)－2＝－8070.2＋f x6．(2018·贵州适应性考试)已知f(x)是奇函数，g(x)＝f x .若g(2)＝3，则g(－2)＝________.2＋f分析：由题意可得g(2)＝ f ＝3，则f(2)＝1，又f(x)是奇函数，则f(－2)＝2＋f －2－1－1，因此g(－2)＝f －＝－1＝－1.答案：－117．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－1＋x2，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围为________．分析：由已知得函数f(x)为偶函数，因此f(x)＝f(| x|) ，由f(x)＞f(2x－1)，可得f(|x|)＞f(|2 x－1|) ．1 1当x＞0时，f(x)＝ln(1 ＋x)－1＋x2，由于y＝ln(1＋x)与y＝－1＋x2在(0，＋∞)上都单调递加，因此函数f(x)在(0，＋∞)上单调递加．由f(| x|)＞f(|2 x－1|) ，可得|x|＞|2x－1|，2 2 2 1两边平方可得x ＞(2x－1) ，整理得3x －4x＋1＜0，解得3＜x＜1.因此x的取值范围为1，1 . 31答案：3，18．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递加．若实数a满足f(2 |a－1| )＞f(－2)，则a的取值范围是________．分析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递加，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－2)＝f( 2)，∴f(2 |a－1|)＞f(|a－1| 12)，∴2 ＜2＝22，1 1 1 1 3∴|a－1|＜2，即－2＜a－1＜2，即2＜a＜2.1 3答案：2，2x 9．设f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝1－3x.(1)求当x＜0时，f(x)的分析式；x(2)解不等式f(x)＜－.8解：(1)由于f(x)是奇函数，因此当x＜0时，f(x)＝－f(－x)，－x＞0，x又由于当x＞0时，f(x)＝1－3x，因此当x＜0时，f(x)＝－f(－x)－xx＝－1－3－x＝1－3－x.xxx(2)f(x)＜－8，当x＞0时，即1－3x＜－8，1 1 1 1 x因此1－3x＜－8，因此3x－1＞8，因此3 －1＜8，解得x＜2，因此x∈(0,2) ．当x＜0时，即x－x＜－x，因此 1－x＞－1，1－3 8 1－3 8－x 2因此3 ＞3，因此x＜－2，因此解集是(－∞，－2)∪(0,2)．－x2＋2x，x＞0，10．已知函数f(x)＝0，x＝0，是奇函数．x2＋mx，x＜0(1)务实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递加，务实数a的取值范围．解：(1)设x＜0，则－x＞0，因此f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，因此f(－x)＝－f(x)，于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，因此m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递加，作出f(x)的图象如图所示，－2＞－1，f ( x)的图象知 a结合因此1＜≤3，故实数的a－2≤1，取值范围是(1,3]．三登台阶，自主选做志在冲刺名校x，x≥y，1．(2018·温州模拟)记max{ ，}＝若f ( )，( )均是定义在实数集Rx y y，x＜y，x gx上的函数，定义函数( )＝max{ (x )，(x)}，则以下命题正确的选项是( )hx f gA．若f(x)，g(x)都是单调函数，则h(x)也是单调函数B．若f(x)，g(x)都是奇函数，则h(x)也是奇函数C．若f(x)，g(x)都是偶函数，则h(x)也是偶函数D．若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则h(x)既不是奇函数，也不是偶函数分析：选C关于A，如f(x)＝x，g(x)＝－2x都是R上的单调函数，x，x≥0，而h(x)＝不是定义域R上的单调函数，故A错误；－2x，x＜0，关于B，如f(x)＝x，g(x)＝－2x都是R上的奇函数，x，x≥0，而h(x)＝不是定义域R上的奇函数，故B错误；－2x，x＜0，关于C，当f(x)，g(x)都是定义域R上的偶函数时，h (x )＝max{f (x )，g (x )}也是定义域R 上的偶函数，故C 正确；关于D ，如f (x )＝sinx 是定义域R 上的奇函数，g (x )＝x 2＋2是定义域R 上的偶函数，而h (x )＝g (x )＝x 2＋2是定义域R 上的偶函数，故D 错误．2．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x ) ＝ x .(1) 求f (π)的值；(2) 当－4≤x ≤4时，求函数f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 因此f (x )是以4为周期的周期函数，因此f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图象关于直线 x ＝1对称．又当0≤ ≤1时， f ( )＝ ，且 f ( x )的图象关于原点成中心对称， 则f ( )的图象如图所x xxx示．当－4≤ x ≤4时，设 f ( x )的图象与x 轴围成的图形面积为，则＝41 △OAB＝4××2×1SSS2＝ 4.。

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课时分层训练（五) 函数的奇偶性与周期性A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．（2017·嘉兴三模）在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2,y ＝lg 错误!,y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( ）A ．3B ．2C ．1D ．0B [y ＝x cos x 是奇函数，y ＝lg 错误!和y ＝x sin x 是偶函数，y ＝e x ＋x 2是非奇非偶函数，故选B.］2．函数y ＝log 2错误!的图象( ）A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称A ［由1＋x 1－x＞0得－1＜x ＜1， 即函数定义域为(－1，1),又f (－x )＝log 2错误!＝－log 2错误!＝－f （x )，∴函数y ＝log 21＋x 1－x为奇函数,故选A 。

] 3．已知函数f （x )的定义域为R .当x <0时，f (x ）＝x 3－1；当－1≤x ≤1时,f （－x ）＝－f (x ）；当x >错误!时，f 错误!＝f 错误!，则f (6)＝( ）A ．－2B ．－1C ．0D ．2 D ［由题意知当x >错误!时,f 错误!＝f 错误!，则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f （－x )＝－f (x ），∴f （6）＝f (1)＝－f （－1）．又当x 〈0时，f （x ）＝x 3－1，∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2。