厄米算符本征函数的正交性

3.4 厄米算符本征函数的正交性 力学量算符本征值，本征函数,厄米算符 现讨论厄米算符的本征函数的基本性质，正交性 动量算符的本征函数pψ本征值为p32*1()(2)()i p rp p p r ce c d p p ψπψψτδ⋅'=='=-⎰*0p p p pd ψψτ''≠=⎰属于动量算符不同本征值的两个本征函数,p p ψψ'相互正交 厄米算符的特点：本征函数正交 证明：设力学量算符ˆF， 本征值 123,,,n λλλλ 本征函数 123,,,n φφφφ取属于不同本征值的任意两个本征波函数波函数k l λλ≠因为k lλλ≠所以 *0k l d φφτ=⎰以上证明过程对分立谱，连续谱都成立但注意：对分立谱k λ组成分立谱，波函数k φ已归一*1k kd φφτ=⎰由以上两式*k lkl d φφτδ=⎰ 其中1,0,kl k l k l δ=⎧=⎨≠⎩对连续谱λ 组成分立谱，波函数λφ归一为δ函数*()d λλφφτδλλ''=-⎰满足以上两式的函数系，称为正交归一系。

以上无简并情况简并情况---〉同一本征值对应多个波函数（状态）如力学量算符ˆF的一个本征值n λ是f度简并此处多讲！一般来说以上这些函数在满足本征方程外，还有更大的自由，所以并不一定相互正交 但我们总可以用个2f 常数,,1,2,,ij A i j f=把以上f个函数ni φ线性组合成f个新函数ni ψ相互正交上结论能否成立，关键是能否找到2f 个常数i j A ，使组成的新函数n i ψ满足正交归一即*n j n j j j d ψψτδ''=⎰即f 个新函数n i ψ相互组合，共有22(1)222ff f f f C -==-个类似以上的方程且''0j j j j δ≠=由归一性*11,2,,n j n j d j fψψτ==⎰ 共f个找到2f 个常数i j A ，使组成的新函数n i ψ 满足正交归一受限制方程数2222222ff f f N f f C f -=+=+=+ 系数i j A 有2f 个 ，大于方程的个数N ，所以总可以找到2f 个系数i j A 组成f个新函数n i ψ满足正交性且新函数是力学量ˆF的本征函数，本征值为n λ 即例：力学量算符ˆF某本征值λ2度简并本征函数1,2φφ本征值为λ设正交归一的波函数11111222211222c c c c ϕφφϕφφ=+=+由正交归一***1211220,1,1d d d ϕϕτϕϕτϕϕτ===⎰⎰⎰已作过的几个厄米算符的本征函数线性谐振子，能量算符222(1)(),2a x n n n n n n N eH ax E ψω-+== 角动量ˆzL20,0,1,2,()()im m m m mm e m m ϕππφφϕφϕδ''==±±=⎰角动量平方22,(,)(cos ),(1),(21)m im lm lm l L Y N P e l l l ϕθϕθ=++ 氢原子能量22222121212222222222s R s rZe H r r Ze H rM μμμ=-∇-∇----∇∇=- 内部运动能量波函数 3.5 算符与力学的关系 力学量 算符表示算符 厄米算符本征值方程 本征值、本征函数如果算符 F 表示力学量 F ，那么体系处于算符F 的本征态φ时，力学量F 有确定的值，这个值就是算符F 在φ态的本征值λ一般情况，体系并不在本征函数所描述的态上，而是一个任意的态ψ上 ？有确定值吗？ 测量该力学量得什么？ 波函数能给出给力学量的什么信息？态的叠加 假设体系处于1()r ψ，测量某力学量A,得1a假设体系处于2()r ψ，测量某力学量A,得2a则1122c c ψψψ=+也是体系的可能状态 （c 为任意复数）称1122c c ψψψ=+是 1()r ψ 和2()r ψ的叠加态在该态上测量力学量A 有时出现1a 有时出现2a出现的几率分别为 21c 22c力学量A 的平均值是：数学上已知证明 如ˆF是满足一定条件的厄米算符，它的正交归一本征函数nφ对应本值n λ，则任一函数可按n φ展开 式中ic 与x 无关，本征函数n φ的这种性质称完全性，即组成完全系其他例子：矢量表示r xi y j zk =++函数的级数展开00()0vs v f b b νρρ∞+==≠∑函数的三角函数展开()sin()n n f x A nx ∞==∑系数n c 如何求？