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理论力学平面力系

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理论力学 平面任意力系例题

理论力学 平面任意力系例题
y
60

l
l
F
B
F
D
60

l
l D M
M
B
3l
G
F1
l MA
G FAy
x A FAx
17
A
q
例题
平面任意力系
2. 按图示坐标，列写平衡方程。
F
60

例 题 5
y l l D M
F F
x
0,

B
FAx F1 F sin 60 0
y
0,

FAy G F cos 60 0
M作用，梁的跨度为l，求固定端的约束力。
F
45

q
A l
M
B
14
例题
平面任意力系
q
A y
例 题 4
2. 列平衡方程
M
45

F
解： 1. 取梁为研究对象，受力分析如图
B
l
Fx 0,
Fy 0,

FAx F cos 45 0
FAy ql F sin 45 0


q FAx
力系对O点的主矩为
MO
O
主矢FR在第四象限内，与x轴的夹角为 –70.84o。M
O
M F
O
FRx
70.84

A
F1 3 m G1 1.5 m G2 3.9 m 2 355 kN m
FRy
FR
7
例题
平面任意力系
2. 求合力与基线OA的交点到O点的距离 x。 合力FR的大小和方向与主矢FR相同。 合力作用线位置由合力矩定理求得。

理论力学 第三章 平面力系

理论力学 第三章 平面力系

FBl cos M 0
得
M 20 k N m FB 4.62 kN l cos 5 m cos 30
FA FB 4.62kN
故
目录
第三章 平面力系\力的平移定理
3.3 力的平移定理
作用于刚体上的力，可平行移动到刚体内任一指定点，但必须 在该力与指定点所决定的平面内同时附加一力偶，此附加力偶的矩 等于原力对指定点之矩。 平面一般力系向一点简化的理论基础是力的平移定理。
设平面汇交力系F1、F2、…、Fn中各力在x、y轴上的投影分 别为Xi、Yi，合力FR在x、y轴上的投影分别为XR、YR，利用公式
F Fx Fy Xi Yj
分别计算式FR=F1+F2+…+Fn=ΣF 等号的左边和右边，可得 FR = XR i+YR j 以及 F1+F2+…+Fn=(X1i+Y1j)+（X2i+Y2j）+…+（Xni+Ynj） =（X1+X2+…+Xn）i+（Y1+Y2+…+Yn）j 比较后得到 X R X1 X 2 X n X YR Y1 Y2 Yn Y 目录
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第三章 平面力系
如图(a)所示水坝，通常取单位长度坝段进行受力分析，并将坝 段所受的力简化为作用于坝段中央平面内的一个平面力系［图(b)］。
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第三章 平面力系
第三章 平面力系
3.1 平面汇交力系的合成与平衡 3.2 平面力偶系的合成与平衡 3.3 力的平移定理 3.4 平面一般力系向一点简化 3.5 平面一般力系的平衡方程及其应用
第三章 平面力系\平面力偶系的合成与平衡

理论力学平面力系的简化和平衡

理论力学平面力系的简化和平衡

原力偶系的合力偶矩
n
M Mi i 1
只受平面力偶系作用的刚体平衡充要条件：
n
M Mi 0 i 1
对BC物块对B点取矩，以逆时针为正列方程应为：
M 2 M B (FC ) M FCY a FCx b M FC (b a) cos45 0
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
两轴不平行即 条件：x 轴不 AB
可，矩心任意
连线
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
4. 平面一般力系的简化结果分析
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
的原图上）
解除约束
由
mA (Fi
)
0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
2.5物体系统的平衡、静定与超静定问题
1、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
N2个物体受平面汇交力系（或平面平行力系）
X 0 Y 0
2*n2个独立平衡方程
N3个物体受平 X 0 面任意力系 Y 0

