《二次函数的应用》课件(沪科版九年级上)

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沪科版九年级数学上册教学课件21.4二次函数的应用 (共17张PPT)

.
小值为 6 . 1.当x= 5 时, y=3（x-5） +6 有最___
2
大 2.当x= 2时,y=-2x2+8x-7有最_ _值为 1 . 方法一：(配方法)y= -2x +8x-7= -2（x-2）2+1
b 方法二顶点法将x 2代入函数式可得y=1 2a
2
学以致用：（面积问题）
例2：已知某商品的进价为每件45元，现在的售价为每件80元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的利润最大，最大利润是多少?
解：设每件商品降价x元，每天的利润为y元，得 y=(80-x-45)(50+2x) =-2x2+20x+1750 =-2(x-5)2+1800 ∵a=-2＜0 ∴当x=5时，y最大=1800，即当每件商品降价5元时，可使每天的利润最大为1800元。
解：S=-3x2+24x=3(x-4)2+48, 因为 a=-3<0,所以当x=4 时，S最大值=48。答：略.
x
x 24-3x
x
反思感悟：
通过本节课的学习，我的收获是……
课堂寄语：课堂寄语：
二次函数是一类最优化问题的数学模型，能指导我们解决生活中的实际问题，同学们，认真学习数学吧，因为数学来源于生活，更能优化我们的生活。
»作业：
»1. P42页，习题第1②、3题 »2.完成练习册
x
2.如图,有长为24m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度 a为15m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x m,面积为S m2． (1)求S与x的函数关系式；解：S=x(24-3x)=-3x2+24x （3 ≤ x<8） (2)能围成面积比45 m2更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积,并说明围法；如果不能,请说明理由．

度沪科版九年级数学上册课件21.4二次函数的应用(第2课时)

解:设经过t时后，AB两船分别到达A’，B’，两船之间距离为
s A,B, AB,2 AA,2 26 5t2 12t2
169t2 260t 676
169
t
10 13
2
576
t >0
当t
10 13
时,
被开方式169
t
10 13
2
576有最小值576
所以当t
10 13
时,
s最小值
(2)若要使日均毛利润到达最大，销售单价应定为多少元(精确到0.1元)？最大日均毛利润为多少？
例2某饮料经营部每天的固定成本为200元,其销售的饮料每瓶进价为5元.销售单价与日均销售量的关系如下
销售单价(元) 日均销售量(瓶)
6
7
8
9
10 11 12
480 440 400 360 320 280 240
(1)若记销售单价比每瓶进价多x元时，日均毛利润(毛利润=售价-进价-固定成本)为y元，求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围.
解: 由题意,销售单价每增加1元,日均销售量就减少40瓶.当销售单价比进价多x元时,与销售单价6元时相比,日均销售量为
480 40 x 5 6 520 40x 瓶.
3.求二次函数y2x210x1的最大(或最小)值？
二想一想
如何求下列函数的最值：
1 y 2x2 10x 13 x 4
(2) y 2x2 4x 5
(3) y 1 100 5x2
(4)
y
x2
1 x2
三分析问题,探究规律
1.利用函数解决实际问题的基本思想方法?解题步骤?
抽象实际问题
课堂小结
1.运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤

沪科版九年级数学 21.4 二次函数的应用(学习、上课课件)

用配方法把函数表达式化为y＝a(x＋h)2＋k的形式求函
数的最值，或者针对函数表达式用顶点坐标公式求函数
的最值.
感悟新知
知1－练
例1 张大爷用32m 长的篱笆围成一个矩形菜园，菜园一边靠墙( 墙长为 15 m)，平行于墙的一边开一扇宽度为 2 m的门( 如图 21.4-1 ①)．( 注：门都用其他材料)
知1－练
解题秘方：利用二次函数的表达式，求出抛物线上未知点的坐标 .
感悟新知
知1－练
解：当 y=0 时，
的函数表达式为 y=－16 (x－5) 2+6．
感悟新知
知1－练
(1)求雕塑 OA 的高度；
解题秘方：找出实际问题中的量与数学问题中的
量之间的联系；
解：
当
x=0
时，
y=
－
1 6
×(0
－
5)
2+6=
11 6
，
∴点
A
的坐标为(0，
161 m．
感悟新知
(2)求落水点 C， D 之间的距离；
知1－练
感悟新知
1-1. [ 模拟·合肥 ] 春回大地，万物复苏，又是一年花季知1－练到．某花圃基地计划将如图所示的一块长为40 m，宽为20 m 的矩形空地划分成五块小矩形空地．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植 A， B， C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10 m． A， B， C 三种花卉每平方米的产值分别为 2 百元、 3 百元、 4 百元．
感悟新知
知1－练
(2) 设矩形菜园的面积为 S1m2，则 S1 的最大值为多少？解：由题意得 S1= － 2x2+34x= － 2( x － 8.5) 2 ＋ 144.5(9.5 ≤ x<16)， ∴函数图象开口向下，对称轴为直线 x=8.5. ∴当 x=9.5 时， S1 的值最大，最大值为 142.5．