***()m m n n nn m n n mn mnnx dx c dxc dx c c φψφφφφδ====∑⎰⎰∑∑⎰即*()m m c x dx φψ=⎰系数n c 的平方和等于 1 系数n c 物理意义？ 数学上n c 时含有n φ的大小物理上含有量子态份额的多少，2nc 是测量力学量ˆF得nλ的几率力学量与算符关系的一个基本假定表示力学量的算符ˆF都是厄米算符，它们的本征函数n φ组成完全系，当体系处于波函数()x ψ所描写的状态时，测量力学量F 所得的数值，必定是算符ˆF的本征值之一，测得的几率是2nc .正确性，由整个理论与实验结果符合而得到验证 由以上假定，力学量平均值2*n nnF c F F dx λψψ→==∑⎰证明*********2**()()()()m m n n mnm n m n m n m n n mnmnm n n m n m n n mnmnmnn n nF dx c F c dxc c F dx c c dx c c dx c c c FF x dx F x dxψψφφφφφλφλφφλδλψψψψ========∑∑⎰⎰∑∑⎰⎰∑∑⎰∑⎰⎰对含连续谱情况 ()()()n n nx c x c x d λλψφφλ=+∑⎰其中*()()c x x dx λλφψ=⎰由22*()()11nnx x dx cc d λψψλ=→+=∑⎰⎰对连续部分对含连续谱情况下2c d λλ是什么意义 是测力学量F 得值在范围d λλλ→+内的几率 平均值22n nn n nF c F c d λλλ=→=∑⎰*F Fdx ψψ=⎰有分立，连续22*n n n nF c c d F dx λλλψψ=+=∑⎰⎰例：求氢原子处于基态时，电子动量的几率分布分析基态1001()r a r eψ-=给出了随 r 的分积布,几率密度2100ψ按动量算符的本征函数展开，系数cλ 即为动量分布其中动量本征函数321()(2)i p r p r eψπ⋅=微元2sin d r drd d τθθϕ=orxyzpθ2322cos 2302201cos 23cos 12211sin (2)1sin (2)12cos (2)or i p r a p r ipr a r r ipr a r o c er drd d eer d d dra eer drd a ππθθϕθθθθϕπθθϕππθπ--⋅-∞-===-∞--===⋅==-⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰2323232222202[]/[](2)(2)2[](2)r i i pr pr a r o ri i pr pr a o r air ee epr dra a i reeedr a p a pπππ-∞-=-∞-==⋅--=-=⎡⎤+⎣⎦⎰⎰0032011()()320002[](2)2[00]11(2)()()ri i pr pr a r i i p r p r a a r r i ree e dra pi ee dr dri i a pp p a a ππ-∞-=-+--∞∞===-=--+-+--⎰⎰⎰0011()()0322200032220002[]11(2)()()211[]11(2)()()ii p r p r a a r i e e i i a p p p a a i i i a p p p a a ππ-+--∞=-=++--=++-322200000203222000222000322222003220003222222222000211[](2)()()2()11[]()()(2)2()()()()(2)2()4(2)()()(2)i ia p ia p a p a a i a ia p ia p a p i a ia p ia p a p a pi a i a p a a p a p a p πππππ+=++-+=++---+=+-==++()p c p 是p p=的函数，动量的几率密度352422228()o p a p c a p ωπ==⎡⎤+⎣⎦当氢原子处基态时，电子动量的绝对值在范围p p dp →+内的几率积分时利用公式224(1)32x dx x π∞=+⎰。

