球轴承非线性动态刚度特性及其复杂共振行为研究

双列角接触球轴承动刚度特性分析邓四二;董晓;崔永存;胡广存【摘要】为研究双列角接触球轴承动刚度特性,在双列角接触球轴承动力学分析基础上,建立双列角接触球轴承动刚度仿真分析模型.采用精细积分法和预估-校正Adams-Bashforth-Moulton多步法相结合的算法对双列角接触球轴承动刚度模型进行求解,分析轴承结构参数和工况参数对轴承动刚度的影响.分析结果表明:沟曲率半径系数对轴承动刚度影响较小,随着内、外沟曲率半径系数的增加,径向刚度略有增大,轴向刚度和角刚度相对减小;增加钢球数有利于提高轴承动刚度;轴向预紧量较大时轴承动刚度较高,但过大的轴向预紧会使轴承寿命降低,应合理确定轴向预紧量;随转速的增大,轴承动刚度先减小后增大,且转速较低时可近似以接触刚度代替轴承动刚度,转速较高时应综合接触刚度和油膜刚度求得轴承动刚度;外载荷对轴承动刚度有较大影响,加大径向载荷和轴向载荷有利于提高轴承动刚度,随着力矩载荷的增大,轴承动刚度变化较为复杂,但整体上,呈现先减小后增大的趋势.【期刊名称】《兵工学报》【年(卷),期】2015(036)006【总页数】7页(P1140-1146)【关键词】机械学;双列角接触球轴承;动力学;动刚度【作者】邓四二;董晓;崔永存;胡广存【作者单位】河南科技大学机电工程学院,河南洛阳471003;慈兴集团有限公司,浙江慈溪315301;西北工业大学机电工程学院,陕西西安710071;中航工业航空动力机械研究所,湖南株洲412002【正文语种】中文【中图分类】TH133.33+1双列角接触球轴承由于具有较高的旋转精度、极限转速以及较大的刚性而广泛应用于武器装备、军用车辆等领域。

