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短视频拍摄中的五种运动追踪技巧随着短视频平台的兴起，更多的人加入了短视频制作的行列，不仅内容丰富多样，而且在视频拍摄和后期制作方面也有了很大的提高。
其中，运动追踪技巧是短视频拍摄中的重要环节之一，它能够让观众更好地感受到视频中的运动元素，增强观赏性。
本文将介绍短视频拍摄中的五种运动追踪技巧，希望对广大短视频爱好者有所帮助。
一、锚点追踪技巧锚点追踪技巧是一种常见的运动追踪方法，它通过选择视频中的固定物体或参照物作为锚点，跟踪该物体的运动轨迹，并将其他视频元素与之关联。
例如，在拍摄一个人打篮球的视频时，可以选取篮球作为锚点，通过追踪篮球的运动轨迹，将其他元素如人物、球框等与篮球进行关联。
这样，观众就能够更直观地感受到篮球运动的快节奏和精彩瞬间。
二、运动延迟追踪技巧运动延迟追踪技巧是一种通过合成运动图像的方式来追踪运动物体的方法。
在拍摄过程中，可以将运动物体的前一帧与后一帧进行叠加，并调整透明度和相对位置，从而形成一种模糊的效果。
通过这种方式，可以突出运动物体在空间中的轨迹，让观众更好地理解运动的过程和变化。
三、光影追踪技巧光影追踪技巧是一种利用光线和影子等元素来追踪运动物体的方式。
在拍摄时，可以通过调整光线的角度和强度，以及利用反射板和灯光效果等手段，突出运动物体的轮廓和动态变化。
同时，注意捕捉运动物体产生的影子，将其作为追踪的参考，使观众更加真实地感受到运动的魅力。
四、运动路径追踪技巧运动路径追踪技巧是一种通过标记运动物体的轨迹来追踪其运动状态的方法。
在拍摄时，可以在运动物体附近设置一些标志物或标记线，记录物体的运动路径。
在后期制作时，将这些标记物或标记线修饰得与视频图像融为一体，通过运动物体在轨迹上的运动，使观众更加清晰地看到运动物体的运动状态和趋势。
五、虚拟场景追踪技巧虚拟场景追踪技巧是一种通过建立虚拟场景来追踪运动物体的方法。
在拍摄时，可以利用特效摄影棚或绿幕技术，将运动物体与虚拟场景进行叠加，从而实现观众身临其境的感觉。
AE中的运动跟踪技巧和精确对位方法引言运动跟踪是视觉特效和后期制作中常用的一项技术。
Adobe After Effects（以下简称AE）作为业界领先的视觉特效软件，拥有强大的运动跟踪功能，可以实现对视频中物体的精确对位和跟踪。
本文将介绍AE中的运动跟踪技巧和精确对位方法，并提供相关的步骤和注意事项。
一、AE中的运动跟踪技巧1. 跟踪点选择在AE中，选择合适的跟踪点是非常重要的。
通常情况下，选择高对比度的特征点作为跟踪点可以获得更好的跟踪效果。
例如，可以选择颜色鲜明的物体边缘、高亮区域或纹理清晰的表面作为跟踪点。
2. 适当调整跟踪设置AE中有一些跟踪设置可以帮助改善跟踪效果。
例如，可以调整搜索区域的大小，以便更好地涵盖物体的运动范围；还可以调整跟踪点的数量和大小，以适应不同的跟踪场景。
此外，还可以根据需要在高级设置中进行更多的参数调整。
3. 使用跟踪辅助工具AE中有一些跟踪辅助工具可以提高跟踪效果。
例如，可以使用网格工具或遮罩图层来辅助跟踪，以便更好地观察物体的运动轨迹；还可以使用关键帧编辑器来手动调整跟踪帧的位置，以确保跟踪结果的准确性。
二、AE中的精确对位方法1. 单点对位单点对位是最基本的对位方法之一。
在AE中，可以选择视频中的一个跟踪点进行单点对位。
首先，在视频中选择一个跟踪点，并进行跟踪。
然后，可以通过调整位置、缩放、旋转等参数，使跟踪结果与目标位置对齐。
最后，可以使用遮罩图层或遮罩效果器来进一步增强对位效果。
2. 多点对位多点对位是一种更精确的对位方法。
在AE中，可以选择多个跟踪点进行多点对位。
首先，在视频中选取多个跟踪点，并进行跟踪。
然后，可以通过使用表达式或调整关键帧，将跟踪结果与目标位置精确对位。
多个跟踪点的组合可以提供更准确的对位效果，特别适用于复杂的动态场景。
3. 高级对位技巧在AE中，还有一些高级的对位技巧可以进一步提高对位的精确度。
例如，可以使用跟踪数据进行摄像机定位，以便在三维空间中进行对位；还可以使用AE的插件或脚本来进行自动对位，以节省时间和精力；此外，还可以通过叠加参考图像或使用辅助标记来辅助对位过程。
AE运动跟踪技巧：实现准确追踪和合成效果AE软件是一款非常强大的视频编辑和合成软件，广泛应用于电影、电视和广告制作等领域。
其中的运动跟踪功能是其最为重要的特点之一，可以让用户在视频中精确地追踪和合成各种元素。
本文将介绍一些AE中实现准确追踪和合成效果的技巧。
1. 视频素材准备要实现准确的运动跟踪和合成效果，首先需要准备好合适的视频素材。
最好选择清晰、稳定的素材，以确保跟踪效果的准确性。
如果视频中有运动模糊或抖动现象，可以使用AE中的“稳定器”效果进行修复。
2. 创建跟踪点在AE中打开所需的视频素材后，可以使用跟踪点来进行运动追踪。
在“工程”面板上，右键点击视频素材，选择“新建”-“跟踪点”。
然后，在视频中选择一个容易追踪的特征点，如明亮的标志物、边缘或人脸等，用鼠标左键点击该点。
3. 对跟踪点方法进行调整在创建跟踪点后，AE会自动进行初步的跟踪。
但有时需要调整跟踪的参数，以确保准确追踪。
选中跟踪点，在“效果控制”面板上，可以调整跟踪区域的大小和位置，以便与目标运动一致。
4. 进行运动跟踪调整好跟踪点后，可以点击AE界面顶部工具栏上的“跟踪”按钮，开始进行运动跟踪。
AE会自动跟踪选定的特征点，并生成运动数据。
在跟踪过程中，可以通过按下空格键暂停或停止跟踪。
5. 导出运动数据跟踪完成后，可以将运动数据导出以备后续的合成使用。
在“工程”面板上，右键点击视频素材，选择“新建”-“Null对象”。
然后，在“效果控制”面板上，选择“跟踪点”效果，找到“跟踪数据”属性，将其拖动至“Null对象”的属性上方，即可将运动数据导入到“Null对象”中。
6. 进行合成效果完成运动跟踪后，可以进行合成效果的添加。
例如，可以选择一个图像或视频作为合成素材，在合成素材上右键点击，选择“追踪数据”-“添加到合成素材”。
