H(三章2讲)算符本征函数系【优质PPT】

第三章 力学量用算符表达§ 3.1 算符的运算规则 一、 运算规则二、 算符的对易关系三、 坐标、动量的对易关系 四、 角动量的对易关系 五、 算符的函数 § 3.2 厄米算符一、 本征值为实数 二、 本征函数正交三、 本征函数系构成完备集合 四、 简并五、 量子力学的基本假定 § 3.3 共同本征函数系 一、 不确定关系二、 两个力学量有共同本征函数系的条件 三、 力学量完全集四、 {zL L ˆ,ˆ2}的共同本征函数系第三章作业教材P132 ~ 133：3、7、11、12、16§ 3.1 算符的运算规则 一、运算规则ψ、Φ − 任意态矢量，1C 、2C − 任意复常数。

1、 线性算符ΦψΦψA C A C C C A ˆˆ)(ˆ2121+=+ 2、 算符相等B A B Aˆˆˆˆ=→=ψψ 3、 单位算符ψψ=Iˆ4、 算符之和ψψψB AB A ˆˆ)ˆˆ(+=+ 满足交换律A B B Aˆˆˆˆ+=+ 满足结合律C B A C B Aˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆ++=++ 5、 算符之积)ˆ(ˆ)ˆˆ(ψψB AB A = 依次作用于波函数。

满足结合律)ˆˆ(ˆˆ)ˆˆ(C B A C B A= 一般不满足交换律A B B Aˆˆˆˆ≠ 例如x x p x x pˆˆ≠ 因为)()]([)()ˆ()()()()ˆˆ(x dx d i x x p x x x dxd i x x p xxψψψψ -=≠-=幂运算n m n m n A A AA A A A+==ˆˆˆˆˆˆˆ[例题1] 证明任意算符与单位算符交换，即 A I I Aˆˆˆˆ=． 对于任意态ψψψψA I A I Aˆ)ˆ(ˆ ˆˆ== ψψψA A I A Iˆ)ˆ(ˆˆˆ== 所以A I I Aˆˆˆˆ=6、 逆算符若由 Φψ=A ˆ 能唯一地解出ψ，则可定义A ˆ 的逆算符 1ˆ-AΦψ1ˆ-=A． 性质：I A A A Aˆˆˆˆˆ11==-- 111ˆˆ)ˆˆ(---=A B B A因为I B B B I B B A A BI B A B Aˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,ˆ)ˆˆ()ˆˆ(11111====-----7、 算符的复共轭Aˆ的复共轭*ˆA ：将A ˆ的表达式中所有量换成其复共轭。

第三章 力学量和算符内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数 。

用波函数描述粒子的运动状态。

本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。

然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。

我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现 。

§ 3.1 力学量算符的引入 § 3.2 算符的运算规则§ 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 § 3.4 连续谱本征函数§ 3.5 量子力学中力学量的测量 § 3.6 不确定关系 § 3.7 守恒与对称在量子力学中。

微观粒子的运动状态用波函数描述。

一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。

在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。

一般说来。

当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。

当给定描述这一运动状态的波函数 后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。

利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。

既然一切力学量的平均值原则上可由 给出，而且这些平均值就是在 所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。

力学量的平均值对以波函数(,)r t ψ 描述的状态，按照波函数的统计解释，2(,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是:()2*(,)(,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞∞-∞-∞==⎰⎰坐标r 的函数()f r的平均值是：()()()*(,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞-∞=⎰现在讨论动量的平均值。

论文题目：ˆL算符及其本征函数量子力学中2（理工类）ˆL算符及其本征函数1量子力学中2摘要角动量算符是量子力学中一个很重要的力学量，本论文分别对2ˆL的定义、意义、性质以及作用做了阐述，给出了2ˆL算符在球坐标系中的表示式，并用经典坐标变换以及对易关系进行了推导，2ˆL是描述旋转运动及原子分子状态的一个重要的物理量，因此对2ˆL 的研究将有助于理解量子力学中的诸多问题。

