有限差分法和变分法

有限差分法finite difference method用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。

是一种微分方程和积分微分方程数值解的方法。

把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。

然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。

此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。

对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。

另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。

此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。

因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。

前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。

只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。

最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。

另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。

此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。

龙格库塔龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。

变分法综述1.变分法1.1.变分法起源变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，主要是古典变分法，它理论完整，在力学、光学、物理学、摩擦学、经济学、宇航理论、信息论和自动控制论等诸多方面有广泛应用。

20世纪中叶发展起来的有限元法，其数学基础之一就是变分法。

[1]变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。

譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。

变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。

有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A 到达不直接在它底下的一点B 。

在所有从A 到B 的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。

变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。

它对应于泛函的临界点。

在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。

它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。

变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。

变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。

它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。

而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。

最优控制的理论是变分法的一个推广。

[2]同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。

变分一词用于所有极值泛函问题。

微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。

极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau 问题。

1.2变分问题类型固定边界的变分问题，可动边界的变分问题，条件极值变分问题和参数形式的变分问题。

[3]（1）古典变分问题举例 例1：最速降线或捷线问题（Brachistorone or curve of Steepest descent ）问题。

这是历史上出的第一个变分法问题，1696年约翰·伯努利提出的。

引言偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。

人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。

然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。

现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。

偏微分方程如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。

常用的方法有变分法和有限差分法。

变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。

虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。

随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。

从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。

从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。

一、MATLAB方法简介及应用1.1 MATLAB简介MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。

1.2 Matlab主要功能数值分析数值和符号计算工程与科学绘图控制系统的设计与仿真数字图像处理数字信号处理通讯系统设计与仿真财务与金融工程1.3 优势特点1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来；2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化；3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握；4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，为用户提供了大量方便实用的处理工具。

