(沪科版)中考数学总复习课件【第14课时】二次函数的实际应用(23页)

要点一
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
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详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。

6
4
2 ﹣4 ﹣2 0 2
x
求函数的最值问题，
应注意对称轴是否在自变量的取值范围内。
情景建模问题：
1、用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高 各为多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
8米
4米
4米
x米 （4 － x）米 x米 （4 － x）米
解：设窗框的一边长为x米，窗框的透光面积为y米2
功地把自己推销给别人之前，你必须百分之百的把自己推销给自己。即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。
情景建模问题：
2、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间 隔有二道篱笆的长方形花圃，ຫໍສະໝຸດ 花圃的宽AB为x米，面积 为S平方米。
（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； （2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
A
则另一边的长为（4－x）米，那么：
y ＝ x（4－ x ）且0 ＜ x ＜ 4 即： y ＝ ﹣ x 2＋ 4x
= ﹣ （x -2）2 +4 又有：a=﹣1 ＜ 0，该函数的图像开口向下，故函数 有最大值。且0 ＜ 2 ＜ 4 当 x ＝ 2时，该函数达到最大值为4. 答：该窗框的宽和高相等，都为2米时透光面积达到最 大的4米2
∴当x ＝ 4m时，S最大值＝ 32 平方米
探究与建模
利用二次函数求几何图形的最大面积 1．用长度一定的绳子围一个矩形，如果矩形的一边长 x(m)与面积 y(m2)满足关系 y＝－(x－12)2＋144(0＜x＜24)，则该矩形面积的最大值为 _______m2.
探究与建模
2．用长8 m的铝合金条制成如图所示“日”字形矩形窗户，

例3:在同一直角坐标系中，一次函数 y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为
y
y
y
y
O
x
A
x
O
x
O
O
x
B
C
D
答案: B 前进
2021
26
(三)根据函数性质求函数解析式
例4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并 且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
0
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
b x=- 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
2021
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(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
y
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解 :(5)
x=-1
当x≤-1时，y随x的增大 而减小;
当x=-1时，y有最小值为 y最小值=-2
•(-3,0) • • (-1,-2)
•(1,0) x
0
• 3 前进 (0,-–2)
例（5：1）求已抛知物二线次开函口数方y=向—12，x2对+x称-—32轴和顶点M的坐标。
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：

情景导入
1．利用配方法求函数y＝－4x2＋80x的最大值．
y＝－4(x2－20x＋102－102) ＝－4(x－10)2＋400 当x＝10时，y最大值＝400
2．实例引入：如图，用长20m的篱笆，一面靠墙 (墙长不限)围成一个长方形的园子，怎么围才能使 园子的面积最大？最大面积是多少？
解：设与墙垂直的一边为x米，园子面积为S平方米， 由题意得 S＝x(20－2x)＝－2x2＋20x＝－2(x－5)2＋50(0＜x＜ 10)．∵－2＜0， ∴当x＝5(在0＜x＜10的范围内)时，园子面积S的最 大值为50平方米．
450 x
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索 的长.
解：当x=450－100=350（m）时，得
y 1 3502 0.5 49.5(m) 2500
当x=450－50=400（m）时，得
y 1 4002 0.5 64.5(m)
y
2500
-450 O 450 x
仿例
图1
图2
解：设大孔对应的抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2＋6. 依题意，得B(10，0)，代入102a＋6＝0. 解得a＝－0.06，得y＝－0.06x2＋6. 当y＝4.5时，－0.06x2＋6＝4.5，解得x＝±5. ∴DF＝5.EF＝10，即水面宽度为10米．
图1
图2
自学互研
知识模块三 二次函数与高度问题
如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥．当水面宽为4米 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米，水面下降1米时，水面 宽度为多少米？
解：设抛物线解析式为y＝ax2(a≠0)，由题意
知D坐标为(2，－2)，代入y＝ax2，得－2＝
坐标为
－3，当y＝－3时，－