【人教版】中职数学(拓展模块)：3.1《排列、组合与二项式定理》课件

计数的基本原理
排列
组合
排列数
Pnm公式
组合数
Cnm公式
应用
组合数的 两个性质
本章知识结构
一、两个原理
1.分类加法计数原理 完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同 的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第 n①类m办1+法m中2+m有3m＋n…种+不m同n种的不方同法的方,那法么. 完成这件事共有N= 2.分步乘法计数原理 完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同 的方法,做第2步有m2种不同的方法，……,做第n步有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=② m1·m2·…·mn 种不同的方法.
一、两个原理
(2)三角形的三边长均为整数,且最长的边 长为11,则这样的三角形的个数有( C )
A.25个 B.26个 C.36个 D.37个
(2)设另两边长为x、y,且1≤x≤y≤11 (x 、 y∈Z) ， 构 成 三 角 形 ， 则 x+y≥12 ， 当 y 取 11 时 ， x=1,2,3,…,11,有11个;当y取10时，x=2,3,…,10,有９个;当y取 9时，x=3,4,…,9,共7个;……;当y取6时，x也只能为6，有1 个，故满足题设的三角形共有：11+9+7+5+3+1=36个，故
一、两个原理
3.分类和分步的区别 分类：完成一件事同时存在n类方法，每一类 都能独立完成这件事，各类互不相关.分步：完成一 件事须按先后顺序分n步进行，每一步缺一不可， 只有当所有步骤完成，这件事才完成.
一、两个原理
练习1： 书架上放有3本不同的数学书，5本 不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的
方法提炼
1. 解 决 应 用 题 时 ， 应 分 析 ： ① 要 完 成做一件什么事；②这件事怎样做才可 以做好；③需要分类还是分步.运用分类 计数原理和分步计数原理，关键在于① ②两方面，认真分析题意，设计合理的 求解程序是求解问题的关键.
2.如果任何一类办法中的任何一种方 法都能完成这件事，即类与类之间是相互 独立的，即分类完成，则选用分类计数原 理；如果完成一件事要经历几个步骤（即 几步），且只有当这些步骤都做完，这件 事才能完成，即步与步之间是相互依存、 相互连续的，即分步完成，则选用分步计 数原理.
定击入黄球与红球的个数，有时则需 利用集合的运算等知识，确定相关元 素的个数，再利用排列或组合的知识 解决方法种数问题.
方法提炼
1. 解 决 应 用 题 时 ， 应 分 析 ： ① 要 完 成做一件什么事；②这件事怎样做才可 以做好；③需要分类还是分步.运用分类 计数原理和分步计数原理，关键在于① ②两方面，认真分析题意，设计合理的 求解程序是求解问题的关键.
二、 排列与排列数
(3)排列数计算公式.
Anm
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=⑤
n!
(n m()其! 中m≤n).
(ⅰ)若m=n，排列称为全排列，记
=1·2·3·…·(n-1)·n=n!(称为n的阶乘)；
Ann (ⅱ)规定0!＝1.
组合与组合数
从n个不同元素中，取出m(m≤n)个不同元素组 成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合.
.
排列与组合的区别
排列与组合的共同点是“从n个不同元
素中，任取m个不同元素”；而不同点是
排列要“按照一定的顺序排成一列”，而
组合却是“只需组成一组（与顺序无
关）”.因此，“有序”与“无序”是排列
与组合的重有要序标志.⑨“
”为无排序列问题,
⑩“ ”为组合问题.
题型二 排列、组合数方程问题
例2 解下列方程：
练习题
1.7种不同的花种在排成一列的花盆里,若
两种花不种在中间，也不种在两端的花
盆里，问有多少不同的种法？
解一：分两步完成；
第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置有A53种排法
第二步排其余的位置：有A44种排法共有A53 A44种不同的排法 解二：第一步由葵花去占位：有A42种排法 第二步由其余元素占位：
(方法二)不大于21034的偶数可分为三类： 1为万位数字的偶数，有 A31A33 =18(个); 2为万位数字，而千位数字是0的偶数，有
A21 =2(个); 还有21034本身. 而由0,1,2,3,4组成的五位偶数共有
A44 + A21 A31 A33=60(个). 故满足条件的五位偶数共有
60- A31 A33 - A21 -1=39(个).
