量子力学第三章3.5厄米算符本征函数的正交性

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量子力学第三章

2 2a 4a
3
二、动量算符
动量算符是 i ，它的本征函数用（r ）表示 p
本征方程为
i（r ） p （r ） p
它的三个分量方程为 i （r ） px（r ） p x i （r ） p y（r ） p y i （r ） pz（r ） p z
ˆ 有确定值，这个确定值就是 H 的本征值。
ˆ 的本征函数（r ）当体系处于 P 所描写的状态时，体系 P ˆ 的本征值。的动量有确定值，这个确定值就是 P
ˆ 当体系处于 F 的本征函数所描写的状态时，它表示的 ˆ 力学量F 有确定值，这个确定值就是 F 的本征值。
表示力学量的算符的本征值必须是实数。五、算符的一般性质和运算 1、两个算符的和设
ˆ 符 F 就可以由其经典表示式 F（P，r ）将动量 P 换成
例如，确定角动量 L 的算符， r P L
ˆ L r i） ir （
四、算符与它所表示的力学量的关系
ˆ H E 当体系处于所描写的状态时，体系的能量有确定值 E ˆ 当体系处于 H 的本征函数所描写的状态时，体系的能量
m
Pl （cos）是一个缔和勒让德多项式
m
1 m 2 2 d Pl （） l （） 1 （ 2 1 l ） l m 2 l！ d
m
l m
N lm 是归一化常数,可以通过归一化条件求出,即

0

2
0
Y（，）Y（，） dd 1 sin
Nlm
（l m） 2l 1 ！（）（l m） 4 ！
u
ˆ ˆ ˆ ˆ 是任意函数，如果 Fu Gu Mu ，算符 M 称为

量子力学讲义第三章讲义

第三章力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。

为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。

但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。

二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。

例如：动量算符ˆpi =-∇，单位算符I 是线性算符。

2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。

3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。

ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。

一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。

5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。

若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。

若算符满足ˆˆˆˆABBA =-，则称ˆA 和ˆB 反对易。

例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。

3.5厄米算符本征函数的正交性

组成正交归一系：
n x n x dx nn
2
3 2
e
i pr

1 2 d 0
，（3.5.1）
ˆ 是厄米算符，1 ,1 ,n 是它的本征函数，设算符 F
相应的本征值为 1 , 2 ,n ，则当 l k 时，有

k l d 0
ˆ F k k k
（3.5.2）（3.5.3）（3.5.4）
A ji 把这f个函数线性组合成f个新函数 nj ：
nj Ajini , j 1,2,3,, f
i 1 f
（3.5.12）
使得这些新函数 nj 是相互正交的。因为 nj 的正交归一化条件：
（3.5.13） f f 1 个方程，其中 j j 的f个， j j 共有 2 2 f f 1 的有而系数 A ji 共有 f 个，当f>1时，
，
证明：
ˆ F l l l
且当 l k 时， k l
（3.5.5）
ˆ 因为 F 是厄米算符，本征值是实数，即 k k ˆ ( F ) 所以（3.5.3）的复共轭式为 k k k 上式右乘 l ，并积分，得

ˆ ( F k ) l d k k l d
可以归一化为

函数。
即
ˆ 的本征值是f度兼并的的，属于它的本征如果 F
函数有f个： n1 , n 2 ,,nf .11）
ˆ , i 1,2,, f , F ni n ni
这些则上面的证明对于这些函数不适用，一般来说，函数不一定相互正交，但是我们总可以用 f 2 个常数

3.5厄密算符本征函数的正交性

k k k k k k k
ˆ )* d * d ( F k k l k l ˆ )d * d * (F

k
l
l

k
l
厄密算符定义:
* ˆ ˆ )* d ( F ) d ( F k l k l * * k k l d l k l d * 即 : (k l ) k l d 0 * k l : k l d 0
|m|
im

