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第5章 差分法及变分法解平面问题

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第五章差分法和变分法解决平面问题

第五章差分法和变分法解决平面问题


(f)
第五章
用差分法和变分法解平面问题
边界条件
再将式(f )对s 积分，从固定的基点A到边
界任一点B，得
B Φ Φ ( ) B ( ) A f x ds, A y y (g) B Φ Φ ( ) B ( ) A f y ds. A x x 式( f )、(g)分别是应力边界条件的微分、积 分形式。
第五章
用差分法和变分法解平面问题
边界条件
⑷ 由式(i)的第三式，可求出边界点的 ΦB
值; 由式(i)的前两式，可求出边界点
的
Φ ( )B x
、 Φ ) (
y
值，然后再求出边
B
界外一行虚结点的 Φ 值。
第五章
用差分法和变分法解平面问题
求解步骤
4.应力函数差分解的步骤 （1）在边界上选定基点A， 令
Φ Φ 然后计算边界上各结点的Φ 、x 、 y ；
Φ Φ ， ΦA ( ) A ( ) A 0 x y
（2）由边界结点的
Φ Φ 、 值，求出边界 x y
外一行虚结点的 Φ 值；
第五章
用差分法和变分法解平面问题
求解步骤
（3）对边界内所有结点列式(e)的方程，
联立求各结点的 Φ 值；
y
y
第五章
用差分法和变分法解平面问题
由于 ( T ) 2 T
y
10
T0 所以得 , 2h
这时，边界点2的 T2 是未知的，对2点 须列出式（d）的方程。此方程涉及到 T1 0 值，可将式（e）代入。
T1 0 T0
2h( q y ) 2
.
(e)
第五章
用差分法和变分法解平面问题
弹性力学简明教程

弹性力学简明教程

弹性简明课程是教育部第十个五年计划的国家计划教科书。

在第二版的基础上，它保留了原有的体系和特征，并根据教学改革的需要和相关的新国家标准进行了修订。

根据从浅到深的原理，本书安排了平面问题的理论和解决方案，空间问题的理论和解决方案以及薄板弯曲的理论。

着重介绍了弹性的数值解，如差分法，变分法和有限元法。

简明课程作为一本介绍性的弹性教科书，着重于基础理论（基础概念，基本方程式和基本解）的阐述和应用，以便学生在掌握基础知识的基础上阅读和应用弹性文献。

理论，并可以初步应用弹性数值解来解决实际工程问题。

主符号表第1章简介1-1弹性的内容1-2弹性的一些基本概念1-3弹性的基本假设第二章平面问题的基本理论2-1平面应力问题和平面应变问题2-2平衡微分方程2-3平面问题中点的应力状态2-4几何方程式刚体位移2-5物理方程式2-6边界条件2-7 Saint Venant原理及其应用2-8通过位移求解平面问题2-9通过应力相容方程求解平面问题2-10在恒力下简化的应力函数练习第三章平面问题的直角坐标解3-1逆解和半逆解多项式解。

3-2矩形梁纯弯曲的计算3-3位移分量3-4均布荷载下的简支梁3-5重力和液压作用下的楔形体第四章平面问题的极坐标解4-1极坐标中的平衡微分方程4-2极坐标中的几何方程和物理方程4-3极坐标中的应力函数和相容性方程4-4应力分量的坐标转换公式4- 5轴对称应力和相应的位移4-6圆环或圆柱体上的压力均匀分布4-7压力通道孔口处的应力集中4-8圆孔4-9边界上的集中力4-10边界上的分布力第5章用差分法和变分法求解平面问题5-1差分公式的推导5-2应力函数的微分分解5-3应力函数的微分分解的例子5-4弹性体的变形势能和外力势能5 -5位移变化方程5-6位移变化方法5-7位移变化方法示例..第6章使用有限元方法解决平面问题。

