自主学习01 教材内容第三章力学量与算符知识框架重点难点第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节第八节本章习题本章自测重点难点通过本章的学习，应使学生掌握量子力学中的力学量用算符表示的基本原理， 表示力学量的算符，动量算符和角动量算符，厄米算符本征函数的正交性，算符与力学量的关系，算符的关系，两力学量同时有确定值的条件，不确定性关系，力学量平均值随时间的变化，守恒定律，掌握力学量随时间的演化规律。
§3.1 力学量的平均值，力学量用算符表示[本节要求] 理解力学量的平均值的概念，掌握力学量的算符表示[重点难点] 力学量的算符表示[本节内容]粒子处于波函数)(rψ所描述的状态下,虽然不是所有的力学量都有确定的观测值,但它们都有确定的几率分布,因而有确定的平均值.粒子处于归一化状态)(rψ,其位置坐标的几率密度为ψψ*.这样,位置坐标的平均值为 ()()()()xd r r r xd r r r r 33ψψψψ⎰⎰**==(1)波长是用以刻画波动在空间变化快慢的,是属于整个波动的量.因此,“空间某一点的波长”的提法是没有意义的.再根据德布罗意关系式p=h/λ,“微观粒子在空间某点的动量”的提法也是没有意义的.因此,不能像求位置的平均值那样求动量的平均值.按前面所述,给定波函数)(rψ后,测得粒子的动量在p 到pd p+之间的几率为pd p 32)(ϕ,其中xd e r p r p i 323)()2(1)(⋅-⎰∞-∞+=ψπϕ (2)其逆变换为()()()p d r p i e p r 32321⎰∞+∞-⋅=ϕπψ (3)因此,可借助)(pϕ来间接计算动量的平均值 ⎰⎰*=>=<)()()(332p p p p d p d p p pϕϕϕ (4)把式(2) 的复共轭代入式(4),得()()()()()()p e i r pxd dp p e r pxd p r p i r p iϕψπϕψπ⋅*⋅*∇-==⎰⎰23333332121d (5)再利用式(3),得()()()r i r x d pψψ⎰∇-=*3 (6)这样,我们就找到一个直接用)(rψ来计算动量平均值的公式.可是,这时就出现了一种新符号—算符.令∇-= i pˆ,称为动量算符,则⎰*=xd r p r p 3)(ˆ)( ψψ (7)在经典力学中, 势能、动能、角动量、哈密顿量等都是坐标和动量的函数, 可推广式(1) 和(7) 到其它有经典对应的力学量. 引进坐标和动量算符∇-== i pr r ˆ,ˆ (8)有经典对应的力学量),(p r A是r 和p 的函数,只需把A 的表达式中的r 和p 用算符r r =ˆ和∇-= i pˆ代替,就构成了相应的可观察量的算符. 例如，势能算符为()r V V=ˆ、动能算符为222ˆ212ˆpmmT=∇-=、角动量算符为p r L ˆˆ ⨯=及哈密顿算符为)(2ˆ22r V m H +∇-=.一般而言,任何一个力学量A 的平均值可表示为⎰=>=<*)ˆ,(ˆ3ψψψψA x d AA (9)式中A ˆ为与力学量A 相应的算符.§3.2 算符的一般运算规则[本节要求] 掌握算符的一般运算法则 [重点难点] 算符的运算法则 [本节内容]1. 线性算符 对任意两个波函数1ψ和2ψ,凡满足下列运算规则的算符O ˆ,称为线性算符22112211ˆˆ)(ˆψψψψO C O C C C O +=+ (1)其中1C 和2C 是两个任意常数.量子力学中的算符不都是线性算符,但用来刻画力学量的算符则都是线性算符,这是态叠加原理的要求.例如,位置算符r r =和动量算符∇-= i pˆ都是线性算符.一个典型的非线性算符是平方根算符,这是由于22112211ψψψψC C C C +≠+ (2)又如取复共轭、时间反演也不是线性算符.2. 算符的基本运算单位算符：对任意波函数ψ,若ψψ=I ˆ,则称I ˆ为单位算符.算符相等：对任意波函数ψ,若ψψB Aˆˆ=,则称两个算符相等,B A ˆˆ=.算符之和：对任意波函数ψ,若ψψψψB A B A Cˆˆ)ˆˆ(ˆ+=+=,则称C ˆ为A ˆ与B ˆ之和.