本论文将采取理论分析，并结合数学推导的方法，在掌握大量材料的基础上，作出自己的见解，把理论模型建立在合理的体系上，立足实际情况对它们进行深入的分析和研究。

关键词角动量算符；空间转子；角量子数；自旋The 2ˆL in the Quantum Mechanics and Its EigenfunctionAbstractAngular momentum operator is a very important mechanics in quantum mechanics ,this paper definite the definition, significance, as well as the nature of the2ˆL operator , and gives the expression of 2ˆL operator in spherical coordinates .And according with classic and easy to transform the relationship between the derivation. The 2ˆL operator is a very important mechanics which describe rotary movement and the state of Atomic and Molecular, so it will help to understand lots of questions of quantum mechanics. This paper will take theoretical analysis, and mathematical derivation of the method, the availability of large on the basis of material to make their own opinion, the theoretical model based on a reasonable system, based on the actual situation on their conduct in-depth analysis and research.Keywordsangular momentum operator；Spatial rotor；Azimuthal quantum number；Spinning1作者简介：王慧1986年10月出生，女汉族河南兰考人，郑州大学物理工程学院凝聚态物理专业硕士研究生一年级，主要研究方向为陶瓷功能材料。

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载量子力学第三章算符地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容第三章算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u变为函数v，用算符表示为：（3.1-1）称为算符。

u与v中的变量可能相同，也可能不同。

例如，，，，，，则，x，，，都是算符。

1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u，若，则。

（2）算符的相加：对于任意函数u，若，则。

算符的相加满足交换律。

（3）算符的相乘：对于任意函数u，若，则。

算符的相乘一般不满足交换律。

如果，则称与对易。

2．几种特殊算符（1）单位算符对于任意涵数u，若u=u，则称为单位算符。

与1是等价的。

（2）线性算符对于任意函数u与v，若，则称为反线性算符。

（3）逆算符对于任意函数u，若则称与互为逆算符。

即，。

并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。

对于非齐次线性微分方程：，其中为与函数构成的线性算符，a为常数。

其解u可表示为对应齐次方程的通解u。

与非齐次方程的特解之和，即。

因，所以不存在使。

一般说来，在特解中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，=0，则中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在使，从而由得：。

从上述分析可知，是否存在逆算符还与算符所作用的函数有关。

（4）转置算符令，则称与的转置算符，是一个向左作用的算符。

若算符表示一般函数（或常数），由于函数的左乘等于右乘，所以函数的转置就等于它本身。

定义波函数与的标积为：（3.1-2）与的标积以及与的标积为：若上两式中的与都是任意波函数，则称上两式中的与为任意标积中的算符。

下面考虑在任意标积中的性质。

波函数与在无限远点也应满足连续性条件：[可都等于零]，，所以得：可见在任意标积中，。

第三章算符和力学量算符之宇文皓月创作3.1 算符概述设某种运算把函数u变成函数v，用算符暗示为：3.1-1）u与v中的变量可能相同，也可能分歧。

例如，x，1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u（2）算符的相加：对于任意函数u，若，则（3）算符的相乘：对于任意函数u2．几种特殊算符（1）单位算符对于任意涵数u1是等价的。

（2）线性算符对于任意函数u与v算符。

（3）逆算符对于任意函数u并不是所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。

的线性算符，a为常数。

其解u可暗示为对应齐次方程的通解u。

与分，但如果当a=0述分析可知，是否存在逆算符还与算符所作用的函数有关。

（4）转置算符函数的转置就等于它自己。

3.1-2）也应满足连续性条件：可都等于零]（5）转置共轭算符（也称为厄密共轭算符）与厄密算符转置共轭算符通常也是向左作用的算符，同时算符自己要取共义为：3.1-3）可以证明，位置算符与动量算符都是厄密算符。

因x是实数，而，所以。

在任意标积中，因，所以3.1-3）出发，来证（6）幺正算符（7）算符的函数设函数F（A F为：（3.1-4）n3.2算符的对易关系定义算符的泊松（Poisson）括号为：（3.2-1）的。

1．量子力学中基本对易关系在位置表象中，，即在动量表象中可见在位置表象中与动量表象中都得：（3.2-2）如果两个算符所含的独立变量分歧，则这两个算符是对易的。

例yx。

又如，在有心力场中，U(x)所含的变量是rx，y，z（3.2-3）（3.2-4）式就是量子力学中的基本对易关系式。

2．线性算符泊松括号的性质根据量子泊松括号的定义式以及线性算符的定义式不难证明下关系式：（其证明供练习）3.2-5）为常数（3.2-6）为常数（3.2-7）3．其他对易关系（1）角动量算符与位置算符之间的对易关系采取爱因斯坦记号，则上式可写为：3.2-11）Levi-Civita所有角标都是反对称的，即交换任意两个角标，其值反号，例如，数学性质：3.2-12）i ，j 反对称之故。