随着对主机性能要求的不断提高，对与之配套的双列角接触球轴承性能的要求也越来越高。

双列角接触球轴承动刚度是描述其动态性能的重要参数，提高动刚度对改善轴承支承特性，提高主机安全性与可靠性具有重要意义。

国内外学者已在滚动轴承刚度方面做出许多研究。

调心球轴承的接触螺旋线特性与动态刚度分析调心球轴承是一种重要的机械传动元件，广泛应用于各种大型设备和机械系统中。

在调心球轴承中，接触螺旋线特性以及动态刚度是影响其性能的重要因素。

本文将详细介绍调心球轴承的接触螺旋线特性以及动态刚度的分析方法和影响因素。

接触螺旋线特性是调心球轴承的重要参数之一。

它主要描述了在滚动过程中滚珠与内外圈之间的接触情况。

对于调心球轴承而言，接触螺旋线通常是一个环形线，其内部接触较压紧，而外部接触较松弛。

这种特性可以有效地分散载荷，并提高轴承的承载能力和运行平稳性。

接触螺旋线的设计有助于减少轴承的噪声和振动，并延长其使用寿命。

接触螺旋线特性的分析可以通过接触压力分布和接触变形进行。

当载荷作用于调心球轴承时，滚珠与内外圈之间产生接触压力。

通过合理设计接触螺旋线，可以使接触压力均匀分布在接触线上，减小局部应力集中现象，提高轴承的使用寿命。

此外，还需对接触变形进行分析，以确定接触区域的形状和尺寸。

通过合理选择载荷以及进行接触变形的分析，可以使接触螺旋线保持较理想的形状，提高轴承的稳定性和承载能力。

动态刚度是衡量调心球轴承运行特性的重要指标。

它描述了轴承系统在受到外界载荷时的刚性响应。

动态刚度的分析可以通过轴承的受力分析和变形分析进行。

首先，需要考虑轴承受到的载荷情况，包括径向载荷和轴向载荷。

然后，可以根据轴承的几何尺寸和材料力学性能进行受力分析，计算轴承在受到载荷时的变形情况。

最后，通过变形分析，计算轴承在不同载荷条件下的动态刚度，以评估轴承系统的刚性响应。

动态刚度的分析能够帮助改进调心球轴承的设计和优化，提高其工作性能和稳定性。

在调心球轴承的接触螺旋线特性和动态刚度分析中，还需要考虑一些影响因素。

例如，轴承的几何形状和尺寸、材料的力学性能、润滑情况以及工作温度等都会对接触螺旋线特性和动态刚度产生影响。

合理选择轴承的几何形状和尺寸，选用高强度和低摩擦的材料，合理设计润滑系统以及控制工作温度，都可以改善轴承的接触螺旋线特性和动态刚度，提高轴承的性能和寿命。

滚动轴承振动的非线性超混沌特性研究
李兆飞;任小洪;黄臣程
【期刊名称】《轴承》
【年(卷),期】2016(000)007
【摘要】为研究滚动轴承不同振动状态的非线性混沌特性,采用不同方法从多角度进行探讨和判定.使用递归图分析振动的周期性,然后采用CLY方法对信号的混沌特性进行判定,再结合功率谱探讨振动的频率分布特征,最后采用最小二乘支持向量机(LS-SVM)方法,通过对各状态振动的Lyapunov指数谱进行计算,研究轴承振动的超混沌特性.研究结果表明:滚动轴承不同状态振动信号的非线性混沌特征存在明显的差异,但均表现为混沌特征并且都是超混沌的,且故障状态越大,振动的超混沌性越强.
【总页数】8页(P54-60,64)
【作者】李兆飞;任小洪;黄臣程
【作者单位】四川理工学院自动化与电子信息学院,四川自贡643000;人工智能四川省重点实验室,四川自贡643000;四川理工学院自动化与电子信息学院,四川自贡643000;人工智能四川省重点实验室,四川自贡643000;四川理工学院自动化与电子信息学院,四川自贡643000
【正文语种】中文
【中图分类】TH133.33;O322
【相关文献】
1.基于滚动体打滑特征的滚动轴承振动特性研究 [J], 涂文兵;何海斌;罗丫;占金青;王朝兵
2.四轮激励含相位差的汽车高维非线性超混沌动力学特性研究 [J], 王威;李瑰贤;宋玉玲
3.润滑脂性能指标对滚动轴承振动特性影响的实验研究 [J], 庄兴明;张向军;张晓昊;熊毅;姚立丹
4.滚动轴承振动信号的非线性分形特性研究 [J], 李兆飞;任小洪;谭飞;方宁
5.高速滚动轴承-转子系统非线性特性研究 [J], 王梓;朱才朝
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十六极变刚度主动电磁轴承的非线性动力学研究的开题报告一、研究背景主动电磁轴承是一种新型的非接触式轴承，广泛应用于高速旋转机械领域。

相比传统轴承，主动电磁轴承无需常规润滑、具有良好的动力学性能和控制能力，能够有效减小机动惯量、降低振动和噪声等，大大提高机器的工作效率和寿命。

在电动汽车、高铁、航空航天等领域的应用也越来越广泛。

然而，主动电磁轴承在高速旋转机械中存在严重的非线性特征，如电磁力和刚度的非线性，这些特征对轴承的动力学性能产生了巨大的影响。

因此，研究主动电磁轴承的非线性动力学特性，对于提高轴承的控制精度和可靠性具有重要意义。

二、研究目标本研究旨在研究十六极变刚度主动电磁轴承的非线性动力学特性，重点包括：1.建立主动电磁轴承的非线性动力学模型；2.分析主动电磁轴承的非线性动力学特性，包括电磁力和刚度的非线性特征；3.探究主动电磁轴承的非线性振动响应特性；4.研究主动电磁轴承控制策略，优化电磁力和刚度的控制性能。

三、研究内容和方法1.主动电磁轴承的非线性动力学模型将主动电磁轴承建模为刚度变化的非线性轴承系统，考虑电磁力和刚度的非线性特性，建立主动电磁轴承的非线性动力学模型，探究非线性特性对轴承动力学行为的影响。

2.主动电磁轴承的非线性动力学特性分析利用数值仿真方法，分析主动电磁轴承的非线性动力学特性，包括电磁力和刚度的非线性特征。

通过分析系统的相空间图、Poincaré图、Lyapunov指数等动力学工具，探究系统的混沌特性和周期运动的存在与否。

3.主动电磁轴承的非线性振动响应特性采用试验方法，进行主动电磁轴承的简谐激励振动试验。

通过分析试验数据，研究轴承的非线性振动响应机理，探究其对系统动力学性能的影响。

4.主动电磁轴承控制策略结合所建立的非线性动力学模型，研究主动电磁轴承的控制策略，优化轴承的电磁力和刚度控制性能。

研究控制策略对非线性动力学特性的影响，分析控制效果。

四、预期成果1.建立十六极变刚度主动电磁轴承的非线性动力学模型，探究非线性特性对轴承动力学行为的影响；2.分析主动电磁轴承的非线性动力学特性，包括电磁力和刚度的非线性特征；3.研究轴承的非线性振动响应机理，建立轴承非线性振动响应模型；4.提出主动电磁轴承的控制策略，优化轴承的电磁力和刚度控制性能；5.发表高水平SCI论文2-3篇，制作论文答辩PPT1次。

航空发动机滚动轴承及其双转子系统共振问题研究综述作者：李轩来源：《科技风》2022年第11期摘要：针对航空燃气涡轮发动机滚动轴承及其双转子系统存在的复杂振动问题，综述了近年来国内外该领域的主要研究成果。

首先，概述了双转子系统动力学建模与分析的研究成果。

其次，综述了双转子系统动力学响应分析研究的现状与主要进展。

最后对现有研究工作进行了展望，对该领域的发展趋势进行了说明。

关键词：转子动力学;双转子系统;共振;非线性;滚动轴承滚动轴承及其双转子系统作为航空燃气涡轮发动机的主要结构，存在着大量复杂振动现象，能够引发系统复杂故障甚至灾难性的事故，其产生机理十分复杂。

所以人们针对相关系统进行了大量研究，从不同角度研究并阐述了多种复杂共振现象的触发机制，对进一步改善航空燃气涡轮发动机等相关滚动轴承—双转子系统机械的安全性、稳定性、可靠性具有重要的理论与实际工程意义。