算符之和满足A B B A ˆˆˆˆ+=+ 加法交换律 (3)C B A C B Aˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆ++=++ 加法结合律 (4)算符之积：对任意波函数ψ,若)ˆ(ˆ)ˆˆ(ˆψψψB A B A C==,则称C ˆ为A ˆ与B ˆ之积.一般而言,算符之积不满足交换律,即A B B A ˆˆˆˆ≠ (5)算符的乘幂：对任意波函数ψ,算符A ˆ的n 次幂定义为nn A A A A A ˆˆˆˆˆ⋅⋅= (6)算符的函数：对任意波函数ψ,若)(x F 是x 的解析函数,则算符A ˆ的函数为()()()nnn AF n AF ˆ0!1ˆ0∑∞== (7)3. 算符的复共轭、转置及厄米共轭 定义一个量子体系的两个任意的波函数ψ与ϕ的标积为⎰*=ϕτψϕψd ),( (8)显然),(),(),(),(),(),(),()*,(0),(2211221122112211ϕψϕψϕψψϕψϕψϕϕψψφϕψψψ**+=++=+=≥c c c c c c c c (9)(1) 算符的复共轭：算符O ˆ的复共轭是把O ˆ的表达式中所有复量换成其共轭复量.例如坐标表象中xx x p x i p xi p-=∂∂=∂∂-=*,所以pp ˆ -=* (10)(2) 算符的转置：算符O ˆ的转置算符O ~ˆ定义为），（），（*ˆ*~ˆψϕϕψO O = (11)即⎰**=ψτϕϕτψO d Od ˆ~ˆ例如x x∂∂-=∂∂~(12)因为ϕψϕψψϕxdx xdx ∂∂∞-∞+-∞-∞+=∂∂∞-∞+⎰⎰***设±∞→x 时,0→ψ条件满足,则 ϕψψϕxdx xdx ∂∂-=∂∂∞-∞+⎰⎰∞+∞-**(3) 算符的厄米共轭：算符O ˆ的厄米共轭算符+O ˆ定义为),ˆ()ˆ,(ϕψϕψO O=+ (13)由此可得）ϕψψϕψϕϕψ*+===O O O O ~ˆ,(*)*ˆ*,()*ˆ,()ˆ,(即*+=O O ~ˆˆ (14)例如x x ppˆˆ=+.可证明++++=A B CC B A ˆˆˆˆˆˆ( ） (15)(4) 厄米(Hermite)算符:凡是满足下列条件的算符,称为厄米算符.O O ˆˆ=+,或 ),ˆ()ˆ,(ϕψϕψO O = (16)例如,x pˆ,x 都是厄米算符.两个厄米算符之和仍为厄米算符,但两个厄米算符之积却不一定是厄米算符,除非两者可以对易.这是因为：设A Aˆˆ=+,B B ˆˆ=+,则A B A B B A ˆˆˆˆˆˆ(==+++）,只当0ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[=-=A B B A B A 时,才有B A B Aˆˆ)ˆˆ(=+,即 B A ˆˆ为厄米算符.厄米算符有下列重要性质:定理 在任何状态下,厄米算符的平均值都是实数.反过来,在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符.证明：首先证明：厄米算符的平均值都是实数.对任意态ψ,按厄米算符的定义,可知*)*ˆ,(),ˆ()ˆ,(>=<==>=<O O O OO ψψψψψψ下面证明其逆也成立,即在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符.按假设,在任意态ψ下,*>>=<<O O ,即()()()ψψψψψψ,ˆ*ˆ,ˆ,O OO ==设1ψ和2ψ是任意的,C 也是任意的,取21ψψψC +=,则())]ˆ,(),ˆ[(*)],ˆ(ˆ,[12122121ψψψψψψψψO O C O O C -=-分别取C=1和i,代入上式,然后相加、减,即得>>=<<>>=<<12122121,ˆˆ,,,ˆˆ,ψψψψψψψψO O O O此即厄米算符定义式所要求的.厄米算符的重要性还在于：实验上可以观测的力学量,当然要求平均值为实数.因此,相应的算符必然要求为厄米算符.§3.3 量子力学的对易式[本节要求] 掌握量子力学的对易式[重点难点] 量子力学中力学量算符的对易关系 [本节内容]1. 