0
2

0
Y Y
* lm l m
sin d d ll mm
4/9
第三章量子力学中的力学量
Quantum mechanics
§3.5 厄密算符本征函数的正交性
(4),氢原子的本征函数组成正交归一系
nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
函数系φk或φλ构成正交归一系. [例](1),线性谐振子能量本征函数构成正交归一系
n ( x) Nne
Nn Nn e
2 x2
1 2 x2 2
H n ( x)
H n ( x) H n ( x)dx nn
3/9
第三章量子力学中的力学量
Quantum mechanics
第三章量子力学中的力学量
8/9
Quantum mechanics
本章目录
§3.5 厄密算符本征函数的正交性 Orthogonality of Hermitian operator eigenfunction §3.6 算符与力学量的关系 Relations of operator & mechanical quantity §3.7 算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系 Commutation relation of operator Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation §3.8 力学量平均值随时间的变化守恒定律 Changing of average value of mechanical quantities with time Law of conservation

量子力学算符本征函数正交归一性的探索

教改聚焦2014-06在量子力学中，表示力学量的算符必定都是厄密算符。

厄密算符对应的本征函数具有正交归一性，但在部分教材中没有给出详细的证明过程，给学习者研读带来困难。

在此，本人对一维无限深势阱和线性谐振子哈密顿算H 角动量平方算符L 的本征函数正交归一性证明如下，仅供学习量子力学者参考。

一、一维无限深势阱哈密顿算H 征函数的正交归一性任取两个一维无限深势阱哈密顿算符的本征函数[1]：则有：淤当m=n 时，上式为：即有，也就是一维无限深势阱哈密顿算H 本征函数具有正交归一性。

二、线性谐振子哈密顿算H 征函数的正交归一性线性谐振子哈密顿算H本征函数为[2]：其中任取两个函数和，令，所以，则有：上式第一项为，且最高次项的系数为2014-06教改聚焦当m ≥0时，；当m =0时，为关联勒让德函数：关联勒让德函数的正交性无法直接证明，在此，我们任取两个本征函数进行验证。

1.验证的正交性所以是相互正交的。

2.验证归一性至此，我们证明或验证了一维无限深势阱和线性谐振子哈密顿算H 角动量平方算L 2的本征函数的正交归一性。

参考文献：［1］陈鄂生.量子力学教程.山东大学出版社，2002-05.［2］周世勋.量子力学.高等教育出版社，1979-02.［3］大卫·J ·格里菲斯.量子力学概论.贾瑜，胡行，李玉晓，译.机械工业出版社，2013-03.（作者单位毕节职业技术学院）•编辑张珍珍语文在人际交往中有着特殊的作用，它是其他学科所替代不了的，同时也是工具性和人文性相结合的一门最基本的学科。

当前的语文教学以培养学生的实践能力为最终的目标，需要将所学的知识与实际生活更好地融合在一起来满足社会的需要。

一、在书写方面强化训练，促进学生逻辑思维的培养，为实践能力的提升提供条件在语文教学中，对学生的写字不仅要求美观，更深层次上是让学生有一个良好的学习习惯。

因为在书写的过程中可以不断培养学生的逻辑思维。

例如，在教学《荷塘夜色》时，其中包含很多优美的句子，教师可以要求学生对其进行仿写，在这个过程中可以进行创新。

35厄米算符本征函数的正交性

§3.5厄米算符本征函数的正交性
•
p
r
p'
r d
p
p ;
p
r
1
ei
p•r
3
2 2
一．两函数正交定义：如果两函数 1, 2 满足关系式
• 1
2d
0
，（3.5.1）
则称 1 和 2 相互正交。
二．定理：厄米算符的属于不同本征值的本征函数相互正交。
设算符 Fˆ 是厄米算符，1,1,n 是它的本征函数，
（3.5.11）
如果 Fˆ 的本征值是f度兼并的的，属于它的本征
函数有f个： n1 ,n2 ,,nf ,
Fˆni nni ,i 1,2,, f ,
则上面的证明对于这些函数不适用，一般来说，这些
函数不一定相互正交，但是我们总可以用 f 2 个常数
Aji 把这f个函数线性组合成f个新函数 nj ：
的有
2
f f 1 ，
而系数 Aji 共有 f 2 个，当f>1时，
2
f
2
ff
1 ，
即待定系数 A ji
的数目大于方程的个数，
2
所以有许多种方法选择 Aji ，使得函数 nj 满足正
交归一化条件，显然 nj 仍是 Fˆ 的本征值 n 的本
征函数：
Fˆ nj Aji Fˆni n A ji ni n nj
上式右乘 l ，并积分，得
(Fˆk )•l d k k•l d
（3.5.6）
再以
• k
左乘（3.5.4）式，在积分，得
k • (Fˆl )d l k•l d
（3.5.7）
由厄米算符定义有， k • (Fˆl )d (FˆK )•l d