理论力学5平面任意力系

理论力学5平面任意力系

P
1m
q
C
2m
A
2m
B
43
P
1m
q
C
XA
2m
A
YA
2m
XB
B
YB
解: ( 1 ) 取整体为研究对象，画受力图.
44
P
1m
q
C
XA
2m
A
2m
XB
B
YA
MA( F ) = 0
YB
- 4 × 3 × 1.5 - 20 × 3 + 4 YB = 0
YB = 19.5 kN
45
P
1m
q
C
XA
2m
2m
A
FR 0, M O (F ) 0
（一）基本平衡方程
Fx = 0 Fy = 0 Mo ( F ) = 0
（一力矩式）
能解 3 个未知量
16
（二）平面任意力系平衡方程旳其他形式
（1） 二力矩式
MA ( Fi ) = 0 MB ( Fi ) = 0 Fx = 0
投影轴 x 不能与矩心 A 和 B 旳连线垂直.
a
G3 A
C
e G1 L G2
B
NA
b
NB
1、满载时，当重物距离右轨最远时，易右翻。 当起重机平衡 m B( F ) = 0 - G1 ·e - G2 ·L - NA ·b+ G3 ·（a+ b） = 0
NA = [ - G1 ·e - G2 ·L + G3 ·（ a+ b）] / b
33
a
G3 A
XA = 14.14 kN
Fy = 0
YA

理论力学第2章平面任意力系

理论力学第2章平面任意力系

空载时轨道A 、 B的约束反力，并问此起重机在使用过程中有无翻
倒的危险。
解：
（1）起重机受力图如图
（2）列平衡方程 ：
MA 0:
Q
Q(6 2) RB 4 W 2 P(12 2) 0
MB 0:
Q(6 2) W 2 P(12 2) RA 4 0
6m
解方程得:
W
P
12m
RA 170 2.5P
FR' Fi Fxi Fy j
MO MO (Fi )
3. 平面任意力系的简化结果
（1）FR´= 0，Mo ≠ 0, （2）FR´ ≠ 0，Mo = 0, （3）FR´≠ 0，Mo ≠ 0, （4）FR´= 0，Mo = 0,
合力偶，合力偶矩，MO MO (Fi )
合力，合力作用线通过简化中心O。
3
F2
j
F3
x
(437.6)2 (161.6)2
F1
1 1
100
Oi
1 2
466.5N
200
MO 21.44N m
y
合力及其与原点O的距离如图(c) 。 MO
x
y
d
x
O
FR FR′ 466.5N FR´
FR
O
d MO 45.96mm
(b)
(c)
FR
10
例11 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图示。载荷的
M
l
l
30
B
D
° F
3l
P
q
A
21
解：T字形刚架ABD的受力如图所示。
M
l
l
Fx 0
30
B
FAx 1 • q • 3a Fcos30 0

理论力学.平面特殊力系

理论力学.平面特殊力系

R = ∑F = 0
或
力多边形自行封闭 力系中各力的矢量和等于零
F1
F3 F2 FR
Fn
Fi
例题
其大小等于20kN 20kN， 水平梁AB 中点C 作用着力P，其大小等于20kN，方向与
梁的轴线成60 支承情况如图(a)所示， (a)所示 梁的轴线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链支座A 的反力。梁的自重不计。 和活动铰链支座B 的反力。梁的自重不计。
y
600
∑Y= 0
x B
C D
150 300
B
0
A
E
TBC 15 15 30 TBD
0
0
TBD=G E
FAB G
[例] 已知 P=2kN 例 解：①研究AB杆 ②画出受力图 ③列平衡方程
求SCD , RA
∑ X =0
RA⋅cosϕ − SCD⋅cos450 =0
ϕ
∑Y =0 − P− RA ⋅sinϕ + SCD ⋅sin450 =0
P B RA A
θ
y
C x 2m D 4m RD
P +RA cosθ = 0 θ
RA = - 22.36 kN
负号说明它的实际方向 和假设的方向相反。 和假设的方向相反。
∑ Y= 0
RA sinθ +RD = 0 θ RD =10 kN
tgθ = 0.5 cosθ = 0.89 sinθ = 0.447
(a)
(b)
图示是汽车制动机构的一部分。 例题 图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力 P=212N，方向与水平面成α=45°角。当平衡时，BC水平，AD铅 =212N， =45° 当平衡时， 水平， 试求拉杆所受的力。 =24cm， =6cm( 直，试求拉杆所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm(点E在铅直线 DA上)，又B、C、D都是光滑铰链，机构的自重不计。 都是光滑铰链，机构的自重不计 自重不计。

