9.1平面的基本性质

课题：9．1平面的基本性质(一)教学目标：知识目标：（1）了解平面的概念，掌握平面的画法及表示法（2）掌握平面的基本性质及它们的作用能力目标：（3）会用文字语言、图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系（4）能够画出水平放置的平面的直观图（5）培养学生的空间想象能力情感目标：（6）渗透数学来源于实践又服务于实践的辩证观点（7）在数学学习活动中获得成功的体验，建立自信心教学重点与难点重点：（1）平面的概念。

“平面”是教材中只作描述说明，而不定义的最原始的基本概念，应让学生结合实例弄清平面的含义，认真体会平面与平面无大小之分，无厚薄之别，仅有位置上的不同。

（2）会正确画图表示两相交平面的位置关系（3）会用文字语言、图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系，并熟记它们，达到能得心应手运用他们的程度。

难点：（1）理解平面的无限延展性；（2）集合概念的符号语言的正确使用。

授课类型：新授课课时安排：1课时教学方法与教学手段：讲授法多媒体辅助教学教学过程一、创设情景导入新课：首先来讨论一个问题：“给你6根火柴棒能拼出四个三角形吗？”现在老师这里有6根火柴棒，想来尝试的同学请举手。

好，**同学请上来（可以不用把六根火柴棒放在同一个平面里考虑）做得非常好，大家看下，这是什么图形，这不是平面图形，是立体几何图形，大家想一下就知道这个问题在平面中是解决不了的，解决这个问题就需要运用立体几何知识。

那么今天我们就来学习与立体几何有关的知识，（立体几何章节中的第一节）——平面的基本性质二、讲解新课：平面的画法：首先让学生观察光滑的桌面、平静的湖面，象这些桌面、平静的湖面都给我们以平面的形象师：生活中还有哪些留给我们平面的形象呢？生：黑板、地面、镜面、海平面师：对，象这些镜面、桌面、黑板面、地面、海平面等都给我们以平面的印象那平面具有什么特点？生：平坦、光滑师：对，那还具什么特点？生：、、、、同学们有没发现镜面、桌面、地面、海平面，逐渐增大，但还是平面，说明平面还具有“无限延展”的特点下面我们来归纳总结下平面的特点（看PPT）（平面具有“平”、“无限延展”、“无厚薄”的特点。

授课日期授课班级授课课时 2 授课形式新授授课章节名称平面的基本性质使用教学器材准备多媒体、PPT、教学视频等教学目标1．在观察、实验与思辨的基础上掌握平面的三个基本性质及推论．2．学会用集合语言描述空间中点、线、面之间的关系．3．培养学生在文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化的能力．教学重点平面的三个基本性质．教学难点理解平面的三个基本性质及其推论．更新、补充、删节内容无课外作业习题：2,3教学后记板书设计或授课提纲一、探究；二、平面及其表示；三、平面的基本性质；四、例题分析；五、小结；六、作业；课堂教学安排组织教学：3′复习回顾：7′新课讲解：35′一、探究公路、平静的海面、教室的黑板都给我们以平面的形象．你还能从生活中举出类似平面的物体吗？二、平面及其表示1．平面几何里所说的“平面”就是从桌面等物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．2．平面的表示方法常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上来表示平面，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．基本性质 1 如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．练习一在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并明理由：（1）直线AC1在平面CC1B1B内；（2）直线BC1在平面CC1B1B内．三、平面的基本性质平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、不属于来表示．基本性质1可表示为：如果A∈α，B∈α，那么直线AB ⊂α．利用这个性质，可以判断一条直线是否在一个平面内．∙B∙Aα课堂教学安排课堂练习：35′课堂小结：10′作业布置基本性质 2 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本性质 3 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论 1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．四、例题分析：例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O 是AC 的中点．判断下列命题是否正确，并说明理由：(1) 由点A，O，C可以确定一个平面；(2) 由A，C1，B1确定的平面是平面ADC1B1；(3) 由A，C1，B1确定的平面与由A，D，C1确定的平面是同一个平面．例2：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并明理由：（1）直线AC1在平面CC1B1B内；（2）直线BC1在平面CC1B1B内．五、小结：六、作业：习题：2,3αβ∙a。