然后将合成素材位置与跟踪点对齐，即可实现准确的合成效果。
7. 优化合成效果在进行合成效果时，可能会出现一些不理想的情况，如合成素材不完全对齐或合成效果不自然等。
AE中的运动跟踪技巧：将图像轨迹与视频进行精准对位Adobe After Effects（简称AE）作为一款强大的视频编辑和特效制作软件，拥有丰富的功能和工具，其中之一就是运动跟踪技术。
运动跟踪是一项重要的技术，可以将图像轨迹与视频进行精准对位，使得图像和视频之间的相对运动保持一致，从而实现更加逼真和令人惊叹的特效效果。
在AE中进行运动跟踪，首先要导入需要进行对位的视频素材和图像素材。
接下来，我们将讨论一些实用的技巧和步骤，以帮助我们在AE中精准地将图像轨迹与视频进行对位。
第一步是选择合适的跟踪点。
在AE中，我们可以手动选择需要跟踪的特定区域，也可以使用自动跟踪工具。
对于运动较为简单和规律的图像和视频，自动跟踪工具能够有效地识别并选择跟踪点。
对于复杂的图像和视频，我们可以手动选择跟踪点，以确保跟踪的准确性和精度。
第二步是进行跟踪分析。
AE提供了不同的跟踪分析选项，包括位置跟踪、旋转跟踪、尺度跟踪等。
根据图像和视频的特点和需求，我们可以选择相应的跟踪分析选项，并进行跟踪分析。
在跟踪过程中，我们可以通过调整跟踪区域的大小和位置，以及设置跟踪点的特性来提高跟踪的准确性和精度。
第三步是应用跟踪数据。
在AE中，我们可以使用跟踪数据来实现多种特效效果，如添加图像元素、改变图像的运动路径和角度等。
通过选择合适的跟踪数据，并将其应用于图像素材，我们可以实现与视频的完美对位。
此外，我们还可以使用跟踪数据来创建相机移动效果，使得图像和视频之间的视觉感觉更加一致和自然。
在应用跟踪数据时，我们还可以使用AE中的一些高级技巧，以进一步提高特效效果的真实性和逼真性。
例如，我们可以使用逼真的阴影和光影效果来增加图像和视频之间的融合度，或者使用遮罩工具来精确控制图像的可见范围。
此外，我们还可以使用AE中的混合模式和图层效果，以在图像和视频之间创建更多的交互效果和过渡效果。
除了运动跟踪技巧外，还有一个重要的注意事项是在跟踪过程中保持实时预览。
AE三维运动跟踪技巧解析Adobe After Effects（简称AE）是一款专业的视频特效合成软件，广泛应用于影视制作、动画制作等领域。
其中，三维运动跟踪是AE中常用的功能之一，通过跟踪物体的运动轨迹，可以实现在三维空间中添加特效或合成不同元素的效果。
本文将从基础知识到高级技巧，解析AE三维运动跟踪的使用技巧。
首先，我们需要了解一些基础的概念。
AE中的三维运动跟踪分为两个步骤：跟踪和应用。
跟踪（Track）是指通过分析视频中的轨迹，自动捕捉目标物体的运动信息。
应用（Apply）是指将跟踪数据应用于其他元素，使其与视频中的物体运动同步。
在AE中，可以使用多种跟踪技术，如点跟踪、区域跟踪和三维相机跟踪。
点跟踪适用于追踪目标物体上的关键点，比如人脸的眼睛、嘴巴等。
区域跟踪适用于追踪目标物体的整个区域，比如一个人的身体或一个车辆。
三维相机跟踪是一种更复杂的技术，可以追踪摄像机的移动和目标物体的三维位置。
在进行跟踪前，需要在AE中创建一个跟踪点或跟踪区域。
可以在"特效"窗口中找到“跟踪器”工具，选择合适的跟踪类型，然后在视频中选择一个稳定的目标物体进行跟踪。
跟踪点或跟踪区域的大小和位置对跟踪的准确性有很大影响，因此需要根据实际情况调整。
完成跟踪后，可以将跟踪数据应用于其他元素。
在AE中，可以通过两种方式应用跟踪数据：点跟踪和区域跟踪。
对于点跟踪，可以使用“特效”窗口中的“跟踪数据”功能，将跟踪数据应用于粒子效果、文字或其他特效元素。
对于区域跟踪，可以使用“关键帧”功能，将跟踪数据应用于图层的位置、旋转或缩放。
除了基本的跟踪技巧，还有一些高级的运动跟踪技巧可以提升效果的质量。
首先是遮罩跟踪。
在某些情况下，目标物体可能被其他物体遮挡或部分遮挡，这时可以使用遮罩工具手动创建遮罩，并使用遮罩跟踪功能将遮罩与目标物体匹配。
另一个高级技巧是相机跟踪。
相机跟踪是一种更复杂的技术，可以通过分析视频中的透视结构，追踪摄像机的移动和目标物体的三维位置。
运动跟踪与覆盖对象：Final Cut Pro的动画追踪技巧Final Cut Pro是一款功能强大的视频编辑软件，广泛应用于电影、电视制作以及个人视频创作等领域。
其中的运动跟踪功能能够让用户轻松实现各种创意和特效，本文将介绍一些使用Final Cut Pro进行动画追踪的技巧。
首先，让我们来了解一下Final Cut Pro的运动跟踪功能。
运动跟踪能够精确地跟踪视频中的移动对象，并将所选的图形或特效应用于该对象。
通过使用运动跟踪功能，我们可以实现将文字、图片或其他视觉效果精确地覆盖到视频中的移动对象上，从而创造出引人注目的效果。
在Final Cut Pro中，首先需要选择你要应用运动跟踪的视频片段。
然后，在“浏览器”窗口中选择一个你想要使用的图形或特效，将其拖拽到时间轴上的所选视频片段上。
接下来，进入运动跟踪编辑界面。
在时间轴上选中要应用运动跟踪的视频片段，然后点击顶部菜单栏中的“效果”选项。
在弹出菜单中选择“运动”-“运动跟踪”。
在运动跟踪编辑界面中，你将看到视频片段上的一个追踪矩形框。
调整该矩形框的大小和位置，使其准确地框选住你想要跟踪的对象。
可以通过拖拽矩形框的角落或边缘来进行调整。
完成选择后，点击运动跟踪编辑界面右上角的“分析”按钮，FinalCut Pro将自动分析选中的视频片段并进行跟踪。
在分析过程中，你可以随时点击“停止分析”来暂停跟踪。
分析完成后，可以点击运动跟踪编辑界面右上角的“应用”按钮，Final Cut Pro将自动将所选的图形或特效应用到运动跟踪的视频片段上。
你还可以进一步调整和优化运动跟踪效果，如调整追踪的精度、平滑度等参数。
除了基本的运动跟踪功能，Final Cut Pro还提供了一些高级的动画追踪技巧。