厄米算符本征函数的正交性

c * d2 * Fˆ1 c d1 * Fˆ 2 c * d (Fˆ 2 )*1 c d (Fˆ1)* 2
c[ d1 * Fˆ 2 d (Fˆ1)* 2] c *[ d (Fˆ 2 )*1 d2 * Fˆ1]
令c = 1，得：
d1 * Fˆ 2 d (Fˆ1)* 2 d (Fˆ 2 )*1 d2 * Fˆ1
f
Fˆ nj Fˆ
Ajini
i 1
f
Aji Fˆni
i 1
f
Fn
Ajini
i 1
Fn nj
为此只需证明线性叠加系数 Aji 的个数 f 2 大于或等于正交归一条件方程个数即可。
f
nj
Ajini
i 1
j 1,2,, f
方程的归一化条件有 f 个，正交条件有f(f-1)/2 个，所以共有独立方程数为二者之和等于 f(f+1)/2 。
设 1,2 ,n , 是厄米算符 Fˆ 的本征函数，它们所属的本征值
1, 2 ,n , 都不相等，证明当 k l 时有 k l d 0 证明：已知 Fˆk kk Fˆl ll
当
k l 时 k l
因为 Fˆ 是厄米算符，它的本征值都是实数，即 k k
共厄复式为 (Fˆk ) kk
以 l 右乘两边，并对变量变化的全部区域积分，得
则上面的证明不能使用，一般说来，这些函数并不一定正交。但可用
f 2 个常数 Aji 把这f个函数线性组合成f个新函数 nj
f
nj Ajini , j 1,2,, f i 1
使得这些新函数 nj 相互正交，显然，nj 仍是 Fˆ 属于本征值 n
的本征函数：
f
Fˆnj Aji Fˆni n Ajini n nj , i 1

量子力学算符本征函数正交归一性的探索

量子力学算符本征函数正交归一性的探索作者：郝国防来源：《新课程·上旬》 2014年第12期文/郝国防摘要：在量子力学中，与算符本征值相对应的本征函数具有完全正交归一性，但在量子力学教材中大多没有给出算符本征函数正交归一性的详细证明。

参照相关资料证明了一维无限深势阱和线性谐振子哈密顿算符本征函数、角动量平方算符本征函数的正交归一性。

关键词：量子力学算符；本征函数；正交归一性在量子力学中，表示力学量的算符必定都是厄密算符。

厄密算符对应的本征函数具有正交归一性，但在部分教材中没有给出详细的证明过程，给学习者研读带来困难。

在此，本人对一维无限深势阱和线性谐振子哈密顿算符H^、角动量平方算符L^2的本征函数正交归一性证明如下，仅供学习量子力学者参考。

一、一维无限深势阱哈密顿算符H^本征函数的正交归一性任取两个一维无限深势阱哈密顿算符的本征函数[1]：即有，也就是一维无限深势阱哈密顿算符H^的本征函数具有正交归一性。

二、线性谐振子哈密顿算符H^本征函数的正交归一性线性谐振子哈密顿算符H^的本征函数为[2]：即线性谐振子哈密顿算符H^的本征函数满足正交归一性。

三、角动量平方算符L^2本征函数的正交归一性角动量平方算符L^2本征函数为［3］：至此，我们证明或验证了一维无限深势阱和线性谐振子哈密顿算符H^、角动量平方算符L^2的本征函数的正交归一性。

参考文献：［1］陈鄂生.量子力学教程.山东大学出版社，2002-05.［2］周世勋.量子力学.高等教育出版社，1979-02.［3］大卫·J·格里菲斯.量子力学概论.贾瑜，胡行，李玉晓，译.机械工业出版社，2013-03.（作者单位毕节职业技术学院）。

