平面力系 理论力学

主矢FR/的方向余弦：
x
x 0，FR y 0 FR
，i) 67.630 (FR
主矩MO 为
FR
0.381
F cos(F , j)
R
y
FR
0.925
主矢方向在第四象限，与x轴的交角
M O (FR ) M O (Fi ) F1 3 G1 1.25 G2 3.1 2020kN m
FR F1
60o 45o
O 45o
30o x
F4
F3
合力： F F 2 F 2 171.3N R Rx Ry 夹角：
FRx FR , i arccos arccos( 0.7548 ) 40.99 o FR
静力学
二、平面力偶系的合成
2-3 平面力系的简化
平面力偶系：物体上作用的几个力偶在同一平面内
二、同一平面内力偶的等效定理 力偶等效定理：在同一平面内的两个力偶，不 管组成力偶的力的大小和力偶臂长短如何，只 要力偶矩相等，则两力偶彼此等效。
静力学
2-2 平面力偶
推论： （1）任一力偶可以在作用平面内任意转移，而不改 变对刚体的作用。 （2）只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时 改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力 偶对刚体的作用。
O F2 = O
FR/
=
M3 F3/ x O x
F3
M 1 M o F1
平面任意力系
平面汇交力系
平面力偶系
M 2 M o F2
n ' M M o F3Fi F 3 R

i 1
M o M o Fi
i 1
n
静力学
2-3 平面力系的简化
合力矢的大小和方向余弦
FR FR2x FR2y ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 FRy Fy FRx Fx cos( FR , i ) ， cos( FR , j ) FR FR FR FR
静力学
2-3 平面力系的简化
例：已知： F1=200N, F2=300N, F3=100N, F4=250N, 求图示汇交力系合力的大小和方向。
静力学
力线平移的逆过程
M
－F
F F
r
F
图中：
MO d F
一个力偶矩和一个作用于同一平面的 力 F，可以进一步简化为一个力 。
静力学
2-3 平面力系的简化
受到偏心压力作用的柱，偏心距e
机械车间厂房
静力学
2、平面任意力系的简化
y F1
2-3 平面力系的简化
y M2 F 2 / Mo
F 1 / M1
FR
O
x
F F F F cos F , i cos F , j
F
' R 2 2 x y ' R x
FR'
' R
y
FR'
主矩的解析表达式：
Mo Mo
i 1
n

n Fi xi Fyi yi Fxi i 1
F 0, M o 0
' R
O
F Mo O'
' R
F
=
' R
FR
=
O
O
FR
d ''
d
O'
静力学
2-3 平面力系的简化
合力矩定理：平面任意力系的 合力FR 对作用面内 任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。 M O FR M O Fi

=

=
F1
O
F2
O
' FR Mo O'
静力学
2-3 平面力系的简化
例：固定端约束(平面荷载作用的情形)
固定端约束的约束反力:
平面分布约束力 简化结果： FA x , FA y , MA
静力学
2-3 平面力系的简化
§3-2 平面任意力系的简化结果分析
力系向某一点(O )简化的几种结果
' 1. FR 0, M o 0 ' 2. FR 0, M o 0 ' 3. FR 0, M o 0 ' 4. FR 0, M o 0
M O (F) M O (F) F h1 F h2 F (h1 h2 ) Fh
静力学
2-2 平面力偶
h：力偶臂，力偶中两个力作用线间的垂直距离 力偶矩
M M (F, F) Fh
符号：逆时针转向为正，顺时针转向为负 单位：与力矩相同， N∙m或kN ∙m
M Mi
三、平面任意力系的简化 平面任意力系：力系中各力的作用线都在 同一平面且任意分布时，既不交于一点又 不相互平行 实际应用极广
静力学
2-3 平面力系的简化
1、力的平移定理 作用在刚体上点 的力F可以平行移到刚体上任意 一点 ，但必须同时附加一个力偶，这个附加 力偶的矩 等于原来的力F对新作用点的矩。
静力学
挡 土 墙
静力学
挡 土 墙
静力学
2-1 力
例2‒2 圆柱齿轮，受到啮合力F作用，F=1500N，压力角 θ=25 °，齿轮的节圆的半径r=50mm，试计算F对O点之 矩。 M O (F) F h F r cos 方法1
1500 0.05 cos 250 67.97N m
正负规定： 逆时针转向时为正 顺时针转向时为负 单位：N∙m或kN ∙m
2、合力矩定理 合力矩定理：平面汇交力系合力对于平面内任意 一点的矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。
静力学
2-1 力
M O ( F1 ) F1 y
M O ( F2 ) F2 x
M O ( FR ) FR h
F2
y
FR F1
FRx Fx i
200 0.866 300 0.5 100 0.707 250 0.707 129 . 3 N
x
F1 cos 30o F2 cos 60o F3 cos 45o F4 cos 45o
60o
O
30o
45o
45o
静力学
2-3 平面力系的简化
0 ，主矩 M O 0 由于主矢 FR
原力系向O点简化的结果是一合力，该合力其 作用线与x轴的交点到点O的距离为h
M O M O (FR ) M O (FRx ) M O (FRy ) 0 FRy h
理 论 力 学
南通大学建筑工程学院 力学教研室 金江
静力学
2 平面力系
平面力系：力系中所有的力都处于同一平面
平面汇交力系 平面力偶系 平面力系 平面平行力系 平面任意力系
静力学
2-1 力
一、力在平面直角坐标轴上的投影
Fx F cos Fy F sin
M O (FR ) FR h FR ( y x tan ) cos FR sin x FR cos y
M O ( FR ) F2 x F1 y M O ( F1 ) M O ( F2 )
注：虽然此定理由两个共点的正交力组成的 简单力系推导，但是它对所有的平面力系都 成立
FR F1 F2 Fn Fi
i 1 n
静力学
2-3 平面力系的简化
2、平面汇交力系合成的解析法
FR FRx i FRy j
静力学
2-3 平面力系的简化
合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分力 在同一轴上投影的代数和
FRx F1x F2 x Fnx Fx FRy F1 y F2 y Fny Fy
— 合力偶 — 合力
— 可进一步简化为2.
— 平衡
静力学
' R
2-3 平面力系的简化
1. F 0, M o 0
— 合力偶
作用于简化中心 O 的汇交力系平衡； 附加的力偶系不平衡，合力偶矩为：
M o M o Fi
n i 1

注意: 此时主矩与简化中心的选择无关。
静力学
' R
y Fy G1 G2 F2 sin 609.81kN FR
( Fx ) 2 ( Fy ) 2 659.43kN FR 主矢FR/大小：
AB arctan 11.310 BC
静力学
F cos(F , i)
R
2-3 平面力系的简化
静力学
一、平面汇交力系的合成
2-3 平面力系的简化
平面汇交力系：各力作用线都在同一平面内且汇交 于一点 研究目的： 1）一般力系的基础 2）有一定的实用意义
1. 平面汇交力系合成的几何法
静力学
2-3 平面力系的简化
依次应用力的三角形法则
结论： 平面汇交力系的合成结果是一个合力， 合力通过汇交点，其大小可通过力的多边形法则 得到，合力为多边形的封闭边。
2-3 平面力系的简化
2. F 0, M o 0
附加的力偶系平衡；
— 合力
' 向O点简化的汇交力系合力为 FR 。
注意: 此时合力 F 的作用线恰好通过选定 的简化中心O。
' R
静力学
3.
2-3 平面力系的简化 — 可进一步简化为2 — 合力)
FR
O
'
F 0, M o 0
' R