为了缓解航空燃气涡轮发动机滚动轴承及其双转子系统运行时的高频小幅度不规则运动，防止系统在特定运行条件下产生有害共振，并仍能保持良好的动力学性能。

学者们需要深入研究航空发动机滚动轴承—双转子系统的运动学与造成其运动的力学特点，从而分析解决实际系统存在的各种共振问题。

为此，研究创建适合于剖析滚动轴承—双转子系统动力学特性的模型很有必要。

本文对航空发动机滚动轴承—双转子系统动力学建模以及双转子系统的动力学响应特性的研究现状进行了归纳，并对滚动轴承及其双转子系统共振研究的发展趋势进行了预测。

1 航空发动机双转子系统的动力学建模与分析实际双转子航空燃气涡轮发动机工况十分复杂，为了准确研究航空燃气涡轮发动机滚动轴承—双转子系统运行中的动力学行为，航空燃气涡轮发动机双转子系统的动力学建模问题被学者们广泛研究。

路振勇等[1]依据某真实航空发动机的双转子系统，创建了较为复杂的非连续化动力学模型。

并在对该模型进行了降维后，计算了系统发生共振的对应转速，发现依据复杂非连续化动力学模型计算得到的结果与采用传统方法计算得到的结果相比差异极小，证明了降维模型能很好反映双转子系统的实际共振特性。

非线性弹性体振动中的共振现象和稳定性引言：振动是自然界中普遍存在的一种现象，它在物理学、工程学以及生物学等领域都有重要的应用。

在弹性体振动中，共振现象和稳定性是两个关键概念。

本文将探讨非线性弹性体振动中的共振现象和稳定性，并从数学和物理的角度对其进行分析。

一、非线性弹性体振动的基本原理非线性弹性体振动是指在振动系统中存在非线性的力学特性，如弹簧的非线性刚度、摩擦力的非线性等。

与线性弹性体振动相比，非线性弹性体振动更加复杂，但也更加真实地反映了实际物体的振动行为。

非线性弹性体振动的基本原理可以通过数学模型进行描述，其中最常用的是Duffing方程。

二、非线性弹性体振动的共振现象共振是指在外界激励频率与振动系统固有频率相近时，振动系统能够发生显著的振幅增大现象。

在非线性弹性体振动中，共振现象更加复杂。

由于非线性的特性，共振频率不再是简单的固有频率，而是与振幅、非线性参数等相关。

此外，非线性弹性体振动中还存在着多种共振类型，如超共振、次谐波共振等。

三、非线性弹性体振动的稳定性稳定性是指振动系统在受到扰动后是否能够恢复到原来的稳定状态。

在非线性弹性体振动中，稳定性问题更加复杂。

非线性力学特性使得振动系统的稳定性不再仅仅受到线性刚度的影响，还受到非线性参数、外界激励等因素的影响。

因此，非线性弹性体振动的稳定性分析需要考虑多种因素，并采用数学方法进行求解。

四、非线性弹性体振动的数学建模为了更好地研究非线性弹性体振动中的共振现象和稳定性，数学建模是必不可少的工具。

通过将非线性力学特性转化为数学方程，可以对振动系统进行精确的分析。

在数学建模中，常用的方法包括级数展开法、变分法、数值模拟等。

这些方法能够帮助我们理解非线性弹性体振动的行为，并对共振现象和稳定性进行定量分析。

五、非线性弹性体振动的应用非线性弹性体振动在工程学和物理学中有着广泛的应用。

例如，在结构工程中，非线性弹性体振动的共振现象和稳定性分析可以帮助我们设计更加安全和稳定的建筑物。

高速主轴角接触球轴承动刚度分析及测试方法运侠伦;梅雪松;姜歌东;李玉亭;袁世珏【摘要】为了准确测试高速电主轴角接触球轴承的动态支承刚度,提出了采用同步激励的方式在线测量主轴动态支承刚度的方法.通过研究残余振动位移和激励响应位移之间的角度关系,推导出了动态支承刚度测试原理,在型号为150SD40Q7的电主轴上进行了动态刚度测试实验,并和仿真结果进行了对比分析.测试结果和仿真结果变化趋势吻合良好,误差较小,验证了该测试方法的有效性,为主轴动态运行刚度的测试提供了一种可靠方法.【期刊名称】《振动、测试与诊断》【年(卷),期】2019(039)004【总页数】6页(P892-897)【关键词】高速电主轴;角接触球轴承;动刚度;测试原理【作者】运侠伦;梅雪松;姜歌东;李玉亭;袁世珏【作者单位】西安交通大学陕西省智能机器人重点实验室西安,710049;西安交通大学机械制造系统工程国家重点实验室西安,710049;西安交通大学机械工程学院西安,710049;西安交通大学陕西省智能机器人重点实验室西安,710049;西安交通大学机械制造系统工程国家重点实验室西安,710049;西安交通大学机械工程学院西安,710049;西安交通大学陕西省智能机器人重点实验室西安,710049;西安交通大学机械制造系统工程国家重点实验室西安,710049;西安交通大学机械工程学院西安,710049;洛阳轴承研究所有限公司洛阳,471003;西安交通大学机械工程学院西安,710049【正文语种】中文【中图分类】TH133.3引言高速电主轴是高档数控机床的核心功能部件，对数控机床的加工性能具有直接影响[1]。

角接触球轴承具有结构简单、极限转速比高、旋转精度高以及可同时承受轴向和径向载荷等优点，与液体静压轴承和空气静压轴承对比，角接触球轴承又具有价格优势[2]，所以目前高速主轴大规模使用的支承轴承仍然是角接触球轴承[3]。