分类时要做到不重不漏，也就是各类的并集是 全集，任意两类的交集是空集，在合理正确分 类的前提下，在每一类中，依据题目的要求进 行分步，分步要做到步步连续，各步之间相互 独立.
(２)用间接法.
当正面求解较为困难时，也可采用正难则 反的思想，用“间接法”求解，但要注意找准 对立面.
能力提高
球台上有4个黄球，6个红球，击 黄球入袋记2分，击红球入袋记1分.欲将 此１0个球中的4个球击入袋中，但总分 不低于5分，则击球方法有几种？
,Cnm
= n! 常用于
m!(n m)!
证明恒等式.
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素 占了这两个位置
先排末位共有_C_31_ 然后排首位共有_C_41_
最后排其它位置共有_P4_3_C
种方法；
由分类计数原理，共有不同的选派方法有 40+60+20=120种.
(方法二)在这九名同学中任选四名，有
C94 =126种方法.其中四人都是男同 学的有 C44 =1种方法；四人都是女同 学的有 C54 =5种方法，因此符合要求 的选派方法有126-1-5=120种.
点评 有限制条件的组合应用题的限制条件主
(1)（方法一）可分五类:
当末位数字是0,而首位数字是2, A21 A22+ A22=6(个); 当末位数字是0,而首位数字是3或4,有A21 A33=12(个); 当末位数字是2,而首位数字是3或4,有A21 A33=12(个); 当末位数字是４,而首位数字是2,有 A22 +A11 =3(个); 当末位数字是4,而首位数字是3，有 A33 =6(个). 故有6+12+12+3+6=39(个).
答：可以组成100个三位整数．
一、两个原理
题型一 利用两个计数原理求方法数
例1（1）现要排一份５天的值班表，每天
有一人值班，共有５人，每人可以多天值班 或不值班，但相邻两天不准由同一人值班， 问此值班表共有 1280 种不同排法.
一、两个原理
(1)值班表须依题设一天一天的分步 完成.第一天有5人可选，有5种排法，第二 天不能用第一天的人，有4种排法，同理， 第三天、第四天、第五天也有4种，故由分 步计数原理排值班表共有 5×4×4×4×4=1280种，应填1280.
班决定从爱好唱歌的４名男同学和５名女
同学中选派４名参加小合唱节目，如果要
求男女同学至少各选派１名，那么不同的
选派方法有多少种？
(方法一)按选派的男同学的人数分三类：
①选派一名男同学，三名女同学有
C
1 4
·C53
＝40
种方法； ②选派两名男同学，两名女同学有C42 C·52 ＝60
种方法； ③选派三名男同学，一名女同学有C43 C·51 ＝20
(2)（方法一）可分两类:
0是末位数，有 A22 A22 =4（个）；
２或４是末位数，有 A22 A21 =4(个). 故共有4+4=8(个).
(方法二)第二位、第四位从奇数1，3中取， 有 个A;首22 位从２,４中取，有 个；A21余下 排在剩下的两位，有 个,A故22 共有 A22 A21 A22 =8(个).
选C.点评（1）是分步问题，用分步计数原
理;(2)是分类问题，用分类计数原理.
二、排列与排列数
从n个不同的元素中，任取M个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个
不同的元素中取出M个元素的一个 排 列。
所有排列的个数叫做 排列数 ，用 Pnm
表示。
Pnm n(n 1)(n 2)
(n m 1) n! (n m)!
3.排列与组合的本质区别在于排列不 仅取而且排，即与顺序有关，而组合只取 出一组即可，与顺序无关.
4.注意排列数公式、组合数公式有连 乘形式与阶乘形式两种，
公式 Anm =n(n-1)·…·(n-m+1),
Cnm =
n(n 1)(n 2) (n m 1) 常用于计算,
m!
而公式 Anm
=
(n
n! m)!
取法？
答案：N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．
（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语
书各一本，有多少种不同的取法？
N=m1×m2×m3=90．
（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多
少种不同的取法？
N=3×5＋3×6＋
5×6=63．
一、两个原理
练习2： 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三
(1)
P4 2 x1
=140
Px3;
(2)
C
x 1 x3
=
+ C x1 x 1
+ C C x
x2
x 1
x2
.
(1)根据排列的意义及公式得 4≤2x+1 3≤x (2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2),
x≥３ 则有 (4x-23)(x-3)=0, 解之并检验得x=3.