3.1 变化的快慢与变化率 教案3(高中数学选修1-1北师大版)

课题：3.1变化的快慢与变化率教学目标：1、知识口标：通过牛活实例使学牛理解函数增量、两数的平均变化率的概念；掌握求简单函数平均变化率的方法，会求函数的平均变化率；理解函数的平均变化率的含义，引出函数的瞬时变化率概念，简单应用为下一节导数概念的学习打好基础。

2、能力目标：使学牛在研究过程中熟悉数学研究的途径：背景——数学表示——应用，培养学生独立思考，解决问题的能力和在生活中建立数学模型，用数学理论解释生活问题、应用数学的能力。

3、情感目标：使学牛•通过学习，了解简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一-般思想方法，鼓励学生主动探究、不惧困难，勇于挑战自我的思想品质。

并养成学生探究——总结型的学习习惯。

教学重点：函数自变量的增量、函数值的增量的理解函数平均变化率和瞬时变化率的理解和简单应用。

教学难点：函数平均变化率转化为瞬时变化率的理解。

教学方法：例举分析——归纳总结——实际应用教学过程：一、引入：1、情境设置：（图片）巍峨的珠穆朗玛峰、攀登珠峰的队员两幅陡哨程度不同的图片2、问题：当陡悄程度不同时，登山队员的感受是不一样的，如何用数学来反映山势的陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考呢？3、引入：让我们用函数变化的观点来研讨这个问题。

二、例举分析：（一）登山问题例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点,H是山顶，登山路线用y=f（x）表示C XO XI X2 X3 Xk Xk+1问题：当自变量X表示登山者的水平位置，函数值y表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？分析：1、选収平直山路AB放大研究若人(兀0，儿)，3(兀1』1)自变量x的改变量：Ax = X)- x()函数值y的改变最：Ay = X -儿直线AB的斜率：—R二儿_凡二AyX, -x0 Ax说切：当登山者移动的水平距离变化量一定(心为定值)时，垂直距离变化量(Ay )越大，则这段山路越陡悄；2、选収弯曲山路CD放大研究方法：可将其分成若干小段进行分析：如CD】的陡峭程度可用直线CD】的斜率表示。