量子力学课件：3.5 厄米算符本征函数的正交性

0
2 0
Ylm
(
,
)Ylm
(
,
)
sin
dd
ll
4.氢原子的波函数： nlm (r, , ) Rnl (r)Ylm ( , )
组成正交归一系
0
0
2 0
nlm
(
,
)Ynlm
(
,
)
s
in
dd
nn mm ll
附：几个定理及证明
（一）厄密算符的平均值
定理I：体系任何状态ψ下，其厄密算符的平均值必为实数。
则上面的证明不能使用，一般说来，这些函数并不一定正交。但可用
f 2 个常数 Aji 把这f个函数线性组合成f个新函数 nj
f
nj Ajini , j 1,2,, f i 1
使得这些新函数 nj 相互正交，显然，nj 仍是 Fˆ 属于本征值 n
的本征函数：
f
Fˆnj Aji Fˆni n Ajini n nj , i 1
所以，方程个数少于待定系数 Aji 的个数，因而，我们有多种可能来确定这 f 2 个系数使上式成立。f 个新函数Ψnj 的确是算符 F 对应于本征值 Fn 的正交归一化的本征函数。
综合上述讨论可得如下结论：既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。
ff
nj * njd
Aji Aji ni *nid jj
i 1 i1
j, j 1,2,, f

证明分如下两步进行
1. Ψnj 是本征值 Fn 的本征函数。 2. 满足正交归一条件的 f 个新函数ψn j可以组成。

第12讲厄米算符的本征值和本征函数、算符与力学量的关系分析

二式相减得：
(Fm Fn ) m *nd 0
(Fˆm )*nd m * Fˆnd Fn m *nd
（2）分立谱、连续谱正交归一表示式
若m≠Fn，则必有：
m *nd 0
[证毕]
1. 分立谱正交归一条件分别为：
n *nd 1
m *nd 0
m *nd mn
2. 连续谱正交归一条件表示为：
c * d 2 * Fˆ 1 c d1 * Fˆ 2
式右 d (Fˆ )* d (Fˆ [ 1 c 2 ]) *[ 1 c 2 ] d (Fˆ 1 )* 1 | c |2 d (Fˆ 2 )* 2
c * d (Fˆ 2 )* 1 c d (Fˆ 1 )* 2
[ d1 * Fˆ 1 ]* | c |2 [ d 2 * Fˆ 2 ]* c * d (Fˆ 2 )* 1 c d (Fˆ 1 )* 2
Fˆni Fnni
i 1,2,, f
一般说来，这些函数并不一定正交。
但是
可以证明由这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数，它们仍属于本征值 Fn 且满足正交归一化条件。
证明
由这 f 个φn i 线性组合成 f 个新函数 ψn j
二式相减得： d2 * Fˆ1 d (Fˆ 2 )*1
所得二式正是厄密算符的定义式，故逆定理成立。实验上的可观测量当然要求在任何状态下平均值都是实数，因此相应的算符必须是厄密算符。
（二）厄密算符的本征方程
（1）涨落
(F )2 (Fˆ F )2 *(Fˆ F )2d
证明：
Fˆ 因为是厄密算符 F 必为实数因而 Fˆ F 也是厄密算符
根据定理 I
F d n * Fˆ n Fn d n * n Fn

