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弹性力学用差分法和变分法解平面问题

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弹性力学-05(差分法与变分法)

弹性力学-05(差分法与变分法)

（5-6）
y
h
说明： 以两侧节点处的函数值表示中间节点处的一阶导数值，称为 中点导数值，这种差分公式称为中心差分公式。
§5-2 应力函数的差分解
1. 应力函数的差分方程
应力分量的差分表示 x
12
8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9
平面问题（不计体力时），应力分量可表示为：
2 2 2 x 2 , y 2 , xy xy y x
B A d A x dx A y dy B 2 B 分步积分： x A x 2 dx x x A B B
两边积分，有：
d dx dy x y
s是x 的函数： —s —x 2 dx dx 2 x x x d ds dx ds x dx d 2 ds dx 2 ds x x
x 12 8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9
在弹性体内每一点均可建立上述方x 4 2 x 2y 2 y 4 0 0 0 0
4

4
任一点 0 处应力分量的差分格式：
2 1 x 0 y 2 h 2 ( 2 4 ) 2 0 0 2 1 y 0 2 2 (1 3 ) 2 0 x 0 h
B
O
B y y A Xds B A
A
yB
（ d）
xB
B
– dx
dy ds
B A Y ds x B x A

Y
X
弹性力学简明教程第四版第五章：有限差分发和变分法概论

弹性力学简明教程第四版第五章：有限差分发和变分法概论

§5－2应力函数的差分解
1、应力分量（不计体力）
一旦求得弹性体全部节点的 值后，就可按应力分量差分公式（对
节点0）算得弹性体各节点的应力。
0
•12 •8 •4 •5
h
x
x
0
2
y 2
0
1 h2
[(2
4 )
20 ]
• 11
•3
•0 •1
• 9
A
• 13
• 7
• 2
•6
y
0
2
x2
0
1 h2
[(1
3 )
20 ]
（5－9）
•10
B
h
• 14
xy
0
2
xy
0
1 4h2
[(5
7 ) (6
8 )]
y
图5－1
如果知道各结点的 值，就可以求得各结点的应力分量。
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§5－2应力函数的差分解
2、差分方程（相容方程） 双调和方程
•12
x 设：f f x, y 为弹性体的某一连续函数
h
•8
•4
• 5
•11 •3 •0 •1 •9 A • 13
在平行与 x 轴的一根网线上函数只随 x
• 7
• 2
•6
坐标的变化而变化。
•10
B
h
• 14
y
图5－1
在节点0 的近处将函数 f 展成泰勒级数
f
f0
f x
0
x
x0
1 2!
2 f x2
y x （3）由于 f 是 或 的二次函数，所以基本差分公式（5－1）
弹性力学用差分法和变分法解平面问题课件

弹性力学用差分法和变分法解平面问题课件

弹性力学用差分法和 变分法解平面问题课 件
目 录
• 引言 • 差分法解平面问题 • 变分法解平面问题 • 有限元法的基本原理 • 弹性力学问题的有限元解法实例 • 总结与展望
01
引言
弹性力学简介
01 弹性力学的定义和研究内容
02 弹性力学与其他力学分支的关系
03
弹性力学的发展历程和应用领域
差分法和变分法概述
根据边界条件和约束条件，建立约束方程f，如节点力平衡条件 、位移边界条件等。
通过求解线性方程组Kx=f，得到每个节点的位移。
三维弹性力学问题的有限元解法
建立刚度矩阵
根据每个三维单元的物理特性，建立刚度 矩阵K，该矩阵包含了材料的弹性常数和
每个节点的位移信息。
A 定义三维离散网格
将连续的弹性体离散化为Biblioteka 限个小 的三维单元，每个单元之间通过节
点连接。
B
C
D
求解节点位移
通过求解线性方程组Kx=f，得到每个节点 的位移。
建立约束方程
根据边界条件和约束条件，建立约束方程f ，如节点力平衡条件、位移边界条件等。
06
总结与展望
差分法和变分法的优缺点比较
直观易懂，易于编程实现
差分法优点
对于稳定问题，解的精度和收敛速 度一般较好
差分法和变分法的优缺点比较
差分法的定义和基本原理 变分法的定义和基本原理 差分法和变分法在弹性力学中的应用
平面问题概述
平面问题的定义和分 类
弹性力学中的平面问 题及其研究意义
平面问题的基本特点 和求解方法
02
差分法解平面问题
差分法的基本原理
01
有限差分法是一种将连续的物理问题离散化为网格上的数学问 题的方法。
第五章 第一节差分法公式推导xin