量子力学的基本对易关系αββαδ i px =]ˆ,[ (1)证明于下：ψψxx i px x ∂∂-= ˆψψψψxx i i x xi x px ∂∂--=∂∂-= )(ˆ即有()ψψ i x ppx x x =-ˆˆ由于ψ是任意波函数,所以i x p px x x =-ˆˆ类似地还可以证明i z p pz i y p p y z z y y =-=-ˆˆ,ˆˆ0ˆˆˆˆˆˆ=-=-=-z p p z y p p y x p px x x z z y y概括起来,就是αβαββαδ i x p px =-ˆˆ (2) 其中)ˆ,ˆ,ˆ()3,2,1(ˆ),,,()3,2,1(z y x p p p pz y x x ≡=≡=βαβα.引进对易子B A B A B Aˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[-= (3)则式(2) 可改写成基本对易式(1),凡是经典对应的力学量之间的对易式都可由此式导出.2. 对易式满足下列恒等式]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[A B B A -=0]ˆ,ˆ[=A A为平常的数）C C A(0],ˆ[=]ˆˆ[]ˆˆ[]ˆˆˆ[C A B A C B A，，，+=+ (4)C B A C A B C B Aˆ]ˆˆ[]ˆˆ[ˆ]ˆˆˆ[，，，+= B C A C B A C B Aˆ]ˆˆ[]ˆˆ[ˆ]ˆˆˆ[，，，+=恒等式），，，，，，Jacobi B AC A C B C B A (0]]ˆˆ[ˆ[]]ˆˆ[ˆ[]]ˆˆ[ˆ[=++3. 有关角动量算符的对易关系γαβγβαγαβγβαγαβγβαεεεL i l l p i pl x i x l ˆ]ˆˆ[]ˆˆ[]ˆ[ ===，，， (5)其中αβγε是 Levi-Civita 符号,其定义如下：⎪⎩⎪⎨⎧-+=的奇次交换是同指标中有两个或两个以上相的偶次交换是123,1,0123,1αβγαβγαβγεαβγ证明于下：首先证明角动量算符与坐标算符的对易式.由角动量算符的定义,pr l ˆˆ ⨯=,可知τγαγταεpx l ˆˆ=所以[][][]βτγαγτβτγαγτβαεεx p x x px x l ,ˆ,ˆ,ˆ==[][]{}τβγβτγαγτεp x x x p x ˆ,,ˆ+=()βτγαγτδε i x -=γαβγεx i =即γαβγβαεx i x l =]ˆ[，其次证明角动量算符与动量算符的对易式.因为[][][][]{}()ταβττγβαγττβγβτγαγβτγαγτβαεδεεεp i pi p p x p p x p p x pl z ˆˆˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ==+==即有[]γαβγβαεpi pl ˆˆ,ˆ =最后证明角动量算符与角动量算符的对易式.由于[][][][]{}τργλρλτγβλραγτρλτγβλραγτβαεεεεp p x x p x p x p x px l l ˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ+==()τλγρργλτβλραγτδδεεp x i px i ˆˆ +-=()()τλβλγατγργβρλαγλργβλραγλτλβλγαγτεεεεεεεεp x px i p x px i ˆˆˆˆ-=-=利用βλαρβραλλργαβγδδδδεε-=,上式可化为[]()αββαβαp x pxi l l ˆˆˆ,ˆ-= (6)又τλγλτγεpx l ˆˆ=,此式两边同乘以αβγε,得()αββατλβλατβταλτλγλταβγγαβγδδδδεεεp x p x p x px l ˆˆˆˆˆ-=-== (7)由式(6) 和(7),得[]γαβγβαεl i l l ˆˆ,ˆ = (8)思考题1. 证明()[]x f i x f px ∂∂-= ,ˆ,()[]x xpxf i xf x f pˆ2,ˆ2222∂∂-∂∂-=2. 令,ˆˆˆy x l i l l ±=± 证明±±±=l l l z ˆ]ˆ,ˆ[ ,zz l l l l l ˆˆˆˆ22±-=±,[]zl l l ˆ2ˆ,ˆ =-+3. 