6-1基本数量和方程的矩阵表示。

6-2有限元方法的概念。

6-3单元的位移模式和解的收敛性。

弹性力学简明教程第四版第五章：有限差分发和变分法概论

弹性力学简明教程第四版第五章：有限差分发和变分法概论

§5－2应力函数的差分解
1、应力分量（不计体力）
一旦求得弹性体全部节点的 值后，就可按应力分量差分公式（对
节点0）算得弹性体各节点的应力。
0
•12 •8 •4 •5
h
x
x
0
2
y 2
0
1 h2
[(2
4 )
20 ]
• 11
•3
•0 •1
• 9
A
• 13
• 7
• 2
•6
y
0
2
x2
0
1 h2
[(1
3 )
20 ]
（5－9）
•10
B
h
• 14
xy
0
2
xy
0
1 4h2
[(5
7 ) (6
8 )]
y
图5－1
如果知道各结点的 值，就可以求得各结点的应力分量。
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§5－2应力函数的差分解
2、差分方程（相容方程） 双调和方程
•12
x 设：f f x, y 为弹性体的某一连续函数
h
•8
•4
• 5
•11 •3 •0 •1 •9 A • 13
在平行与 x 轴的一根网线上函数只随 x
• 7
• 2
•6
坐标的变化而变化。
•10
B
h
• 14
y
图5－1
在节点0 的近处将函数 f 展成泰勒级数
f
f0
f x
0
x
x0
1 2!
2 f x2
y x （3）由于 f 是 或 的二次函数，所以基本差分公式（5－1）
弹性力学用差分法和变分法解平面问题课件

弹性力学用差分法和变分法解平面问题课件

弹性力学用差分法和 变分法解平面问题课 件
目 录
• 引言 • 差分法解平面问题 • 变分法解平面问题 • 有限元法的基本原理 • 弹性力学问题的有限元解法实例 • 总结与展望
01
引言
弹性力学简介
01 弹性力学的定义和研究内容
02 弹性力学与其他力学分支的关系
03
弹性力学的发展历程和应用领域
差分法和变分法概述
根据边界条件和约束条件，建立约束方程f，如节点力平衡条件 、位移边界条件等。
通过求解线性方程组Kx=f，得到每个节点的位移。
三维弹性力学问题的有限元解法
建立刚度矩阵
根据每个三维单元的物理特性，建立刚度 矩阵K，该矩阵包含了材料的弹性常数和
每个节点的位移信息。
A 定义三维离散网格
将连续的弹性体离散化为Biblioteka 限个小 的三维单元，每个单元之间通过节
点连接。
B
C
D
求解节点位移
通过求解线性方程组Kx=f，得到每个节点 的位移。
建立约束方程
根据边界条件和约束条件，建立约束方程f ，如节点力平衡条件、位移边界条件等。
06
总结与展望
差分法和变分法的优缺点比较
直观易懂，易于编程实现
差分法优点
对于稳定问题，解的精度和收敛速 度一般较好
差分法和变分法的优缺点比较
差分法的定义和基本原理 变分法的定义和基本原理 差分法和变分法在弹性力学中的应用
平面问题概述
平面问题的定义和分 类
弹性力学中的平面问 题及其研究意义
平面问题的基本特点 和求解方法
02
差分法解平面问题
差分法的基本原理
01
有限差分法是一种将连续的物理问题离散化为网格上的数学问 题的方法。
第5章差分法

第5章差分法


8




3、边界外虚结点用内结点示之 在上、下两边， * 0 * xds 0
5 7 , 6 8 , 2 12 , 1 13
误差值： ＝＞(Δ x3)
同理： f * f 2 f 4 df , o
2h dy fo ** f2 f4 2 fo (5) 2 h
混合二阶导数：
f o *' f o * f *1 f *3 / 2h 1 2h
f6 f5 f7 f8 1 f6 f8 f5 f7 2h 2 2 h 4h
CH 5 差 分 法
§5-1 导数的差分表示及差分方程
§5-2 应力函数的差分解
CH 5 差 分 法
解析方法——从微分方程积分求出用连续函数表示解 f(x)，精确解
差分解——是微分方程一种的数值方法，得出函数在若 干点的数值。 内容：将微分用有限差分代表替
dx x x 2 x1 df f f 2 f 1
y
' x
A B
C
D EFGH
I
J
0
0
0
0
0
0
0
0
0
＋4
2
0
0 0 0 －4 8 用力矩之和计算（面力之力矩之和）或者


