【人教版】中职数学(拓展模块)：1.3《正弦型函数y=Asin(ωx+φ)》(3)

【课题】 1.3正弦定理与余弦定理（二）
【教学目标】
知识目标：
会利用三角计算，解决一些生活与生产中的实际应用问题．
能力目标：
通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．
【教学重点】
正弦定理与余弦定理的应用．
【教学难点】
正弦定理与余弦定理的应用．
【教学设计】
教材设计了航海、测量、力学、机械加工等专业方面的4道实际问题，利用正弦定理与余弦定理来求解，这些问题都是常识性的应用问题．实际教学中可以根据学生所学习的专业，进行取舍，也可以增加与学生的专业联系紧密的例题．从实际问题中抽象出解三角形的问题，并归纳为某个类型进行求解是教学的重点．指导学生会看、会画示意图，提高数形结合的研究问题的能力．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
图1－10中，由余弦定理知
∙∙
AC BC C
cos
=120°，OA
cos120≈0.5441
【教师教学后记】。

一、选择题1．已知简谐运动f(x)＝2sin(π3x＋φ)(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π3【解析】T＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6.【答案】 A2．函数y＝8sin(6x＋π3)取最大值时，自变量x的取值集合是()A．{x|x＝－5π6＋kπ3，k∈Z}B．{x|x＝π36＋kπ3，k∈Z}C．{x|x＝kπ3，k∈Z}D．{x|x＝π9＋kπ3，k∈Z}【解析】由题意知sin(6x＋π3)＝1，此时6x＋π3＝2kπ＋π2(k∈Z)，∴x＝kπ3＋π36(k∈Z)．【答案】 B3．把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标不变，再把图象向左平移π4个单位，这时对应于这个图象的解析式为()A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin(2x －π4)D ．y ＝sin(2x ＋π4)【答案】 A4．(2013·绍兴高一检测)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图象如图1－3－4所示，如果A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，则( )图1－3－4A ．A ＝4B ．ω＝1C ．φ＝π6D ．B ＝4【解析】 由题图可知A ＝42＝2，B ＝2，T ＝4(512π－π6)＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.∴y ＝2sin(2x ＋φ)＋2，代入点(π6，4)得φ＝π6. 【答案】 C5．为了得到函数y ＝sin(2x －π6)的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π3个单位长度【解析】 y ＝sin(2x －π6) ＝cos[π2－(2x －π6)]＝cos(2π3－2x ) ＝cos(2x －2π3)＝cos 2(x －π3)． 故选B. 【答案】 B 二、填空题6．已知f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f (π3＋x )＝f (π3－x )，则f (π3)等于__________．【解析】 由f (π3＋x )＝f (π3－x )知x ＝π3是f (x )的一条对称轴，故f (π3)＝±3. 【答案】 ±37．把函数y ＝2sin(x ＋2π3)的图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小正值是________．【解析】 把y ＝2sin(x ＋2π3)的图象向左平移m 个单位，则y ＝2sin(x ＋m ＋2π3)，其图象关于y 轴对称，∴m ＋2π3＝k π＋π2，即m ＝k π－π6，k ∈Z . ∴取k ＝1，m 的最小正值为5π6. 【答案】 56π8．关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π3)(x ∈R )，有下列命题： ①y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos(2x －π6)； ②y ＝f (x )是奇函数；③y ＝f (x )的图象关于点(－π6，0)对称；④y＝f(x)的图象关于直线x＝－π6对称．其中正确命题的序号为________．【解析】4sin(2x＋π3)＝4cos(π6－2x)＝4cos(2x－π6)，所以①正确，②④不正确，而③中f(－π6)＝0，故(－π6，0)是对称中心，所以③正确．【答案】①③三、解答题9．(1)利用“五点法”画出函数y＝sin(12x＋π6)在长度为一个周期的闭区间的简图列表：12x＋π6xy作图：图1－3－5(2)并说明该函数图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样变换得到的．【解】先列表，后描点并画图.12x＋π60π2π3π22πx －π32π35π38π311π3y 010－10(2)把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin(x ＋π6)的图象，再把所得图象的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(12x ＋π6)的图象．或把y ＝sin x 的图象横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 12x 的图象．再把所得图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin 12(x ＋π3)，即y ＝sin (12x ＋π6)的图象．10．已知函数f (x )＝2sin(2x －π6)，x ∈R .(1)写出函数f (x )的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间； (2)求函数f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．【解】 (1)由2x －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得f (x )的对称轴方程是x ＝π3＋k2π，k ∈Z ；由2x －π6＝k π，k ∈Z 解得对称中心是(π12＋k 2π，0)，k ∈Z ；由2k π－π2≤2x－π6≤2k π＋π2，k ∈Z 解得单调递增区间是[－π6＋k π，π3＋k π]，k ∈Z ；由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，解得单调递减区间是[π3＋k π，5π6＋k π]，k ∈Z .(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤56π.∴当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取最小值为－1； 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取最大值为2.11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[0，π12]时，求f (x )的值域．【解】(1)由最低点为M(2π3，－2)，得A＝2.由T＝π，得ω＝2πT＝2ππ＝2.由点M(2π3，－2)在图象上，得2sin(4π3＋φ)＝－2，k∈Z.即sin(4π3＋φ)＝－1，∴4π3＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，即φ＝2kπ－11π6，k∈Z.又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6.∴f(x)＝2sin(2x＋π6)．(2)∵x∈[0，π12]，∴2x＋π6∈[π6，π3]．∴当2x＋π6＝π6，即x＝0时，f(x)取得最小值1；当2x＋π6＝π3，即x＝π12时，f(x)取得最大值 3.∴f(x)的值域为[1，3].。