证明[]0ˆ,ˆ2=pl α,[],ˆ2=r l α,[]0ˆ,ˆ=⋅p r l α,0ˆ,ˆ2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡l lα§3.4 厄米算符的本征值与本征函数[本节要求] 掌握厄米算符的本征值与本征函数的概念 [重点难点] 厄米算符的本征值与本征函数[本节内容]对处于ψ态的量子体系, 当人们去测量其力学量O 时, 一般而言, 可能出现各种不同的结果, 各自有一定的几率. 而对都用ψ描述其状态的大量的完全相同的体系, 进行多次测量的结果的平均值将趋于一个确定值. 每一次具体测量的结果, 围绕平均值有一个涨落. 平方涨落可定义为()()τψψd OOOOO 222ˆˆ-=-=∆⎰*(1)因为O 为厄米算符,O 必为实数, 因而O O -ˆ也是厄米算符.()ˆ22≥-=∆⎰τψd O OO(2)如果体系处于一种特殊的状态, 在该状态下测量力学量O 所得结果是完全确定的, 即平方涨落2=∆O,则这种状态称为力学量O 的本征态. 在这种状态下, 由式(2) 可见, 被积函数必须为零,即ψ必须满足()ˆ=-ψO O或ψψC O=ˆ,常数C 即为在ψ态下测量O 所得结果. 为下面讨论方便,记此常数为O , 则ψψO O=ˆ (3)式中O 称为算符O ˆ的本征值,ψ称为算符O ˆ的属于本征值O 的本征函数.若O 取分立值,则全部本征值构成分离谱；若O 连续地取值,则构成连续谱；O ˆ的本征谱也可能部分是分立谱,部分是连续谱.如果一个本征值对应f 个线性无关的本征函数,则称该本征值是简并的,其简异度为f .量子力学的一个基本假定是：测量力学量O 时,所有可能出现的值,都是相应的线性厄米算符O ˆ的本征值.1. 厄米算符的本征值为实数证明：式(3) 的两边左乘*ψ积分,得 ),()ˆ,(ψψψψO O= (4)根据厄米算符的定义),(),ˆ()ˆ,(ψψψψψψ*==O O O(5)比较式(4) 和(5) ,得*O O = (6)2. 厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交 证明：设O ˆ的本征值取分立值,其本征值方程为ll l k k k O O O O ψψψψ==ˆˆ (7)且lk O O ≠.利用ll O O =*得***=ll l O O ψψˆ (8)右乘kψ积分,得),(),ˆ(kl l k l O O ψψψψ= (9)利用厄米算符的特性),()ˆ,(),ˆ(kl k k l k l O O O ψψψψψψ== (10)从而),)((=-k l k l O O ψψ (11)因此,如kl O O ≠,则必须),(=k l ψψ若本征函数己归一化,则有lkk l δψψ=),( (12)3. 厄米算符的简并本征函数可通过线性组合使之正交归一 证明：设算符O ˆ的本征值nO 是nf 度简并的,即有),,2,1(,ˆn n n n f O O⋯==αψψαα(13)在此情况下,给定nO ,并不能把相应的nf 个本征态确定下来,而且一般而言,nf 个本征函数αψn 不一定彼此正交.令),,2,1(,1n n f n f a n⋯==∑=βψφααβαβ (14)显然,βφn 仍为O ˆ的本征函数,均属于本征值nO ,因为βααβαααβαβφψψφn n n f nn f n O a O O a O nn===∑∑==11ˆˆ (15)选择βαa ,使βφn 具有正交性,即要求ββββδφφ''=),(n n (16)这相当于)1(21)1(21+=+-n n n n n f f f f f 个条件,而系数βαa 共有2nf 个,当nf >1时,)1(212+〉n n n f f f ,因此,总可以找到一组nf 个βαa ,使),,2,1(n n f ⋯=βφβ彼此正交.实际上,当出现简并时,为了要把O ˆ的本征态确定下来,往往是用除O ˆ以外的其它某力学量的本征值来对体系的状态进行分类.此时,正交性问题可自动得到解决.这涉及到两个或多个力学量的共同本征态的问题.4.厄米算符本征函数的完备性和封闭性设)(r nψ是厄米算符O ˆ的属于本征值nO 的本征函数,即nn n O O ψψ=ˆ,则O ˆ的所有本征函数nψ构成完备的本征函数系.函数nψ的完全性是指,体系的任意波函数ψ都可以用n O 的本征函数系n ψ展开,即∑=nn n r C r )()( ψψ (17)其展开系数由正交归一条件确定.