二次函数的的式及应用沪科版九年级上课件

A
O
D
第十三页，共36页。
B
C
最值应用题——面积最大
• 用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做
一个水槽，水槽的横断面为底角120º的等
腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的
侧面AB应该是多长？
D
A
B
第十四页，共36页。
C
最值应用题——路程问题
快艇和轮船分别从A地和C地同时出发，各沿着所指方向航行（如图所示），快艇和轮船的速度分别是每小时40km和每小时16km。已知AC＝145km，经过多少时间，快艇和轮船之间的距离最短？（图中AC⊥CD）
第二十四页，共36页。
某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）
在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物
线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规定动作时，正
常情况下，该运动
员在空中的最高处距
水面32/3米，
入水处距池边的距离
为4米，同
时，运动员在距水面高度为
5米
以前，必须完成规定的翻腾动作，
使用顶点式需要多少个条件？
顶点坐标再加上一个其它点的坐标；对称轴再加上两个其它点的坐标；其实，顶点式同样需要三个条件才能求。
第六页，共36页。
交点式
已知二次函数的图象与x轴交于（－2，0）和（1，0）两点，又通过点（3，－5），求这个二次函数的解析式。
当x为何值时，函数有最值？最值是多少？
已知某二次函数当x＝1时，有最大值－6，且图象经过点（2，－8），求此二次函数的解析式。
第五页，共36页。
思维小憩：
用待定系数法求二次函数的解析式，什么时候使用顶点式y=a(x-m)2+n比较方便？

沪科版九年级上册21.4二次函数的应用课件

情景导入
1．利用配方法求函数y＝－4x2＋80x的最大值．
y＝－4(x2－20x＋102－102) ＝－4(x－10)2＋400 当x＝10时，y最大值＝400
2．实例引入：如图，用长20m的篱笆，一面靠墙 (墙长不限)围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？
解：设与墙垂直的一边为x米，园子面积为S平方米，由题意得 S＝x(20－2x)＝－2x2＋20x＝－2(x－5)2＋50(0＜x＜ 10)．∵－2＜0， ∴当x＝5(在0＜x＜10的范围内)时，园子面积S的最大值为50平方米．
450 x
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.
解：当x=450－100=350（m）时，得
y 1 3502 0.5 49.5(m) 2500
当x=450－50=400（m）时，得
y 1 4002 0.5 64.5(m)
y
2500
-450 O 450 x
仿例
图1
图2
解：设大孔对应的抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2＋6. 依题意，得B(10，0)，代入102a＋6＝0. 解得a＝－0.06，得y＝－0.06x2＋6. 当y＝4.5时，－0.06x2＋6＝4.5，解得x＝±5. ∴DF＝5.EF＝10，即水面宽度为10米．
图1
图2
自学互研
知识模块三二次函数与高度问题
如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥．当水面宽为4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米，水面下降1米时，水面宽度为多少米？
解：设抛物线解析式为y＝ax2(a≠0)，由题意
知D坐标为(2，－2)，代入y＝ax2，得－2＝
坐标为
－3，当y＝－3时，－

21.4 二次函数的应用(课件)沪科版数学九年级上册

知1－练
感悟新知
(1) 求点 P 的坐标和 a 的值；
知1－练
解题秘方：利用待定系数法可求得 a 的值；
解：在一次函数 y=－0.4x+2.8 中，令 x=0，得 y=2.8，∴ P(0， 2.8)．将点 P(0， 2.8)的坐标代入 y=a( x－1) 2+3.2 中，得 a+3.2=2.8，解得 a=－0.4．
感悟新知
如图②，当两辆消防车喷水口 A， B 的水平距离为知1－练 80 m 时，两条水柱在抛物线的顶点 H 处相遇，此时相遇点 H 距地面 20 m，喷水口 A， B 距地面均为4 m. 若两辆消防车同时后退 10 m，两条水柱的形状及喷水口 A′， B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点 H′距地面 ___1_9_____m．
感悟新知
解： ∵ OA=3 m， CA=2 m，∴ OC=5 m．
若选择扣球，则令－ 0.4x+2.8=0，解得 x=7，
知1－练
即落地点到 O 点的距离为 7 m，
∴落地点到 C 点的距离为 7 － 5=2(m)；
若选择吊球，则令－ 0.4(x － 1) 2+3.2=0，
解得 x=±2 2 +1(负值舍去)，
∴落水点 C， D 之间的距离为 22 m.
感悟新知
(3) 若需要在 OD 上的点 E 处竖立雕塑 EF， OE=10 m知，1－练
EF=1.8 m， EF ⊥ OD．问：顶部 F 是否会碰到
水柱？请通过计算说明 .
解：当
x=10
时，
y=
－
1 6
×(10
－
5)
2+6=

沪科版九年级数学上册21.二次函数的应用(第1课时)课件

即x在对称轴的右侧.
函数的值随着x的增大而减小.