比如，你可以使用运动跟踪编辑界面中的“关键帧”功能，在视频片段的不同时间点设置不同的位置和大小，从而实现更加精细的动画效果。
另外，Final Cut Pro还支持使用“躲避”功能来避免覆盖视频中其他移动对象的区域。
多相流体力学中的界面跟踪方法界面跟踪方法主要分为两大类：欧拉法和拉格朗日法。
欧拉法是基于空间网格的方法，它使得计算网格上的界面变得困难，特别是在复杂的流动情况下。
拉格朗日法则是基于粒子的方法，其中界面通过跟踪粒子的运动来描述。
下面将介绍一些常用的界面跟踪方法。
1. 体积法（Volume-of-fluid, VoF）是最常用的界面跟踪方法之一、该方法使用一个控制方程来追踪不同相的体积分数，即在每个格点上定义一个标量变量表示该点处不同相的体积分数。
在模拟过程中，通过对体积分数进行插值和平滑来计算界面的位置。
尽管VoF方法是求解多相流动的广泛应用方法，但在高曲率界面和小尺度现象的处理上存在一些困难。
2. 颜色函数法（Color Function）是另一种常用的界面跟踪方法。
它通过在流场中引入一个描述不同相分布的标量变量，即颜色函数。
当颜色函数等于界面值时，可以确定界面的位置。
颜色函数法对界面的预测较为简单，并且在处理高曲率界面和小尺度现象时具有优势。
3. 其他界面跟踪方法还包括水位线法（Level Set）、界面重构方法（Interface Reconstruction）、粒子追踪方法（Particle Tracking）等。
水位线法是一种常用的界面跟踪方法，它使用一个标量函数来表示各相之间的界面位置，该函数的等值线即为界面。
界面重构方法通过在已知相空间中的数据点上使用适当的插值和平滑方法重建界面。
粒子追踪方法通过跟踪界面上的粒子运动来描绘界面位置。
在实际应用中，界面跟踪方法的选择取决于多相流体系统的特点和需要预测的现象。
不同的界面跟踪方法具有各自的优缺点，需要根据具体情况进行选择和改进。
通过结合不同的界面跟踪方法，可以提高多相流体系统的模拟精度和计算效率。
AE运动跟踪技巧：准确追踪并跟随运动物体AE（After Effects）是一种广泛使用的视频制作软件，可以用于加入各种特效、合成视频以及作为影视后期制作的重要工具之一。
在AE中，准确追踪并跟随运动物体是一项非常重要且常用的技能。
本文将从准备工作、跟踪物体、应用跟踪数据等方面详细介绍跟随运动物体的具体步骤和技巧。
下面是追踪运动物体的步骤：第一步：准备工作1. 确保您已经安装并打开了AE软件，打开要编辑的项目。
2. 在AE工具栏上选择“窗口”>“跟踪器”，打开AE的跟踪器面板。
第二步：准备要跟踪的素材1. 从项目窗口中将您要跟踪的素材拖动到时间轴中。
2. 右键单击素材，在弹出菜单中选择“新建”>“空白图层”。
这将为您的素材创建一个新的图层，以便进行跟踪。
第三步：跟踪物体1. 选中新创建的图层，在跟踪器面板中单击“跟踪”按钮。
AE将自动为您的图层创建一个跟踪点。
2. 将跟踪点拖动到要跟踪的物体上。
你可以使用缩放和旋转工具来进行精确位置调整。
3. 在跟踪器面板中单击“分析”按钮，AE将对跟踪点进行自动分析并生成跟踪数据。
第四步：应用跟踪数据1. 单击“应用”按钮，AE将为跟踪点生成一个跟踪数据层。
2. 将您要应用跟踪数据的素材拖动到时间轴中，并将其放在跟踪数据层上方。
3. 选中您要应用跟踪数据的素材，在AE工具栏上选择“效果”>“变换”>“跟踪遮罩”。
这将在您的素材上应用跟踪数据。
第五步：调整和细化跟踪效果1. 在应用跟踪数据后，您可能需要进行一些调整来细化跟踪效果。
您可以在“跟踪器”面板中的“属性”选项卡上调整匹配项的容错率和模糊度。
2. 您还可以使用遮罩工具在跟踪效果上添加或修复细节。
第六步：预览和导出1. 在AE时间轴中，您可以通过单击空格键来预览跟踪效果。
2. 如果您对结果满意，可以在AE工具栏上选择“文件”>“导出”>“添加到Adobe 媒体编码器队列”，以导出您的跟踪视频。
实现3D运动和跟踪效果：Adobe PremierePro的专业方法Adobe Premiere Pro是一款强大的视频编辑软件，不仅能够剪辑和调整视频素材，还能添加各种特效和动画，实现专业的视频编辑效果。
本文将介绍如何使用Adobe Premiere Pro实现3D运动和跟踪效果的专业方法。
首先，我们需要将素材导入到Adobe Premiere Pro中。
在软件界面的“项目”面板中，点击“导入”，选择需要编辑的视频素材，然后将其拖动到“项目”面板中。
接下来，我们需要在时间线上选择需要添加3D运动和跟踪效果的视频素材。
在软件界面的“项目”面板中，双击需要编辑的视频素材，将其添加到时间线上。
在时间线上选中需要编辑的视频素材后，点击软件界面的“效果控制”面板。
在“效果控制”面板中，我们可以找到各种特效和动画效果。
要实现3D运动效果，我们可以使用“移动”和“缩放”选项。
在“基本参数”中，我们可以调整视频素材的位置和大小，以实现运动效果。
通过调整参数值，我们可以控制视频素材在时间线中的位置和大小，从而实现自定义的3D运动效果。
要实现跟踪效果，我们可以使用“点跟踪”和“面跟踪”选项。
通过点击视频素材上需要跟踪的点或区域，软件会自动进行跟踪，并通过调整参数值，我们可以实现跟踪效果的定位和形状变化。
例如，我们可以在视频素材中的一个运动物体上进行跟踪，然后在时间线中添加文本或图像，并将其与跟踪的物体进行关联，从而实现跟踪效果的精确控制。
除了基本的3D运动和跟踪效果，Adobe Premiere Pro还提供了更多高级的特效和动画效果，如“倾斜和扭曲”、“虚化和锐化”等。
通过将这些特效和动画效果与3D运动和跟踪效果结合使用，我们可以实现更加炫酷和专业的视频编辑效果。
在编辑过程中，我们可以随时预览效果。
点击软件界面的“程序监视器”面板，我们可以在编辑过程中实时预览视频素材的效果。
通过不断调整参数值和查看预览效果，我们可以实现更加精确和理想的3D运动和跟踪效果。