支承轴承的动态特性会显著影响主轴的工作性能，为此国内外学者对角接触球轴承的动力学特性展开了研究。

基于球轴承动刚度的轴系动态特性分析与优化王彦伟;胡家顺【摘要】轴系动态特性受轴承刚度影响,而轴承刚度随轴系转速呈强非线性.因而研究轴系动态特性首先需要确定轴承刚度.首先使用球轴承受力分析的拟静力学模型,计算球轴承不同转速下的刚度,计算轴承刚度时,考虑了轴承内圈由于离心惯性力造成的变形的影响,使刚度计算值精确化;进而使用梁单元对轴系进行离散建立轴系的有限元模型,并求解了轴系的临界转速;并以临界转速为优化目标、对轴承跨距及轴内径进行了优化,提升了轴系的动态性能.文中研究内容以Matlab为基础进行编程实现.%The character of shaft systems is affected by stiffness of bearings, and the bearing stiffness is a high non-linear curve with rotation speed. Therefore, the stiffness of bearing is a precondition for dynamic character calculation of shaft systems. Firstly based on the quasi-static model, the dynamic stiffness with different rotational speed of a single ball bearing is calculated; the effect caused by centrifugal forces on inner ring is taken into consideration and the stiffness achieved is more accurate. Then the shaft system is modeled with finite element method using beam elements, and the critical speed calculation of shaft systems is carried out. Moreover, taking the bearing distance and inner diameter of the shaft as design variables and the critical speed as objective, a practical shaft system is optimized and the dynamic characteristics are improved consequently. The research work presented is implemented using Matlab.【期刊名称】《机械设计与制造》【年(卷),期】2017(000)011【总页数】4页(P266-269)【关键词】轴系球轴承动态刚度临界转速有限元【作者】王彦伟;胡家顺【作者单位】武汉工程大学机电工程学院,湖北武汉 430205;武汉工程大学机电工程学院,湖北武汉 430205【正文语种】中文【中图分类】TH16球轴承在轴系尤其是高速轴系中应用广泛[1]。

大型轴承非线性行为模拟及应用
有越来越多的研究工作将旨在研究大型轴承的非线性行为，以帮助开发出更好的模拟技术用于各种工程应用。

一、大型轴承的非线性行为
1）大型轴承的非线性行为是由多项因素引起的，包括润滑油的供油及压力、
马达的转速及驱动力、轴承结构及尺寸，以及其他运动系统参数等。

2）大型轴承的非线性行为有时会导致不良后果，如振动增加、摩擦阻力增大、轴承温度过高等。

二、模拟技术
1）为了模拟大型轴承的非线性行为，研究工作着重于组合各种模型和方法，
如流场模型、力学及摩擦力模型、多体动力学及控制理论、智能技术等，以帮助开发出适用于大型轴承的模拟技术。

2）为了改善模拟的效果，研究者还需要通过试验获取实际的参数，如流体运动、驱动振动、摩擦力和温度等，并将其用于模型构建和参数优化中。

三、应用
利用上述技术，不仅可以模拟大型轴承的非线性行为，还可以用于开发一系列应用，如：
1）润滑系统设计中，可以评估不同润滑条件对大型轴承性能的影响，从而提
高其可靠度。

2）在机械衡器上，以前未计算过的模拟实验数据可以应用于精确的力学参数
校准。

3）在机械变量控制中，可以构建用于大型轴承的调控控制器，降低机器的故障率。

4）更好地探测系统，可以将模拟数据与实际测量数据融合，以更好地检测大型轴承的损伤以及故障提前预警。

总之，随着计算机技术和各种理论的发展，研究大型轴承的非线性行为将带来新的应用，为工程领域带来更大的发展。

基于有限元法的转子轴承系统非线性特性研究摘要针对典型的转子轴承系统构造了一个复杂多因素并且能够比较真实地反映实际系统的非线性系统模型。

采用有限元方法将其离散化分为圆盘、 轴段和轴承座等单元，并对各单元 作了详细的动力分析， 当考虑油膜力耦合作用时， 广义力的求解引用了瑞利耗散函数， 推出 了油膜粘性阻尼力的非线性因素，再由拉格朗日方程得出系统的运动微分方程。

最后 关键词：陀螺力矩油膜力转子轴承系统有限元Finite element method based on nonlinear characteristics of rotor bearingAbstract A typical rotor-beari ng system for a complex multi-factor structure and the ability to truly reflect the actual system of nonlinear system model. Finite element method to the disc is divided into discrete, such as shafts and bearing units, each unit made a detailed and dynamic analysis, when considering the coupling of oil film force, the generalized Rayleigh power dissipation of the solution quoted function, introduced the film's nonlinear viscous damping factor,then the Lagra nge equati ons derived differe ntial equati ons of moti on. Fin ally, Key words : oil film force gyroscopic eleme nt rotor-beari ng system 等单元⑶。