人教版中职数学拓展模块《正弦型函数y=Asinωx+φ》教案 (一)人教版中职数学拓展模块《正弦型函数y=Asinωx+φ》教案，是数学学习教材中的一部分，本文将围绕此教案进行探讨。

一、教学目标1. 理解sin函数及其图像，能够正确描绘其图形；2. 能够掌握正弦型函数y=Asinωx+φ的相关概念和性质；3. 能够识别正弦型函数在实际问题中的应用；4. 能够解决有关正弦型函数的实际问题。

二、教学重点1. 正弦型函数的概念和性质；2. 正弦型函数的图像；3. 正弦型函数在实际问题中的应用。

三、教学内容1. 什么是正弦型函数正弦型函数是指y=Asinωx+φ这样的函数形式。

其中，A、ω、φ均为常数，A表示函数图像的振幅，ω表示函数图像的周期，φ表示函数的初相位。

2. 正弦型函数的性质正弦型函数的周期是T=2π/ω，其图像关于x轴对称，峰值在x=φ/ω处出现。

同时，其图像的最高点和最低点分别为A和-A，对应于x=(2k+1)π/2ω和x=kπ/ω。

3. 正弦型函数的图像按照给定的A、ω、φ值，可以绘制出正弦型函数的图像。

在图像中，可以观察到函数的振幅和周期，并根据初相位的值来确定图像的位置。

4. 正弦型函数在实际问题中的应用正弦型函数在物理学、工程学、天文学等领域中有着广泛的应用。

比如，机械振动问题、交流电中的电压和电流、声波的传播等问题都可以用正弦型函数进行描述。

5. 解决有关正弦型函数的实际问题通过对正弦型函数的掌握和了解，能够解决很多有关其应用的实际问题。

比如，求函数图像的峰值和最低点、求函数图像的相位差等等。

四、教学方法本教材采用课堂讲授的方式进行教学。

采用黑板、PPT等多种教学方法展示解题过程和图形，并引导学生积极参与课堂问题解答。

五、教学评价通过此教材的学习，学生能够深入了解正弦型函数的概念和性质，掌握其图像和应用，在实际问题中解决与该函数相关的问题。

同时，也提高了学生数学应用能力，并为以后的学习打下了坚实的数学基础。

中职数学拓展模块全册教案目录1.1.1.1两角和与差的余弦公式 (1)1.1.1.2两角和与差的正弦公式 (6)1.1.2 二倍角公式 (10)1.2 正弦型函数 (16)1.3 .1余弦定理 (22)1.3 .2正弦定理 (27)2.1.1椭圆的标准方程 (32)2.1.2椭圆的几何性质 (40)2.2.1双曲线的标准方程 (45)2.2.2双曲线的几何性质 (52)2.3.1抛物线的标准方程 (61)2.3.2抛物线的性质 (69)3.1.1排列 (75)3.1.2 组合 (82)3.1.3二项式定理 (88)3.2.1离散型随机变量及其分布 (95)3.2.2二项分布 (102)课时教学设计首页（试用）授课时间：年月太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制☆补充设计☆教师行为学生行为设计意图 导入：创设情境 兴趣导入问题： 我们知道，13cos60cos3022︒=︒=，，显然()cos 6030cos60cos30︒-︒≠︒︒-．由此可知 ()cos cos cos αβαβ-≠-． 新课：动脑思考 探索新知在单位圆（如上图）中，设向量OA 、OB 与x 轴正半轴的夹角分别为α和β，则点A 的坐标为（cos ,sin αα），点B 的坐标为（cos ,sin ββ）．因此向量(cos ,sin )OA αα=，向量(cos ,sin )OB ββ=，且1OA =,1OB =．于是cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=⋅⋅-=-，又cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=⋅+⋅，1、回顾三角函数相关知识2、复习向量的有关知识3、学生计算三角函数值并验证猜想思考：如何计算出)cos(βα-)的值？回顾向量的坐标运算、数量积运算太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制课时教学设计首页（试用）太原市教研科研中心研制课时教学设计首页（试用）太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制BC AC AB=-，所以)•=-•-（）（BC BC AC AB AC AB22=+-•2AC AB AC AB22+-AC AB AC AB A2cos222cos=+-．