白痴物理学——量子力学——厄米算符本征函数的正交性厄米算符具有本征值和本征函数。

厄米算符的本征函数具有正交性这个基本性质。

1、什么是厄米算符？满足下面这个条件的就是厄米算符ττvd Fu vd F u **)(⎰⎰∧∧≡。

注：u 是一个函数v 是另一个函数*表示共轭符号，具体来说，就是在虚数单位i 前面加上—（负号，读作fu4声）。

虚数就是带有单位i 的数。

i 的平方等于-1（实数负一）。

如i 的共轭为-i 。

如P= -（ih ▽）/（2π）。

则*P =（ih ▽）/（2π）。

d 表示求微分τ（读作套）表示一个非常小的体积，理解为体积元，说白了就是一个极小的体积。

具体问题里是包裹着某个特定点的空间。

⎰表示积分，通常与d 搭配使用，也可以单独使用。

一般这样表示：“⎰Adx ”。

式子中A 是某个函数，dx 表示函数分成x 份，⎰表示将这个函数分成x 份后，再将这x 份加起来。

ττvd Fu vd F u **)(⎰⎰∧∧≡这个厄米算符不好记忆，可以这么理解。

小三（指的是u ）拿着一把刀（用*表示），闯进了夫妻（∧F 和v ）的家里（家指的是⎰d τ，⎰和d τ中间是空的 ），要夫妻（∧F 和v ）俩离婚，结果丈夫（∧F ）就和小三（u ）在一起了（“（∧F u ）”），并且拿着小三u 的刀（*），变成*)(∧Fu ，一起来对付自己的老婆（v ）。

2什么叫本征值？什么叫本征函数量子力学中若λϕϕ=∧F则称λ为本征值，ψ叫做本征函数。

注：∧F 是一张算符。

算符是将一种函数变成另一种函数的对应关系。

类似于函数，但函数是建立因变量和自变量的关系。

原理类似，作用对象不同，大同小异而已。

如医生之于兽医。

ψ是某个函数。

λ是本征值，一般来说，是一个数。

可以使实数，可以是虚数。

3、什么是正交性。

正交性是厄米算符的一种基本性质。

有什么用，我也不知道，就是量子力学这门游戏的玩法。

动量算符的不同本征值的两个本征函数ψ1和ψ2相互正交（记下来）。

教改聚焦2014-06在量子力学中，表示力学量的算符必定都是厄密算符。

厄密算符对应的本征函数具有正交归一性，但在部分教材中没有给出详细的证明过程，给学习者研读带来困难。

在此，本人对一维无限深势阱和线性谐振子哈密顿算H 角动量平方算符L 的本征函数正交归一性证明如下，仅供学习量子力学者参考。

一、一维无限深势阱哈密顿算H 征函数的正交归一性任取两个一维无限深势阱哈密顿算符的本征函数[1]：则有：淤当m=n 时，上式为：即有，也就是一维无限深势阱哈密顿算H 本征函数具有正交归一性。

二、线性谐振子哈密顿算H 征函数的正交归一性线性谐振子哈密顿算H本征函数为[2]：其中任取两个函数和，令，所以，则有：上式第一项为，且最高次项的系数为2014-06教改聚焦当m ≥0时，；当m =0时，为关联勒让德函数：关联勒让德函数的正交性无法直接证明，在此，我们任取两个本征函数进行验证。

1.验证的正交性所以是相互正交的。

2.验证归一性至此，我们证明或验证了一维无限深势阱和线性谐振子哈密顿算H 角动量平方算L 2的本征函数的正交归一性。

参考文献：［1］陈鄂生.量子力学教程.山东大学出版社，2002-05.［2］周世勋.量子力学.高等教育出版社，1979-02.［3］大卫·J ·格里菲斯.量子力学概论.贾瑜，胡行，李玉晓，译.机械工业出版社，2013-03.（作者单位毕节职业技术学院）•编辑张珍珍语文在人际交往中有着特殊的作用，它是其他学科所替代不了的，同时也是工具性和人文性相结合的一门最基本的学科。