滚动轴承非线性因素对转子系统振动特性的影响罗忠;周逸夫;边子方;王菲【摘要】针对滚动轴承支承下的转子系统在运行过程中存在的滞后突跳问题,利用嵌入同伦弧长延拓的HB-AFT方法,可以快速计算在滚动轴承支承下转子系统的滞后突跳区间;利用Floquent理论进行稳定性判定,分析轴承等效刚度、轴承游隙与线性阻尼系数对转子系统滞后突跳的影响.结果表明:轴承游隙与轴承等效刚度在一定范围内变化会影响转子系统的滞后突跳区间,而阻尼系数只在转子系统临界转速附近影响系统振动的幅值.研究结果可为轴承-转子系统参数的选取提供理论参考.【期刊名称】《东北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(040)008【总页数】8页(P1131-1138)【关键词】滚动轴承;非线性;转子系统;振动特性;滞后突跳【作者】罗忠;周逸夫;边子方;王菲【作者单位】东北大学机械工程与自动化学院, 辽宁沈阳 110819;东北大学航空动力装备振动及控制教育部重点实验室,辽宁沈阳 110819;东北大学机械工程与自动化学院, 辽宁沈阳 110819;东北大学航空动力装备振动及控制教育部重点实验室,辽宁沈阳 110819;东北大学机械工程与自动化学院, 辽宁沈阳 110819;东北大学航空动力装备振动及控制教育部重点实验室,辽宁沈阳 110819;东北大学机械工程与自动化学院, 辽宁沈阳 110819;东北大学航空动力装备振动及控制教育部重点实验室,辽宁沈阳 110819【正文语种】中文【中图分类】V214.1转子系统的滞后突跳行为是指在非线性因素的激励下,转子系统在水平或竖直方向上出现与Duffing软硬特性曲线类似的现象,即共振峰值发生移动导致转子系统在不同于临界转速的位置发生大幅振动从而引发的突跳行为.滚动轴承-转子系统中作为主要支承构件的滚动轴承具有诸多非线性因素,由此导致转子系统在运行过程中存在较强的非线性特性,这对于转子系统运行的稳定性和安全性具有极大的影响.滚动轴承的非线性因素包括轴承赫兹接触刚度、轴承游隙等,这些非线性因素引起转子系统诸多复杂的运动行为.因此,国内外学者针对滚动轴承-转子系统开展了大量的研究工作.Yamamoto等[1]通过建立球轴承-转子系统动力学模型,针对滚动轴承间隙的非线性影响进行研究. Tiwari等[2]研究了轴承球体径向内部间隙对转子平衡动力学的影响.Villa等[3]针对复杂柔性转子轴承系统进行了稳定性分析.Peletan等[4]针对转子系统的稳态与动态特性提出准周期谐波平衡法(HBM)与伪弧长延拓法相结合的算法.Sun等 [5]研究了具有摩擦冲击的双转子系统的稳态响应,其研究结果表明了质量、偏心率、轴间刚度和转速比等参数对双转子系统动态特性的影响.Sundararajan等[6]用弧长延伸法求得了转子系统的动态特性.Ganesan[7]分析了转轴及轴承相关参数对转子系统振动特性的影响.Wang等[8]研究不同轴承配置对转子系统稳定性的影响,并提出一种精确识别系统阻尼比的方法.张智勇[9]构建两自由度深沟球轴承模型,以HB-AFT为手段对轴承转子系统进行追踪.白长青等[10]研究了轴承-转子系统在不同轴承间隙、不同转速下的稳定性,其研究表明，轴承间隙是影响转子系统稳定性的一个重要因素.Ma等[11]建立了转子叶片系统的新动力学模型并利用有限元法和实验验证了该模型的正确性.Han等[12] 研究了柔性转子-轴承系统在时间周期基角运动下的参数不稳定性并推导了时变基角运动下转子系统的精确有限元模型.本文旨在利用同伦弧长延拓的HB-AFT法并结合Floquent稳定性理论,计算转子系统滞后突跳区间,分析滚动轴承的非线性特性对转子系统滞后区间的影响.1 滚动轴承-转子模型为研究轴承非线性特性对转子系统振动特性的影响,如图1所示建立滚动轴承-转子系统动力学模型,并作如下假设:①轴承外圈固结于轴承座,且轴承座始终处于静止状态;②转盘在转轴的正中位置,两端轴承呈对称分布,整个转子系统呈刚性;③滚动轴承内圈与转轴整体建模,滚动体等效为具有刚度和阻尼的弹簧,并保留轴承的游隙、赫兹接触、变柔度这三个主要非线性因素.图1 滚动轴承-转子系统动力学模型Fig.1 Dynamic model of the rolling bearing rotor system图1中,转盘几何中心O为坐标轴Oxyz原点；Oe为质心,e为偏心距；FL,x,FL,y,FR,x,FR,y为左、右轴承产生的非线性支反力.转子系统振动微分方程为式中:为转子质量;为轴承阻尼; Gr=mrg为转子重力; ω为系统转动角速度; t为时间. 由于在建立滚动轴承-转子系统时将滚动轴承内圈与转轴进行整体建模,且转子系统为刚性轴,故系统振动响应同时反映了转子部分振动特性及滚动轴承振动特性.2 计算转子系统的滞后突跳区间由于滚动轴承赫兹接触与轴承间隙的存在,转子系统在运行过程中会出现有线性恢复力与无线性恢复力的情况,因此,转子系统的动力学微分方程属于分段非线性方程,普通的谐波平衡法不适用于本文建立的转子系统非线性微分方程.针对此类问题,Yamauchi提出了一种半数值半解析的隐式谐波平衡法[13],其主要思想是将系统响应及非线性部分分别设成周期响应解,并对其进行离散化处理,即将1个周期T 分为N份,每段时间Δt=T/N,根据系统方程分别在每个离散点处进行频域时域转换,建立谐波系数之间的关系,并进行迭代求解,从而得到相应条件下的系统响应.此方法称为频时域转换谐波平衡法(简称 HB-AFT),其优点在于避免了求解过程中复杂的积分处理,对于复杂非线性系统求解具有较高的实用性.2.1 HB-AFT的一般形式转子系统动力学方程写成矩阵形式式中：M表示转子系统质量矩阵；D表示转子系统阻尼矩阵；K表示系统刚度矩阵；X为动力学方程的解；为转子系统受到的非线性作用力,Gg表示转子系统重力. 