文章编号:1000-0887(2004)03-0279-12运动界面的追踪和重构方法Ξ刘儒勋1,2, 刘晓平2, 张 磊1,3, 王志峰1(1.中国科学技术大学数学系,合肥230026;2.中国科学技术大学火灾科学国家重点实验室,合肥230027;3.中国矿业大学(北京校区)基础科学学院,北京100083)(戴世强推荐)摘要: 提出了一种简单有效并且精确的高分辨率运动界面追踪方法———无结构网格特征型积分平均有限体积法・ 并且对包括该方法在内的六种界面重构方法做了一些数值试验和评估・ 通过精确的数值模拟,详细的比较和分析了这些方法的优缺点・ 关 键 词: 运动界面; 界面重构; 流体体积函数; 积分平均; 有限体积法中图分类号: O351.1 文献标识码: A引 言当前,运动界面问题的数值计算和模拟(包括移动边界或Stefan 问题,自由面问题)在自然科学和工程计算中成为越来越热门的课题,并承担着越来越重要的任务・ 原因是它涉及到了各种理论和技术领域的数值研究和应用,例如高等物理和力学,化学和生物工程,材料处理和造型等・ 对液体内气泡的聚合变化和溢出,晶体的生成和发展,火焰的闪烁和传播,金属浇铸和注塑等方面进行数值模拟,对于理解和研究许多物理现象具有重大的意义・ 特别是对于这些物理现象中内部和微观的结构和特征的发展过程的数值研究,具有更加实用的意义・ 在过去的20年里,针对运动界面问题的计算和模拟,已经提出了著名的VOF (Volume of Fluids )方法[1～11]和Level Set 方法[12～16]・ 这些方法在实际应用中取得极好的数值效果・ 并且通过数值模拟得到了许多极好的关于运动界面的描述・ 此外,许多方法已经被编辑成应用软件(诸如F LOW3D ,NAS A-VOF ,S O LA-VOF ,等等)并应用于半导体处理,热涂料喷射工艺,材料加工和科学研究中・ 有几种界面捕捉方法,如E NO 或Weighted E NO ,以及间断G alerkin 方法,能够和本文提出的积分平均型有限体积法一样,很好的处理运动界面的问题・ 但是对于这些界面捕捉方法来说,仍然需要运动界面的重构技术・ 在运动界面追踪中,由于数值方法的数值耗散和色散效应,运动界面的轮廓经常会变得模972 应用数学和力学,第25卷第3期(2004年3月) Applied Mathematics and Mechanics 应用数学和力学编委会编重庆出版社出版 Ξ收稿日期: 2002-05-26;修订日期: 2003-10-06基金项目: 国家自然科学基金资助项目(10071083);中国科学技术大学火灾科学国家重点实验室知识创新工程基金资助项目作者简介: 刘儒勋(1938—),男,山东青岛人,教授,博导(E -mail :liurx @ );张磊(联系人),T el :86-10-62331383,86-136********;E -mail :Zhangl @ ・ 糊或者产生振荡・ 通过及时的界面重构能够保证运动界面的轮廓精确和锐利・ 当前有很多运动界面重构方法・ 1965年,Harlow和Welch提出了M AC(Marker and Cell)方法,这一方法利用没有质量、动量和能量的标记点,来表示、追踪和重构流体的运动界面、特别是不可压缩流体的自由面・ Hirt和Nichols[1]针对界面追踪的一般方法以及通过装配格子内界面的斜率来确定运动界面的斜率和位置,提出了VOF方法・ 在这以后,Ashgriz和P oo[2],K im[5]等人通过对格子内界面斜率更加精确的构造得到了其他不同的重构方法,尽管他们的精确性和形式是不同的・ Rider和K othe[6],G uey ffier和Li jie[7],Y oungs[8]等人利用了运动界面的法向矢量近似值・ Rudman[3～4],Vincent和Caltagirone[10],Ubbink和Issa[11]等人采用了更精细的方法求解流体体积函数方程・ 本文提出了一种有效的捕捉方法———特征型积分平均有限体积法・ 给出了此方法的分析和评估・ 特别的,给出了通过严格数值模拟得到的结果・ 在接下来的章节安排如下:第1节,介绍流体体积函数及其相关概念・ 第2节,给出了一种特征型积分平均有限体积法・ 第3节,给出了方法的数值试验和结果分析,并且与其它有效的方法作了比较,例如FCT-VOF,Y oungs-VOF方法,F LAIR-VOF和Ubbink和Issa的CICS AM方法・ 最后在附录中,讨论了几种有效的运动界面重构方法・ 1 流体体积函数的控制方程为了追踪运动界面并适时的对运动界面进行重构,首先给出流体体积函数的控制方程・ 1.1 流体体积函数及其控制方程在一个充满速度为V=(u,v)的介质的矢量场中,定义一个体积为τσ的拉格朗日控制元σ,在σ内的任何点定义染色体函数 α(X)=1 (在X点上有目标流体), 0 (在X点上无目标流体)・ 在控制元上,目标流体的体积为 τ(σ)=∫σα(X)d X・ 由拉格朗日流体体积的特性,我们有 dτ/d t=0或5τ/5t+V・ τ=0・ 其控制元体积τσ为 τσ=∫σd X=const・ 我们定义流体体积函数,即目标流体在控制元中所占的比值 C=τ(σ)/τσ・ 于是我们得到流体体积函数的控制方程 d C/d t=0或5C/5t+V・ C=0,(1)如果流体是不可压缩的,由不可压条件 ・V=0,(1)式又可写成守恒形式 5C/5t+ ・(V C)=0・ (2)由于控制元σ是任意的,因此等式(1)和(2)必然在流场中的各个地方都适用・ 它们分别描述了可压缩流体和不可压缩流体的流体体积函数的输运规律・ 运动界面追踪问题的控制方程一般由具体的运动介质物理场的数学模型(基本控制方程)和流体体积函数方程构成・ 对于介质面、自由面、间断面或者各种内部的运动界面,可以相应082刘儒勋 刘晓平 张 磊 王志峰的、灵活的定义流体体积函数形式・ 基本控制方程和流体体积函数方程可以是耦合形式的・ 此外,若更细致的考虑运动界面对流场产生的应力效应项的贡献,相应的应力条件也应当加入到基本控制方程中去・ 