3.1 变化快慢与变化率学习目标 1.理解函数平均变化率和瞬时变化率概念.2.会求物体运动平均速度并估计瞬时速度.知识点一 函数平均变化率 观察图形，答复以下问题：思考1 函数f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率大小与曲线在区间上陡峭程度有何关系？ 答案 (1)y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度“数量化〞，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化〞.(2)平均变化率绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭〞，反之亦然. 思考2 怎样理解自变量增量、函数值增量？答案 (1)自变量增量：用Δx 表示，即Δx ＝x 2－x 1，表示自变量相对于x 1“增加量〞. (2)函数值增量：用Δy 表示，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，也表示为f (x 1＋Δx )－f (x 1)，表示函数值在x 1“增加量〞.(3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值增量还可以是0，比方常数函数，其函数值增量就是0. 梳理 平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值改变量与自变量改变量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢.(4)几何意义：P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )图像上两点，那么平均变化率ΔyΔx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2斜率.知识点二 瞬时变化率思考1 物体平均速度能否准确反映物体运动状态？答案 不能.如高台跳水运发动从起跳高度到最高点然后回到起跳高度过程中，平均速度为0，而运发动一直处于运动状态.思考2 如何描述物体在某一时刻运动状态？答案 可以使用瞬时速度准确描述物体在某一时刻运动状态.梳理 要求物体在t 0时刻瞬时速度，设运动方程为s ＝s (t )，可先求物体在(t 0，t 0＋Δt )内平均速度Δs Δt ＝s t 0＋Δt －st 0Δt，然后Δt 趋于0，得到物体在t 0时刻瞬时速度.类型一 函数平均变化率 命题角度1 求函数平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1，2，3附近平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近平均变化率最大？解 在x ＝1附近平均变化率为k 1＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近平均变化率为k 2＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝2＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近平均变化率为k 3＝f 3＋Δx －f 3Δx ＝3＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近平均变化率最大. 反思与感悟 求平均变化率主要步骤 (1)先计算函数值改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练1 (1)函数f (x )＝x 2＋2x －5图像上一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，那么ΔyΔx＝ .(2)如下图是函数y ＝f (x )图像，那么函数f (x )在区间[－1，1]上平均变化率为 ；函数f (x )在区间[0，2]上平均变化率为 .答案 (1)Δx (2)12 34解析 (1)Δy Δx ＝f－1＋Δx －f －1Δx＝－1＋Δx2＋2－1＋Δx －5－－6Δx＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1，1]上平均变化率为f 1－f －11－－1＝2－12＝12. 由函数f (x )图像知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0，2]上平均变化率为 f 2－f 02－0＝3－322＝34.命题角度2 平均变化率几何意义例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上两点P (1，0)和Q (1＋Δx ，Δy )作曲线割线，割线PQ 斜率为2，求Δx 值.解 割线PQ 斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 平均变化率Δy Δx .∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(12－1)＝Δx ＋(Δx )2， ∴割线PQ 斜率k ＝ΔyΔx＝1＋Δx .又∵割线PQ 斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1.反思与感悟 函数y ＝f (x )从x 1到x 2平均变化率实质是函数y ＝f (x )图像上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2斜率，即12P P k ＝Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1. 跟踪训练2 (1)甲，乙两人走过路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 关系如下图，那么在[0，t 0]这个时间段内，甲，乙两人平均速度v 甲，v 乙关系是( )A.v 甲>v 乙B.v 甲<v 乙C.v 甲＝v 乙(2)过曲线y ＝f (x )＝x1－x 图像上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx ，－2＋Δy )作割线，那么当Δx . 答案 (1)B (2)23解析 (1)设直线AC ，BC 斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上平均变化率v 乙＝k BC . 因为k AC <k BC ，所以v 甲<v 乙.(2)当Δx ＝0.5时，2＋Δx ＝2.5，故－2＋Δy ＝,1－2.5)＝－53，故k PQ ＝－53＋22.5－2＝23.类型二 求函数瞬时变化率例3 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛物体，t 秒时高度s 与t 函数关系为s ＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处瞬时速度.解 因为Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，所以Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于v 0－gt 0，故物体在时刻t 0处瞬时速度为v 0－gt 0. 反思与感悟 (1)求瞬时速度步骤①求位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； ②求平均速度v ＝ΔsΔt；③当Δt 趋于0时，平均速度ΔsΔt 趋于瞬时速度.(2)求当Δx 无限趋近于0时Δy Δx值 ①在表达式中，可把Δx 作为一个数来参加运算；②求出ΔyΔx表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可.跟踪训练3 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，假设质点M 在t ＝2 s 时瞬时速度为8 m/s ，求常数a 值. 解 质点M 在t ＝2时瞬时速度即为函数在t ＝2处瞬时变化率. ∵质点M 在t ＝2附近平均变化率 Δs Δt ＝s 2＋Δt －s 2Δt＝a 2＋Δt2－4aΔt＝4a ＋a Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于4a ，∴4a ＝8，得a ＝2.f (x )，当自变量由x 0变化到x 1时，函数值增量与相应自变量增量之比是函数( ) x 0处变化率B.