理论力学第4章-平面任意力系

理论力学第4章-平面任意力系

FAx
FAy MA
解：（1）取悬臂刚架为研究对象，受力图。
（2）列平衡方程
Fx 0
FAx F 0
Fy 0
FAy 3q 0
解之得
MA(F) 0
M A F 4 3q 1.5 0
FAx 5kN FAy 6kN M A 11 kN m（与假设相反）
4.5.2 平面平行力系的平衡方程 作用线分布在同一平面内且相互平行的力系，称为平 面平行力系。
MO (F ) 2 OAB面积
（1）当力F通过矩心O时，力对该矩心的力矩为零。 （2）当力F沿作用线移动时，不改变该力对任一点的矩。
力对点之矩的解析式：
MO (F ) Fd Fr sin( ) Fr sin cos Fr cos sin
Fr cos Fx
r cos x
Fr sin Fy
合力矢 作用线的方程。
MO FRx
O
38.66
F Ry
F R
（x, y） FRx
400 x + 500 y = 2726.7
O
FRy
FR
4.5 平面任意力系、平面平行力系平衡方程 4.5.1 平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡的必要与充分条件为：力系的
主矢以及对作用面内任一点的主矩都等于零，即
r sin y
MO (F ) xFy yFx （4-4）
y
Fy
F
y
r O d
A Fx
x
x
4.2 力线平移定理
力线平移定理： 作用在刚体上A点的力F可以平行 移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，此附加力 偶的矩等于原来的力F对B点的矩。
[证] 力 F
力系 F, F1, F1' 力F1 力偶（F, F1'）