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'
d
(
'
)
0, ,
' '
于是称{ }为厄米算符 Fˆ 的正交归一本征函数系。
三、厄米算符属于相同本征值的本征函数的正交性（简并情况）
如果 Fˆ的一个本征值是n 度f简并的，既有个（f 而不是一个）本
征函数
n1, 都n2属, 于n3相,同的本nf 征值，而且是线性无关n
的，则有：
本征值为 ( 1)， 2对于确定的，其本征函数是Ym
重简2并1的。用与对易的Lˆ 算2 符的本征Lˆ值z 来确定m
态函数，此Y时m，它对应的本征值为
，
这时[，( 波1函) 2数, m是唯] 一确定的。
综合上述讨论可得如下结论：
既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。
j, j' 1,2,f
即待定系数
A ji 必须满足的条件有
f (f 1) 2
个方程，其
中 j j' 的归一化条件有 f 个； j j' 的正交条件有
f (f 1) 2
C
2 f
个。
而待定系数 A ji 共有 f 2 个值。
于是只要 f ，1就有
f 2 f，(f即待1) 定系数
2
的个数A大ji
于条件方程的个数，所以可以有许A多ji 选择方式，使
得函数满足正交归n一j 化条件。
由简并的这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数，它们仍属于原本征值且满足正交归一化条件。
说明：在实际计算中，当出现简并时，为了把 Fˆ 的本
征态确定下来，往往用与 Fˆ 对易的其它的力学量算符
的本征值来对体系的状态分类，其本征值与 n 一起共同确定状态，此时正交性问题自动得到解决。如：Lˆ 2的
1 eim 2
m 0,1,2
组成正交归一系：
2 0
* m
()
m'
()d
2 0
1 ei(mm' )d 2
m m'
①
<2>角动量平方算符Lˆ 2属于本征值( 1的)本2 征函数
Y m(, ) N mP m (cos )eim
组成正交归一系：
0
2 0
Y*m
(,
)Y'm
(,
)
sin
dd
'
一、两函数正交的定义：
三维空间中二矢量正交：
3
r R r1R1 r2R 2 r 3R 3 ri R i 0
i1
N维空间中二矢量正交：u
v
N
uivi
0
i1
若两函数 1,满足2 关系式：
*1 r 2 r d 0
全部域
则称为两函数 1, 相2互正交，式中积分是对变量变化的全部区域进行的。
例如：动量本征函数
p (r )
1 (2)3/ 2
ei
pr
，则：
pp
*p (r)p (r)d (p p) 0
这就是说属于动量算符不同本征值的两个本征函数
p' (r),p (r)
相互正交。
二、厄米算符属于不同本征值的本征函数正交
设厄米算符 Fˆ对应于不同本征值、k 的本征函数为
k 和，即证：
无论 Fˆ 的本征值组成分立谱还是连续谱，这个定理及
其证明都成立。
属于不同本征值的本征函数都是正交的。
说明：
假若 Fˆ的本征值组成分立谱，且 kk，d 1
则：
k d k
0, 1,
k k
于是称 1, 2 , 3, n 归一本征函数系。
为厄米算符 Fˆ 的正交
假若 Fˆ的本征值组成连续谱，则代替上式有：
四、正交归一函数系的例子：
1. 一维线性谐振子的能量本征函数：
12x2
n (x) Nn e 2 H n (x)
(n 0,1,2,)
组成正交归一系。
Nn N n
e 2x 2
Hn
(x)H n'
(x)dx
n ,n'
2.角动量算符的本征函数：
<1>角动量算符z 分量 Lˆ 的z 本征函数：
m ()
Fˆ ni n ni
i 1、2、f ，
于是上面的证明不再成立。一般说这些函数并不一定正交。但我
们总可以用个f 常2 数把A这ji 个函数f 线性组合成个新的f线性独
立的待定函数，即：nj
f
nj Ajini ， j 1,2,3f i 1
其中 nj 仍然是 Fˆ 的本征函数（迭加原理），即：
n,n'
'
mm
所以 n (x)、nm (r, , )、Ym (, )、 m ()都
是正交归一函数系。
②
把①②合写
0
2 0
Y*m
(,
)Y'm
(,
)
sin
dd
'
mm
③
3.氢原子的波函数：
nm (r, , ) R n (r)Ym (, ) 组成正交归一系：
0
0
2 0
nm
n
'm
r
2
sin
drdd
n,n'
（给定
l,
m)
④
①②③④合写为：
0
0
2 0பைடு நூலகம்
nm
r n'm
2
sin
drdd
k
d
0。
(k )
证明：因 Fˆ k ；k k Fˆ，则有：
(Fˆ k ) d k k d k k d
k Fˆ d k d
而 (Fˆ k ) d kFˆ d
则： k kd kd 即：( k ) k d 0
而 k
所以： kd，证 0毕。
f
f
f
Fˆ nj = Fˆ A ji ni A jiFˆ ni n A ji ni n nj
i1
i1
i1
使新函数 nj 组成正交归一系应满足的条件为：
f
nj nj' d
f
A A * ji j'i'
i1 i' 1
*nini' d
1,
0,
j j' j j'
f个 Cf2 个

量子力学第三章3.5厄米算符本征函数的正交性

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