H(三章2讲)算符本征函数系

哈密顿算符的本征函数在量子力学中，哈密顿算符（Hamiltonian operator）是描述系统总能量的算符。

它是一个线性厄米（Hermitian）算符，通常表示为H。

哈密顿算符的本征函数（eigenfunctions）是指满足以下方程的函数：Hψ = Eψ其中，H是哈密顿算符，ψ是本征函数，E是对应的本征值（eigenvalue）。

在这个方程中，哈密顿算符作用于本征函数得到一个常数倍的结果。

1. 定义和用途哈密顿算符的本征函数描述了量子力学体系中粒子的可能状态。

通过求解哈密顿算符的本征值问题，我们可以得到体系的能级和相应的波函数。

这些能级和波函数提供了关于体系性质和行为的重要信息。

具体来说，哈密顿算符的本征函数用于：1.描述粒子在不同能级上可能存在的状态：每个本征函数对应一个特定能级，并且描述了粒子在该能级上可能存在的概率分布。

通过求解哈密顿算符本征值问题，我们可以得到一系列不同能级上的本征函数。

2.计算物理量：根据量子力学原理，物理量的期望值可以通过对本征函数进行适当的数学操作得到。

例如，对于可观测量A，其期望值可以表示为：⟨A⟨= ∫ψ* A ψ dV其中，ψ*是本征函数的复共轭，A是可观测量算符。

3.描述波函数演化：哈密顿算符的本征函数可以用来描述体系随时间演化的波函数。

根据薛定谔方程（Schrodinger equation），波函数随时间的演化可以由如下形式表示：ψ(t) = Σ C_n ψ_n e^(-iE_n t/ħ)其中，C_n是展开系数，ψ_n是哈密顿算符的本征函数，E_n是对应的能量本征值。

2. 哈密顿算符的工作方式哈密顿算符作用于本征函数时，会得到一个常数倍的结果。

这个常数就是对应的能量本征值。

具体来说，哈密顿算符H作用于本征函数ψ后得到：Hψ = Eψ其中E就是能量本征值。

求解哈密顿算符的本征值问题通常需要使用一些数学工具和技巧。

一种常见的方法是使用分离变量法（separation of variables）。

第三章 力学量用算符表达§ 3.1 算符的运算规则 一、 运算规则二、 算符的对易关系三、 坐标、动量的对易关系 四、 角动量的对易关系 五、 算符的函数 § 3.2 厄米算符一、 本征值为实数 二、 本征函数正交三、 本征函数系构成完备集合 四、 简并五、 量子力学的基本假定 § 3.3 共同本征函数系 一、 不确定关系二、 两个力学量有共同本征函数系的条件 三、 力学量完全集四、 {zL L ˆ,ˆ2}的共同本征函数系第三章作业教材P132 ~ 133：3、7、11、12、16§ 3.1 算符的运算规则 一、运算规则ψ、Φ − 任意态矢量，1C 、2C − 任意复常数。

1、 线性算符ΦψΦψA C A C C C A ˆˆ)(ˆ2121+=+ 2、 算符相等B A B Aˆˆˆˆ=→=ψψ 3、 单位算符ψψ=Iˆ4、 算符之和ψψψB AB A ˆˆ)ˆˆ(+=+ 满足交换律A B B Aˆˆˆˆ+=+ 满足结合律C B A C B Aˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆ++=++ 5、 算符之积)ˆ(ˆ)ˆˆ(ψψB AB A = 依次作用于波函数。

满足结合律)ˆˆ(ˆˆ)ˆˆ(C B A C B A= 一般不满足交换律A B B Aˆˆˆˆ≠ 例如x x p x x pˆˆ≠ 因为)()]([)()ˆ()()()()ˆˆ(x dx d i x x p x x x dxd i x x p xxψψψψ -=≠-=幂运算n m n m n A A AA A A A+==ˆˆˆˆˆˆˆ[例题1] 证明任意算符与单位算符交换，即 A I I Aˆˆˆˆ=． 对于任意态ψψψψA I A I Aˆ)ˆ(ˆ ˆˆ== ψψψA A I A Iˆ)ˆ(ˆˆˆ== 所以A I I Aˆˆˆˆ=6、 逆算符若由 Φψ=A ˆ 能唯一地解出ψ，则可定义A ˆ 的逆算符 1ˆ-AΦψ1ˆ-=A． 性质：I A A A Aˆˆˆˆˆ11==-- 111ˆˆ)ˆˆ(---=A B B A因为I B B B I B B A A BI B A B Aˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,ˆ)ˆˆ()ˆˆ(11111====-----7、 算符的复共轭Aˆ的复共轭*ˆA ：将A ˆ的表达式中所有量换成其复共轭。