本文将讨论、分析和评估多种解决运动界面追踪和重构问题的高精度和高分辨率方法,这些方法都是建立在流体体积函数方程的基础上的・ 1.2 运动界面重构问题的综述由于界面是通过一系列时间步进行计算的,开始十分锐利的界面轮廓线在数值色散和耗散的影响下,有可能变得越来越模糊或者产生振荡・ 因而解决重构问题需要先重构运动界面轮廓・ 当前,许多文章提出了不同的界面重构方法・ 因此很难一一介绍和分析这些文章中的方法・ 本文将综合一些主流的和重要的方法・ 一般说来,一个运动界面重构问题包含以下几个基本步骤・ 1)运动界面的初始位置首先,为了更精确的追踪运动界面,流场中界面的初始条件应当是确定的,并且应尽可能精细地表达・ 以Z alesak 问题为例(如图3所示)・ 一个简单的方法可以通过定义在界面内的目标流体C =1.0,而界面外的流体C =0.0・ 这样,所有的单元格都被指定为0≤C n ij ≤1・ 2)向量场V =(u ,v )的数值计算在界面的初始条件和流场的边界条件给定后,在介质场的控制模型基础上,随时间推移将一步步地对界面进行数值计算・ 在此过程中不断及时地检查运动界面的情况・ 一旦需要时,即开始对界面进行重构・ 3)运动界面的重构假设在t =t n 时刻流体体积函数的单元分布为0≤C n ij ≤1・ 并发现界面光滑效应严重・ 需立刻开始界面的重构・ 首先重构界面的斜率(如Hirt 和Nichols 的F LOW -3D 方法[1],Ashgriz 和P oo 的F LAIR 方法[2],Noh 和W oodward 的S LIC 方法等等)或界面的法向量(如G uey ffier [7]梯度向量差分方法和Y oungs 的VOF [8]方法,等等)・ 需要考虑和比较所有目标单元周围的单元・ 通常可以采取有限差分方法[7]或一些有效的精细的重构方法,诸如代数[2～4],几何[5～11],或插值逼近等等・ 在运动方向上进行计算并得到下一时刻单元内界面的情况0≤C n +1ij≤1・ 这是运动界面追踪方法的关键・ 2 特征型积分平均方法一般说来,运动界面的捕捉方法应当是高精度数值方法,尤其是针对解决流体体积函数的对流程需要具有高分辨率的效果・ 一般在解方程(2)时它不需要对界面进行构造・ 运动界面的轮廓线可以由界面的几条等值线获得・ 这种方法在编程和实现中非常灵活・ 有时可以得到非常好的结果・ 考虑一维例子 5C/5t +V (5C/5x )=0 (V >0),(3)需要经过如下的步骤通过积分平均型格式构造方程的解1)考虑一个时空的控制元[x i -1/2,x i +1/2]×[t n ,t n +1],并对方程(3)在此上积分 ∫t n+1t n ∫x i+0.5x i-0.55C t +V 5C x d x d t =0 (V >0),182运动界面的追踪和重构方法定义积分平均量 C n i =1δx∫x i +0.5x i -0.5C n (x )d x (δx =x i +0.5-x i -0.5), 〈V C n i +0.5〉=1δt ∫t n+1t n VC i +0.5(t )d t (δt =t n +1-t n )・ 图1 利用特征线思想进行的积分变换因而原积分可写为 C n +1i= C n i -r (〈V C n i +0.5〉- 〈V C n i -0.5〉) (r =δt δx )・ (4)2)时间积分平均的离散・ 利用特征线方法,可以得到 〈 C n i +0.5〉=1δt ∫t n+1t n C (x i +0.5,t )d t = 1δt ∫t n+1t n C x i +12δx - V (t -t n ),t n d t ・ (5)如果我们对于上述积分采用简单的梯形公式,并且采用被积函数的一阶T aylor 展开,则有 〈 C n i +0.5〉=1δt C n i +12δx -V δt 5 C n i 5x + C n i +12δx -05 C n i 5x /2・δt = C n i +12(δx -V δt )5 C n i 5x = C n i +12(1-c )5 C n i 5x δx = C n i +12(1-c )δxS n i ・ (6)其中,c 是C ourant 数,S n i 是空间控制元上的斜率 c =V δt/δx ,S n i =5 C n i /5x ・ 类似地有 〈 C n i -0.5〉= C n i -1+0.5(1-c )Δ C n i -1= C n i -1+0.5(1-c )δxS n i -1・ (7)3)将(6)、(7)代入(4)式合成积分平均格式 C n +1i= C n i -c ( C n i - C n i -1)+0.5c δx (c -1)(S n i -S n i -1)・ (8)对于一般的速度V ,可将格式写为 C n +1i= C n i -r max (0,V )( C n i - C n i -1)+0.5r δx max (0,V )(c -1)(S n i -S n i -1)- r min (0,V )( C n i +1- C n i )+0.5r δx min (0,V )(c +1)(S n i +1-S n i )・ (9)如果取斜率S n i 为 S LW ,n i=( C n i +1- C n i )/δx ・ (10)就得到Lax -Wendroff 格式・ 众所周知,Lax -Wendroff 不是保单调的,在间断处会产生振荡・ 因此我们对斜率加以限制,取 S n i =<(θn i )S LW ,n i・ (11)其中<(θn i )=max (0,min (1.0,2θn i ),min (2.0,θn i ))是Superbee 限制器・ 对于二维和三维情形,我们可以采用分数步法进行计算,或者直接采用格林公式和有限体积法进行计算・ 通过这种方法构造的格式具有相当高的精度和分辨率・ 我们也可以构造分片的二次或更高次的多项式来对未知函数进行逼近・ (例如,PPM 方法或E NO 和Weighted E NO 方法)・ 我们282刘儒勋 刘晓平 张 磊 