中职数学拓展模块余弦定理(公开课)PPT

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人教版中职数学(拓展模块)1.2《余弦定理、正弦定理》ppt课件1

2.实际问题中的常用角（1）仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角, 目标视线在水平视线下方叫俯角（如图①）.
(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）.
B
75o C 51o 55m A
3 2 3 3 5,
AB 5(km).
A、B之间的距离为 5 km .
题型与角度有关的问题 [例3].在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A 3 1 n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以 10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜, 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？分析如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D
二. 判断三角形形状
(1)a cos A b cos B; 等腰三角形或直角三角形
(2) a b c ; 等边三角形 cos A cos B cos C
(3)b a cos C
直角三角形
(4) sin A 2 sin B cos C 等腰三角形
1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量: ①距离问题、②高度问题、③角度问题、 ④计算面积问题、⑤航海问题、⑥物理问题等.
2R
2R
2R
（3）a : b : c sin A : sin B : sin C
(角化边公式）
（4）a sin B b sin A, a sin C c sin A,b sin C c sin B
余弦定理：

《余弦定理》课件

2 计算三角形内角
如果知道一个三角形的三条边长，我们可以通过余弦定理计算出三个内角中的任意一个角度。
3 多边形的面积
在许多多边形的计算中，还需要用到余弦定理计算角度或边长。
注意事项
1
适用条件
在使用余弦定理前，我们需要先检查三个已知量是否足够独立，以确定是否能够应用余弦定理解决特定问题。
2
计算误差的影响
《余弦定理》PPT课件
欢迎来到本次关于余弦定理的PPT课件。余弦定理是一个重要的三角函数定理，我们会讨论它的定义以及如何应用于三角形的边长和内角的计算。
什么是余弦定理
定义
余弦定理是一个用于计算三角形边长或内角的三角函数定理，它可以用于解决各种类型的三角形问题。
应用领域Байду номын сангаас
余弦定理不仅可以应用于三角形，还可以用于光学、机械、地理等领域的计算。
三角形内角的关系
通过余弦定理，我们可以计算三角形任意一个内角的大小，只需要知道另外两条边的长度。
图形的应用
在现实生活中，许多图形的计算都可以用余弦定理来求解，例如桥梁、电线杆等。
例子
1 计算三角形边长
如果知道一个三角形的两条边长，以及它们对应的夹角，我们可以通过余弦定理计算出第三条边长。
由于计算误差的存在，使用余弦定理可能会导致计算结果出现误差，在实际问题中需要格外注意。
3
实际应用
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的计算方法，不能将余弦定理作为万能的三角形问题解决方法。
总结
余弦定理的应用
余弦定理作为三角形问题的一种解决方法，可以应用于多个领域的计算，具有广泛的实用价值。
余弦定理的不足
虽然余弦定理具有广泛的适用范围，但是在某些特定情况下，可能存在不足或者无法解决的问题。

余弦定理(55张PPT)

2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角的范围讨论解的情况．
新知初探
1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
2．余弦定理的推论余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2 cosA＝_____________ ， 2bc
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
类型二 [例2]
判断三角形的形状在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两个角的关系，即可判断．
[解]
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
3．利用余弦定理可解决的两类问题余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，便可求出第四个量来．利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：

高教版中职数学(拓展模块)1.3《正弦定理与余弦定理》ppt课件1

整体建
余弦定理： a2 b2 c2 2bc cos A；
构
b2 a2 c2 2ac cos B；
c2 a2 b2 2ab cosC．
自我反思
学习方法
目标检测
学习行为
学习效果
自
在△ABC中，a=20，b=29，c=21，求角B．
我
反
思
B 90.
A

b sin
B

c sin C
．
动脑
当三角形为钝角三角形时，不妨设角A为钝角，如图所示，以A为原
点，以射线AB的方向为x轴正方向，建立直角坐标系，则BC BA AC，
思两边取与单位向量j的数量积，得 j BC j （BA+BC）=j BA j BC．
考
由于< j，BC 90 B，j BA，< j，AC A 90，
目标检测
继
读书部分：阅读教材相关章节
续
探
书面作业：教材习题1.3（必做）
索
活
学习与训练1.3（选做）
动
实践调查：编写一道有关余弦定
探
究
理或正弦定理的习题
识
对角，利用正弦定
解 sin B bsin A 15 2 sin 45 1．理求另一边的对角
典
a
30
2 时，要讨论这个角
型例
由 b a ，知B A，故 30 B 180，的发所取生以值错B 范误45.围或，B 避13免5．
题
运
1．已知ABC 中，A 45，B 30，b= 3 ，求C和a.
探