理论力学-平面力系

理论力学-平面力系

第二章平面力系一、是非题1．一个力在任意轴上投影的大小一定小于或等于该力的模，而沿该轴的分力的大小则可能大于该力的模。

（）2．力矩与力偶矩的单位相同，常用的单位为牛·米，千牛·米等。

（）3．只要两个力大小相等、方向相反，该两力就组成一力偶。

（）4．同一个平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩相等，这两个力偶就一定等效。

（）5．只要平面力偶的力偶矩保持不变，可将力偶的力和臂作相应的改变，而不影响其对刚体的效应。

（）6．作用在刚体上的一个力，可以从原来的作用位置平行移动到该刚体内任意指定点，但必须附加一个力偶，附加力偶的矩等于原力对指定点的矩。

（）7．某一平面力系，如其力多边形不封闭，则该力系一定有合力，合力作用线与简化中心的位置无关。

（）8．平面任意力系，只要主矢≠0，最后必可简化为一合力。

（）9．平面力系向某点简化之主矢为零，主矩不为零。

则此力系可合成为一个合力偶，且此力系向任一点简化之主矩与简化中心的位置无关。

（）10．若平面力系对一点的主矩为零，则此力系不可能合成为一个合力。

（）11．当平面力系的主矢为零时，其主矩一定与简化中心的位置无关。

（）12．在平面任意力系中，若其力多边形自行闭合，则力系平衡。

（）二、选择题1．将大小为100N的力F沿x、y方向分解，若F在x轴上的投影为86.6N，而沿x方向的分力的大小为115.47N，则F在y轴上的投影为。

①0；②50N；③70.7N；④86.6N；⑤100N。

2．已知力的大小为=100N，若将沿图示x、y方向分解，则x向分力的大小为N，y向分力的大小为N。

①86.6；②70.0；③136.6；④25.9；⑤96.6；3．已知杆AB长2m，C是其中点。

分别受图示四个力系作用，则和是等效力系。

①图（a）所示的力系；②图（b）所示的力系；③图（c）所示的力系；④图（d）所示的力系。

4．某平面任意力系向O点简化，得到如图所示的一个力R 和一个力偶矩为Mo的力偶，则该力系的最后合成结果为。

理论力学平面任意力系

理论力学平面任意力系
齿轮II上旳力偶矩M；轴 承A，B处旳约束力。
解: 取齿轮I及重物C ,画受力图.
M B 0 Pr F R 0 F 10 P1
由 Fr taan 200 3.64 P1
t
X 0 FBx Fr 0 FBx 3,64P1
Y 0 FBy P P2 F 0 FBy 32P1
[例1]
静定（未知数三个）
静不定（未知数四个）
[例2]
物体系统（物系）： ——由若干个物体经过 约束所构成旳系统。
超静定拱
[P62 思索题 3-10]
超静定梁
超静定桁架
3-3 物体系旳平衡•静定与超静定问题
二、物体系统旳平衡问题
外力：外界物体作用于系统上旳力。 内力：系统内部各物体之间旳相互作用力。
R
主矢
FR 0 FR 0
主矩
MO 0
MO 0 MO 0
MO 0
最终成果
阐明
合力 合力作用线过简化中心
合力 合力偶
合力作用线距简化中心M O FR
与简化中心旳位置无关
平衡
与简化中心旳位置无关
3-2 平面任意力系旳平衡条件与平衡方程
一、平面任意力系平衡旳充要条件为：
力系旳主矢
FR
'和对于任一点旳主矩
独立方程旳数目
平面力偶系
mi 0
1
平面平行力系 Y 0, mo (F ) 0
2
平面汇交力系
X 0
2
Y 0
平面任意力系
X 0
Y
0
3
mO (F i ) 0
3-3 物体系旳平衡•静定与超静定问题
独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题 （可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是超静定问题（静不定问题）

第二章 理论力学平面力系

第二章 理论力学平面力系

特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，
力系分为：平面力系、空间力系 ①平面汇交力系 平面力系 ②平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况 ) ③平面一般力系(平面任意力系) 平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。 研究方法：几何法，解析法。
例：起重机的挂钩。
2.1 平面汇交力系的合成与平衡
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 1、几何法
Y X
87.46 8.852, 83.55O 9.88

由于FRx为负，FRY为正，故 在第二象限，合力 FR的作用线通过汇交点O，如图2.12
【例2.5】
如图2.1 3所示为建筑工地使用的 井架把杆装置，杆AB的一端铰接在井架上， 另一端用钢索BC与井架连接。重物通过卷扬 机由绕过滑轮BC的钢索起吊。已知重物 Fw=2kN，把杆重量、滑轮的重量及滑轮的大 小不计，滑轮的轴承是光滑的。试求钢索BC 的拉力和把杆AB所受的力。
由图2.14(b)可知 DB CB cot l cot 30 0 tan 0.866 AB 2l 2l 40.90 将 40.90 代入方程并求解得 FA 13.2 KN FB 8.66 KN
解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
2、主矢和主矩
主矢：力系各力的矢量和，即 主矩：力系中各力对于任选简化中心O之矩的矢量和，即

理论力学 第二章 平面力系的等效简化

理论力学 第二章 平面力系的等效简化

y
MO R'
Ox
简化结果：主矢 R ，主矩 MO 。
1. R' 0 , MO 0
2 . R' 0 , MO 0
3 . R' 0 , MO 0
4 . R' 0 , MO 0 力系平衡。
1. R' 0 , MO 0
F1 F2
AB
I
Fi
y
MO Ox
1. R ' = 0,MO≠0 简化结果
系，否则为空间平行力系。
6
五、 任意力系（一般力系） 若力系中各力的作用线既不汇交于一点，又不全部相互
平行，则该力系称为任意力系。 如各力作用线还位于同一平面内，则称为平面任意力系，
简称平面力系；否则称为空间任意力系，简称空间力系。
空 间 力 系
7
平面力系 P26.图2.6
8Байду номын сангаас
§2.２ 力的平移定理
这种合成方法叫力系向O点简化，O称为简化中心。
17
y
MO
AB
R'
主矢： R' F 'i
OI x
大小：R' R'x2 R'y2 ( Fx)2 ( Fy)2
主矢 R
方向：
arccosRx R
arccos Fx F
与简化中心位置无关.
主矩MO
大小：MO mO (Fi )
方向：方向规定
+,
为一合力偶,MO=M 与简化中心 O 无关。
20
2 R' 0 , MO 0
F1 F2
AB
I
Fi
y
R'
Ox

