沪科版 21.4 二次函数的应用(1)

二次函数的应用【第一课时】【教学目标】1．经历数学建模的基本过程。

2．会运用二次函数求实际生活中的最值问题。

3．体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。

【教学重点】二次函数在最优化问题中的应用。

【教学难点】从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。

【教学过程】一、创设问题情境，引入新课。

由课文中的问题1引入。

例1：在问题1中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少？它的最大面积是多少？问题分析：这是一个求最值的问题。

要想解决这个问题，就要首先将实际问题转化成数学问题。

二、讲授新课。

在前面的学习中我们已经知道S=-x2+20x，这个问题中的水面长x与面积S之间的满足函数关系式。

通过配方，得到S=-（x-10）2+100。

由此可以看出，这个函数的图像是一条开口向下的抛物线，其定点坐标是（10，100）。

所以，当x=10m时，函数取得最大值，为S最大值=100（m²）。

所以，当围成的矩形水面长为10m，宽为10m时，它的面积最大，最大面积是100m²。

总结得出解这类题的一般步骤：（一）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（二）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。

通过图形之间的关系列出函数解析式。

【教学过程】（一）创设情景。

欣赏生活中抛物线的图片，回忆二次函数的有关知识。

（挂图展示） （二）新课教学。

例题讲解：1．例2：如图，悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似的看做抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接。

若两端主塔之间水平距离为900m ，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m ，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m 。

（1）若以桥面所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，如图，求这条抛物线的函数关系式；（2）计算距离桥两端主塔分别为100m 、50m 处垂直钢索的长。

二次函数的应用第1课时二次函数的应用(1)教学目标1．能根据实际问题列出函数关系式，并能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围．2．能利用二次函数关系式求出实际问题中的最大(小)值，发展学生解决问题的能力．教学重难点让学生通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决生活中最大(小)值问题；如何分析现实问题中的数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的．教学过程导入新课【导语一】通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．(1)y＝6x2＋12x；(2)y＝－4x2＋8x－10.解：(1)y＝6(x＋1)2－6，抛物线的开口向上，对称轴为x＝－1，顶点坐标是(－1，－6)；(2)y＝－4(x－1)2－6，抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标是(1，－6)．【导语二】以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？解：函数y＝6x2＋12x有最小值，最小值y＝－6；函数y＝－4x2＋8x－10有最大值，最大值y＝－6.推进新课一、合作探究【问题1】某水产养殖户用长40 m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗，要使围成的水面面积最大，它的长应是多少米？它的最大面积是多少？可设计以下小问题：(1)列出所围成的水面面积与边长的函数关系式；(2)此函数有最大值还是最小值？应如何求？让学生思考、讨论后，写出解答过程，注意规范书写格式．【问题2】要用总长为20 m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围才能使围成的花圃的面积最大？解：设矩形的宽AB为x m，则矩形的长BC为(20－2x)m，由于x＞0，且20－2x＞0，所以0＜x＜10.围成的花圃面积y与x的函数关系式是y＝x(20－2x)，即y＝－2x2＋20x.配方得y＝－2(x－5)2＋50.所以当x＝5时，函数取得最大值，最大值y＝50.因为x＝5时，满足0＜x＜10，这时20－2x＝10.所以应围成宽5 m，长10 m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大．二、巩固提高【例1】 一种商品的售价为每件10元，一周可卖出50件．市场调查表明：这种商品如果每件降价1元，每周要多卖5件．已知该商品进价每件为8元，问每件商品降价多少，才能使利润最多？让学生先列出关系式，再求最值问题．可设降价x 元，则每件的利润为(10－x －8)元，每周卖的件数为(50＋5x )件．所以可列函数关系式为y ＝(10－x －8)(50＋5x )．接下来的计算由学生独立完成，教师巡视、指导．【例2】 见课本例2.三、达标训练1．已知二次函数y ＝ax 2x … －2 －1 0 1 2… y … 4 0 －2 －2 0 …2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．(1)若商场平均每天要盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？3．张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米．(1)求S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)；(2)当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．⎝⎛⎭⎪⎪⎫参考公式：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当x ＝－b 2a 时，y 最大(小)值＝4ac －b 24a 本课小结1．本节课所学的知识是如何利用二次函数最大(小)值来解决实际问题．2．所用的思想方法是建立函数关系，用函数的观点、思想去分析实际问题．。