《余弦定理》拓展PPT课件

【变式1】在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a、
b、c，且cos A＝14.若a＝4，b＋c＝6，且b<c，求b、c的值．
解由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，即a2＝(b＋c)2－2bc－2bccos A，
∴16＝36－52bc，∴bc＝8.
由 bbc＋＝c＝ 8，6， b<c，
• 2．余弦定理变形及应用
• (1)已知三角形的三边求角时，常用余弦定理的变形式．
• (2)若A为锐角，则cos A>0，即b2＋c2－a2>0，即b2 ＋c2>a2；若A为直角，则cos A＝0，即b2＋c2－a2＝ 0，即b2＋c2＝a2；若A为钝角，则cos A<0，即b2＋ c2－a2<0，即b2＋c2<a2.反之，也成立．
2 ＝12，
∵b>a，sin A＝12，∴∠A＝30°.
∴∠B＝180°－∠A－∠C＝135°.
• 规律方法对于“已知三边，求三个角”类型问题，先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理求出另一个角，用三角形内角和求第三个角．对于“已知两边和它们的夹角，求第三边及其他两个角”的题型，先利用余弦定理求第三边，再利用余弦定理或正弦定理求其他两个角．
• [思路探索] (1)可转化为已知三边，求角．(2) 属于已知两边一夹角，解三角形．
解 (1)在三角形中，大边对大角，小边对小角，根据已知条件判断最小边应为a.
∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，可设a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)，最小角为角A，由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝6k22＋ 3＋3＋11×2k26－k24k2＝ 22，故∠A＝45°.

高二上学期中职数学人教版拓展模块《余弦定理》课件

1.2.1余弦定理
1．余弦定理
A
三角形中任何一边的__平__方__，等于其他两边
文字语言 _____平__方__的_和__减去这两边与它们夹角的
____余_弦__的__积_的__两_倍___________
C
B
a2＝__b_2_＋__c_2－__2_b_c_c_o_s_A___
符号语言
b2＝a_2_＋__c_2－__2_a_c_c_o_s_B_____
所以 b＝c，结合 A＝60°可得△ABC 一定是等边三角形．故选
D.
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定解析：选 B.因为 bcos C＋ccos B＝asin A，所以由余弦定理得 b·a2＋2ba2b－c2＋c·a2＋2ca2c－b2＝asin A，整理，得 a＝asin A，所以 sin A＝1.
例1 在△ABC中，已知b=4cm，c=3cm，A=60° ，解三角形.
例2 在△ABC中，已知a=2cm，b=2cm，c=2 3cm，解三角形.
3.在△ABC中，若(a+c)(a-c)=b(b+c)，则∠A？
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．(√ ) (2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．( × ) (3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(√ ) (4)在△ABC 中，若 b2＋c2＞a2，则∠A 为锐角．(√ ) (5)在△ABC 中，若 b2＋c2＜a2，则△ABC 为钝角三角形．(√ )

人教版中职数学(拓展模块)1.2《余弦定理、正弦定理》ppt课件(2)

1 bc sin 2
A

1 2
ac sin
B
正弦定理： a b c ＝ 2R sin A sin B sin C
（2）正弦定理应用范围：
① 已知两角和任意边，求其他两边和一角
② 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)
课后思考
已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?
abc sin A sin B sin C
① 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.
② 已知两角和一边，求其他角和边.
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角
的正弦的比相等，即
A
abc sin A sin B sin C
注意：
B
C
（1）正弦定理适合于任何三角形.
sinC sin 30
∵b c
sin B sin C
且 B 180 (A C) 105
∴
b=
c sin B
sin C =
10 sin 105 5( sin 30
6
2)
19.32
课堂小结
（1）三角形常用公式：A B C
SABC

1 2
absin C
B
A
c
b
证明：∵
S ABC

1 2
aha
B
ha
Da
同理
∴ SABC
S1CA∴a而BbC sSihna12ACBbCcAs1Di12nbcaAscicnsinAsiBn
2
2
B

1 2

语文版(2021)中职数学拓展模块一《正弦定理、余弦定理的应用》课件

由正弦定理和余弦定理，得
a a2 c2 b2
2
c
2ac
整理，得 b2 c2 ,即b c.
ABC是等腰三角形 .
典型例题
例7
如图所示，A, B两点间有小山和小河，为求AB的长度，需选择一点C，使AC可直接丈量，且点B和点C之间可通视，再在AC上取一点D，使点B和点D之间可通视.现测得AC=180 m, CD=60 m, C=45°， ∠ADB= 60°，求AB的长.
sin B cosC cosBsin C 2cosBsin C 整理，得 sin B cosC cos B sin C 0
即 sin(B C) 0 B、C是ABC的内角， B C 0，即B C. ABC是等腰三角形 .
典型例题
解法2: sin A 2cosBsin C
sin A 2 cosB sin C
思考正弦函数的特征
新知探究
问题2： △ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？
∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B或2A＝π－2B，即 A＝B 或 Aຫໍສະໝຸດ B＝2π.典型例题例5
判断下列三角形的类型.
（1）a 4，b 5，c 6；（2）a 3 1，b 2，c 2.
知识回顾
定理变形
（1）a 2R sin A,b 2R sin B, c 2R sin C (边化角公式）
（2）sin A a ,sin B b ,sin C c (角化边公式）
2R
2R
2R
（3）a : b : c sin A : sin B : sin C
（4）a sin B b sin A, a sin C c sin A,b sin C c sin B