以)(*r mψ乘上式两边,再对自变量变化的整个空间积分,可得()()mnmnn n m n n nn n m m C C C C ===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑δψψψψψψ,,,即有()ψψ,n n C = (18)下面讨论本征函数系nψ的封闭性.将式(16)代回式(15) ,得∑⎰∑⎰∑'''='''==nn n nnn n nn d r r r r d r r r C r τψψψψτψψψψ)]()(*[)()(])()(*[()((19)利用δ函数的性质τδψψ'-''=⎰d r r r r )()()((20)比较式(19) 和(20),并由)(r 'ψ的任意性,即有 )()()(*r r r r n nn '-='∑δψψ (21)此即本征函数系nψ的封闭性关系.§3.5力学量完全集[本节要求] 掌握力学量完全集的概念 [重点难点] 力学量完全集的概念 [本节内容]1.力学量同时具有确定值的充要条件是它们的算符彼此对易 首先证明必要性若力学量A 和B 总是同时具有确定值,即它们有共同的完备的本征函数系,则0]ˆ,ˆ[=B A(1)设nψ是A ˆ和B ˆ共同的、完备的本征函数系,则nn n nn nB BA A ψψψψ==ˆˆ (2)任意波函数ψ可用完备集n ψ展开为∑=nnnCψψ (3)则][]ˆˆˆˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[=-=-==∑∑∑n n n n n nnnnnnnnA B B A CA B B A CB A CB Aψψψψ (4)由ψ的任意性,可知：0]ˆ,ˆ[=B A.其次证明充分性若力学量算符A ˆ和B ˆ对易,则它们必有共同的、完备的本征函数系,因而力学量A 和B 同时有确定值.设nψ是A ˆ的相应于本征值A n 的本征态,即nn nA Aψψ=ˆ (5)(a) 考虑A n 不简并情况,利用0]ˆ,ˆ[=B A,可知n n n n n n B A A B A B B A ψψψψˆˆˆˆ)ˆ(ˆ=== (6)即nBψˆ也是A ˆ的本征态,本征值为A n .按假定A n 不简并,所以n B ψˆ与n ψ至多差一常数因子,记为B n ,则nn n B B ψψ=ˆ (7)这样nψ就是A ˆ和B ˆ的共同本征态.本征值分别为A n 和B n .(b) 考虑A n 是nf 重简并的情形,即nn n n f A A ,,2,1,ˆ ==αψψαα(8)假定αψn 已正交归一化,考虑到)ˆ(ˆˆˆˆαααψψψn n n n B A A B B A == (9)即αψn Bˆ仍为A ˆ的本征态,本征值为A n ,因此,αψn B 最普通的表达式为∑'''=αααααψψn n B Bˆ (10)其中)ˆ,(ααααψψn n B B ''=可见,一般而言,αψn 还不是B ˆ的本征态.我们不妨把αψn 作线性迭加∑=ββαβαψφn n C (11)并有ααααβαααβαφψψφn n n nn n A A C AC A ===∑∑ˆˆ (12)即αφn 仍是A ˆ的本征态,而且对应本征值A n.试问αφn 是否可能又是B ˆ的本征态呢？即能否满足βββφφn n B B =ˆ呢？为此αααααβαααβαβψψφ'''∑∑==n n n B C BC B ,ˆˆ (13)而αααββββψφ'''∑=n n C B B (14)则αββαααβα''=∑C B B C (15)或)(=-''∑βαααβαααδC B B (16)这是βαC 的线性齐次代数方程,有非平庸解的充要条件是其系数行列式等于零,即det =-''ααβααδB B (17)左边是nn f f ⨯行列式,上式是βB 的nf 次幂代数方程.由于B B ˆˆ=+,即有*''=ααααB B ,可证明此nf 次代数方程的根是存在的.假定没有重根,将nf 个根),2,1(n f B ⋯=ββ分别代入βαC 的线性齐次代数方程,求出一组解),,2,1n f C ⋯=αβα（,即相应的波函数为∑==nf n n C 1ααβαβψφ (18)这样的波函数βφn 共有nf 个（β=1,2,…,nf ）,满足nn n n n n f B B A A ,,2,1,ˆ,ˆ ===βφφφφβββββ (19)即βφn 是我们要找的A ˆ和B ˆ的共同本征态.2. 