当前的语文教学以培养学生的实践能力为最终的目标，需要将所学的知识与实际生活更好地融合在一起来满足社会的需要。

一、在书写方面强化训练，促进学生逻辑思维的培养，为实践能力的提升提供条件在语文教学中，对学生的写字不仅要求美观，更深层次上是让学生有一个良好的学习习惯。

因为在书写的过程中可以不断培养学生的逻辑思维。

例如，在教学《荷塘夜色》时，其中包含很多优美的句子，教师可以要求学生对其进行仿写，在这个过程中可以进行创新。

厄米算符量子力学中，可以观测的物理量要用厄米算符来表示。

算符的厄米性不仅对算符有了很大的限制，而且对波函数也有一些限制。

文章将首先介绍一下厄米算符的定义、性质以及与经典的对应，接着重点探讨一下算符的厄米性对波函数的限制。

1.厄米算符的定义及性质量子力学中的力学量用算符来表示，而实验上的可观测的物理量用厄米算符来表示。

因此，要弄清物理量的特点，研究厄米算符的性质就显得尤为重要。

此外，在很多量子力学教材中，算符的厄米性通常被认为主要是对算符的限制[1]，而很少关注或说明算符的厄米性对波函数的限制，甚至有很多不准确的表述（后文将细述）。

其实，为了保证算符的厄米性，常常要求波函数满足一定的条件。

厄米算符具有一些重要的性质：（1）在任何状态下，厄米算符的本征值必为实数；（2）在任何状态下平均值为实数的算符必为厄米算符；（3）厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交;（4）厄米算符的本征函数具有完备性。

2.量子力学中力学量用厄米算符来描述量子体系中的可观测量（力学量）用线性厄米算符来描述是量子力学的一个基本假设，其正确性应该由实验来判定。

“量子体系中的力学量用相应的线性厄米算符来描述”具有多方面的含义：其一，算符的线性是状态叠加原理所要求的；其二，实验上的可观测的力学量总是实数，力学量相应的算符必须是厄米算符；实际上，这种要求是有些过分了，即使某个力学量的算符不是厄米算符，只要它的本征值是实数即可，但是这样做的结果会使本征矢变成超完备的，以致不便于使用[2]。

其三，量子力学里测量值通常不是唯一确定的值，而是具有一定概率分布的一系列的值，这些测量值的平均值可用（ψ 已经归一化）来表示；其四，力学量之间的关系也可通过相应算符之间的关系（如对易关系）来反映出来。

基于以上三点，量子力学中的力学量用厄米算符来描述。

3.厄米算符与经典的对应我们知道算符的性质可用矩阵来表示，那么厄米算符对应怎样的矩阵呢？从厄米算符是定义出发：但是需要指出的是，以线性厄米算符表示力学量扩充了量子力学中力学量的范围，除了有经典的对应的力学量外，即使经典物理中没有相应的力学量，但只要是线性厄米算符，在微观世界中有意义，诸如宇称、自旋、同位旋等，也都是力学量[3]。

§4.9厄密算符的基本性质一、厄密算符设u 和v 是任意两个函数，如果算符F ∧满足**()u F vdx F u vdx ∧∧=⎰⎰，式中x 代表u和v 的所有变数，积分是在所有变数的全部区域进行的，则称算符F ∧为厄密算符或自轭算符。

我们前面已讨论过的坐标算符、动量算符和 能量算符都是厄密算符 例：证明动量算符x p i x∂=-∂是厄密算符 证明：***()x u p vdx u ivdx i u vdx xx∧+∞+∞+∞-∞-∞-∞∂∂=-=-∂∂⎰⎰⎰**** =[()]=|i u v dx u vdx x xi u v i u vdx x+∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞∂∂--∂∂∂-+∂⎰⎰⎰因为u 和v 都是满足波函数标准条件的波函数，它们在无穷远处的边界应为0，上式右边第一项为0，而第二项可写为**()()x iu vdx p u vdx x+∞+∞-∞-∞∂-=∂⎰⎰，所以有**()x x u p vdx p u vdx ∧+∞+∞-∞-∞=⎰⎰故动量算符x p 是厄密算符二. 厄密算符的性质1. 厄密算符的本征值都是实数，表示为*λλ=证明：设F 为厄密算符，λ表示它的的本征值，u 表示对应的本征函数，即：Fu u λ=由厄密算符的定义式可得：**()u F udx F u udx ∧∧=⎰⎰⇒**()u udx u udx λλ=⎰⎰，即***u udx u udx λλ=⎰⎰由此得：*λλ=即λ是实数。

2. 厄密算符的本征值代表力学量的确定值表示力学量的算符的本征值是测量该力学量可能得到的数值，这些数值必须是实数，因此表示力学量的算符必须是厄密算符。

根据波函数应满足态叠加原理的要求，表示力学量的算符还必须是线性的，因此表示力学量的算符应是线性厄密算符。

那么体系处于什么状态时，力学量具有确定的数值呢?设体系处于波函数(,)r t ψ所描写的状态。

测量力学量为F ，它是一个线性厄密算符。