12
D
x 8Ydx x 8 2 dx 4
6 8 6
'
x x0 h
2 1 2 f 3 f 0 f 0 h f 0 h ......( 3) 2
第五章 用变分法解平面问题-浙江大学

第五章 用变分法解平面问题-浙江大学


思考：
按照几何方程及物理方程由位移分量（h）求出的应力分量， 可以满足平衡微分方程和应力边界条件
Hale Waihona Puke 二例设有宽度为2a而高度为（b）的矩形薄板，图5－10, 它的左边、右边和下边均被固定，而上边（自由边）具有 给定的位移，如下式：
u 0, v (1
x a
2 2
)
（i）
y

b
不计体力，试求薄板的位移
U A1
0,
U B1
0。
（l）
应用式（5－16），注意到位移的对称性，可见
E 2(1 )
2 2 u 2 v 2 v u u v 1 2 dxdy x y 2 x y x y
（e）
U1 x
x,
U1 y
y,
U1 xy
xy
结论： 弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的 改变率，就等于相应的应力分量
2.2用位移分量表示形变势能
由几何方程代入（e）式，即得：
2 u 2 v 2 u v 1 v u U1 2 , （f） 2 x y 2 x y 2 1 x y
4、位移变分方程
1）在实际平衡状态发生位移的变分时，所引起的形变势能的变分， 等于外力功的变分。
U ( f x u f y v )dxdy ( f x u f y v )ds （5－22）
A s
2）极小势能原理
(U V ) 0
在给定的外力作用之下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中， 实际存在的一组位移应使总势能成为极值 3）虚功方程 将 U 用式（5－21），表示，再代入位移变分方程（5－22），得到
用差分法和变分法解平面问题 (2)

用差分法和变分法解平面问题 (2)

n 0 , p σn σ.
斜面上沿坐标向的应力分量为
px l , py m , pz n .
代入 px , py , pz , 得到
lσ x mσ
m yx n y n zy l
zx xy
lσ, mσ
,
(a)
nσ z l xz m yz nσ。
第五章 空间问题的基本理论
考虑方向余弦关系式,有
y
2 yz
2 zx
2 xy
)σ
(σxσ
yσz
σx
2 yz
σ y
2 zx
σz
2 xy
2
yz
zx
xy
)
0.
(c)
第五章 空间问题的基本理论
应力主向
3.应力主向
设主应力 σ1的主向为l1, m1, n1。代入式
(a)中的前两式，整理后得
yx
(σ y
m1 l1
zx
σ1
)
m1 l1
n1 l1
(σx
zy
第五章 空间问题的基本理论
Fx : Fy : Fz : Mx : My : Mz :
ab
a b (τ zx )z0 d x d y 0,
ab
a b (τ zy )z0 d x d y 0,
ab
a b (σ z )z0 d x d y F;
ab
a b (σ z )z0 y d x d y Fb,
平衡条件
取出微小的平行六面体，d v d x d y d z，
考虑其平衡条件:
F 0, x
Fy 0, Fz 0; (a)
M x 0, M y 0, M z 0. (b)
第五章 空间问题的基本理论
弹性力学用差分法和变分法解平面问题课件