理论力学(哈工大版本)第二章平面力系

理论力学(哈工大版本)第二章平面力系

解：注意到CB为二力构件，画受力图
M AC F Cd F C 2 12 F C 2
224 18 2F (NCcm) 0.255F 2
Mi 0 MAC M 0
F C 3137N
理论力学
.
C(Nm)
37
[例]图示杆系，已知M，l，求A、B处约束力。
l
l
FA 解：1、 AD为二力杆。
D
B
A
2、研究对象： 整体
解：取滑轮B为研究对象， 忽略滑轮的大小，画受力图。 FBA
y
FBC D
60
B
列平衡方程
B
F2 60
x
Fx 0， FBA F c1os 60 F2 cos 30 0
30
Fy 0，FBC F co1 s 30 F2 cos 60 0
F1
30
当由平衡方程求得
G
解方程得杆AB和BC所受的力: 某一未知力的值为
FR F1F2 Fn F
i
3、平面汇交力系平衡的几何法
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是： 该力系的合力等于零。
FR F1F2 Fn F 0 i
上述方程的几何表达为：该力系的力多边形自行封闭。
用几何方法求平面汇交力系平衡时，要做出自行封 闭的力多边形，一般只适合三个力的平衡问题。
理论力学
作出相应的力多边形。
F
FD
F
A
OE EA24 cm
FB
tan DE 6
OE 24
arctan 1 140
4
由力三角形图可得
O
B E FB
sin180
FB
F 750N FD
D
sin

理论力学4 平面一般力系

理论力学4 平面一般力系

力F ′+ 力偶（ F ， F ′′）
3
说明： 说明 力线平移定理揭示了力与力偶的关系： ①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 （例断丝锥） 例断丝锥）
力+力偶 力偶
有关， ②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d 力平移的条件是附加一个力偶 ， 与 有关 ③力线平移定理是力系简化的理论基础。 力线平移定理是力系简化的理论基础。
Fx = 0, FAx − FT cos 30 0 = 0 ∑
Fy = 0, FAy + FT sin300 − P −Q = 0 ∑
1 ∑ M A = 0, FT 2 ⋅ 6a − P ⋅ 3a − Q ⋅ 4a = 0 F T = 17 . 33 kN 解得： F Ax = 15 . 01 kN 解得： F 22 Ay = 5 . 33 kN
a a 两力作用线过x1 = 和x2 = 3 2
17
§3-4
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
一 平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
r ′ 即 FR = 0
Mo = 0
FR′ = (∑ Fx )2 + (∑ Fy )2
MO = ∑MO (Fi )
∑ F = 0, F = 0 ∑ Fy = 0, FAy + FBy − P − q ⋅ 2a = 0
9
固定端（插入端） 固定端（插入端）约束 说明 ① 认为Fi这群力在同一平面内; 雨搭 ② 将Fi向A点简化得一力和一力偶; ③ FA方向不定可用正交分力FAX, FAY 表示; ④ FAX, FAY, MA为固定端约束反力;
FR FYA FXA