《二次函数的应用》教案教学目标能够利用二次函数与一元二次方程的关系求解；能够利用二次函数图象解决实际问题，从而熟练运用数形结合的方法解决问题.培养学生根据实际情况把二次函数转化为方程进行而解决问题的能力，引导学生把实际问题数学化，即建立数学模型解决实际问题.感受数学与实际生活的紧密联系，增加学习数学的兴趣.教学重难点把实际问题转化为与二次函数有关的数学问题.教学过程一、引入练习：1、已知一次函数23+=x y ，当x =_________时，1-=y .利用简单的一次函数，学生体验“已知函数值求自变量取值”的方法，为下面的练习做铺垫.2、已知二次函数322--=x x y ，当1=x 时，y =________；当x =＿＿＿＿时，5=y .在上一题基础上解决二次函数中的问题，由此总结二次函数与一元二次方程之间的关系.二、二次函数与一元二次方程：问题情境：甲、乙两车在限速为40km /h 的湿滑弯道上相向而行时相撞.事后勘察测得，甲车刹车距离为12m ，乙车刹车距离超过10m ，但小于12m .根据有关资料，在这样的湿滑路面上，甲车的刹车距离甲S (m )与车速x (m )之间的关系为201.01.0x x S +=甲，乙车的刹车距离乙S (m )与车速x 之间的关系为x S 41=乙； 先由学生独立思考，再分小组与同学交流意见，讨论“用什么来衡量甲、乙谁违章”，打开解决问题的窗口．即求：(1)甲车刹车前的行驶速度？甲车是否超速？(2)乙车刹车前的行驶速度？乙车是否超速？联系实习生活，体现“二次函数与一元二次方程的联系”在实际生活中的应用.利用交通事故案例，贴近生活，充分调动学生的积极性与学习兴趣，展开讨论，做出判断.再独立解题.(学生独立计算结果，与同学交流计算结果，得到正确的结论，选代表回答问题.)解：根据题意可知：当12=甲y 时，1201.01.02=+x x即：0121.001.02=-+x x解得：40,3021-==x x (舍)∴甲车刹车前的行驶速度是30km /h .∵30<40∴甲车并不违章. 又∵124110<<x ∴4840<<x ∴乙车违章.说明：1、考虑到x 的实际意义，应舍去-40.2、对于乙车的刹车距离是个取值范围，可做适当的提示引导.三、商场中的二次函数：1、练习：某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元销售量响应减少10个．(1)假设销售单价提高x 元，那么销售每个篮球所获得的利润是________元；这种篮球每月销售量是＿＿＿＿＿＿＿.(2)8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？体验二次函数在市场中的运用.在学生做过类似练习的基础上，独立完成，并由学生分析，得出解决此类问题的基本模式：销售利润=(单价-进价)×销量(学生独立审题、解答.并板书问题(2)的解题过程.请同学回答问题(1)的解题思路，由其他同学对解题思路与板书过程进行修改.从而实现学生与学生之间的相互交流.最后由教师总结此类题的解题模式与方法．)某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w (千克)与销售单价x (元/千克)之间存在着如图所示的一次函数关系.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y (元)，解答下列问题:(1)求w 与x 之间的函数关系式；0 50 100 40140x （元）w （千克）(2)求y 与x 之间的函数关系式；当x 取何值时，y 的值最大？(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？将此类问题的中考题进行简单变型，将一次函数与二次函数相结合，在相应提示下学生可以独立完成前两个问题.由学生自己分析并讨论，第三问的解题方法，以及对解的取舍问题.(前两问由学生独立解决，第三问带领学生一起分析.)解：(1)根据题意，设b kx w +=，因为图象经过(50，140)，(100，40)，可得： ⎩⎨⎧=+=+4010014050b k b k 解得：⎩⎨⎧=-=2402b k 所以：w 与x 的函数关系式为：2402+-=x y ．(2)由题意可知：()()240250+--=x x y整理可得：1200034022-+-=x x y配方得：()24508522+--=x y 所以：当x =85时，y 有最大值，最大值为2450.(3)当y =2250时，22501200034022=-+-x x即：071251702=--x x解得：95,7521==x x因为公司要求x ≤90，所以x =75即，公司要想获得2250元的销售利润，应该把单价定为75元.四、课堂小结：1、二次函数与一元二次方程的关系.2、利用二次函数解决实际问题.五、课后作业教材习题．。

项目内容课题21.4 二次函数的应用（1）修改与创新教学目标1．知识与技能会将二次函数变形成y=a(x+h)2+k的形式，从而分析问题的极值。

2．过程与方法经历探索分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．3．情感态度与价值观发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。

教学重、难点重点、难点：二次函数的极值问题。

解决方法：将二次函数变形成：y=a(x+h)2+k的形式即可。

教学准备小黑板或PPT教学过程一、创设情境、提出问题（本章引例）问题1：某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗，要使围成的水面面积最大，它的长应是多少？分析：设围成的矩形水面的长为xm，则矩形的宽为(20－x) m，它的面积S为x(20－x) m2，则有: S= x(20－x)S=－x2+20x=－(x－10)2+100.因为a<0，当x=10时，S有最大值100。

（x=10，具体含义是什么？）你能知道问题2的解答吗？二、观察分析，研究问题例1：某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。

将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?(1)学生阅读第2页问题2分析， (2)请同学们完成本题的解答； (3)教师巡视、指导； (4)教师给出解答过程： 解：设每件商品降价x 元(0≤x ≤2)，该商品每天的利润为y 元。

商品每天的利润y 与x 的函数关系式是： y ＝(10－x －8)(100＋1OOx)即y ＝－1OOx 2＋1OOx ＋200 配方得y ＝－100(x －12)2＋225因为x ＝12时，满足0≤x ≤2。

所以当x ＝12时，函数取得最大值，最大值y ＝225。

所以将这种商品的售价降低0.5元时，能使销售利润最大。

21.4 二次函数的应用第1课时 二次函数在面积最值问题中的应用一、教学内容的分析1、地位与作用：二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。

新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。

目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。

此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

2、课时安排：教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。

3.学情及学法分析对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。

二、教学目标、重点、难点的确定结合本节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定本节课的教学目标如下：1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。

2. 过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。