在区间[x 0，x 1]上平均变化率x 1处变化率答案 B 解析Δy Δx＝f x 1－f x 0x 1－x 0，由平均变化率定义可知，应选B.s ＝3＋2t ，那么在[2，2.1]这段时间内平均速度是( )A.0.4 C.0.3答案 B 解析s 2.1－s 22.1－2＝3＋2×2.1－3＋2×20.1＝2.s 与时间t 函数关系是s ＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻瞬时速度为零，那么相应时刻为( ) A.t ＝1 B.t ＝2 C.t ＝3 D.t ＝4答案 B解析 设此物体在t 0时刻瞬时速度为0， Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt＝－8t 0＋16－4Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于－8t 0＋16，令－8t 0＋16＝0，解得t 0＝2.4.球半径从1增加到2时，球体积平均膨胀率为 . 答案28π3解析 ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴球体积平均膨胀率为Δy Δx ＝28π3.f (x )＝3x 2＋2在x 0＝1，2，3附近Δx 取12时平均变化率分别为k 1，k 2，k 3，比拟k 1，k 2，k 3大小.解 函数在[x 0，x 0＋Δx ]上平均变化率为6x 0＋3Δx . 当x 0＝1，Δx ＝12时，函数在[1，1.5]上平均变化率为k 1＝6×1＋3×0.5＝7.5；当x 0＝2，Δx ＝12时，函数在[2，2.5]上平均变化率为k 2＝6×2＋3×0.5＝13.5；当x 0＝3，Δx ＝12时，函数在[3，3.5]上平均变化率为k 3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k 1<k 2<k 3.1.平均变化率反映函数在某个范围内变化快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化快慢.2.可以使用逼近思想理解瞬时变化率，同时结合变化率实际意义.40分钟课时作业一、选择题y ＝f (x )＝sin x ，当x 从π6变到π2时，函数值改变量Δy 等于( )A.－12B.12C.π3D.32答案 B解析 Δy ＝f (π2)－f (π6)＝sin π2－sin π6＝12.s ＝5－3t 2，假设该质点在时间段[1，1＋Δt ]内相应平均速度为－3Δt －6，那么该质点在t＝1时瞬时速度是( )A.－3B.3C.6D.－6 答案 D解析 由平均速度和瞬时速度关系可知，当Δt 趋于0时，－3Δt －6趋于－6，故该质点在t ＝1时瞬时速度为－6.3.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2答案 B解析 依题意可知Δy ＝y B －y A ＝1－3＝－2， Δx ＝x B －x A ＝3－1＝2，所以函数y ＝f (x )在x A 到x B 之间平均变化率为 Δy Δx ＝－22＝－1. 4.甲、乙两厂污水排放量W 与时间t 关系如下图，那么治污效果较好是( )A.甲 C.一样 答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 但是在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0－Δt Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2t 0－W 2t 0－Δt Δt ，所以在一样时间Δt 内，甲厂比乙厂平均治污率小. 所以乙厂治污效果较好.f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间平均变化率为k 2，那么k 1，k 2大小关系是( )A.k 1<k 2B.k 1>k 2C.k 1＝k 2 答案 D 解析 k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－ΔxΔx＝2x 0－Δx ，而Δx可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定.y ＝f (x )＝ax ＋b 在区间[1，2]上平均变化率为3，那么( )A.a ＝－3B.a ＝3C.a ＝2D.a 值不能确定答案 B 解析Δy Δx＝f 2－f 12－1＝a ＝3.s ＝2t 2＋at ＋1，该物体在t ＝1时瞬时速度为3，那么a 等于( )A.－1 C.1答案 A 解析 Δs Δt＝s 1＋Δt －s 1Δt＝21＋Δt2＋a1＋Δt ＋1－2＋a ＋1Δt＝a ＋4＋2Δt ，当Δt 趋于0时，a ＋4＋2Δt 趋于a ＋4， 由题意知a ＋4＝3，得a ＝－1. 二、填空题s 和时间t 之间函数图像如下图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上平均速度分别为v1，v 2，v 3，那么三者大小关系为 .答案 v 1<v 2<v 3解析 v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图像知，k OA <k AB <k BC .f (x )＝1x2＋2在x ＝1处瞬时变化率为 .答案 －2 解析 ∵Δy ＝11＋Δx2＋2－(112＋2)＝11＋Δx2－1＝－2Δx －Δx 21＋Δx2，∴Δy Δx ＝－2－Δx 1＋Δx2， 当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于－2.f (x )＝－x 2＋x 图像上一点A (－1，－2)及邻近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，那么Δy Δx＝ .答案 3－Δx解析 ∵－2＋Δy ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－－1＋Δx2＋－1＋Δx －－2Δx＝3－Δx .f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上平均变化率为2，那么t ＝ .答案 5解析 函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上平均变化率是Δy Δx ＝f t －f －2t －－2＝t 2－t －－22－2t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去).所以当函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上平均变化率是2时，t 值是5. 三、解答题f (x )＝－x 2＋x 在[2，2＋Δx ](Δx >0)上平均变化率不大于－1，求Δx 取值范围.解 ∵函数f (x )在[2，2＋Δx ]上平均变化率为 Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝－2＋Δx2＋2＋Δx －－4＋2Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2. 又∵Δx >0，∴Δx 取值范围是(0，＋∞).13.假设一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 t ≥3 ①29＋3t －320≤t <3 ②求：(1)物体在t ∈[3，5]内平均速度； (2)物体初速度v 0； (3)物体在t ＝1时瞬时速度.解 (1)∵物体在t ∈[3，5]内时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3，5]内位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3，5]内平均速度为Δs Δt ＝482＝24 (m/s). (2)求物体初速度v 0即求物体在t ＝0时瞬时速度. ∵物体在t ＝0附近平均变化率为 Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－30－32Δt＝3Δt －18，∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－18，∴物体在t ＝0处瞬时变化率为－18， 即物体初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时瞬时速度即为函数在t ＝1处瞬时变化率. ∵物体在t ＝1附近平均变化率为 Δs Δt ＝f 1＋Δt －f 1Δt＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－31－32Δt ＝3Δt －12.∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－12，∴物体在t ＝1处瞬时变化率为－12. 即物体在t ＝1时瞬时速度为－12 m/s.。