理论力学-平面任意力系

理论力学-平面任意力系

平面任意力系可能由 多个力的叠加构成， 具有较高的复杂性。
平面任意力系的特点
多方向性
平面任意力系可以有从不同方向作用的力。
多点作用性
平面任意力系可以有多个作用点。
力的大小不同
平面任意力系中的力可以有不同的大小。
力的叠加
平面任意力系可能由多个力的叠加构成。
平面任意力系的合力和力矩求解方法
1
合力求解方法
Hale Waihona Puke 理论力学-平面任意力系通过本讲，你将深入了解平面任意力系的定义、特点、合力和力矩求解方法、 平衡条件、实际应用，以及解题步骤。准备好开始你的力学之旅吧！
平面任意力系的定义
1 什么是平面任意
力系？
平面任意力系是指位 于同一平面内的多个 力的集合。
2 力的方向和作用点 3 任意力系的复杂性
力可以有不同的方向 和不同的作用点，但 都在同一平面内。
将所有力按照矢量法则相加，求
力矩求解方法
2
得合力的大小和方向。
通过力矩定理，求得平面任意力
系的力矩。
3
力矩的方向
力矩的方向垂直于力的平面。
平面任意力系的平衡条件
力的平衡
合力为零，即所有力合成为零。
力矩的平衡
力矩的合力为零。
平面任意力系的实际应用
1 桥梁结构分析
分析桥梁结构的受力 情况。
2 机械设计
设计和优化机械系统 中的力的分布。
3 建筑结构设计
分析建筑结构的静力 平衡。
案例分析：平面任意力系的解题步骤
1
Step 1
分析力的大小和方向。
2
Step 2
计算合力和合力矩。
3
Step 3

《平面力系》PPT课件_OK

《平面力系》PPT课件_OK

解力三角形：
FN
F
cos
又：
cos
R2
(Rh)2 R
1 R
h(2Rh)
FN
FR h (2R h)
9
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
再研究球，受力如图： 作力三角形
解力三角形：
P FN sin
又sin
Rh R
FN FN
FNB= 0时为
球离开地面
P FN sin
F R R h P F(Rh)
（2）力偶对作用面内任一点的矩，与矩心的位置无关。
力偶对点O的矩为Mo（F，F′）,则
M o (F , F ) M o (F ) M o (F ) F(x d) Fx Fd
力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的 大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的 转向：一般以逆时针转向为正，反之为负。
记为M（F，F′） 简记为M。
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
[例] 已知 P=2kN ，求CD所受的力和A处的约束反力。
解：①以AB杆为研究对象 ②画受力图 ③列平衡方程求解
F x 0 RA cos SCD cos 450 0
F y 0 PRAsin SCD sin450 0
tan EB 0.4 1
AB 1.2 3
M Fd 2 AABC
力偶矩的单位：N·m。
Fix 0 Fiy 0
称为平面汇交力系的平衡方程。
14
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
例：如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并 以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略 摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。

理论力学第二章

理论力学第二章

F F3 F4
M Fd ( F3 F4 )d F3d F4 d M1 M 2
在同平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶， 合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。
M Mi
i 1
n
2.2.4 平面力偶系的平衡条件
所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此， 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩 的代数和等于零，即
F R F 1 F 2 F n F
如果一力与某一力系等效，则此力称为该 力系的合力。
2.1.2 平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是： 该力系的合力等于零。用矢量式表示为：
Fi 0
平面力偶系的合成结果为
M O M 1 M 2 M n M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( Fi )
平面汇交力系力，FR′ 平面力 偶 系力偶，MO
(主矢，作用在简化中心) (主矩，作用在该平面上)
理论 力 学
河南科技大学建筑工程学院工程力学系
第二章 平面力系
平面力系：各力作用线位于同一平面的力系。 本章主要介绍平面力系的简化与平衡。 各力作用线位于同一平面且相交于一点的力系称为平面 汇交力系。
F1 A F2
F3
F4
2.1 平面汇交力系
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法
c F1 A F3 F12 FR a d F4 e
RB
2、研究对象： 整体 m N AD RB l 思考：CB杆受力情况如何？
RC
m
RB
[例6]图示杆系，已知m，l。求A、B处约束力。