弹性力学用差分法和变分法解平面问题课件

分析差分解法的优点和局限性，探讨其在实际应用中的适用范围。
05 弹性力学平面问题的变分 法求解
弹性力学平面问题的变分表示
总结词
通过将弹性力学平面问题转化为变分问题，可以更方便地应用数学工具求解。
详细描述
在弹性力学中，平面问题可以用变分法表示为求取某一泛函的极值问题。这个 泛函通常是由物体的能量泛函表示的，反映了物体的弹性和位移之间的关系。
差分法和变分法的联系
数学基础
两者都基于数学原理，差分法基于离散数学，变分法基于 连续数学。
求解过程
在求解过程中，差分法将连续问题离散化，而变分法则通 过极值条件寻找近似解。
应用领域
两者在弹性力学领域都有广泛应用，差分法更适用于数值模拟和 计算机辅助设计，而变分法更适用于理论分析和解析解的求解。
差分法和变分法的应用选择
差分法的原理
差分法的原理基于泰勒级数展开，将连续的物理量用离散的差商近似代替导数，从而将微分方程转化 为差分方程。
通过选择适当的离散方式和步长，可以使得差分方程的解收敛于原微分方程的解。
差分法的应用
在弹性力学中，差分法可以用于求解 各种平面问题和空间问题，如平面应 变问题、平面应力问题、弹性地基上 的平板问题等。
差分方程的收敛性
分析差分方程求解方法的收敛性，确保求解 过程的稳定性。
弹性力学平面问题的差分解法
差分解法的步骤
详细介绍使用差分法求解弹性力学平面问题的步骤，包括离散化、 建立差分方程、求解差分方程等。
差分解法的应用
举例说明差分解法在解决实际问题中的应用，如板、梁、薄膜等结 构的分析。
差分解法的优缺点
弹性力学平面问题的变分方程
总结词
通过变分法，可以建立弹性力学平面问 题的变分方程。
弹性力学-05(差分法与变分法)

弹性力学-05(差分法与变分法)

对于弹性体边界内的每一节点，都可 建立上述方程。 但对紧靠边界内一行节点， 建立其差分方程时，还包括边界上各点处的 值和边界外一行的结点处的 值。 8 11 3
（5-10）
—— 应力函数差分方程 x 12 4 0 5 1 9 A 13
弹性体边界外一行的节点，称为虚结点。 如：节点13、14等。
（c ）
y
h
将其代入式（b），有：
2 2 f h f f 3 f 0 h x 2 x 2 0
0 2 2 f h f f1 f 0 h 2 x 0 2 x 0
任一点 0 处应力分量的差分格式：
2 1 x 0 y 2 h 2 ( 2 4 ) 2 0 0 2 1 y 0 2 2 (1 3 ) 2 0 x 0 h
x 12 8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9
在弹性体内每一点均可建立上述方程，即：

0 x 4 2 x 2y 2 y 4 0 0 0 0
4

4
y h
优点： 收敛性好、程序设计简单、 非线性适应好。 代表性软件：FLAC
f f f 1 3 2h x 0
y h
x h
3 0 1
缺点：当边界几何形状复杂时，解的精度受到限制。 （2）等效积分法 控制微分方程 边值条件 建立等效的 积分方程 假设未知函数 整个区域内
定值条件 精确解 （均质、边界条件简单）
近似解 （1）有限差分法 （数值解） （2）等效积分法（包括变分法） （3）有限单元法 （4）边界单元法 …… f1 f 3 （1）有限差分法（FDM） f 代替 2h x 0 要点：差分 微分； x h 3 0 1
第5章 差分法及变分法解平面问题

第5章 差分法及变分法解平面问题


力分量 f x、f y 求得于 B 、( ) B、( ) B 。取 A = ( ) A = ( ) A，于是
x
x
y
y
x
y
式（e）及式（d）简化为：
B ( ) B f x ds A y
B ( ) B f y ds A x
（5-13） （5-14）
值及 x
) A ( ) A 0， x y
值。 y
（2）应用式（5-16），将边界外一行各虚结点处的F值用边界内的 相应结点处的F值来表示。
（3）对边界内的各结点建立差分方程（5-12），联立求解这些结点 处的F值。
（4）按式（5-16），算出边界外一行各虚结点处的F值。 （5）按式（5-11）计算应力分量。
将 M 、 L 的已知值代入，并注意到16 1 ，得
211 16 2 2 3 8 4 4 5 7 20qh 2 0 （d）
对面内各点可建立和上相似的方程，共可建立15个，联立求解可得：
2 1 4.36qh， 2 3.89qh 2 ， 3 2.47qh 2
B B B A ( x B x A )( ) A ( y B y A )( ) A ( y B y ) f x ds ( x x B ) f y ds（e） A A x y
由式（e）及式（d）可见，若已知 A 、 ( ) A、 ( ) A ，即可由面
14 10 13 9 ( ) ( )A ， x B 2h x 2h 13 9 2h( ) A ， 14 10 2h( ) B x x
（5-16）
2. 差分法的解题步骤
5-用差分法和变分法解平面问题