瞬时变化率—导数
一、学习目标
1通过实例，理解并掌握导数的概念及几何意义并能灵活应用函数的定义求解导数。

2独立思考，小组合作，学会求导数的方法。

3缜密思维，激情投入，享受成功的快乐。

二、根底梳理
1曲线上一点处的切线
曲线C：=f，设，那么Δ→0时，
求
2求函数在=1处的导数
【变式训练】求函数f=-2在=-1处的导数
3求函数在点1，1处的切线方程。

：f=3
1求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；
2求过点1,1与f=3相切的直线
【变式训练】曲线上一点P1，2，求过点P的曲线的切线的倾斜角和切线方程
四、课堂小结
1知识方面
2思想方法方面。

第三章 变化率和导数 3．1．1瞬时变化率—导数教学目标:(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 (3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义,培养学生转化问题的能力及数形结合思想 教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程,代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题,是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x ）在区间［x A ，x B ］上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?下面我们来看一个动画.从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。

所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势 二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设P(x 1，f （x 1)）,Q （x 0，f （x 0)),则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --=，设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。

2、曲线上任一点（x 0，f （x 0））切线斜率的求法:xx f x x f k ∆-∆+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为（x 0，f(x 0））处切线的斜率.3、瞬时速度与瞬时加速度(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 (2) 位移的平均变化率：tt s t t s ∆-∆+)()(00(3）瞬时速度：当无限趋近于0 时，tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度求瞬时速度的步骤：1。