理论力学平面任意力系的平衡条件及方程

理论力学平面任意力系的平衡条件及方程

理论力学平面任意力系的平衡条件及方程一、平面任意力系的平衡条件平面任意力系平衡的必要和充分条件为：力系的主矢和对任一点的主矩M O 都等于零，F R'=M O =∑M O (F i )二、平面任意力系的平衡方程∑F ix =0∑F iy =0∑M (F )=0O i ⎧⎪⎨⎪⎩⎧∑F x =0⎨∑M A (F )=0⎩∑M B (F )=0条件：x AB⎪⎪⎧∑M A (F )=0⎨∑M B (F )=0⎩∑M C(F )=0条件：A ，B ，C 点⎪⎪上式只有 个独立方程，只能求出 个未知数。

[例]求图示刚架的约束力。

解：以刚架为研究对象，受力如图。

q∑F x =0:F Ax -qb =0∑F y =0:F Ay -F =0∑M A (F )=0:M -Fa -1qb 2=02=qb A解 ：F Ax F Ay =F 212A M =Fa +qbq[例]求图示梁的支座约束力。

解：以梁为研究对象，受力如图。

∑F x =0:F Ax +F cos θ=0∑F y =0:F Ay +F B -F sin θ=0∑M A (F )=0:F B a -F sin θ⋅(a +b )-M =0解 ：=-F cos θF Ax =M +F sin θ(a +b )aB F =-M +Fb sin θAyFa[例] 外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F 1=2 kN ，F 2=1.5 kN ，M =1.2 kN·m ， l 1=1.5 m ，l 2=2.5 m ，试求铰支座A 及支座B 的约束力。

60解：1、 梁为研究对象，受力分 如图2、 平衡方程3、解方程∑MA(F )=0F B l 2-M -F 1l 1-F 2(l 1+l 2)sin60=Fx=0F Ax -F 2cos ∑60=0=0∑FyF Ay +F B -F 1-F 2sin 60=0=0.75kN F =3.56kN=-0.261kNF Ax B F Ay[例]悬臂吊车如图所示。