设动力学方程的解X与非线性作用力FNL为傅里叶级数形式:式中：K为谐波项数；A0,C0,Ak,Bk,Ck,Sk为谐波系数.对式(3)求取一阶、二阶导数可得(5)将式(3)～式(5)代入式(2),使等式两端对应的常数项及三角函数项系数分别相等,常数部分为KA0=C0+ Gg.(6)第k次谐波项结果为(K-(kω)2M)Ak+(kω)DBk=Ck,(7)(K-(kω)2M)Bk-(kω)DAk=Sk.(8)将所有谐波项用对角矩阵表示,可得(2K+1)r维矩阵:(9)式(9)中式中r为转子系统自由度数目.FNL为关于包含位移的非线性项的隐函数的傅里叶表达式,因此,式(9)可以写成如下形式:H(P,Q)=RP-Q-GL=0.(11)P,Q系数均为未知数时,该系统方程含有(4K+2)r个未知数,而式(9)中仅包含(2K+1)r个代数方程组,无法直接对P,Q进行求解,因此需要建立非线性力与位移的隐函数关系,即令Q中的未知数用P中未知数表示.是由构成的表达式,通过傅里叶逆变换得到FNL中未知数：Q由C0,Ck,Sk组成,FNL与P中元素相关,通过式(12)建立Q与P的关系,得(2K+1)r个未知数和(2K+1)r个方程组.给定P一组初始值,利用Newton-Raphson 方法迭代得到P,具体迭代格式如下:J(i-1)(P(i+ 1)-P(i))-H(i)=0,(13)J=∂H/∂P+∂H/∂Q·dQ/dP.(14)式(14)中的∂H/∂P，∂H/∂Q可通过式(9)、式(10)得到,dQ/dP可通过式(12)求导得到.为避免积分过程,采用IDFT方法将时域信息离散为以下形式[9]:X(n,P)=Bksin(2πkn/N)].(15)式中,n=0,1,2,…,N-1.这里X(n,P)表示由位移谐波系数P表示的时域位移响应X(τ)在离散时间点n·ΔT处的值,这里ΔT=Tω/N,Tω为ω对应的周期,N为时域离散点数.则非线性力FNL时域离散信息为FNL(n,P)=.(16)经DFT变换，式(16)可表示为式中,k=1,2,3,…,K.通过式(17)～式(19),建立了由时域信息和频域信息转换得来的Q 与P的代数关系式,得到式(14)中的dQ/dP,进而可通过Newton-Raphson迭代过程求解未知向量P.迭代求解不动点P的HB-ATF过程如下：①设置迭代初值P(0)及各项初始参数;②采用AFT过程给出迭代 Jacobian矩阵J(0);③根据式(14)中的Newton-Raphson方法进行迭代,求得P(1);④将P(1)值赋予P(0),循环步骤②和③,直到m次迭代后P(m)-P(m-1)的范数小于指定精度ε,也可通过判定H范数小于ε来得到最优解.具体流程如图2所示.图2 AFT计算方法流程图Fig.2 Flow chart of AFT calculation method由以上求解过程可见,非线性部分被设置为谐波解形式后,只要非线性部分与系统位移响应函数关系确定且存在导数关系,则非线性部分的复杂程度并不影响离散HB-AFT方法的使用.如式(16)所示,复杂的非线性力都是由未知自变量的代数关系式确定的,那么就可以根据式(13)～式(19)求得Newton-Raphson迭代计算所需的Jacobian矩阵J.因此,即使对于包含分段函数、间隙和分数指数的非线性参激系统,HB-AFT方法求解依然有效.2.2 利用HB-AFT结合同伦弧长延拓对系统解进行追踪为采用HB-AFT方法追踪系统的全局周期轨线,进而研究系统的滞后突跳行为,需要将HB-AFT过程中的Newton-Raphson迭代过程与弧长延拓法相结合.为此将HB-AFT方法求解变柔度振动周期响应的谐波平衡方程H(P,Q)=0的问题转化为采用HB-AFT法，结合弧长延拓法，并采用Newton-Raphpson迭代校正方法追踪系统的过程如下[9]:①利用HB-AFT方法得到相应转速对应的精确解P,给定系统一组初始解(λ,P)0;②根据延拓方向ν0,设定一个较小的迭代步长δ(本文初始迭代步长δ=0.5δ),得到初始预估解(λ,P)1;③对(λ,P)1通过Newton-Raphson进行迭代,直至收敛至容许误差范围ε内,得到新的精确解(λ,P)*;④计算(λ,P)1与(λ,P)*形成的切向量角度aν,若aν<6°,则取步长δ=2δ,以(λ,P)*为初值，利用预估-校正方法继续进行下一步计算;若aν>18°,则放弃(λ,P)*,取步长δ=0.5δ,重新进行计算.⑤重复步骤②,③和④,直至λ达到设定值,得到解(λ,P)*,输出P*.对于HB-AFT结合同伦弧长延拓法并采用Newton-Raphson迭代校正方法追踪系统分支过程如图3所示.图3 预估-校正追踪系统解的过程Fig.3 Process of tracking system solutionwith predictor and corrector2.3 球轴承载荷分析假设球轴承有j个滚动体,第j个滚动体的位置角为θj,则式中:为滚动体个数;ωc为保持架中心角速度;t为时间.第j个滚动体与滚道的接触变形量为δj=xcosθj+ysinθj-δ0.(22)式中:x,y分别为轴承在X,Y两个方向的位移量;δ0为轴承游隙.滚道上产生的非线性接触变形载荷为式中“+”表示:当δj>0时,滚道上的非线性接触变形为δj;当δj≤0时,滚道上的非线性接触变形为0,即滚动体与环道不接触,没有接触变形载荷.Kb为滚动体与滚道的接触变形系数,则式中Ki,Ko分别为滚动体与内、外圈滚道之间接触点的刚度.所以,球轴承产生的轴承载荷为2.4 数值算例2.4.1 谐波次数与离散点的选取在HB-AFT计算过程中要求对谐波项数K进行选取,如果项数太少,将导致计算结果不准确；如果项数过多,计算效率就会大幅降低.