5-用差分法和变分法解平面问题


2015/11/4
土木工程与力学学院 蒋一萱
5
§5.1
0
差分公式的推导
8 11 3 7 12 4 5 0 1 2 6 10
x
h
9
设：f f x, y 为弹性体的某一连续函数
在平行与 x 轴的一根网线上函数只随 坐标的变化而变化。
A
13
f f2 f4 2h y 0
(5 2)
2 f f2 f4 2 f0 2 y 2h 0 2 f 1 2 [( f 6 f 8 ) ( f 5 f 7 )] xy 0 4h
(5 5) (5 6) (5 7)
h
f f2 f4 2h y 0
2 f f y xy x 0 0 1 2 f 6 f8 f 5 f 7 4h
f f f 6 f 5 f 7 f8 y y 1 3 2h 2h 2h 2h
2015/11/4
土木工程与力学学院 蒋一萱
4
差分法是沿用已久的一种数值解法。随着 计算机的普及和相应的软件发展，此法成为解 弹性力学问题的一种有效的方法。 差分法—把基本方程和边界条件(微分方程)近 似的改用差分方程(代数方程)来表示，把求解微分 方程的问题改换为求解代数方程的问题。 差分法的数学基础：泰勒公式 这种近似方法属于数学上的近似
x
h A

x 0
2 1 2 2 [(2 4 ) 20 ] y 0 h 2 1 2 2 [(1 3 ) 20 ] x 0 h 2 1 [(5 7 ) (6 8 )] 2 x y 4 h 0

第五章 第一节差分法公式推导xin


l
2 y2
s
m
2 xy
s
fx
m
2 x2
s
l
2 xy
s
fy
l cos(n, x) cos dy
ds
m cos(n, y) sin dx
ds
dy ds
2 y2
s
dx ds
2 xy
s
fx
dx ds
2 x2
s
dy ds
2 xy
s
fy
第五章 用差分法和变分法解平面问题
A 0,
x
|A
0,
，
y
|A
0
即可根据 面力分量求得边界s上任一点
B,
x
|B ,
y
|B
第五章 用差分法和变分法解平面问题
(d)和(e)简化为：
B
y
B
f x ds
A
B
x B
f yds
线性应力函数
A
A到B，x方向面力之和 A到B，y方向面力之和
不影响应力。
第二节 应力函数的差分解
B
B
B ( yB y) fxds (x xB ) f yds
要求：理解这些近似解法，而且能够应用该近似解法。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
第一节 差分公式的推导
1 差分法定义
第一节 差分公式的推导
差分法是微分方程的一种近似数值解法。它不是去寻求函 数的解答，而是去求出函数在一些网格结点上的数值。
差分法就是把微分方程用有限差分代替，把导数用有限差 商代替，从而把基本方程和边界条件（一般均为微分方程） 改用差分方程（代数方程）来表示，把求解微分方程的问题 变换成为求解代数方程的问题。

弹性力学有限元第五章 变分法解平面问题


用V表示外力的势能(以u,v=0的自然状态下的势能为0)，它等于外 力在实际位移上所做的功冠以负号，则：
d U V 0
第五章 变分法解平面问题
§5-3 位移变分方程
d U V 0
U+V是形变势能和外力势能的总和，可以看出，在给定的外力作 用下，实际存在的位移应使总势能的变分成为零。 最小势能原理