第五章 第一节差分法公式推导xin


B
h
14
第五章 用差分法和变分法解平面问题
第一节 差分公式的推导
x
h
1 差分法定义 2 推导差分公式
11
12
8 4 5
3
7
0
1 9
6
A 13
2
10
B
1 ∂2 f 1 ∂3 f ∂f 2 f = f0 + (x − x0 ) + 2 (x − x0 ) + 3 (x − x0 )3 +L 2 ∂x 0 ! 3 ∂x 0 ! ∂x 0
自己下面导出。
∂2 f f1 + f3 − 2 f0 2 = ∂x h2 0
11
3
7
12
8 4
0
5
1 9
6
A
∂4 f ∂2 ∂2 f 4 = 2 2 ∂x ∂x ∂x 0 0 ∂2 f ∂2 f ∂2 f 2 + 2 −2 2 ∂x ∂x ∂x 1 3 0 h = y h2 f9 + f0 −2 f1 f11 + f0 −2 f3 f + f −2 f0 + −2 1 32 h2 h2 h = h2
第五章 用差分法和变分法解平面问题
第一节 差分公式的推导
第一节 差分公式的推导
1 差分法定义 2 推导差分公式
结点：网格的交点。 结点：网格的交点。 步长：网格的间距。 步长：网格的间距。
11
3
7
x
12
8 4
0ห้องสมุดไป่ตู้
h
5
1 9
弹性力学及有限单元法_邵国建_用差分法和变分法解平面问题

弹性力学及有限单元法_邵国建_用差分法和变分法解平面问题

y
第五章 用差分法和变分法解平面问题
边界条件
⑷ 由式(i)的第三式，可求出边界点的 Φ B
值; 由式(i)的前两式，可求出边界点
的
Φ ( )B x
， ( Φ ) B 值，然后再求出边
y
界外一行虚结点的 Φ 值。
第五章 用差分法和变分法解平面问题 求解步骤
4.应力函数差分解的步骤 （1）在边界上选定基点A， 令
式( f )，(g)分别是应力边界条件的微分，积 分形式。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
边界条件
⑵由全微分dΦ Φ d x Φ d y 求边界点的 ΦB
x y
通过分部积分 u d v d(uv) v d u, 从A到B积分，得
Φ Φ ΦB ΦA ( xB xA )( ) A ( yB y A )( ) A x y
边界条件
将上式和式(d)代入式(b)，得
d y 2Φ d x 2Φ ( ) ( ) fx, 2 d s y d s xy
d x 2Φ d y 2Φ ( ) ( ) fy. 2 d s x d s xy
即
d Φ ( ) f x , d s y
d Φ ( ) fy. d s x
Φ Φ 然后计算边界上各结点的 Φ，x ， y ；
Φ Φ ΦA ( )A ( )A 0 ， x y
（2）由边界结点的
外一行虚结点的 Φ 值；
Φ Φ ， 值，求出边界 x y
第五章 用差分法和变分法解平面问题
求解步骤
（3）对边界内所有结点列式(e)的方程，
联立求各结点的 Φ 值；
Φ Φ [ΦA , ( )A,( ) A ] 0, 故边界结点的 Φ x y
弹性力学第七平面问题的差分解 ppt课件

弹性力学第七平面问题的差分解 ppt课件


h
21!2xf2 0(xx0)2
（b）
301
节点3及1的 x 坐标： x3 x0 h
x1 x0 h
yh
将其代入式（b），有：
f3f0hfx0h222xf2
0
（c）
f f1 f3 x0 2h
（7-1）
f1f0hfx0h222xf2
0
（d）
联立求解，得：
2xf2
0
f1 f3 2f0 h2
§7-2 稳定温度场的差分解
1. 热传导方程
一般情形下，热传导方程：
Ta2T
t
t
对无热源、平面、稳定的温度场，有
其热传导方程变成二维的调和方程：
0, T 0, T 0
t
z
t
2Tx2T2
2T y2
0
（a）
2. 热传导方程的差分方程
x h 4
将温度场的域内划分网格，取任一节点，
如：节点 0，应有：
表示； 把导数：
表示。 由：
f y
用函数值：f0 0
f2
f10
726 10
yh
f
f0fx0(xx0)
21!2xf2
(xx0)2 0
（b）
得到：
f9f0 fx02h1 2 2 xf202h2
f1f0 fx0h1 22 xf2
h2 0
f 3f04f1f9
x0
2h
2xf2
0
f0
2f1f9 h2
（3）若在差分公式的推导中，应用线性近似关系：
f f0fx0(xx0)
略去了二次幂以上的各项，则：
x 12 845
f
x
0
f1
弹性力学—第五章—差分法