力学量完全集设有一组彼此独立而且彼此对易的厄米算符集{}⋯≡,ˆ,ˆˆ21A A A ,它们的共同本征态为αψ,α实际上表示一组量子数.若给定一组量子数α之后,就能够确定体系的一个可能状态,则称{}⋯≡,ˆ,ˆˆ21A A A 构成体系的一组力学量完全集.体系的任何一个状态ψ均可用αψ展开,即∑=αααψψC (20)利用αψ的正交归一性,可知),(ψψαα=C (21)任意力学量A 在此态的平均值为∑∑∑∑=====><**αααβααβββααββαββααββαβαδψψψψψψA C A C C A C C A C C A A 2,*),()ˆ,()ˆ,( (22)由此可见,2αC 表示在ψ态下,测量力学量A 得到A α值的几率.展开系数C α也称几率幅.几点讨论：(1) 力学量完全集中包含有体系的哈密顿量时,完全集中各力学量都是守恒量,所以又称守恒量完全集.包括H 在内的守恒量完全集的共同本征态是定态,所相应的量子数是好量子数.不论ψ是什么态,在用守恒量完全集的共同本征态展开中,展开系数2αC 是不随时间改变的.(2) 构成力学量完全集的力学量应满足相互独立、彼此对易的条件,且这样的力学量的个数应等于体系的自由度数.§3.6 基本力学量的本征函数系[本节要求] 掌握基本力学量的本征函数系的概念 [重点难点] 掌握基本力学量的本征函数系的概念 [本节内容]1.坐标算符的本征函数系先考虑一维空间,坐标算符的本征方程为)()(ˆx x x xx x '''=ψψ (1)式中x '是算符xˆ的本征值,)(x x 'ψ是算符xˆ的属于本征值x '的本征函数.由于坐标空间中x x =ˆ,易见 )(x x x '-='δψ(2)即)()(ˆx x x x x x'-'='-δδ (3)本征函数系的正交归一条件)()()()()(*x x dxx x x x dx x x x x '-''=''-'-∞-∞+=∞-∞+⎰⎰''''δδδψψ(4)其中利用了δ函数的重要性质)()()(00x f dx xx x f =-∞-∞+⎰δ算符xˆ的本征谱是连续谱,不是平方可积的,因此只能归一化为δ函数. 对三维空间,()z y x ,, 的共同本征函数系为)()()()()()()(ˆz z y y x x r r r r r r r r r r '-'-'-='-='='''δδδδψψψ(5)2.动量算符的本征函数系先考虑一维情形.动量算符x i px ∂∂-= ˆ的本征方程为)()(ˆx p x pxxp x p x ψψ= (6)其解为xp ipxx Aex=)(ψ采用δ归一化⎰⎰'-=∞-∞+=∞-∞+-')'()()(*)'(2x x xp p i pxx p p p dx eAdx x x x x δψψ则21)2(1 π=A归一化的本征函数为xp ipxx e x21)2(1)(πψ= (7)对三维情形,()z y xp ppˆ,ˆ,ˆ 的共同本征函数系为r p i ppper r p r p⋅==23)2(1)(),()(ˆπψψψ (8)3.角动量算符的本征函数系 角动量算符的定义为∇⨯-=⨯=r i p r l ˆˆ,其三维直角坐标系中的分量表达式为()z y x x x i l ,,3,2,1,,,ˆ=∂∂-=γβαεγβαβγα (9)球坐标系中,利用直角坐标与球坐标的关系xy tgzy x z z y x r r z r y r x 12221222,cos,cos ,sin sin ,cos sin --=++=++====ϕθθϕθϕθ (10)并利用复合函数的微商法则,可得：ϕθϕθϕθϕθϕϕθθ∂∂-∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂sin sin 1cos cos 1cos sin r r x xx rx rxϕθϕθϕθϕθϕϕθθ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂sin cos 1sin cos 1sin sin r rryy ry ryθθϕϕϕθθ∂∂-∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂sin 1cos rrzz rz rz推导上述公式（如计算x r∂∂）时,应采用r,θ和φ与x,y,z 的关系,而不是x,y 和z 与r,θ和φ的关系,因为y,z 与x 无关,而θ,φ与x 有关.