§1 变化的快慢与变化率授课提示：对应学生用书第30页一、平均变化率定义对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)．它的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1实质 函数的平均变化率可表示为函数值的改变量(Δy ＝f (x 2)－f (x 1))与自变量的改变量(Δx ＝x 2－x 1)的比值作用 刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢二、瞬时变化率定义对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0)，则当Δx 趋于0时，平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 趋于函数在x 0点的瞬时变化率实质 平均变化率为当自变量的改变量趋于0时的值 作用 刻画函数值在x 0点处变化的快慢[疑难提示]对平均变化率的正确理解(1)Δx 的意义：Δx 是相对于x 1的一个增量，可以是正数，也可以是负数，可以用x 1＋Δx 代替x 2.(2)Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0，式子中Δx ，Δy 的值都可正可负，但Δx 的值不能为0，Δy 的值可以为0，当f (x )为常数函数时，Δy ＝0.(3)一般地，现实生活中的变化现象和过程可以用函数来描述，所以这些实际问题的变化率的问题可以转化为函数的变化率．(4)为求点x 0附近的平均变化率，上述表达形式常写为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．[想一想]1．“瞬时变化率”刻画了函数的什么特征？ 提示：它刻画了函数在一点处变化的快慢．[练一练]2．函数y ＝f (x )，自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)解析：根据定义，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． 答案：D3．在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx ________0.(填“>”“<”或“≠”) 答案：≠授课提示：对应学生用书第31页探究一 求平均变化率[典例1] 已知函数f (x )＝2x 2＋1.(1)求函数f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率； (2)求函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率； (3)求当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．[解析] (1)由已知得Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝2Δx (2x 0＋Δx )， ∴Δy Δx ＝2Δx (2x 0＋Δx )Δx＝4x 0＋2Δx . (2)由(1)可知：Δy Δx ＝4x 0＋2Δx ，当x 0＝2，Δx ＝0.01时，ΔyΔx ＝4×2＋2×0.01＝8.02.(3)由(1)可知Δy Δx ＝4x 0＋2Δx ，当x 0＝1，Δx ＝12时，Δy Δx ＝4×1＋2×12＝5.1．求函数f (x )在[x 1，x 2]上的平均变化率的方法步骤是：(1)先求Δx ＝x 2－x 1； (2)再求Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (3)由定义求出Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．理解平均变化率要注意以下几点：(1)平均变化率f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0表示点(x 0，f (x 0))与点(x 1，f (x 1))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”；(2)为求点x 0附近的平均变化率，上述表达式常写为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式；(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．1．求函数y ＝f (x )＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率． 解析：∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2) ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5) ＝－8Δx －2(Δx )2， ∴ΔyΔx＝－8－2Δx . 即平均变化率为－8－2Δx . 2．已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(3)若设x 2＝x 1＋Δx ，分析(1)(2)问中的平均变化率的几何意义． 解析：(1)Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－2x 21－3x 1＋5 ＝4x 1Δx ＋2(Δx )2＋3Δx .当x 1＝4，且Δx ＝1时，Δy ＝4×4×1＋2＋3＝21， 所以平均变化率Δy Δx ＝211＝21.(2)当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，Δy ＝4×4×0.1＋0.02＋0.3＝1.92， 所以平均变化率Δy Δx ＝1.920.1＝19.2.(3)在(1)中，Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (5)－f (4)5－4，它表示曲线上点P 0(4,39)与P 1(5,60)连线所在直线的斜率；在(2)中，Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (4.1)－f (4)4.1－4，它表示曲线上点P 0(4,39)与P 2(4.1,40.92)连线所在直线的斜率．探究二 求瞬时变化率[典例2] 在赛车中，赛车位移与比赛时间t 存在函数关系s ＝10t ＋5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)．求：(1)t ＝20，Δt ＝0.1时，Δs 与ΔsΔt 的值；(2)求t ＝20时的瞬时速度．[解析] (1)Δs ＝s (20＋Δt )－s (20)＝10×(20＋0.1)＋5×(20＋0.1)2－10×20－5×202＝21.05(m)．Δs Δt ＝21.050.1＝210.5(m/s)． (2)Δs Δt ＝10×(20＋Δt )＋5×(20＋Δt )2－10×20－5×202Δt＝5Δt ＋210.当Δt 趋于0时，5Δt ＋210→210(m/s)， 因此，t ＝20时的瞬时速度为210 m/s.1．求瞬时变化率时首先要明确求哪个点处的瞬时变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步缩小区间长度，根据平均变化率变化情况估计出瞬时变化率．2．瞬时速度是平均速度在时间改变量趋向于零时，平均变化率逼近的值．3．一个物体的运动方程为s ＝1－t ，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬间速度是( )A ．1米/秒B ．－1米/秒C ．2米/秒D ．－2米/秒解析：由Δs Δt ＝[1－(3＋Δt )]－(1－3)Δt ＝－ΔtΔt ＝－1，得物体在3秒末的瞬间速度是－1米/秒．答案：B4．已知s (t )＝5t 2，(1)求t 从3秒到3.1秒的平均速度； (2)求t 从3秒到3.01秒的平均速度； (3)求t ＝3秒时的瞬时速度． 解析：(1)当3≤t ≤3.1时，Δt ＝0.1，Δs ＝s (3.1)－s (3)＝5×3.12－5×32＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)＝3.05， ∴Δs Δt ＝3.050.1＝30.5(m/s)． (2)当3≤t ≤3.01时，Δt ＝0.01，Δs ＝s (3.01)－s (3) ＝5×3.012－5×32＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)＝0.3005， ∴Δs Δt ＝0.30050.01＝30.05(m/s)． (3)在t ＝3附近取一个小时间段Δt ， 即3≤t ≤3＋Δt (Δt >0)∴Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝5×(3＋Δt )2－5×32 ＝5·Δt ·(6＋Δt )，∴Δs Δt ＝5Δt (6＋Δt )Δt ＝30＋5Δt . 当Δt →0时，ΔsΔt→30.∴在t ＝3时的瞬时速度为30 m/s.探究三 变化率的应用变化率的应用—⎪⎪⎪—平均变化率的几何意义—平均变化率的应用—瞬时变化率的应用5．过曲线f(x)＝x2＋1上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，求割线的斜率．解析：Δy＝(1＋Δx)2＋1－(1＋1)＝2Δx＋(Δx)2，所以ΔyΔx＝2Δx＋(Δx)2Δx＝2＋Δx.当Δx＝0.1时，2＋Δx＝2.1，所以直线PQ的斜率为2.1.6．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，试指出哪一个厂治污效果较好？解析：在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，但W1(t0)－W1(t0－Δt)Δt<W2(t0)－W2(t0－Δt)Δt，所以，在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．7．已知气球的体积V(L)与半径r(dm)之间的函数关系是V(r)＝43πr3.(1)写出r关于V的函数r(V)；(2)当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率为多少？当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球的平均膨胀率又是多少？(3)随着气球体积的增大，它的平均膨胀率变大还是变小了？解析：(1)∵V＝43πr3，∴r3＝3V4π，∴r＝33V4π(V>0)．(2)由已知可得，气球的平均膨胀率为：r(V2)－r(V1)V2－V1.∴由0 L到1 L的膨胀率为r(1)－r(0)1－0＝334π≈0.62(dm/L)．由1 L 到2 L 的膨胀率为：r (2)－r (1)2－1＝364π－334π≈0.16(dm/L)．(3)由(2)可知，随着气球体积的增大，它的半径增加得越来越慢，因此它的平均膨胀率逐渐减小．无限逼近(极限)思想的应用[典例] 求函数f (x )＝1x在x ＝1时的瞬时变化率． [解析] 因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －1 ＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )(1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx(1＋1＋Δx )1＋Δx，所以Δy Δx＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx. 当Δx 趋于零时，Δy Δx 无限趋近于常数－12，故函数f (x )＝1x在x ＝1时的瞬时变化率为－12.[感悟提高] 定义法求函数瞬时变化率的步骤：第一步：计算Δy ；第二步：计算Δy Δx ；第三步：求Δ x 趋于零时，ΔyΔx的值．。