弹性力学—第五章—差分法

对于距边界内一行的结点建立的方 程须用到边界上的结点以及边界外 一行上的结点的应力函数值。因此 首先我们要用边界条件确定边界上 的点的应力函数值。
y h x 12 8 4 5 11 3 0 1 9 7 2 6 10 B 14 h A 13
应力函数的差分解（3）
o
-dx dy ds
A s
x
B (xB, yB) y
-dx dy ds
A s
x
B (xB, yB)
n
得到：
应力函数的差分解（7）
由于在应力函数中加上一个线性函 o 数不影响应力的解，因此我们可以 假想通过在应力函数中加上一个特 殊的线性函数使得应力函数在A点的 值以及对x和y的一阶偏导都为零。 x y 从而使1-3式有如下简化形式： y A
-dx dy ds
h x 12 8 4 5 11 3 0 1 9 7 2 6 10 B 14 h A 13
y
应力函数的差分解（12）
将应力函数在B点周围泰勒展开： 0
将0，1以及9点的坐标代入上式：
1
B 9
差分法实例（1）
问题：正方形的深梁，上边受有均布 向下的铅直载荷q，由下角点处的反力 维持平衡，试求应力分量。 解答：取坐标轴如图所示，并取网 格间距为六分之一边长。利用对称 性，只取左边一半做研究。
y
可得到：
应力函数的差分解（11）
差分法解平面问题的步骤： 1）在边界上任意选定一个结点作 为基点使 。 2）然后由 式计算面力的矩及面 力之和计算边界上各结点的 值及 必需的一些 ， 值。 3）将边界外一行各虚结点的 值 用边界内相应的结点处的 值表示。 4）对边界内各结点建立差分方程， 求解方程并计算应力分量。
q
弹性力学用差分法和变分法解平面问题课件

弹性力学用差分法和变分法解平面问题课件

分析差分解法的优点和局限性，探讨其在实际应用中的适用范围。
05 弹性力学平面问题的变分 法求解
弹性力学平面问题的变分表示
总结词
通过将弹性力学平面问题转化为变分问题，可以更方便地应用数学工具求解。
详细描述
在弹性力学中，平面问题可以用变分法表示为求取某一泛函的极值问题。这个 泛函通常是由物体的能量泛函表示的，反映了物体的弹性和位移之间的关系。
差分法和变分法的联系
数学基础
两者都基于数学原理，差分法基于离散数学，变分法基于 连续数学。
求解过程
在求解过程中，差分法将连续问题离散化，而变分法则通 过极值条件寻找近似解。
应用领域
两者在弹性力学领域都有广泛应用，差分法更适用于数值模拟和 计算机辅助设计，而变分法更适用于理论分析和解析解的求解。
差分法和变分法的应用选择
差分法的原理
差分法的原理基于泰勒级数展开，将连续的物理量用离散的差商近似代替导数，从而将微分方程转化 为差分方程。
通过选择适当的离散方式和步长，可以使得差分方程的解收敛于原微分方程的解。
差分法的应用
在弹性力学中，差分法可以用于求解 各种平面问题和空间问题，如平面应 变问题、平面应力问题、弹性地基上 的平板问题等。
差分方程的收敛性
分析差分方程求解方法的收敛性，确保求解 过程的稳定性。
弹性力学平面问题的差分解法
差分解法的步骤
详细介绍使用差分法求解弹性力学平面问题的步骤，包括离散化、 建立差分方程、求解差分方程等。
差分解法的应用
举例说明差分解法在解决实际问题中的应用，如板、梁、薄膜等结 构的分析。
差分解法的优缺点
弹性力学平面问题的变分方程
总结词
通过变分法，可以建立弹性力学平面问 题的变分方程。
8-弹性力学-第6章6-1至6-6---用有限单元法求平面问题1-6