江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：备课组别数学组上课日期主备教师授课教师课题：§9.1.1 平面的基本性质—平面及其表示教学目标1学会用符号语言表达空间点、线、面之间的位置关系，能将文字语言转化为符号语言2了解平面的三个公理及推论重点学会用符号语言表达空间点、线、面之间的位置关系，能将文字语言转化为符号语言难点了解平面的三个公理及推论教法引导探究，讲练结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一新课引入立体几何在生活中无处不在；本章研究空间中的直线和平面，是处理空间问题、形成空间想象能力的基础二新知探究（一）平面定义：平面是平的，没有厚度的，在空间无限延伸的图形.数学中的平面的概念是现实中平面形象抽象的结果.比如平静的湖面、桌面等.平面的表示方法：（1）用大写的英文字母表示：平面M，平面N等；（2）用小写的希腊字母表示：平面，平面等；（3）用平面上的三个（或三个以上）点的字母表示：（如图14-1）平面ABCD等.教学内容平面的直观图画法：正视图垂直放置的平面M 水平放置的平面M相交平面画法注意：看得见的线用实线，看不见的线用虚线。

（二）空间点、线、面的位置关系的集合语言表示法在空间，我们把点看作元素，直线和平面看作是由元素点所组成的集合，建立了如下点、线、面的集合语言表示法.点与线：点A在直线L上：（直线L经过点A）；点Q不在直线L上：点与平面：点A在平面内：（平面经过点A）；点B不在平面内：；教学内容直线与平面：直线L在平面上：直线L上所有的点都在平面上，即直线L在平面上，或平面经过直线L，记作.直线L在平面外：当直线L与平面只有一个公共点A时，称直线L与平面相交于点A，记作；当直线L与平面没有公共点时，称直线L与平面平行，记作或.直线与直线：直线a与直线b相交于点A，记作.三例题讲解例1用符号表示下列语句，并画出图形：⑴点A在平面α内，点B在平面α外；⑵直线L在平面α内，直线m不在平面α内；⑶平面α和β相交于直线L⑷直线L 经过平面α外一点P和平面α内一点Q ；。

§9.1平面的基本性质【复习目标】1．归纳《立体几何》整章的知识结构，抽象其所蕴涵的数学方法和数学思想；2．罗列“直线与平面”内容的主要定义、判定定理、性质定理和重要结论，要求背诵；3．掌握平面的基本性质，并能运用这些性质解决关于点线共面、两个平面的交线等问题。

【内容归纳】1.知识点2.两个主要的位置关系3.主要的数学思想与方法：（1）化归的思想：一方面指直线与直线，直线与平面，平面与平面这三个不同层次的平行与垂直关系依其它的条件相互转化，而且平行和垂直还可以交互作实用文档用产生交互关系；另一方面指将复杂的空间图形化归为基本的空间图形，或将空间问题化归为平面几何的问题来解决，在立体几何的综合计算中，这一点尤为重要；（2）分类讨论的思想；空间的元素的关系按某种标准进行分类，是位置关系论证的基础；（3）几何计算中应注意“割”、“补”、“等积变换”等转化手段。

4.学习中的能力培养（1）丰富的空间想象能力：会识图、利用图形思考，掌握空间图形的简单变换并进行必要的转化；或借助于典型几何体——正四面体、正方体等，它们是空间几何体的基本结构，往往隐含于一些复杂的几何体中，善于从纷乱的空间图形中，抓住基本结构，常常是解立体几何的关键；（2）严密的逻辑思维和论证能力：想得清楚，说得明白，写得严谨；（3）文字语言、图形语言、符号语言的运用与转化的能力：（4）计算能力：掌握计算空间的距离和角的常用方法，做到“作图合理、论证到位、计算准确，方法合理。