积分可得形变势能。 平面应变问题作弹性常数的替换。
第五章 变分法解平面问题
§5-3 位移变分方程
设有平面问题中的任一单位厚度的弹性体，在外力作用下平衡。
u,v为其实际位移分量，假设这些位移分量发生了位移变分(虚位 移)d u, d v，成为：u u d u v v d v
考察其能量方面的变化。
b a a
增量的主要部分定义为泛函的变分，则
f f 代入d f，则 d I d y d y dx a y y
b
d I d f dx
b a
显然，存在关系式： d

b
a
f dx d f dx
a
b
只要积分的上下限不变，变分的运算和定积分运算可以交换次序
U1 U1 U1 dxdy f xd u f yd v dxdy f xd u f yd v ds e x de x e y de y g xy dg xy
虚功方程：方程右边各项称为应力在虚应变上的虚功。 如果在虚位移发生之前，弹性体是出于平衡状态，那么在虚位移过程 中，外力在虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚功。
b
第五章 变分法解平面问题
§5-1 变分法简介

第五章用差分法和变分法解平面问题

根据能量守恒定xyzxyzzy?x?????33??xyxy?zxzx?yzyz?zz?yy?xx?u????????????211??????????2xy2zx2yz2z2y2x1122?21yx?xz?zy?eu????????????????????比能用应力分量表示在平面问题中??xyxy?yy?xx?u??????211由物理方程??e?????????????12yxxe???????34???????????2?????2xy2y2x2112??12yx?eu?????形变势能用应变分量表示12xyyxyxye????12?xyxyu?????1yyyxxuu??????????11比能对应变分量的偏导因此我们有比能对应力分量的偏导u????yyxxu??????11xyxyu?????135y二形变势能由于应力分量和形变分量进而比能坐标的函数所以整个弹性体的形变势能都是位置为
即
d x 2Φ d y 2Φ f 2 d s x s d s xy s
y
d Φ d Φ ( )s f y . ( )s f x , d s x d s y
再将上式对s积分，从固定的基 点A到边界任一点B，得
f f f 6 f 5 f 7 f8 2 f f y 1 y 3 1 2 h 2 h 2 [( f 6 f8 ) ( f 5 f 7 )] (5) y xy x 2h 2h 4h 0 0
10
Φ 应用应力边界条件，求出边界点 Φ 、Φ 、 值
x
y
⑴应力边界条件用 Φ 表示
由应力边界条件
l x s m xy s f

弹性力学简明教程

弹性力学简明教程第一章绪论1-1 弹性力学的内容1-2 弹性力学中的几个基本概念1-3 弹性力学中的基本假定习题第二章平面问题的基本理论2-1 平面应力问题与平面应变问题2-2 平衡微分方程2-3 平面问题中一点的应力状态2-4 几何方程刚体位移2-5 物理方程2-6 边界条件2-7 圣维南原理及其应用2-8 按位移求解平面问题2-9 按应力求解平面问题相容方程2-10 常体力情况下的简化应力函数习题第三章平面问题的直角坐标解答3-1 逆解法与半逆解法多项式解答 .3-2 矩形梁的纯弯曲3-3 位移分量的求出3-4 简支梁受均布荷载3-5 楔形体受重力和液体压力习题第四章平面问题的极坐标解答4-1 极坐标中的平衡微分方程4-2 极坐标中的几何方程及物理方程4-3 极坐标中的应力函数与相容方程4-4 应力分量的坐标变换式4-5 轴对称应力和相应的位移4-6 圆环或圆筒受均布压力4-7 压力隧洞4-8 圆孔的孔口应力集中4-9 半平面体在边界上受集中力4-10 半平面体在边界上受分布力习题第五章用差分法和变分法解平面问题5-1 差分公式的推导5-2 应力函数的差分解5-3 应力函数差分解的实例5-4 弹性体的形变势能和外力势能5-5 位移变分方程5-6 位移变分法5-7 位移变分法的例题习题..第六章用有限单元法解平面问题6-1 基本量及基本方程的矩阵表示6-2 有限单元法的概念6-3 单元的位移模式与解答的收敛性6-4 单元的应变列阵和应力列阵6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵6-6 荷载向结点移置单元的结点荷载列阵6-7 结构的整体分析结点平衡方程组6-8 解题的具体步骤单元的划分6-9 计算成果的整理6-10 计算实例6-11 应用变分原理导出有限单元法基本方程习题第七章空间问题的基本理论7-1 平衡微分方程7-2 物体内任一点的应力状态7-3 主应力最大与最小的应力7-4 几何方程及物理方程7-5 轴对称问题的基本方程习题。