8-弹性力学-第6章6-1至6-6---用有限单元法求平面问题1-6


yj , ym
bi 1 0 2A ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
1 yj bi , 1 ym ci 1 xj 1 xm , (i, j , m)
ε(
u v v u T ) x y x y ui vi 0 uj cm Bδe . a vj bm um v m
1、结构的离散化； 2、单元分析； 3、整体分析。
1. 结构离散化
• 结构力学研究的对象是离散化结构。如桁架，各单元 (杆件)之间除结点铰结外，没有其他联系(图(a))。
(c) 深梁（离散化结构）
弹力研究的对象，是连续体(图(b))。 • 将连续体变换为离散化结构(图(c))：即将连续体划分为有 限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用 绞连结起来，构成所谓“离散化结构”。
上堂课第五章主要内容
差分公式及 应力函数的差分解
应力函数差分解的实例 最小势能原理 位移变分方程及位移变分法
本堂课
第六章 有限单元法解平面问题 （一）
6-1 基本量及基本方程的矩阵表示 6-2 有限单元法的概念
6-3 单元的位移模式与解答的收敛性 6-4 单元的应变列阵和应力列阵
6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵 6-6 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵
u 1 2 x 3 y, v 4 5 x 6 y。
由此可列出6个方程式，联立可求出
a
插值公式(a)在结点 xi , yi (i, j, m) 应等于结点位移值 ui , vi (i, j, m) 。
1 ~ 6
将式(a)按未知数 ui , vi ,归纳为:
第5章 差分法及变分法解平面问题

第5章 差分法及变分法解平面问题


力分量 f x、f y 求得于 B 、( ) B、( ) B 。取 A = ( ) A = ( ) A，于是
x
x
y
y
x
y
式（e）及式（d）简化为：
B ( ) B f x ds A y
B ( ) B f y ds A x
（5-13） （5-14）
值及 x
) A ( ) A 0， x y
值。 y
（2）应用式（5-16），将边界外一行各虚结点处的F值用边界内的 相应结点处的F值来表示。
（3）对边界内的各结点建立差分方程（5-12），联立求解这些结点 处的F值。
（4）按式（5-16），算出边界外一行各虚结点处的F值。 （5）按式（5-11）计算应力分量。
将 M 、 L 的已知值代入，并注意到16 1 ，得
211 16 2 2 3 8 4 4 5 7 20qh 2 0 （d）
对面内各点可建立和上相似的方程，共可建立15个，联立求解可得：
2 1 4.36qh， 2 3.89qh 2 ， 3 2.47qh 2
B B B A ( x B x A )( ) A ( y B y A )( ) A ( y B y ) f x ds ( x x B ) f y ds（e） A A x y
由式（e）及式（d）可见，若已知 A 、 ( ) A、 ( ) A ，即可由面
14 10 13 9 ( ) ( )A ， x B 2h x 2h 13 9 2h( ) A ， 14 10 2h( ) B x x
（5-16）
2. 差分法的解题步骤
弹性力学有限元第五章 变分法解平面问题

弹性力学有限元第五章 变分法解平面问题


用V表示外力的势能(以u,v=0的自然状态下的势能为0)，它等于外 力在实际位移上所做的功冠以负号，则：
d U V 0
第五章 变分法解平面问题
§5-3 位移变分方程
d U V 0
U+V是形变势能和外力势能的总和，可以看出，在给定的外力作 用下，实际存在的位移应使总势能的变分成为零。 最小势能原理


积分可得形变势能。 平面应变问题作弹性常数的替换。
第五章 变分法解平面问题
§5-3 位移变分方程
设有平面问题中的任一单位厚度的弹性体，在外力作用下平衡。
u,v为其实际位移分量，假设这些位移分量发生了位移变分(虚位 移)d u, d v，成为：u u d u v v d v
考察其能量方面的变化。
b a a
增量的主要部分定义为泛函的变分，则
f f 代入d f，则 d I d y d y dx a y y
b
d I d f dx
b a
显然，存在关系式： d

b
a
f dx d f dx
a
b
只要积分的上下限不变，变分的运算和定积分运算可以交换次序
U1 U1 U1 dxdy f xd u f yd v dxdy f xd u f yd v ds e x de x e y de y g xy dg xy
虚功方程：方程右边各项称为应力在虚应变上的虚功。 如果在虚位移发生之前，弹性体是出于平衡状态，那么在虚位移过程 中，外力在虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚功。
b
第五章 变分法解平面问题
§5-1 变分法简介