5．平面的基本性质（三个公理及三个推论）（1）如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；（2）如果两个平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条通过这点的公共直线；（3）经过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面；推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面；推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面；实用文档实用文档推论3：经过两条平行直线，有且仅有一个平面；【典型例题】例1 判断下列命题的正误：（1） 首尾相结的四条线段在同一个平面内；（ ）（2） 三条互相平行的线段在同一个平面内；（ ）（3） 两两相交的三条直线在同一个平面内；（ ）（4） 若四个点中的三个点在同一条直线上，那么这四个点在同一个平面内；（ ）（5） 互相垂直的两条直线，有且仅有一个公共点；（ ）（6） 经过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线；（ ）（7） 垂直于同一条直线的两条直线平行；（ ）（8） 两平行线之一垂直于一直线，则另一条也垂直于此直线；（ ）（9） 若,A l A α∈∈，,B l B α∈∈，则l α⊂；（ ）（10） 若,A A αβ∈∈，,B B αβ∈∈，则AB αβ⋂=；（ ）（11） 若,l A l α⊄∈，则A α∉；（ ）（12） 若,,A B C α∈，,,A B C β∈，且,,A B C 不共线，则α与β重合.（ ） 例2 已知正方体1AC 中，E 、F 分别为11C D 、11C B 中点，AC ∩BD=P ，Q EF C A = 11，求证：（1）D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若C A 1交平面DBFE 于R 点，则P 、Q 、R 三点共线。

职高立体几何知识点9.1 平面的基本性质1.在立体几何中，有三种语言可以用来描述点、直线和平面之间的位置关系：图形语言、文字语言和符号语言。

2.根据位置关系，可以用不同的语言描述点、直线和平面之间的位置关系，例如点A在直线a上、点B在直线a外、直线a在平面α内等等。

3.符号语言可以用符号来表示位置关系，例如XXX表示点A在直线a上，a∥b表示直线a和直线b平行等等。

9.2 空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系可以分为相交、平行和异面三种情况。

2.平行线的传递公理指出，平行于同一直线的两条直线相互平行。

3.异面直线是指不在任何一个平面内的两条直线。

可以通过连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线来判定异面直线。

4.异面直线所成的角的范围是(0°，90°]，可以通过平移法来作异面直线成角的方法。

9.3 直线与平面的位置关系1.直线和平面的位置关系可以分为直线在平面内、相交和平行三种情况。

2.等角定理指出，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

3.线面平行的定义是指平面外的直线与平面无公共点，可以通过判定定理来判断。

4.线面垂直的定义是指一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面，可以通过判定定理和性质定理来判断。