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f1 f 3 f ( )0 x 2h
f1 f 3 2 f 0 2 f ( 2 )0 x h2
（5-1）
（5-2）
同理，可以得到：
f2 f4 f ( )0 y 2h
f2 f4 2 f0 f ( 2 )0 y h2
2
（5-3）
（5-4）
公式（5-1）至（5-4）称为基本差分公式，其它差分公式可以由基 本差分公式得到：
14 10 13 9 ( ) ( )A ， x B 2h x 2h 13 9 2h( ) A ， 14 10 2h( ) B x x
（5-16）
2. 差分法的解题步骤
，取 A (
（1）在边界上任意选定一个结点作为基点A 再由面力的矩及面力之和算出边界上所有各结点处的F值，以及应用 式（5-16）时所必需的一些
§5-2 应力函数的差分解
1. 应力函数的差分解
当不计体力时，平面问题中的应力分量为：
2 2 2 x 2 ， y 2 ， xy xy y x
（a）
把任一结点0处的应力分量表示成：
2 1 ( x ) 0 ( 2 ) 0 2 [( 2 4 ) 2 0 ] y h 2 1 ( y ) 0 ( 2 ) 0 2 [( 1 3 ) 2 0 ] x h 2 1 ( xy ) 0 ( ) 0 2 [( 5 7 ) ( 6 8 )] xy 4h
(b)
dy l cos( N , x) cos ds
图5-2
dx ， m cos( N , y ) sin ds
将（b）式改写为：
dy 2 dx 2 ( 2 )s ( )s f x ds y ds xy dx 2 dy 2 ( 2 )s ( )s f y ds x ds xy
B B A B x B ( ) B x A ( ) A x f y ds y B ( ) B y A ( ) A y f x ds A A x x y y
再将式（d）代入，得：
B B A B x B [( ) A f y ds ] x A ( ) A x f y ds A A x x B B y B [( ) A f x ds ] y A ( ) A y f x ds A A y y
由应力边界条件（2-18），有：
l ( x ) s m( xy ) s f x ， m( y ) s l ( xy ) s f y
利用式（a），将其转化为： 2 2 l ( 2 ) s m( )s f x xy y 2 2 m( 2 ) s l ( )s f y xy x 由图（5-2）可知，
d ( )s f ds y
x
，
d ( )s f ds x
y
（c）
将（c）式从A点到B点对s积分，得：
B ， A f y ds y A f x ds x A A
B B
B
B ( ) B ( ) A f x ds A y y B ( ) B ( ) A f y ds A x x
f f f6 f5 f7 f8 y y 2 f f 1 3 2h 2h ( )0 y xy x 2h 2h 0 （5-5） 1 2 ( f 6 f 8 ) ( f 5 f 7 ) 4h
22 3 6qh 2
同理，有：
（b） （c）
23, 24, 25, 26 6,9,12,15 6qh 2
（3）对边界内的各结点建立差分方程。 例如，对1结点，由式（5-12）及对称性，可知：
201 8(2 2 4 M ) 2(2 5 2 L ) (2 3 7 16 ) 0
图5-1
f 1 2 f 1 3 f 2 f f 0 ( ) 0 ( x x0 ) ( 2 ) 0 ( x x0 ) ( 3 ) 0 ( x x0 ) 3 （a） x 2! x 3! x
f 1 2 f f f 0 ( ) 0 ( x x0 ) ( 2 ) 0 ( x x0 ) 2 x 2 x
（d）
因为 d
dx dy x y
B A
，故由分步积分法可得：
B d B B B d ( ) ( x )A x ( )ds ( y )A y ( )ds A A x ds x y ds y
将（c）式代入得： B B B B B ( ) A ( x ) A x f y ds ( y ) A y f x ds A A x y
x y
所需的 x 值及 y 值。
结点
x
y
A 0 0
B、C / 0
D / /
E、 F 、 G 、 H 、 I
J / /
K / 0
L / 0
M / 0
3qh
/