b c bc A2222=+-a b c同理可得2222=+-b ac acBC BA AC =+， 两边取与单的数量积，得BC BA BC BA BC •••=+（）=+．j j j90BC B BA AC A >=︒-⊥>=-，，，，j <j 设与角A ，B ，C 相对应的边长分别为a c ，故 cos(90)0cos(90)a B b A ︒-=+-︒， sin sin a B b A =，中职中专数学教学设计教案☆补充设计☆教 师行为学生行为 设计意图*揭示课题2．1 椭圆． *创设情境 兴趣导入我们已经学习过直线与圆的方程．知道二元一次方程0Ax By C ++=为直线的方程，二元二次方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->为圆的方程．下面将陆续研究一些新的二元二次方程及其对应的曲线．了解观看 课件 思考引导启发学生得出结果*动脑思考 探索新知先来做一个实验：准备一条一定线绳、两枚钉子和一支铅笔按照下面的步骤画一个椭圆：（1）如图2－1所示，将绳子的两端固定在画板上的1F 和2F 两点，并使绳长大于1F 和2F 的距离．（2）用铅笔尖将线绳拉紧，并保持线绳的拉紧状态，笔尖在画板上慢慢移动一周，观察所画出的图形．从实验中可以看到，笔尖（即点M ）在移动过程中，与两个定点1F 和2F 的距离之和始终保持不变（等于这条绳子的长度）． 我们将平面内与两个定点12F F 、的距离之和为常数（大于12F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做焦距．思考引导学生发现解决问题方法实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来研究椭圆的方程．取过焦点12F F 、的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2－2所示．设M (x ，y )是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距为2c （c ＞0），椭圆上的点与两个定点12F F 、的距离之和为2a （a ＞0），则12F F ，的坐标分别为（－c ，0），（c ，0），由条件122MF MF a +=，得2222()()2x c y x c y a +++-+=，移项得2222()2()x c y a x c y ++=--+，两边平方得2222222()44()()x c y a a x c y x c y ++=--++-+， 整理得 222()a cx a x c y -=-+， 两边平方后，整理得 22222222()()a c x a y a a c -+=-， 由椭圆的定义得2a ＞2c ＞0，即a ＞c ＞0，所以220a c ->，设222(0)a c b b -=>，则222222b x a y a b +=，【小提示】设222a c b -=，不仅使得方程变得简单规整，同时在后面讨论椭圆的集合性质时，还会看到它有明确的几何意义．22理解 记忆图2－2222210x y a b a b += (＞＞) （2.1） 方程（2.1）叫做焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．它所表示的椭圆的焦点是12(0)(0)F c F c -，，，，并且222a c b -=．如图2－3所示，如果取过焦点12F F 、的直线为y 轴，线段12F F 的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，用类似的方法可以得到椭圆的标准方程为222210y x a b a b+= (＞＞) （2.2）图2－3方程（2.2）叫做焦点在y 轴上的椭圆的标准方程．字母a 、b 的意义同上，并且222a c b -=． 【想一想】已知一个椭圆的标准方程，如何判定焦点在x 轴还是在y 轴？