5.面面平行的定义是指空间两个平面没有公共点，可以通过判定定理来判断。

推论：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面的两条线段平行，那么这两个平面是平行的。

判定定理2：如果有两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面互相平行。

面面平行的性质定理：如果两个平面互相平行，那么它们之间的平行线段长度相等。

面面垂直的定义：如果两个平面的二面角的平面角为90°，那么这两个平面是垂直的。

判定定理：如果一个平面与另一个平面的一条垂线相交，那么这两个平面是垂直的。

面面垂直的性质定理：如果两个平面是垂直的，那么它们之间的二面角的平面角为90°。

课题：9．1平面的基本性质(三)教学目的：1.理解公理三的三个推论.2.进一步掌握“点线共面”的证明方法3．将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平．4．通过公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力．教学重点：用反证法和同一法证明命题的思路．教学难点：对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式．授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性2．平面的画法及其表示方法：①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC等3．空间图形是由点、线、面组成的4 平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示： 应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭且A l ∈且l 唯一如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈ 应用：①确定平面；②证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形二、讲解新课：推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.已知：直线l ，点A 是直线l 外一点.求证：过点A 和直线l 有且只有一个平面证明：（存在性）：在直线l 上任取两点B 、C ，∵A l ∉，∴,,A B C 不共线．由公理3，经过不共线的三点,,A B C 可确定一个平面α，∵点,B C 在平面α内，根据公理1，∴l α⊂，即平面α是经过直线l 和点A 的平面.（唯一性）：∵,B C l ∈，l α⊂，A α∈，∴点,,A B C α∈，由公理3，经过不共线的三点,,A B C 的平面只有一个，所以，经过l 和点A 的平面只有一个推理模式：A a ∉⇒存在唯一的平面α，使得A α∈，l α⊂推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面已知：直线P b a = .求证：过直线a 和直线b 有且只有一个平面证明：（存在性）：在直线a 上任取两点A ，直线b 上B ，∵P b a = ，∴,,A B P 不共线．由公理3，经过不共线的三点,,A B P 可确定一个平面α，∵点,,A B P 在平面α内，根据公理1，∴,a b α⊂，即平面α是经过直线a 和直线b 的平面.（唯一性）：∵P b a = ，,A a B b ∈∈，,a b α⊂，∴点,,A B P α∈，由公理3，经过不共线的三点,,A B P 的平面只有一个，所以，经过直线a 和直线b 的平面只有一个推理模式：P b a = ⇒存在唯一的平面α，使得,a b α⊂推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面已知：直线//a b .求证：过直线a 和直线b 有且只有一个平面证明：（存在性）：∵//a b ∴由平行线的定义，直线a 和直线b 在同一个平面α内，即平面α是经过直线a 和直线b 的平面.（唯一性）：取,A C a ∈，B b ∈，∵,,//a b a b α⊂ ∴点A,B,C 不共线且,,A B C α∈，由公理3，经过不共线的三点,,A B C 的平面只有一个，所以，经过直线a 和直线b 的平面只有一个推理模式：//a b ⇒存在唯一的平面α，使得,a b α⊂三、讲解范例：例1 两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内已知：直线,,AB BC CA 两两相交，交点分别为,,A B 求证：直线,,AB BC CA 共面证法一：∵直线AB AC A = ，∴直线AB 和AC 可确定平面α，∵B AB ∈，C AC ∈，∴B α∈，C α∈，∴BC α⊂，即,,AB BC CA α⊂即直线,,AB BC CA 共面证法二：因为A ∉直线BC 上，所以过点A 和直线BC 确定平面α．（推论1）因为A ∈α， B ∈BC ，所以B ∈α．故AB α，同理AC α，所以AB ，AC ，BC 共面．证法三：因为A ，B ，C 三点不在一条直线上，所以过A ，B ，C 三点可以确定平面α． 因为A ∈α，B ∈α，所以AB α．同理BC α，AC α，所以AB ，BC ，CA 三直线共面．问题：在这题中“且不过同一点”这几个字能不能省略，为什么？例2 在正方体1111ABCD A B C D -中，①1AA 与1CC 是否在同一平面内？②点1,,B C D 是否在同一平面内？③画出平面1AC 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线 解：①在正方体1111ABCD A B C D -中，∵11//AA CC ，∴由推论3可知，1AA 与1CC 可确定平面1AC ，∴1AA 与1CC 在同一平面内②∵点1,,B C D 不共线，由公理3可知，点1,,B C D 可确定平面1BC D ， ∴点1,,B C D 在同一平面内③∵AC BD O = ，11D C DC E = ，∴点O ∈平面1AC ，O ∈平面1BCD ， 又1C ∈平面1AC ，1C ∈平面1BCD ，∴平面1AC 平面1BC D 1OC =， 同理平面1ACD 平面1BDC OE =．例3 若l αβ= ，,A B α∈，c β∈，试画出平面ABC 与平面,αβ的交线解：（1）若D l AB = 时，如图（1）；（2）若l AB //时，如图（2）四、课堂练习：1．选择题1C（1）下列图形中不一定是平面图形的是 （ ） （A ）三角形 （B ）菱形 （C ）梯形 （D ）四边相等的四边形（2）空间四条直线，其中每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（ ） （A ）一个 （B ）四个 （C ）六个 （D ）八个（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要（4）若a ⊂ α，b ⊂ β，α∩β=c ，a ∩b =M ，则 （ ） （A ）M ∈c （B ）M ∉c （C ）M ∈α （D ）M ∈β答案：⑴ D ⑵ C ⑶ D ⑷ A2．已知直线a //b //c ，直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，求证：a 、b 、c 、d 四线共面.证明：因为a //b ，由推论3，存在平面α，使得,a b αα⊂⊂又因为直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，由公理1，d α⊂下面用反证法证明直线c α⊂：假设c α⊄，则c C α= ,在平面α内过点C 作c b ' ，因为b //c ，则c c ' ，此与c c C '= 矛盾.故直线c α⊂.综上述，a 、b 、c 、d 四线共面.3．求证：一个平面和不在这个平面内的一条直线最多只有一个公共点.证明：（用反证法）假设一个平面和不在这个平面内的一条直线有2个公共点，则由公理1，这条直线上的每一个点都在这个平面内，此与条件矛盾.所以一个平面和不在这个平面内的一条直线最多只有一个公共点.五、小结 ：公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。