弹性力学-05用变分法解平面问题_OK


2021/7/22
7
§5-5 位移变分方程
1. 虚功原理（虚位移原理）
对于连续变形体的虚功原理：一个连续变形体处于平衡状态的充要条件
是，外力在虚位移上所做的虚功 dW 等于应力在虚应变上所做的虚功 。
( A
fx u
f y v)dxdy
s ( fx u f y v)ds
A ( x x y y xy xy )dxdy
m
m
下面导出形变势能的变分： 由式（5-2）， 可知：
（a）
U
E
2(1 2 )
于是：
A
u x
2
U
2
yvU (A2i ,Bjux)
v y
1
2
v xu y2ຫໍສະໝຸດ dxdyUm
U Ai
Ai
m
U B j
Bj
m
U Ai
Ai
U B j
Bj
（b）
将式（a）、（b）代入位移变分方程（5-4）：
19
§5-7 位移变分法的例题
例：图示薄板，宽度为 a，高度为 b，左边和下边受 连杆支承，右边和上边分别受均布压力 q1和 q2
作用，不计体力。试求薄板的位移。
解：（1）假设位移分量
u x( A1 A2 x A3 y ...)
（a）
v y(B1 B2 x B3 y ...)
总能满足位移边界条件：
xy
E 2(1
)
xy
可得只用形变分量表示的比能：
2021/7/22
U1
E
2(1 2 )
2 x
2 y
2 x y
1
2
2 xy
（f）

弹性力学的平面问题解法

弹性力学的平面问题解法摘要：本文从弹性力学最基本的平面问题出发，通过求解平面问题的解析法、数值法和试验方法来感受弹性力学研究问题的手段、方法，体会弹性力学的魅力，并为其它力学学科的学习打下基础。

着眼于弹性力学求解方法中一些方法，通过其在平面问题中的应用来介绍几种方法的研究思路，研究方法以及优缺点。

弹性力学作为固体力学的一个重要分支，它的研究对象是板、壳、实体以及单根杆件,它是研究弹性固体由于受外力作用，边界约束或者温度改变及其他一种或多种外界条件作用下产生的应力、应变和位移。

它的研究对象是板、壳、实体以及单根杆件。

关键词：弹性力学；平面问题；解法前言：弹性力学是材料力学问题的精确解，是结构力学，塑性力学等力学学科的基础，其广泛应用于土木工程、航空航天工程及机械工程等多个学科领域。

并且随着科学技术手段的进步，电子计算机得以应用到弹性力学的计算分析中，这极大地促进了弹性力学问题的分析计算更加深入，促使了有限单元法得以实现。

本文从弹性力学最基本的平面问题出发，通过求解平面问题的解析法、数值法和试验方法来感受弹性力学研究问题的手段、方法，体会弹性力学的魅力，并为其它力学学科的学习打下坚实的基础。

1 问题解法1.1解析法解析法是根据研究对象在结构中的静力平衡条件，几何关系和物理关系建立边界条件，平衡微分方程，几何方程和物理方程，并以此求解应力分量，应变分量和位移分量的一种平面问题的精确解法。

按求解时的基本未知量选取不同可分为按位移求解的位移法和按应力求解的应力法。

第一个位移法：以位移为基本未知量时的基本方程如下：位移边界条件如下从上面的公式可以看出位移法求解平面问题时的基本未知量只有两个，与应力法的三个基本未知量相比求解简单很多，并且不但能求解位移边界条件，还能求解应力边界条件与混合边界条件。

第二个应力法：应力法以应力分量作为基本未知量，由此平面问题的平衡微分方程，几何方程，物理方程以及边界条件经过推导可变为如下形式：基本方程：应力边界条件：值得注意的是按应力求解时边界条件应全部为应力边界条件。