第三章 力学量和算符内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数 。

用波函数描述粒子的运动状态。

本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。

然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。

我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现 。

§ 3.1 力学量算符的引入 § 3.2 算符的运算规则§ 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 § 3.4 连续谱本征函数§ 3.5 量子力学中力学量的测量 § 3.6 不确定关系 § 3.7 守恒与对称在量子力学中。

微观粒子的运动状态用波函数描述。

一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。

在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。

一般说来。

当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。

当给定描述这一运动状态的波函数 后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。

利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。

既然一切力学量的平均值原则上可由 给出，而且这些平均值就是在 所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。

力学量的平均值对以波函数(,)r t ψ 描述的状态，按照波函数的统计解释，2(,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是:()2*(,)(,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞∞-∞-∞==⎰⎰坐标r 的函数()f r的平均值是：()()()*(,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞-∞=⎰现在讨论动量的平均值。

论文题目：ˆL算符及其本征函数量子力学中2（理工类）ˆL算符及其本征函数1量子力学中2摘要角动量算符是量子力学中一个很重要的力学量，本论文分别对2ˆL的定义、意义、性质以及作用做了阐述，给出了2ˆL算符在球坐标系中的表示式，并用经典坐标变换以及对易关系进行了推导，2ˆL是描述旋转运动及原子分子状态的一个重要的物理量，因此对2ˆL 的研究将有助于理解量子力学中的诸多问题。

本论文将采取理论分析，并结合数学推导的方法，在掌握大量材料的基础上，作出自己的见解，把理论模型建立在合理的体系上，立足实际情况对它们进行深入的分析和研究。

关键词角动量算符；空间转子；角量子数；自旋The 2ˆL in the Quantum Mechanics and Its EigenfunctionAbstractAngular momentum operator is a very important mechanics in quantum mechanics ,this paper definite the definition, significance, as well as the nature of the2ˆL operator , and gives the expression of 2ˆL operator in spherical coordinates .And according with classic and easy to transform the relationship between the derivation. The 2ˆL operator is a very important mechanics which describe rotary movement and the state of Atomic and Molecular, so it will help to understand lots of questions of quantum mechanics. This paper will take theoretical analysis, and mathematical derivation of the method, the availability of large on the basis of material to make their own opinion, the theoretical model based on a reasonable system, based on the actual situation on their conduct in-depth analysis and research.Keywordsangular momentum operator；Spatial rotor；Azimuthal quantum number；Spinning1作者简介：王慧1986年10月出生，女汉族河南兰考人，郑州大学物理工程学院凝聚态物理专业硕士研究生一年级，主要研究方向为陶瓷功能材料。

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载量子力学第三章算符地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容第三章算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u变为函数v，用算符表示为：（3.1-1）称为算符。

u与v中的变量可能相同，也可能不同。

例如，，，，，，则，x，，，都是算符。

1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u，若，则。

（2）算符的相加：对于任意函数u，若，则。

算符的相加满足交换律。

（3）算符的相乘：对于任意函数u，若，则。

算符的相乘一般不满足交换律。

如果，则称与对易。

2．几种特殊算符（1）单位算符对于任意涵数u，若u=u，则称为单位算符。

与1是等价的。

（2）线性算符对于任意函数u与v，若，则称为反线性算符。

（3）逆算符对于任意函数u，若则称与互为逆算符。

即，。

并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。

对于非齐次线性微分方程：，其中为与函数构成的线性算符，a为常数。

其解u可表示为对应齐次方程的通解u。

与非齐次方程的特解之和，即。

因，所以不存在使。

一般说来，在特解中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，=0，则中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在使，从而由得：。