图4为AFT算法与数值算法的对比示意图.如图4所示,虚线代表AFT算法,实线代表数值算法.图4d为谐波项数K=18时,AFT方法与数值计算方法结果的比较,可以发现,相对图4a,吻合度大幅提高.如图4b所示,在选取离散点数N值时,如果N取得过小,在DFT过程中将会发生频率混叠现象,计算结果将严重失真；选取过大将增大计算量.通过对比图4a,4b,4c和4d,本算例取谐波项数K=18,时域离散点数N=150.2.4.2 计算滞后突跳区间滚动轴承-转子系统相关参数如表1所示.图4 谐波项数与离散点的选取对比图Fig.4 Comparison of harmonic frequency and discrete point selection(a)—K=9,N=150; (b)—K=9,N=30; (c)—K=18,N=80; (d)—K=18,N=150.表1 滚动轴承-转子系统参数Table 1 Parameters of the rolling bearing rotor system参数数值参数数值滚珠数量9等效刚度Kb/(GN·m-2/3)12.5径向间隙δ0/μm1滚动轴承内阻c/(N·s·m-1)200转子质量/kg25转子重力/N245以保持架转速Ω为控制参数,采用嵌入弧长延拓的HB-AFT方法追踪轴承-转子系统的幅频响应曲线,X方向代表转子系统的竖直方向,Y方向代表转子系统的水平方向,计算结果如图5所示.图5中,虚线部分代表不稳定区间段转子系统在X,Y方向可能存在双稳态特性.系统在X方向的239.2～264.7 rad/s区间出现了向左偏移的共振峰值,即表现为软的滞后特性.可能由于X方向受重力影响导致只在该方向上具有滞后特性.系统在Y方向的198.8～210 rad/s区间出现了交叉结构,即系统在Y方向上具有软、硬滞后特性.在X,Y方向378～422 rad/s区间表现为不稳定的幅频响应曲线.如图5a所示，伴随着控制参数Ω的变化,系统X方向上的幅频响应曲线从A点跳跃到A′上,此时的振幅相较原来大幅提升,称点A是系统的一个分岔点.随着控制参数Ω的减小,在转接点B处产生的亚谐振动使C点向下跳到C′点,此时振幅相较原来大幅下降.综上,系统在X方向上的参数激励接触共振频率区间产生了软的滞后突跳现象,在Y 方向上产生了软硬共存的滞后突跳现象.滞后分岔的双稳态乃至多稳态行为,会给系统带来突跳冲击作用,冲击作用是裂纹产生的主要因素,而裂纹衍生是产生严重断裂故障的重要机制[14],这对于转子系统来说是不希望发生的.图5 幅频响应曲线Fig.5 Frequency response curve2.4.3 利用Floquent理论进行稳定性判定Floquent理论可用于分析非线性动力学周期响应的局部稳定性,当系统设计参数集发生改变时,根据Floquent特征乘子模可判断非线性动力系统是否失稳以及周期解的分岔形式.本文采用Hsu[15]方法求得Floquent特征矩阵的全部特征值,并且取最大值作为Floquent乘子.利用Floquent乘子判断稳定性：当Floquent乘子模的最大值小于1时稳定;大于1不稳定;等于1临界稳定.可根据模最大的FIoquet 乘子穿出复平面上单位圆时的情况将失稳分岔方式分类[14].如表2所示,当转子系统的解逆时针绕过点A时,发现特征矩阵的Floquent乘子λ在Ω=264.73 rad/s处从实部+1处穿出单位圆,即转子系统发生鞍节型分岔进入了非稳定区间.表2 分岔点A附近的Floquent乘子λTable 2 Floquent multipliers λ around the branch point AΩ/(rad·s-1)264.55264.71264.73264.740.75+0.48i0.86+0.22i0.87+0.13i0.74+0.48i0.75 -0.48i0.86-0.22i0.87-0.13i0.75-0.48i1.010.79+0.41i0.77+0.45i1.010.780.79-0.41i0.77-0.45i0.7183 轴承参数对滞后突跳行为的影响3.1 轴承赫兹接触刚度对滞后突跳行为的影响将上述算例中转子系统的质量设为20 kg,阻尼系数设为200 N·s/m,轴承游隙为10 μm,计算滚动轴承赫兹接触刚度分别为7.5×109,1×1010,1.25×1010和1.5×1010N/m时整个转子系统的幅频响应曲线.为更直观地观察系统滞后特性曲线,选取X,Y方向上滞后特性比较明显的170～250 rad/s响应区间进行研究.如图6所示,当轴承赫兹接触刚度由7.5×109N/m变化到1×1010N/m时,X方向上的滞后突跳区间由208～223 rad/s变化到 225～243 rad/s，图6 不同赫兹接触刚度的幅频响应曲线Fig.6 Frequency response curves with different Herz contact stiffness且伴随着滞后区间的增大；当轴承赫兹接触刚度增加到1.25×1010N/m时,滞后特性消失.当轴承赫兹接触刚度增加到1.5×1010N/m时同样没有发现滞后现象的发生.当轴承赫兹接触刚度为7.5×109N/m时Y方向上没有滞后突跳现象发生,当轴承赫兹接触刚度增加到1×1010N/m 时开始发生滞后突跳且滞后突跳区间逐渐右移,振幅随之逐渐减小.研究整个变化过程得出结论:随着轴承赫兹接触刚度的增加,转子系统的滞后区间呈现右移的趋势；在X方向上随刚度增大滞后区间逐渐减小直至消失,在Y方向上刚度增加到一定程度会产生滞后突跳现象.3.2 阻尼系数对滞后突跳行为的影响计算阻尼系数分别为200,800,1 200 ，2 500 N·s/m时转子系统的幅频响应曲线.在研究轴承-转子系统的振动特性受阻尼系数的影响时,保持其他参数不变.