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理论力学
2 平面力系
2-2 平面力对点的矩
2-2 平面力对点之矩 --度量（力使物体绕O点）转动效应
力可以使物体移动 ——取决于力的大小、方向；
力可以使物体绕某一点转动——取决于： 1、定义：M O(F) F h
F Oh
为力F 对O点的矩，简称力矩：
O称为矩心、O 点与力F 所确 定的平面称为力矩作用面、O点 到力的作用线的距离h称为力臂.
理论力学
2 平面力系
理论力学
2 平面力系
2-1 平面汇交力系
工程中的力系几乎都是空间力系，但可以简化为平面力系来 研究。平面力系是指：所有力的作用线在同一平面内。
根据力作用线的情况又可分为平面汇交力系、平面平行力系、 平面任意（一般）力系。
2-1 平面汇交力系 1、平面汇交力系：各力作用在同一平面内，且作用线汇交
于一点，或作用在同一点。如图
F1
F2
F3 A
Fn
问题：1°汇交于一点的 n 个力对物体的作用效应可不 可以用一个合力来等效？
2°如果物体平衡,这个 n个力满足什么关系？
理论力学
2 平面力系
2-1 平面汇交力系
2、平面汇交力系的合成（求合力）的几力何多法边形法则
F1
F2
c F3 d
F2
FR2 FR1
a
j
x
O
Fx
Oi
F Fx x
Fx F cosa
F Fx Fy
Fy F cos b
因此，为方便计算，通常将坐标轴设为正交。
理论力学
2 平面力系
2-1 平面汇交力系
2°平面汇交力系合成的解析法
y
F1
FR
几何法知： FR Fi
由矢量投影定理：合矢量在某
F2
一轴上的投影等于各分矢量在
F3 A
Fn
该轴上投影的代数和
理论力学
2 平面力系
2-1 平面汇交力系
例2-2 已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，
P =Байду номын сангаас20kN；求：系统平衡时，杆 AB,BC 的力.
解：1、AB、BC 杆取为滑二轮力B杆（；或点B）为研究对象，画受
力图.
A
2、建图示坐标系，列方程
60
D
B
30
P C
理论力学
2 平面力系
2-1 平面汇交力系
平衡
FR 0 FR FRx2 FRy2 0
解析条件 FRx Fix 0 FRy Fiy 0
平衡方程
Fix 0 Fx 0 X 0 Fiy 0 Fy 0Y 0
F1x F2x Fix...... Fnx 0
F1y F2y Fiy...... Fny 0
结论：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是力系中所有 力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。
c F3 d
F2
FR2 FR1
b F1
Fn-1 FRe
Fn
Fn e
aa FR= 0
结论：几何上表：现FR为该0力系的力多边形的封闭边长度为零， 即以 n 个力为边的多边形自行封闭。
理论力学
2 平面力系
2-1 平面汇交力系
4、平面汇交力系合成的解析法
1°力在坐标轴上的投影与力沿坐标轴的分力
注意：y 力在坐标轴上的投影和沿坐标y 轴的分力是两个概念，
上述多边形称为力多边形，合力FR 就是力多边形的封闭边 。
理论力学
2 平面力系
2-1 平面汇交力系
结论：平面汇交力系可简化为一个合力，其合力的大小与 方向等于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用点为汇交力 系的汇交点。
3、平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的充分必要条 件是：
n
FR Fi Fii 0 i 1
Fx 0： FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
Fy
0：
F BC
F cos30 1
F cos60 2
0
3、解方程 注意到：F1 F2 P
A
F 27.32kN
BC
60
D
B
FBA 7.32kN
30
P
C
F1 = F2 = P
理论力学
2 平面力系
2-1 平面汇交力系
力F 使物体绕O点转动的效应，由两 个要素决定：
力矩的大小：力F 的大小与O点到力作用线距离h 的乘积 Fh
力矩的转向：使物体绕O点逆时针转动为正，反之为负
理论力学
2 平面力系
2-2 平面力对点的矩
提示：
1°平面力对点之矩是一个代数量，它的大小：等于力的大小与
力臂的乘积；它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，
投影是代数量而分力是F矢量。
Fy
b a
Fy
F
x
j
Fx x
O
Fx
Oi
Fx F cosa
Fy F cos b
F F x F y Fx i Fy j
当投影轴为正交轴，投影和分力的大
小是相等的。
理论力学
2 平面力系
2-1 平面汇交力系
当投影轴为非正交时，投影和分力的大小是不等的。
y
y
Fy
b
F
Fy
理论力学
2 平面力系
2-1 平面汇交力系
利用平衡方程，已知一些力可以求未知力
6、注意问题: 1°x轴和y轴只要不平行即可；但为了计算方便，通常取为垂 直轴； 2°平面汇交力系只有两个平衡方程，最多只能求解两个未知 量。平面上一个大小和方向未知的力是两个未知量； 3°未知力的指向可以假设, 如果求出负值，说明假设方向与实 际相反； 4°投影轴最好选择与未知力的作用线垂直，使方程中的未知 量尽可能少。
FRx Fix =F1x +F2x +......+Fnx
O
x
FRy Fiy =F1y +F2y +......+Fny
合力的大小为： 合力方向为：
FR
F F 2
2
Rx
Ry
cos(FR , i
)
FRx FR
cos(FR ,
j)
FRy FR
理论力学
2 平面力系
2-1 平面汇交力系
5、平面汇交力系平衡的数学条件与平衡方程
课堂讨论:求图示平面刚架的支座反力。
F
解: 以刚架为研究对象, 受力如图,
4m
建立如图坐标。
A
B
Fx 0 : FA cosa F 0 Fy 0 : FA sin a FB 0
8m F
由几何关系 sina 5 , cosa 2 5
Aa
B
5
5
FA
FB
解得
FA
5 F, 2
FB
1 2
F
Fn e
根据矢量运算d
的交换F律2 ：
Fn e
F3
b
A Fn
F1
FR
a
c FR F1
a F3 b
3
FR1 F1 F2
FR2 (F1 F2 ) F3 Fi
....................................
i 1
n
FR F1 F2 Fi ....... Fn Fi i 1
反之为负.常用单位
或N m
kN m
F Oh
2°如果力的作用线通过O点，即 力臂为零，对O点的矩为零。这 时力F不会使物体绕O点转动。