王志峰利用上述的特征型积分平均有限体积法加上适时重构,对旋转速度场和剪切速度场的运动界面问题进行了计算,得到了很好的效果・ 3 计算结果和算法比较本节给出了对流方程(2)的一些数值试验,模拟了三个模型速度场问题:常数速度场,旋转速度场和剪切速度场・ 并且与FCT -VOF ,F LAIR-VOF ,Y oungs 方法和Ubbink 和Issa 的CICS AM 等方法进行了相应的比较・ 3.1 常数速度场(平移)图2 平移速度场初值 图3 旋转速度场初值 图4 剪切速度场初值图5 平移速度场数值结果考虑一个常数速度场(u ,v )=(1,0)或(u ,v )=(2,-1)・ 我们取初值为如图2所示的同心方框・ 整个计算区域为[0,2]×[0,2]・ 体积函数在两方框之间的区域取为C =1.0,在其他区域取C =0.0・ 网格大小取200×200・ 时间步长取为δt =0.001・ 图5给出了速度场(u ,v )=(2,-1),时间t =0.5时上述六种方法的计算结果・ 图中显示的是从0.0625到019375的15条等值线・ 很明显,几乎所有的方法都能给出较好的结果・ 但是F LAIR-VOF 和Hirt-VOF 方法不如其他的那么好・ 而积分平均方法,FCT -VOF 方法,Y oungs-VOF 方法和CIC 2S AM 给出了比较好的结果・ Y oungs-VOF 方法在角点处出现光滑化,这是由于求法向量的算法引起的・ 对于相对光滑的界面,Y oungs-VOF 方法就比CICS AM 方法要好一些・ 各种方法计算382运动界面的追踪和重构方法图6 旋转速度场数值结果(从左到右时间t 依次为0.5,1.0,1.5,2.0)482刘儒勋 刘晓平 张 磊 王志峰图7 剪切速度场数值结果(从左到右依次为t =1.0及其反剪切,t =2.0及其反剪切)结果如图5所示・ 3.2 旋转速度场(Z alesak 问题)考虑二维旋转速度场 u (x ,y )=-π(y -0.5),v (x ,y )=π(x -0.5)・ (12)这是一个检验上述方法效果的很好的算例・ 取计算区域[0,1]×[0,1]・ 取初值(Z alesak 界面,如图3所示)为有缺口的圆周・ 要在尖锐的角点处保持高分辨率是很困难的・ 我们取网格大582运动界面的追踪和重构方法小为200×200,δt =0.001・ 在速度场(12)的作用下,初值图分别旋转π/2,π,3π/2和2π・ 结果如图6所示・ 可以看出,Hirt 和Nichols 的VOF 方法相当粗糙・ 而积分平均方法,Y oungs 的VOF 方法,FCT -VOF 方法和CICS AM 方法得到了非常好的结果,而以CICS AM 和积分平均方法的结果最好・ 3.3 剪切速度场平移和旋转流场都不会使运动界面的形状发生变化・ 而在一个真实的流场问题中,会包含如拉伸、剪切、碰撞、破碎等复杂的物理现象・ 为了考察算法对各种现实流场的模拟效果,考虑一个剪切流场 u (x ,y )=πcos (π(x -x 0))sin (π(y -y 0)),v (x ,y )=-πsin (π(x -x 0))cos (π(y -y 0))・ (13)取(x 0,y 0)=(0.5,0.5),计算区域取[0,1]×[0,1],初值界面为圆心在(0.5,0.3)、半径为0.2的圆周(如图4)・ 用上述除H irt-VOF 之外的五种方法,分别计算到t =1.0和t =2.0后・ 再以此结果为初值,将速度反号,分别反剪切到t =1.0和t =2.0,结果如图7所示・ 可以见到,FCT -VOF 和F LAIR-VOF 的结果不好・ 而Y oungs-VOF 、Ubbink 的CICS AM 方法和积分平均方法得到了很好的结果・ 其中,Ubbink 的CICS AM 方法得到的结果最好・ 甚至对于其反转后的结果,界面的锐利情况和初始值几乎一样・ 4 结 论在这篇文章中,我们提出了一种高精度和高分辨率方法———特征型积分平均有限体积法・ 并给出了有关运动界面重构方法的评估和数值模拟・ 通过对三种不同模型的数值模拟,比较了各种数值方法的精度・ 我们的计算结果显示,Y oungs-VOF ,Ubbink 的CICS AM 和积分平均方法是最为有效的,并且具有高精度和高分辨率・ 附录A :界面重构型方法界面重构型方法通过对运动界面的重构来数值模拟(1)和(2)・ 这类方法具有很强的物理背景・ 一般说来,它们是守恒的,但也比较复杂・ A.1 施主-受主方法[1] 图A1 施主-受主网格 图A2 计算网格Hirt 和Nichols 于1981年提出了一种重构的方法・ 在这种方法中,界面是通过水平和垂直的直线来近似得到的・ 如果在一个网格内界面的倾斜度大于π/4,则该网格内的运动界面被看作是水平的,反之则被看作是垂直的・ 首先,通过在网格边界的速度确定俩个相邻网格之间的关系・ 处在上游的网格被称为施主(D onor )网格,处在下游的网格被称为受主(Acceptor )网格(如图A1)・ 计算的网格(如图A2)所示・ 通过网格边界上的对流求解方程(2)・ 取控制体682刘儒勋 刘晓平 张 磊 王志峰 Ω=(x i -1/2,x x +1/2)×(y j-1/2,y j +1/2)×(t n ,t n+1),在其上对方程(2)积分,我们得到 (C n+1-C n )δx δy +Δ(Cu )δt δy +Δ(Cv )δt δx =0,(A1)在施主-受主方法中,我们定义 Δ(Cu )δt =min C AD |V x |+C F ,C Dδx D ,其中,C F =max (1.0-C AD )|V x |-(1.0-C D )δx D ,0,|V x |=|u ・δt |・ 下标A ,D 分别表示受主单元和施主单元・ C A ,C D 分别表示受主和主单元上的流体体积函数・ 双下标AD =A 或D ,取决于和流动方向相关的运动界面的方向・ 若施主界面是垂直的,则采用受主单元上的流体体积函数(也就是界面的方向基本和流体速度的法线方向一致),反之,则采用施主单元上的流体体积函数・ Δ(Cv )δt 的构造方法类似・ 通过这种方法,采用了施主和受主两种单元上的流体体积函数,提高了分辨率・ 然而,由于只通过水平或垂直线来对界面进行近似,因而这种方法还是比较粗糙的・ A.2 F LAIR 方法[2]Ashgriz 和P oo 的F LAIR (Flux Line-segment m odel for Advection and Interface Reconstruction )方法采用了更为精确的斜线段来近似格子内的界面・ 对共有一条网格边界的两个相邻网格(如图A3所示),构造一条直线段作为跨过该网格边界的界面近似・ 然后可以计算一个时间步内流过该网格边界的流体体积量・ 这可以作为修改流体体积函数的数值流通量・ 由于界面构造涉及到两个网格,需要分成多种情况分别进行计算・ 利用网格边界的流体速度,确定施主单元和受主单元・ 其流体体积函数分别为C D ,C A 表示・ 然后可以分为以下几种计算:1)施主网格是满网格,C D =1.0;2)施主网格是空网格,C D =0.0;3)施主网格和受主网格既不是满网格也不是空网格,0<C D <1.0,0<C A <1.04)施主网格既不是空网格也不是满网格,受主网格为空或者为满网格,即 0<C D <1.0,C A =0.0或C A =1.0情形Ⅰ 情形Ⅱ情形Ⅲ 情形Ⅳ图A3 F LAIR 界面重构的四种情形前两种情况比较简单・ 第三种情况又可以被分为16种情形・ 经过简单的转换可以归结为4种,即f a ≥f b ,且目标流体在界面以下(如图A3)・ 构造一条直线穿过两个网格,其下阴影区域是目标流体・ 由两个网格的流体体积函数来确定这条直线的斜率和位置・ 从而计算出在一个时间步内通过该网格边界的流体流量・ 比如在第一种情况下(情形Ⅰ),假设左边是施主网格,则一个时间步内被输运到相邻网格的流体体积量就是宽度为u δt 斜线阴影区域・ 假设右边是施主网格,则应取右边网格内靠近网格边界的宽度为uδt 的区域面积・ 782运动界面的追踪和重构方法图A4 目标格子与其临格 图A5 目标格子内运动界面的四种情况 第四种情况更加复杂・ 如图A4所示・ 施主网格(i,j)为半网格,受主网格(i+1,j)是空网格・ 我们可以用网格(i,j+1)和(i,j-1)的另一个方向的两个相邻网格网格分别按3)的方法构造界面・ 首先计算两相邻网格的界面斜率,再利用所得的斜率平均值作为网格(i,j)内界面的近似斜率・ 然后按类似于3)的方法构造直线作为此网格内的界面近似・ 然后求出在一个时间步内流过网格边界流入受主网格的流体体积量・ 这种情况下的其他情况同样可以归结为如图A5所示的4种情形・ 如果受主网格为空网格,则取靠右边的宽度为uδt的区域面积作为流通量・ 反之,则取左边的宽度为uδt的区域面积为作为流通量・ 同样的,实际计算中采用方向分裂算法・ 首先根据x方向的流体速度计算所有x方向的数值流通量,对流体体积函数作修改・ 由此得到的所有网格上的流体体积函数的中间值用于对y方向做同样的计算・ 以此得到下一时刻的流体体积函数・ 我们的试验表明,如果同时对x和y方向的流通量进行计算,则会产生质量不守恒・ A.3 Y oungs方法[8]与F LAIR-VOF方法不同,Y oungs方法是在单个网格内用直线段近似界面・ 先计算在目标网格(i,j)内界面的法向n=(n x i,j,n y i,j) n x i,j=(C i+1,j+1+2C i+1,j+C i+1,j-1-C i-1,j+1-2C i-1,j-C i-1,j-1)/δx,n y i,j=(C i+1,j+1+2C i,j+1+C i-1,j+1-C i+1,j-1-2C i,j-1-C i-1,j-1)/δy,(A2)根据法向,x轴的夹角β β=arc tan-n x/n y,α=arc tan(δx/δy)tanβ (π/2≤α≤π),(A3)与F LAIR方法类似,也有16种情形・ 通过简单的对称和反转,可以化为如图A5所示的四种情形・ 利用此夹角和网格内流体体积函数,我们可以确定属于哪一类型・ 然后计算直线的斜率和位置,构造该网格内的界面・ 并计算在一个时间步内流过四周到相邻网格的流体积量・ 以修改本网格和四周相邻网格的流体体体积函数值・ 用这种方法得到的结果相当精确・ 但是由于x和y方向的流通量是同时计算的,因而质量的守恒方面遭到了一定的破坏・ A.4 Ubbink和Issa的CICS AM方法[11]以上所有求解VOF方程的方法,在二维和三维的问题中大都是采用方向分裂或算子分裂方法・ 近来, Ubbink和Issa提出的CICS AM(C ompressiv Interface Capturing Scheme for Arbitrary Mesh)方法,通过半隐式处理VOF 方程,使得该方法不用通过算子分裂就可以推广到多维问题・ 另一个显著的地方在于此方法在无结构网格仍然是有效的・ 在CICS AM方法中采用了NVD(N ormalized Variable Diagram)的概念,以及Hirt和Nichols的主要思想,即是采用耗散格式(如迎风格式,以得到光滑的界面)还是采用色散格式(如逆风格式,以得到锐利的界面)是通过自由面方向决定的・ 并且在色散格式和耗散格式之间引入了一个切换参数以提高色散和耗散格式的精度・ 该方法在获得锐利的界面的同时又保证了体积函数的有界性・ 在交错网格上(如图A2),除了速度是定义在网格边界上以外,方程(2)中的其他变量都是定义在网格的中心点上的・ 采用Crank-Nicols on离散 (C t+δtp-C t p)V p=-6n f=112((C f E f)t+(C f F f)t+δt)δt,(A4)其中,p代表网格(控制体)的中心,f表示网格的边,n表示网格的边界数目,V p表示控制的体积,F f表示通过882刘儒勋 刘晓平 张 磊 王志峰边界f 向外的流通量・ 网格边界上的流体体积函数C f 可以通过相邻的施主网格和受主网格的流体体积函数的平均表示・ C