第三章 变化率与导数§1变化的快慢与变化率某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：(1)哪段时间体温变化较快．(2)如何刻画体温变化的快慢？【提示】 (1)从20 min 到30 min 变化快． (2)用平均变化率． 函数的平均变化率对一般的函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1．通常自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy ．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1．我们用它来刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．问题：王先生于近日接到了一份交通违规处罚单，原因是上月某周日在一限速70 km/h 的路段超速行驶．王先生正上初中的儿子说：“一定是交警叔叔搞错了，那段路正好长60 km ，我们用了一个小时，您当时还问我这段路我们的平均速度呢！”(1)限速70 km/h 是指的平均速度不超过70 km/h 吗？ (2)瞬时速度与平均速度有区别吗？(3)王先生在该路段平均速度为60 km/h ，是否可能超速行驶？ 【提示】 (1)不是，是指瞬时速度．(2)瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢，平均速度刻画的是物体在一段时间内运动的快慢．(3)有可能． 函数的瞬时变化率对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0)，则函数的平均变化率是Δy Δx ＝f （x 1）－f （x 0）x 1－x 0＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢．求函数f (x )＝x 2在x ＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近平均变化率最大？【思路探究】 直接代入公式Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx计算平均变化率，比较大小即可．【自主解答】 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝（1＋Δx ）2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f （2＋Δx ）－f （2）Δx ＝（2＋Δx ）2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f （3＋Δx ）－f （3）Δx ＝（3＋Δx ）2－32Δx ＝6＋Δx .若Δx ＝13， 则k 1＝2＋13＝73， k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193. 由于k 1<k 2<k 3，∴在x ＝3附近的平均变化率最大．1. 计算时要对f (x 2)－f (x 1)进行合理的变形，以便化简．2. 求平均变化率的步骤通常用“两步”法，一作差，二作商，即： ①先求出Δx ＝x 2－x 1，再计算Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； ②对所求得的差作商，即得Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＝f （x 1＋Δx ）－f （x 1）Δx.。