∴当x＝－3时，y最大值＝；

当x＝1时，y最小值＝－ .
x＝－5
y
－3
O
1
x
知识归纳
当自变量的范围有限制时，二次函数 y＝ax2＋bx＋c
的最值可以根据以下步骤来确定：
(1) 配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.
(2) 画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明
例题与练习
解：设与墙垂直的一边为x米，园子面积为S平方米，
由题意得
S＝x(20－2x)
＝－2x2＋20x
＝－2(x－5)2＋50 (0＜x＜10)．
∵－2＜0，
∴当x＝5(在0＜x＜10的范围内)时，园子面积S的最大
值为50平方米．
例题与练习
例3 如图，有长为 30 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大
可用长度为 10 m)，围成中间隔有一道篱笆 (平行于AB)
的矩形花圃．设花圃的一边AB为 x m，面积为 y m2.
(1) 求y与x的函数关系式；
(2) y是否有最大值？如果有，
要求出y的最大值．
例题与练习
解：(1)由题意得：y＝x(30－3x)，即y＝－3x2＋30x.

(2)由题意得：0＜30－3x≤10，即
直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；
解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为 (0，0.5)，
对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋0.5.
抛物线经过点 (450，81.5)，代入上式，得
81.5＝a·4502＋0.5.

解得 a＝
＝

沪科版九年级数学上册《二次函数的应用》课件

(1)若以桥面所在直线为x轴，拋物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图，求这条抛物线对知1－练应的函数表达式；
(2)计算距离桥两端主塔分别为100 m， 50 m处垂直钢索的长．
解：(1)根据题意，得拋物线的顶点坐标为(0，0.5)，对称轴为y轴，设抛物线对应的函数表达式为 y＝ax2＋0.5.抛物线经过点(450，81.5)，代入上
第21章二次函数与反比例函数
21.4 二次函数的应用
第3课时求实际中一般最值问题
学习目标
1 课时讲解用二次函数表示实际问题
用二次函数的最值解实际问题
2 课时流程
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
课时导入
复习提问
引出问题
我们去商场买衣服时，售货员一般都鼓励顾客多
买，这样可以给顾客打折或降价，相应的每件的
例2 在第21.1节的问题1中，要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？它的最大面积是多少平方米？
解：在第21.1节中，得S＝x(20－x)．将这个函数的表达式配方，得 S＝－(x－10)2＋100 (0<x<20)．
知2－练
感悟新知
这个函数的图象是一条开口向下抛物线中的一段，知2－练如图，它的顶点坐标是(10，100)．所以，当x＝10时，函数取得最大值，即S最大值＝100(m2)．此时，另一边长＝20－10＝10(m)．答：当围成的矩形水面边长都为10 m时，
第21章二次函数与反比例函数
21.4 二次函数的应用
第1课时求几何面积的最值问题
学习目标
1 课时讲解二次函数的最值
几何面积的最值
2 课时流程
逐点导讲练

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二次函数的应用
专题二次函数的最值应用题
二次函数最值的理论
b 你能说明为什么当 x 时，函数的最值是 2a 2 4ac b y 呢？此时是最大值还是最小值呢？ 4a

求函数y=(m+1)x2-2(m+1)x-m的最值。其中m为常数且m≠－1。
最值应用题——面积最大

某工厂为了存放材料，需要围一个周长 160米的矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大。窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的周长等于6cm，要使窗能透过最多的光线，它的尺寸应该如何设计？
A
O D
B
C
最值应用题——面积最大
• 用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做一个水槽，水槽的横断面为底角120º 的等腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的侧面AB应该是多长？ D A
B
C
最值应用题——路程问题
快艇和轮船分别从A地和C地同时出发，各沿着所指方向航行（如图所示），快艇和轮船的速度分别是每小时40km和每小时16km。已知AC＝145km，经过多少时间，快艇和轮船之间的距离最短？（图中AC⊥CD）
最值应用题——运动观点

在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点 A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题： D C 运动开始后第几秒时， △PBQ的面积等于8cm2 设运动开始后第t秒时， Q 2 五边形APQCD的面积为Scm ，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； B A t为何值时S最小？求出S的最小值。 P
最值应用题——销售问题

某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知这种服装每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系： t＝－3x＋204。写出商场卖这种服装每天销售利润y（元）与每件的销售价x（元）间的函数关系式；通过对所得函数关系式进行配方，指出商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大利润为多少？
C
145km
A
D
最值应用题——销售问题

某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天在△ABC中，BC＝2，BC边上的高AD＝1， P是BC上任一点，PE∥AB交AC于E， PF∥AC交AB于F。设BP＝x，将S△PEF用x表示；当P在BC边上什么位置时，S值最大。
A E
F
B
P
D
C
在取值范围内的函数最值
设0 x 3，讨论函数 y x 4 x 5
2
的最大值和最小值。
1 2 设1 x 3，讨论函数 y x 4 x 4 2 的最大值和最小值。