f =(1-βf )CD +βf C A ,(A5)由于时间步足够小,可认为βt +δt f =βt f ・ 则(A4)可以写成二阶精度形式 C t +δt p=C t p -δt V p 6n f =1C 3f F f ,(A6)其中 C 3f =(1-βf )C t D +C t +δt D 2+βf C tA +C t +δt A 2,(A7)网格边界上βf 的确定用NVD 方法[11]・ 1)计算归一化变量 C D ,C U 为施主网格的上游网格 C D =(C -C U )/(C A -C U )(A8)2)计算C BC (C onvection Boundedness Criteria )的上界 C fC BCC fC BC =min CD c ,1.0 (如果0≤ C D ≤1), C D (其他),(A9)这是c 是施主单元的C ourant 数,定义为 c =6f |c out f |,这是c out f 是施主单元的每个流出面的C ourant 数・ 3)计算归一化变量 C fUQ (Ultimate-Quickest 格式)C fUQ =min 8c CD +(1-c )(6 C D +3)8, C fC BC (如果0≤ C D ≤1), C D (其他),(A10)该格式具有较强的耗散性・ 单独使用会抹平界面・ 但与其他格式配合使用可以消除振荡・ 4)计算加权平均值 C f =γf C fC BC +(1-γf ) C fUQ ,γf =min kγ0.5(cos (2θf )+1),1θf =arccos |( C )D ・d f |/|( C )D |・|d f |・ (A11)其中d f 是连接施主和受主网格中心的矢量・ 如果网格是矩形,则该矢量与边上的法向同向・ k γ≥0是控制两种格式权值的参量・ Ubbink 和Issa 方法建议k γ=1・ 对于不同的迎风和逆风的切换准则,会导致结果相差很大・ CICS AM 方法采用在Hyper-C 格式和Ultimate-Quickest 格式间一种非常光滑的切换方式・ 这种切换也是基于界面与边的交角的・ 如果界面与边平行,则趋向于采用耗性的格式来光滑界面・ 反之,界面与边垂直时,则趋向于采用色散性的格式,以获得锐利的界面・ 5)根据归一化变量确定βf βf =( C f - C D )/(1- C D )・ (A12)通过以上的步骤有可能产生非物理值・ 或者说,取值不符合有界性条件0≤C ≤1・ 这时需要对流体体积函数进行有界性修正・ Hirt 和Nichols 直接采用强制性条件使得体积函数分别等于0或1,但这会导致流体体积函数的不守恒从而影响动量方程而使得计算出的流场不真实・ Ubbink 和Issa 和CICS AM 针对上述问题采用了一种对格子边上的体积通量进行修正的方法[11]・ [参 考 文 献][1] Hirt C W ,Nichols B D.Volume of Fluid (VOF )method for the dynamics of free boundaries [J ].JComp ut Phys ,1981,39:201—225.[2] Ashgriz N ,Poo J Y.Flair :Flux line-segment model for Advection and interface reconstruction [J ].JComp ut Phys ,1991,93(2):449—468.[3] Rudman M.Volume-tracking methods for interfacial flow calculations [J ].Int J Numer 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ng-I nt e rf acesLIU Ru-xun1,2, LIU Xiao-ping2, ZHANG Lei1,3, WANG Zhi-feng1(1.Dep a rtment of Mathematics,University of Science a nd Technology of Chi na,Hefei230026,P.R.Chi na;2.State K ey Laboratory of Fi re Science of University of Sciencea nd Technology of Chi na,Hefei230027,P.R.Chi na;3.School of Basic Science,Chi nese University of Mi ni ng a nd Technology,Beiji ng100083,P.R.Chi na)Abs t ract:A simple,efficient and accurate high resolution method to tracking moving-interfaces—the characteristisc integral—averaging finite volume method on unstructured meshes is prop osed.And some numerical tests and evaluation of six main efficient methods for interface reconstruction are made.Through strict numerical simulation,their characters,advantages and shortcomings are com2 pared,analyzed and commended in particular.Key wor ds:moving-interface;interface-reconstruction;fluid volume function;integral-averaging;fi2 nite volume method。