*巩固知识 典型例题例1 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为8，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10．求椭圆的标准方程．解 由于2c =8，2a =10，即c =4，a =5，所以 2229b a c =-=，由于椭圆的焦点在x 轴上，因此椭圆的标准方程为2222153x y+=，观察思考主动 求解注意观察学生是否理解知识点太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制2.了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制课 时 教 学 流 程太原市教研科研中心研制☆补充设计☆教 学 过 程学生行为 设计意图 *揭示课题2．2 双曲线．*创设情境 兴趣导入我们先来做一个实验．取一条两边长度不等的拉链（如图2－8），将拉链的两边分别固定在两个定点12F F 、（拉链两边的长度之差小于12F F 、的距离）上，把铅笔尖固定在拉链锁口处，慢慢拉开拉链，使铅笔尖慢慢移动，画出图形的一部分；再将拉链的两边交换位置分别固定在21F F 、处，用同样的方法可以画出图形的另一部分．图2－8从实验中发现：笔尖（即点M ）在移动过程中，与两个定点12F F 、的距离之差的绝对值始终保持不变（等于拉链两边的长度之差）． 了解观看 课件思考引导 启发学生得出结果*动脑思考 探索新知我们将平面内到两个定点12F F 、的距离之差的绝对值为常数（小于12F F ）的点的轨迹（或集合）叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距．实验画出的图形就是双曲线．下面我们根据实验的步骤来研究双曲线的方程．M太原市教研科研中心研制意图图2－9取过焦点12F F 、的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2－9，设双曲线的焦距为2c ，则两个焦点12F F 、的坐标分别为（－c ，0），（c ，0）．设M (x ，y )为双曲线上的任意一点，M 与两个焦点12F F 、的距离之差的绝对值为2a ，则122MF MF a -=，即 122MF MF a -=±． 于是有2222()()2x c y x c y a +++-+=±． 将上式化简（类似于求椭圆的方程），得22222222()()c a x a y a c a --=-．由双曲线的定义知，2c ＞2a ，即c ＞a ，因此220c a ->．令222(0)c a b b -=>，则上式变为222222b x a y a b -=两边同时除以22a b ，得22221(00)x y a b a b -= ＞，＞ （2.3） 方程（2.3）叫做焦点在x 轴上的双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点是12(0)(0)F c F c -，，，，并且思考理解引导学生发现解决问题方法太原市教研科研中心研制意图222b c a =-．图2－10如图2－10所示，如果取过焦点12F F 、的直线为y 轴，线段12F F 的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，那么用类似的方法可以得到双曲线的方程22221(00)y x a b a b -= ＞，＞ （2.4） 方程（2.4）叫做焦点在y 轴上的双曲线的标准方程．焦点为12(0)(0)F c F c -，，，．字母a ，b 意义同上，并且222b c a =-．【想一想】已知一个双曲线的标准方程，如何判定焦点在x 轴还是在y 轴？ 记忆*巩固知识 典型例题例1 已知双曲线的焦点在x 轴上，且焦距为14，双曲线上一点到两个焦点距离之差的绝对值等于8，请写出双曲线的标准方程． 解 由已知得 2c = 14，2a = 8，即c = 7，a = 4，所以22233b c a =-=．观察思考主动 求解注意 观察 学生 是否 理解 知识 点太原市教研科研中心研制。