弹性力学简明教程

大学教材《弹性》（第四版）是在《基础力学》课程教学指导小组委员会的基础上，由第三版《普通高等教育十五计划》教材编写的。

2006年至2010年担任教育部大学力学教学指导委员会《弹性力学教学基本要求》，具有近十年的教学实践经验。

本书前三版在国内工科院校广泛使用。

大学教材：简明柔度课程（第四版）按照由浅入深的原则，对平面问题的理论与解法、空间问题的理论与解法、薄板弯曲理论进行了编排。

主要介绍了弹性力学的主要近似方法，即差分法、变分法和有限元法。

大学教材：《弹性力学简明教程》（第四版）是弹性力学的入门教材。

重点介绍了基本理论（基本概念、基本方程和基本解），重点介绍了思想、方法和方法。

解决弹性问题的步骤使学生在掌握基本理论的基础上阅读和运用弹性文献。

弹性力学近似解可用于解决实际工程问题。

目录主符号表第一章引言1-1弹性含量1-2灵活性的一些基本概念1-3弹性的基本假设练习第二章平面问题的基本理论2-1平面应力问题和平面应变问题2-2平衡微分方程平面问题中点的2-3应力状态刚体位移2-4几何方程2-5物理方程2-6边界条件2-7圣维南原理及其应用2-8通过位移解决平面问题基于应力求解平面问题的2-9协调方程2-10恒定力下的简化应力函数练习第三章直角坐标解平面问题3-1多项式反解与半逆解3-2矩形梁的纯弯曲3-3位移分量计算均布荷载作用下3-4根简支梁3-5个楔子将受到重力和液压的影响第四章平面问题的极坐标解极坐标系下的4-1平衡微分方程4-2极坐标系下的几何和物理方程4-3极坐标系中的应力函数和协调方程4-4应力分量坐标转换公式4-5轴对称应力及相应位移4-6平衡环或气缸4-7压力隧洞孔内应力集中在4～84-9半平面物体在边界上受到集中力4-10个半平面在边界上承受分布力在第五章中，我们使用差分和变异方法来求解平面问题5-1差分公式的推导5-2应力函数的微分分解5-3应力函数差异示例5-4弹性体的变形势能和外力势能5-5位移变分方程5-6位移变化法5-7位移变化法实例第六章有限元法求解平面问题6-1基本量和基本方程的矩阵表示6-2有限元法的概念6-3单元位移模式与解的收敛性6-4单元应变矩阵和应力矩阵6-5单元节点力矩阵和刚度矩阵6-6个节点将单元的荷载数组传递给节点7-6整体节点平衡分析6-8问题解决的具体步骤和单元划分6-9计算结果整理6-10计算实例6-11利用变分原理推导有限元法的基本方程实践第七章空间问题基本理论7-1平衡微分方程7-2身体任何部位的应力状态7-3最大和最小主应力7-4几何方程和物理方程7-5轴对称问题的基本方程练习第8章解决空间问题8-1通过位移解决空间问题8-2均匀重力压力下的半空间8-3个半空间物体通常集中在边界上8-4通过压力解决空间问题8--5直杆扭转用电影8-6的比喻来解决这个问题8-7椭圆截面杆的扭转矩形截面8-8杆扭转薄板弯曲问题9-1相关概念和计算假设弹性面差分9-2方程9-3薄板横截面上的内力9-4当量shea。