从而)cos (sin ˆϕϕθθϕ∂∂+∂∂=ctg i l x)sin (cos ˆϕϕθϕϕ∂∂-∂∂-=ctg i l y (12) ϕ∂∂-=i l z ˆ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=++=22222222sin 1)(sin sin 1ˆˆˆˆϕθθθθθ z y x l l l l (13)(1) 角动量子分量z l ˆ的本征函数系z l ˆ的本征值方程为)()()(ˆϕφϕϕφϕφ∂∂-== i l l z z (14)解之得ϕϕφz l iAe=)( (15)由于)(ϕφ在空间各点可微.所以)(ϕφ为ϕ的连续函数.考虑到()πϕθ2,,+r 与()ϕθ,,r是空间同一点,故由)(ϕφ的连续性,得)()2(ϕφπϕφ=+ (16)即ϕπϕz z l il iAeAe=+)2(从而12=πz L ie由此得,2,1,0,±±==m m l z (17)A 由归一化条件122=⎰ϕϕφπd ）（确定为π21=A (18)z l ˆ的属于本征值 m L z =的归一化本征函数为ϕπϕφim m e21)(=(19)(2) 角动量平方算符⎪⎭⎫ ⎝⎛z l l ˆ,ˆ2的共同本征函数系 ),(),(]sin1)(sin sin 1[22222ϕθλϕθϕθθθθθY Y =∂∂+∂∂∂∂- (20)令)()(),(ϕφθϕθm Y Θ= (21)代入方程(19),得()πθθλαθθθθ≤≤=Θ-+Θ0,0)sin()(sin sin 122m d d d(22)令θζcos = ()1≤ξ,则上式化为)1(])1[(222=Θ--+Θ-ζλζζζmd d d d (23)或)1(2)1(22222=Θ--+Θ-Θ-ζλζζζζmd d d d (23')此即为连带勒让德（associated Legendre ）方程,在1≤ζ（或0≤θ≤π）范围中,方程有两个正则奇点ξ=±1,其余各点均为常点.可证明() ,2,1,0,1=+=l l l λ (24)情况下,方程有一个多项式解（另一个解为无穷级数,即连带勒让德函数lm p ml ≤),(cos θ (25)它在1≤ζ范围中是有界的,是物理上允许的解.利用正交归一性公式'')!()!()12(2sin )(cos )(cos 0llmlml m l m l l d pp δθθθθπ-++=⎰ (26)可得一个归一化波函数)(),(cos )!()!(212)1()(l m p m l m l l ml mlm ≤+-+-=Θθθ (27)则''sin )()(ll lm ml d δθθθθ=Θ'Θ⎰ (28)利用mlmmlp m l m l p )!()!()1(+--=-,可证lmmm l Θ-=Θ-)1(, (29)这样()l m ep m l m l l Y im m l mlm ≤+-+-=,)(cos )!()!(412)1(),(ϕθπϕθ (30)它们具有性质m m ll m l m l lm mlm d d Y Y Y Y '-*=-=⎰⎰δδϕθθϕθϕθππϕθϕθ'''sin ),(),(02),()1(),(,* (31)且),()1(),(ˆ22ϕθϕθlm lm Y l l Y l += (32)),(),(ˆϕθϕθlm lm z Y m Y l =l l l l m l ,1,,1,,,2,1,0-+--==即),(ϕθm Y 是zl l ˆ,ˆ2的共同本征函数,2ˆl 的本征值为2)1( +l l ,z l ˆ的本征值为 m .l 称为轨道角动量量子数,m 称为磁量子数.在给定l 的情况下,m 可以取()12+l 个不同值,即有()12+l 个态,因此对2ˆl 而言,),(ϕθlm Y 是()12+l 重简并的,而lm Y 正是用z l ˆ的本征值来对态进行分类。