从上述分析可知，是否存在逆算符还与算符所作用的函数有关。

（4）转置算符令，则称与的转置算符，是一个向左作用的算符。

若算符表示一般函数（或常数），由于函数的左乘等于右乘，所以函数的转置就等于它本身。

定义波函数与的标积为：（3.1-2）与的标积以及与的标积为：若上两式中的与都是任意波函数，则称上两式中的与为任意标积中的算符。

下面考虑在任意标积中的性质。

波函数与在无限远点也应满足连续性条件：[可都等于零]，，所以得：可见在任意标积中，。

量子力学讲义第三章讲义第三章力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

Auv = 表示?把函数u 变成 v ， ?就是这种变换的算符。

为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。

但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。

二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符?，称为线性算符11221122()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。

例如：动量算符?pi =-? ，单位算符I 是线性算符。

2、算符相等若两个算符?、?B 对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即??A B ψψ=，则算符?和算符?B 相等记为??AB =。

3、算符之和若两个算符?、?B对体系的任何波函数ψ有：()A B A B C ψψψψ+=+=，则A B C +=称为算符之和。

AB B A +=+，()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符?与?B之积，记为??AB ，定义为 ()()ABA B ψψ=?C ψ= ψ是任意波函数。

一般来说算符之积不满足交换律，即ABBA ≠。

5、对易关系若ABBA ≠，则称?与?B 不对易。

若A B B A=，则称?与?B 对易。

若算符满足AB BA =-，则称?A 和?B 反对易。

例如：算符x , ?x pi x=-? 不对易证明：(1) ?()x xpx i x ψψ?=-? i x xψ?=-? (2) ?()x px i x x ψψ?=-? i i x xψψ?=--? 显然二者结果不相等，所以：x x xpp x ≠ ??()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以x x xpp x i -= 对易关系同理可证其它坐标算符与共轭动量满足y y ypp y i -= ，??z z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。

哈密顿算符的本征函数一、引言哈密顿算符是量子力学中非常重要的概念，它描述了一个系统的总能量，并且可以用于求解系统的本征函数和本征值。

在本文中，我们将讨论哈密顿算符的本征函数。

二、哈密顿算符的定义哈密顿算符是量子力学中描述一个系统总能量的算符，它被定义为：H = T + V其中，T是动能算符，V是势能算符。

在一维情况下，动能算符和势能算符分别为：T = - (h_bar^2 / 2m) d^2/dx^2V = V(x)其中，h_bar是普朗克常数除以2π，m是粒子质量，x是位置坐标。

三、哈密顿算符的本征值和本征函数一个物理系统的哈密顿算符作用于其本征函数时会得到一个常数倍数，这个常数就是该系统的本征值。

因此，我们可以通过求解哈密顿算符的本征函数来得到该系统的能级。

对于一维情况下的哈密顿算符，在某个位置x处的波函数ψ(x)满足以下薛定谔方程：Hψ(x) = Eψ(x)其中E为该系统的能级。

四、求解哈密顿算符的本征函数对于一维情况下的哈密顿算符，我们可以通过分离变量法来求解其本征函数。

具体来说，我们可以将波函数表示为：ψ(x) = u(x) * v(x)其中u(x)是动能算符的本征函数，v(x)是势能算符的本征函数。

我们可以将薛定谔方程写成以下形式：(- (h_bar^2 / 2m) d^2/dx^2 + V(x)) u(x) * v(x) = E u(x) * v(x)将V(x)移项，并除以u(x)v(x)，得到：(- (h_bar^2 / 2m) d^2/dx^2 - (E - V(x))) u(x)/u + v(x)/v = 0由于左侧只与x有关，右侧只与E有关，因此左右两侧必须相等，即：- (h_bar^2 / 2m) d^2/dx^2 - (E - V(x)) = λ其中λ为常数。

我们可以将上式写成以下两个方程组的形式：d^2u/dx^2 + (λ - 2m(E-V)/h_bar^2)*u = 0d^2v/dx^2 + (λ + 2mE/h_bar^2)*v = 0这两个方程分别是动能算符和势能算符的本征值问题。