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f
f0
f x
0
(
x
x0
)
1 2!
2 x
f
2
(x x0 )2 0
(b)
在结点３，x=x0-h；在结点1， x=x0+h。代入(b) 得：
f3
f0
h f x 0
h2 2
2 x
f
2
0
(c)
f1
f0
h f x 0
h2 2
2 x
f
2
0
(d)
联立（c）、（d），解得差分公式：
f x 0
存贮于U 物体内部。 1 --单位体积的形变势能（形变势能密度）。
（5）整个弹性体的形变势能
1
U AU1 d x d y 2 A (σxεx σ yεy τxyγxy ) d x d y. (d)
１、应力的功和形变势能（内力势能）
σ ε
σ ε
线性的应力与应变关系
非线性的应力与应变关系
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
12
二 弹性体的形变势能和外力势能
１、应力的功和形变势能（内力势能）
U1
1 2
x x
y y
z z
xy xy
yz yz
zx zx
（3）对于平面应力问题 (σz τzx τzy 0)
或平面应变问题 (εz γzx γzy 0), 单位体积上应力所做的功都是
U1
1 2
x x
y y
xy xy
(c)
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
13
二 弹性体的形变势能和外力势能
１、应力的功和形变势能（内力势能） （4）假设没有转化为非机械能和动能，则应力所做的功全部
转化为弹性体的内力势能，又称为形变势能，或应变能，
一 差分公式的推导
弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件，形变与位移 之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程 和边界条件。
因此，弹性力学问题属于微分方程的边值问题。通过求解， 得出函数表示的精确解答。
对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函 数式的解答。为此，人们探讨弹性力学的各种近似解法，主要 有差分法、变分法和有限单元法。
应当指出：中点导数公式与端点导数公式相比，精度较高。
因为前者反映了结点两边的函数变化，而后者却只反映了结点
一边的函数变化。因此，我们总是尽可能应用前者，而只有在
无法应用前者时才不得不应用后者。
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
8
第五章 用差分法和变分法解平面问题
内容提要
徐芝纶院士(1911-1999)
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
3
一 差分公式的推导
差分法是微分方程的一种数值解法， 它不是去求解函数f(x)，
而是求函数在一些结点上的值
f 1, f。2
将微分用有限差分来代替
f
dx x x2 x1
f (x)
df f f2 f1
将导数用有限差商来代替
f 1
f 2
f3
d f f f2 f1 ; dx x x2 x1
合肥工业大学本科生教学
《弹性力学》
第五章 用差分法和变分法解平面问题
主讲教师：袁海平 (副教授、博士后)
第五章 用差分法和变分法解平面问题
内容提要
徐芝纶院士(1911-1999)
一、差分公式的推导 二、弹性体的形变势能和外力势能 三、位移变分方程 四、位移变分法 五、位移变分法例题
弹性力学简明教程(第三版)
的差分公式如下：
2 f xy
0
x
f y
0
f y
1
2h
f y
3
1
2
4h
[(
f6
f8) (
f5
f7 )]
(5)
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
7
一 差分公式的推导
4 f x4
0
1 h4
[6
f0
4(
f1
f3)
(
f9
f11)]
4 f x 2y 2
0
1 h4
[4
f1 f3 2h
(1)
2 f
x2
0
f1
f3 2 f0 h2
(2)
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
6
一 差分公式的推导
同理，在网线4-0-2上可得到差分公式：
f y
0
f2 f4 2h(3)ຫໍສະໝຸດ 2 fy 20
f2
f4 2 f0 h2
(4)
以上（１）—（４）是基本差分公式，从而可导出其它
弹性力学变分法，是区别于微分方程边值问题的另一种独 立解法，分为：
➢ 位移变分法：取位移函数为自变量，并以势能极小值条 件导出变分方程。
➢ 应力变分法：取应力函数为自变量，并以余能极小值条 件导出变分方程。
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
10
二 弹性体的形变势能和外力势能
１、应力的功和形变势能（内力势能）
（1）作用于微小单元上的应力，是邻近部分物体对它的作用力， 可看成是作用于微小单元上的“外力”。
（2）因应力和应变均从0增长到 σ, ，故单位体积上，
应力所做的功是
非线性 σ~ 关系－－ U1
σ d,
0
线 性 σ ~ 关系－－ U 1 1 σ .
2
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
11
二 弹性体的形变势能和外力势能
f0
2(
f1
f2
f3
f4 )
(
f5
f6
f7
f8)]
(6)
4 f y 4
0
1 h4
[6
f0
4(
f2
f4)
(
f10
f12 )]
差分公式(１)及(３)是以相隔2h的两结点处的函数值来表示
中间结点处的一阶导数值，可称为中点导数公式。
以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值，
可称为端点导数公式。
o
x1 x2 x3
x
将微分方程用差分方程（代数方程）代替，求解微分方程问
题化为求解差分方程问题。
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
4
一 差分公式的推导
在弹性体上，用相隔等间距h而平 行于坐标轴的两组平行线织成正方形 网格。
设f=f(x,y)为弹性体内的某一个连续 函数，该函数在平行于x轴的一根网线 上，如在3-０-１上，它只随x坐标的改 变而变化。在邻近结点０处，函数f可 展为泰勒级数如下：
一、差分公式的推导 二、弹性体的形变势能和外力势能 三、位移变分方程 四、位移变分法 五、位移变分法例题
弹性力学简明教程(第三版)
二 弹性体的形变势能和外力势能
变分法，是研究泛函及其极值的求解方法。
泛函－－是以函数为自变量的一类函数。
弹性力学变分法，因其泛函就是弹性体的能量（如形变势能、 外力势能），又称为能量法。
f
f
0
f x
0
(
x
x0
)
1 2!
2 x
f
2
(x x0 )2 0
1 3!
3 f x3
(x x0 )3 ... 0
(a)
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
5
一 差分公式的推导
只考虑离开结点０充分近的那些结点，即（x-x0）充分小。 于是可不计（x-x0）的三次及更高次幂的各项，则上式简写为：