理论力学3—平面任意力系

y
60

l
l
F
B
F
D
60

l
l D M
M
B
3l
G
F1
l MA
G FAy
x A FAx
17
A
q
例题
平面任意力系
2. 按图示坐标，列写平衡方程。
F
60

例 题 5
y l l D M
F F
x
0,

B
FAx F1 F sin 60 0
y
0,

FAy G F cos 60 0
M作用，梁的跨度为l，求固定端的约束力。
F
45

q
A l
M
B
14
例题
平面任意力系
q
A y
例 题 4
2. 列平衡方程
M
45

F
解： 1. 取梁为研究对象，受力分析如图
B
l
Fx 0,
Fy 0,

FAx F cos 45 0
FAy ql F sin 45 0


q FAx
力系对O点的主矩为
MO
O
主矢FR在第四象限内，与x轴的夹角为 –70.84o。M
O
M F
O
FRx
70.84

A
F1 3 m G1 1.5 m G2 3.9 m 2 355 kN m
FRy
FR
7
例题
平面任意力系
2. 求合力与基线OA的交点到O点的距离 x。 合力FR的大小和方向与主矢FR相同。 合力作用线位置由合力矩定理求得。

理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-8 b
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（2）按图示坐标列平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（3）解方程 解方程，求得
负号说明图中所设方向与实际情况相反，即 MA 为顺时针转向。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
二、关于平面任意力系 的例题
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
例3-2 起重机 P1 = 10 kN，可绕铅直轴AB转动；
起重机的挂钩上挂一重为 P2 = 40 kN 的重物， 如图 3-6 所示。
起重机的重心C到转动轴的距离为1.5 m， 其他尺寸如图所示。
求在止推轴承 A 和轴承 B 处的约束力。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
b．如果力系对另一点 B的主矩也同时为 零，则这个力系或一合力沿 A，B 两点的连 线，或者平衡（图3-9）。
c．如果再加上
，那么力系如
有合力，则此合力必与 x 轴垂直。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-9
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
解： （1）选梁AB为研究对象 梁 AB 所受的主动力有： 均布载荷 q，
重力 P 和矩为 M 的力偶。 梁AB所受的约束力有： 铰链 A 的两个分力 Fax 和 FAy ，滚动支
座 B 处铅直向上的约束力FB。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
（2）列平衡方程 取坐标系如图3-7所示，列出平衡方程：
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程

分布力系说明
q
qB
A
L 2L/3 Q1 L/3
B
A L L/2 A Q L/2
B
A
L (a)三角形分布力
厚接分布力
B L （b）均匀分布力
在以后碰到分布力时，先进行简化处理，然后再求解。
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 4 平衡条件、平衡方程
例 4-1
已知：梁AD的支承及受力如图所示。
F = 500N, FA = 1000N, q = 1000N/m
A、B、C是平面内不共线的任意三点.
应当指出：投影轴和矩心是可以任意选取的。 在解决实际问题时适当选取矩心与投影轴可以简化计算。
一般地说，矩心应选多个力的交点，尤其是选
未知力的交点，投影轴则尽可能选取与该力系中多数力的 后接例题 作用线平行或垂直。
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 5 平面平行力系的合成与平衡
即两个力矩式一个投影式，其中A、B是平面内任意两点。 但连线不能垂直投影轴 X 。 B A x
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 4 平衡条件、平衡方程
平衡方程
2、平面力系任意力系的平衡方程 B
A 即三个力矩式， C
（2）三力矩形式的平衡方程
∑MA （F）= 0，
∑MB （F）= 0 ∑MC （F）= 0
即距D点的距离为a/3。
应用平面力系平衡方程求解。
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 4 平衡条件、平衡方程
例 4-1 ∑Fx = 0 ∑Fy= 0
步骤3：取坐标系Bxy，列平衡方程
FBx+ F = 0 FBy+ FC- Fp- FA= 0

3.1
（2 M O F M 2 F2 cos 60 2 F3 3F4 sin 30 2.5 kN m
由于主矢和主矩都不为零，故最后合成结果是一个合力 FR，合力到O点的距离为
d M O FR 0.421 m
A B C
附加条件：A，B，Ｃ 三点不共线直
为什么要附加条件？
3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
平面平行力系的平衡方程：
如果选Oxy坐标系的y轴与各力平
行，则不论力系是否平衡，各力在x轴
上的投影恒等于零。 于是，平面平行力系的平衡的数 目只有两个 即
F 0 M F 0
y O
或
M F 0 M F 0
A B
3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3.平面任意力系平衡方程的应用
力系平衡方程主要用于求解单个物体或物体系统平衡时 的未知约束力，也可用于求解物体的平衡位置和确定主动 力之间的关系。 应用平衡方程解题的大致步骤如下： 1）选取研究对象，画出受力分析图； 2）选取坐标系，列出平衡方程； 3）求解方程组。
2
FRy arctan FRx
F F F arctan F
2

2
2
x
y
y
x

3.1 平面任意力系的简化.主矢与主矩 3．固定端（或插入端）约束
图(a)为固定端约束在计算时所用的简图。物体在固嵌部分所 受力是比较复杂的（图(b)），但当物体所受主动力为一平面 力系时，这些约束力亦为平面力系，可将它们向A点简化得一 力和一力偶（图(c)）。这个力可用两个未知正交分力来代替。 因此，在平面力系情形下，固定端A处的约束作用可简化为两 F 个约束力 F Ax ， Ay和一个约束力偶 M A （图(d)）。