0
0
0
0
0
2.5qh 2
4.0qh 2
4.5qh 2
（2）将边界外一行各虚结点处的F值用边界内的相应结点处的F值 表示出来。
（5-11）
可见，若已知了结点处的F值，就可以求出各结点处的应力值。 将差分公式（5-6）代入相容方程，即
4 4 4 x 4 2 x 2 y 2 y 4 0 0 0 0
即可得出：
（b）
( x x0 ) h
在结点3及结点1，x分别等于 x0 h 及 x0 h ，即将 及 ( x x0 ) h 代入（b）式有：
f h2 2 f f 3 f 0 h( ) 0 ( 2 ) 0 x 2 x
f h2 2 f f 1 f 0 h( ) 0 ( 2 ) 0 x 2 x
§5-3 应力函数差分解的实例
设有正方形的砼深梁，图5-3，上面受均布压力q，由下角点 处的力平衡，用应力函数的差分法求出应力分量。 取坐标如图，网格划分h=1/6边长，由于对称，只计算一半 梁。
图5-3
（1）选基点A，取 A ( ) A ( ) A 0 ，计算边界各结点处的F值及
…………………………………………
13 0.92qh， 14
2
2 0 . 94 qh 0.94qh， 14
2
（4）计算边界外一行各虚结点处的F值。 由（a）、（b）、（c）三式可得：
B ( y B y) f x ds ( x x B ) f y ds
A A
B
B
（5-15）
对多连体情况，只能直接应用式（e）及式（d），不能应用简 化式（5-13）至（5-15）。这就使得应力函数的差分解在多连体问 题中应用不方便。
式（5-13）右边的积分表示A与B之间的x方向面力之和；式（514）右边的积分表示A与B之间的y方向面力之和；式（5-15）右边的 积分表示A与B之间的面力对B点的矩（在x轴向右y轴向下的坐标系 下，力矩以顺时针转向为正）。 边界外一行的（距边界为h的）虚结点处的F值，可用边界内一 行结点处的F值及边界上的导数值来表示。如虚结点13及14 ：
第一节
第二节
差分公式的应力函数差分解的实例
弹性体的形变势能
第五节
第六节
位移变分方程
位移变分法
第七节
位移变分法应用于平面问题
§5-1 差分公式的推导
工程中许多重要的实际问题，并不能 得出函数式解答，必须进行数值计算法求 解，差分法是数值解法之一。 差分法是把基本方程和边界条件（一 般都是微分方程）近似地改用差分方程（ 代数方程）来表示，把求解微分方程的问 题转化为求解代数方程的问题。 首先把弹性体用间距为h的两组平行线 织成网格，如图5-1。设函数 f ( x, y ) 是弹性 体内的某一连续函数，将函数在平行于轴 的网线上，如在3—0—1上，在临近结点0 处，展开成台勒级数：
将 M 、 L 的已知值代入，并注意到16 1 ，得
211 16 2 2 3 8 4 4 5 7 20qh 2 0 （d）
对面内各点可建立和上相似的方程，共可建立15个，联立求解可得：
2 1 4.36qh， 2 3.89qh 2 ， 3 2.47qh 2
力分量 f x、f y 求得于 B 、( ) B、( ) B 。取 A = ( ) A = ( ) A，于是
x
x
y
y
x
y
式（e）及式（d）简化为：
B ( ) B f x ds A y
B ( ) B f y ds A x
（5-13） （5-14）
值及 x
) A ( ) A 0， x y
值。 y
（2）应用式（5-16），将边界外一行各虚结点处的F值用边界内的 相应结点处的F值来表示。
（3）对边界内的各结点建立差分方程（5-12），联立求解这些结点 处的F值。
（4）按式（5-16），算出边界外一行各虚结点处的F值。 （5）按式（5-11）计算应力分量。
B B B A ( x B x A )( ) A ( y B y A )( ) A ( y B y ) f x ds ( x x B ) f y ds（e） A A x y
由式（e）及式（d）可见，若已知 A 、 ( ) A、 ( ) A ，即可由面