如图7所示,阻尼系数在200 N·s/m经由800,1 200 N·s/m变化到2 500 N·s/m 的过程中,阻尼系数主要影响转子系统滞后突跳区间的幅值,转子系统在X,Y方向上的振幅随着阻尼系数的增加而减小,且当阻尼系数大于某一数值时,转子系统在X,Y 方向的滞后效应将会消失.图7 不同阻尼系数的幅频响应曲线Fig.7 Frequency response curves with different damping coeffcients3.3 轴承游隙对滞后突跳行为的影响计算轴承游隙分别为10,20,30,50,60 μm时转子系统的幅频响应曲线,在研究轴承游隙对系统滞后特性的影响时,保持其他参数不变.图8为轴承游隙分别为10,20,30,50,60 μm时转子系统在X,Y方向上的幅频响应曲线，其中断点部分为失稳区间，连续曲线部分为稳定运行区间.从Y方向的幅频响应曲线可观察到轴承游隙对整个转子系统滞后突跳区间的影响.转子系统Y方向的幅频响应曲线出现了交叉结构,一般意味着系统此时伴随着软硬滞后特性并存的现象[16].同时,随着轴承游隙的增加,转子系统的滞后运动区间明显右移且滞后区间也逐渐变大,并且滞后区间的幅值明显增大,对系统的冲击作用更大.当游隙减小到一定程度时滞后特性将会消失,转子系统的振幅将会减小.图8 不同轴承游隙的幅频响应曲线Fig.8 Frequency response curves with different bearing clearance4 结论1) 受滚动轴承非线性因素的影响,转子系统可能会呈现滞后突跳的特性.2) 滚动轴承的游隙与等效刚度会影响转子系统滞后突跳区间的范围,同时也会影响滞后突跳区间的振幅,所以轴承游隙与轴承等效刚度对转子系统的滞后突跳的特性具有重要的影响.3) 支承阻尼系数相对于轴承游隙、轴承等效刚度而言对转子系统滞后突跳行为的影响较小.在系统临界转速附近区域,阻尼系数几乎不影响转子系统滞后突跳区间的范围,但会降低滞后突跳区间的振幅,故在转子系统的参数设计时,适当增加阻尼系数对转子系统有一定的积极作用.参考文献：【相关文献】[1] Yamamoto T,Ishida Y,Ikeda T,et al.Nonstationary vibration of a rotating shaft with nonlinear spring characteristics during acceleration through a critical speed [J].Nonlinear Dynamics,1990,1(5):341-358.[2] Tiwari M,Gupta K,Prakash O.Effect of radial internal clearance of a ball bearing on the dynamics of a balanced horizontal rotor [J].Journal of Sound & Vibration,2000,238(5):723-756.[3] Villa C,Sinou J J,Thouverez F.Stability and vibration analysis of a complex flexible rotor bearing system[J].Communications in Nonlinear Science & NumericalSimulation,2008,13(4):804-821.[4] Peletan L,Baguet S,Richardet G J,et e and limitations of the harmonic balance method for rub-impact phenomena in rotor-stator dynamics[C]// ASME Turbo Expo 2012:Turbine Technical Conference and Exposition.[S.l.],2012:647-655.[5] Sun C,Chen Y,Hou L.Steady-state response characteristics of a dual-rotor system induced by rub-impact[J].Nonlinear Dynamics,2016,86(1):1-15.[6] Sundararajan P,Noah S T.Dynamics of forced nonlinear systems using shooting/arc-length continuation method—application to rotor systems[J].Journal of Vibration and Acoustics,1997,119(1):9-20.[7] Ganesan R.Effects of bearing and shaft asymmetries on the instability of rotors operating at near-critical speeds[J].Mechanism & Machine Theory,2000,35(5):737-752. 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应用共振法测量轴承刚度
蒋兴奇
【期刊名称】《轴承》
【年(卷),期】1991(000)006
【总页数】3页(P36-38)
【作者】蒋兴奇
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】TH133.3
【相关文献】
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