空气动力学数学知识点总结1. 流体力学基础知识流体是一种连续的物质，可以流动并适应它所处的容器的形状。

在空气动力学中，我们关注的是气体流体，它遵循流体力学的基本原理。

这些原理包括连续方程、动量方程和能量方程。

这些方程描述了流体的运动和行为，并且可以通过数学模型来描述。

1.1 连续方程连续方程描述了流体中的质量守恒。

在欧拉描述中，连续方程可以用以下形式表示：∂ρ/∂t + ∇•(ρv) = 0其中ρ是流体的密度，t是时间，v是速度矢量。

这个方程表达了流体在空间和时间上的密度变化。

解决这种类型的偏微分方程需要深入的数学知识，如微分方程、变分法和复杂的数值计算技术。

1.2 动量方程动量方程描述了流体中的运动和力的作用。

在欧拉描述中，动量方程可以写成：∂(ρv)/∂t + ∇•(ρv⊗v) = -∇p + ∇•τ + ρg其中p是静压力，τ是应力张量，g是重力加速度。

这个方程描述了流体在外力下的运动。

解决这个方程需要运用向量微积分、非线性偏微分方程和数值方法等数学知识。

特别是应力张量的计算和解析是非常复杂的数学问题。

1.3 能量方程能量方程描述了流体内部的热力学过程。

在欧拉描述中，能量方程可以写成:∂(ρe)/∂t + ∇•(ρev) = ∇•(k∇T) + σ其中e是单位质量的内能，k是导热系数，T是温度，σ是能量源项。

解决这个方程需要运用热力学、热传导方程和数值计算技术等数学知识。

2. 边界层理论在空气动力学中，边界层理论是一个重要的概念。

边界层是指流体靠近固体物体表面的区域，流体在这里受到了物体表面的影响，速度变化很大。

边界层理论涉及到流体力学、热力学和数学物理等多个领域的知识。

2.1 边界层方程边界层方程描述了边界层中流体速度和温度的变化。

这些方程通常是非定常的、非线性的偏微分方程，包括动量方程、能量方程以及质量守恒方程。

解决这些方程需要运用复杂的数学方法和数值模拟技术。

2.2 边界层控制边界层控制是指通过改变固体表面的形状或表面条件，来控制边界层的性质，从而影响流体的运动。

变分问题的数值求解算法变分问题是应用于数学和物理领域的一类重要问题，通过最小化或最大化变分函数来求解。

在实际应用中，需要采用数值求解算法来解决这类问题。

本文将介绍一些常用的变分问题数值求解算法，并对其进行比较和分析。

1. 有限差分法有限差分法是一种常用的数值求解算法，适用于一维和二维的变分问题。

该方法通过将求解域网格化，将变分问题转化为离散形式的代数方程。

常见的有限差分法包括前向差分法、后向差分法和中心差分法。

通过迭代求解离散方程，最终得到变分问题的数值解。

2. 有限元法有限元法是一种广泛应用于工程领域的数值求解算法，适用于一维、二维和三维的变分问题。

该方法通过将求解域划分为有限数量的单元，并在每个单元内利用多项式函数进行逼近。

通过构建局部刚度矩阵和全局刚度矩阵，并求解线性方程组，最终得到变分问题的数值解。

3. 边界元法边界元法是一种适用于二维和三维变分问题的数值求解算法，它将求解域划分为内部和边界两种区域。

通过在边界上建立积分方程，并将内部扩展到整个求解域，可以减少维度，简化问题。

通过求解离散化的边界积分方程，得到变分问题的数值解。

4. 谱方法谱方法是一种高精度的数值求解算法，适用于一维和二维的变分问题。

该方法基于函数的傅里叶级数展开，通过选取适当的基函数，可以获得迅速收敛的解。

谱方法在处理光滑解和奇异解时表现出色，并且具有高度准确性。

5. 网格方法网格方法是一种常用的数值求解算法，适用于高维的变分问题。

它通过将求解域划分为规则或非规则的网格，并在每个网格节点上进行数值逼近。

常见的网格方法包括有限差分法、有限元法和边界元法。

通过迭代求解网格节点上的代数方程，最终得到变分问题的数值解。

总结：本文介绍了几种常用的变分问题数值求解算法，包括有限差分法、有限元法、边界元法、谱方法和网格方法。

每种算法都有其适用范围和特点，具体选择合适的算法需要根据实际问题的性质和求解需求进行判断。

在实际应用中，也可以通过组合不同的算法，进一步提高求解效率和精度。

有限差分法的原理
哇塞！同学们，你们知道有限差分法吗？这可太神奇啦！
就好像我们搭积木一样，有限差分法也是一块一块拼起来的。

它的原理其实就是把一个大大的、复杂的问题，分成好多好多小小的部分，然后一个个去解决。

比如说，我们要算一条弯弯曲曲的小河里水的流动速度。

这要是直接算，那可太难啦，简直像让我们一口气跑十公里一样累！但是用有限差分法就不一样啦。

我们把小河分成一小段一小段的，就像把长长的面包切成一小片一小片。

每一小段里的情况就简单多啦，我们就能比较容易地算出这一小段里水的速度变化。

然后把这些一小段一小段的结果加起来，不就知道整条小河的情况了嘛！
这就好比我们拼拼图，一块一块拼起来，最后就能看到完整的漂亮图案。

有限差分法不也是这样嘛，一点一点算，最后就能搞清楚那个复杂的问题。

老师给我们讲的时候，还举了个例子。

说如果要算一个大大的山坡上温度的分布，要是直接算，脑袋都要炸啦！可有限差分法就能派上用场。

把山坡分成一小块一小块的，分别算每一小块的温度变化，最后加起来，不就清楚整个山坡的温度情况了嘛！
这是不是很神奇呀？我当时就觉得，哇，原来数学和科学这么厉害，可以用这样巧妙的方法来解决难题。

同学们，你们想想，如果没有有限差分法，那些复杂的科学问题和工程问题该怎么解决呀？难道要我们干瞪眼没办法吗？肯定不行嘛！所以说，有限差分法真的是太重要啦，它就像一把神奇的钥匙，能打开好多好多难题的大门！
我的观点就是：有限差分法是超级厉害的工具，能帮助我们解决好多看似不可能完成的任务，我们一定要好好学它！。

有限差分法（Finite Difference Method, FDM）是一种常见的数值方法，用于求解偏微分方程。

然而，并非所有的方程都可以通过有限差分法来求解。

本文将讨论有限差分法不能求解的方程，并探讨其原因。

一、有限差分法求解的方程类型有限差分法主要用于求解偏微分方程，尤其是常见的热传导方程、扩散方程和波动方程等。

这些方程通常可以通过有限差分法离散化空间和时间，从而转化为代数方程组，再通过迭代等方法求解。

二、有限差分法不能求解的方程类型然而，并非所有的偏微分方程都适合用有限差分法求解。

以下是一些有限差分法不能求解的方程类型：1. 非线性偏微分方程：有限差分法主要适用于线性偏微分方程，对于非线性偏微分方程，由于其复杂的性质和解的多样性，有限差分法往往难以适用。

2. 高阶偏微分方程：有限差分法通常只适用于一阶和二阶偏微分方程，对于高阶偏微分方程，需要进行更复杂的离散化处理，难以直接通过有限差分法求解。

3. 变系数偏微分方程：对于系数随空间或时间变化的偏微分方程，有限差分法往往难以准确描述其变化规律，因此难以求解。

4. 非线性边值问题：对于带有非线性边值条件的偏微分方程，有限差分法的稳定性和收敛性难以保证，因此难以求解。

三、原因分析有限差分法不能求解某些偏微分方程的原因主要包括以下几点：1. 离散化处理困难：一些复杂的方程很难通过简单的差分离散化处理转化为代数方程组，从而难以应用有限差分法求解。

2. 解的多样性：对于非线性偏微分方程和非线性边值条件，解的多样性导致有限差分法往往无法准确描述其解的特性。

3. 稳定性和收敛性难以保证：对于一些特殊的偏微分方程，由于有限差分法的稳定性和收敛性难以保证，因此难以求解。

四、解决方法针对有限差分法不能求解的方程，可以考虑以下解决方法：1. 使用其他数值方法：对于非线性偏微分方程和高阶偏微分方程，可以考虑使用有限元法、有限体积法等其他数值方法进行求解。

2. 手工推导精确解：对于一些特殊的偏微分方程，可以尝试手工推导其解析解，从而获得准确的解。

有限差分法有限差分法finite difference method微分方程和积分微分方程数值解的方法。

基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。

然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。

此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。

对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。

另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。

此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。

因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。

前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。

只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。

关于差分格式的构造一般有以下3种方法。

最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。

另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。

此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。

有限差分法、变分法、离散元法、边界元法及有限元法下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。

本文下载后可定制随意修改，请根据实际需要进行相应的调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种各样类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，如想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Downloaded tips: This document is carefully compiled by the editor. I hope that after you download them, they can help you solve practical problems. The documents can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!In addition, our shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!有限差分法、变分法、离散元法、边界元法及有限元法在科学和工程领域中有着重要的应用。