【高教版】中职数学拓展模块：1.3《正弦定理与余弦定理》ppt课件(2)

解由于
b c ， sin B sin C
所以
b
c sin B 6 sin 30 sin C sin135
6
1 2 3 2． 2 2
分析这是已知三角形的两个角和一边，求其它边的问题，可以直接应用正弦定理．
巩固知识典型例题
A 30，a 15 2，b 30，求B．例2 已知在△ABC中，
第一章
三角公式及应用
1.3 正弦定理与余弦定理
创设情境兴趣导入
我们知道，在直角三角形ABC（如图）, sin A， sin B，
a c
b c
a b c， c．即 sin A sin B
由于C = 90°,所以sinC = 1，于是 c
B
c c． sin C a b c ．所以 sin A sin B sin C
由b＞a，知B＞A，故30°＜B＜180°，所以B = 45°或B = 135°．
巩固知识典型例题
A 45，a 30，b 15 2，求Байду номын сангаас．例3 已知在△ABC中，
解
b sin A 15 2 sin 45 1 sin B ， a 30 注意 2
已知三角形的两边和其中一边的对角，由b＜a，知B ＜ A，故0°＜B＜ 45°，利用正弦定理求另一边的对角时，要讨论所以 B = 30°．这个角的取值范围，避免发生错误．
分析这是已知三角形的两边和一边的对角，求其它角边的问题，可以首先直接应用正弦定理求出角的正弦值，然后再求出角．
巩固知识典型例题
A 30，a 15 2，b 30，求B．例2 已知在△ABC中，

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余弦定理
赤峰建筑工程学校
学习目标：
1.了解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理及其推论。
2.能够利用余弦定理解三角形并判断三角形的形状。
三、证明问题
探究：在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA
设
的夹角为∠C，
求边c.
CB a,CA b, AB c
由向量减法的三角形法则得
c ab
B arc cos 15 63 126
ABC中B arc cos 15 63 126
A arc cos 6 63 63
C 63
C
a
b
Bc
A
题型二、已知三角函数的三边解三角形
例2.在△ABC中，已知a= 5 ,b=7,c=4 解三角形的三个内角解：由余弦定理得
cosA b2 c2 a2 49 16 25 5
1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。
2、已知三边求三个角；
3、判断三角形的形状
数学思想：化归思想、数形结合的思想、
分类讨论的思想、不变量的思想
课外作业： P14 A组 B组
思考
在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？
余弦定理在已知三边和一个角的情况下：求另一个角正弦定理
变式训练：
在△ABC中，若a 2 b2 c 2，则△ABC的形状
为（ A）
Ａ、钝角三角形Ｃ、锐角三角形
Ｂ、直角三角形Ｄb2 c2 a2 cos A
2bc
提炼：设a是最长的边，则
C
b
a
Ac
B
△ABC是钝角三角形 b2 c2 a2 0
△ABC是锐角三角形 b2 c2 a2 0 △ABC是直角三角形 b2 c2 a2 0
（3）主要解决两类三角形问题：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边；
（4）余弦定理的优美形式和简洁特征：给定一个三角形任意一个角都可以通过已知三边求出；三个式子的结构式完全一致的。
题型一、已知三角形的两边及夹角求解三角形
例1.在ABC 中，已知a 6, b 3, C 120 ,
与它们夹角的余弦的积的两倍。
C
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
推论：cos
A
b
2
c2 2bc
a
2
b
a
Ac
B
cos B a2 c2 b2 2ac
a2 b2 c2 cosC
2ab
余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的
c
2
c
c
(a
b)
(a
b)
﹚
aa2abb
b
2
2a
b
2 a b cos
C
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cos C
探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，
设BCCB=a,aC,AC=A b,b求, AABB边c c.
由向量减法的三角形法则得
c
c
2
a cc
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
C
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
b
a
c2 a2 b2 2ab cos C
剖析余弦定理：
Ac
B
（1）本质：揭示的是三角形三条边与某一角的关系，从方程的角度看，已知三个量，可以求出第四个量；
（2）余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例；
c
2
c
a cc
b (a
b)
(a
b)
﹚
aa2abb
2
b 2ab 2 a b cos
C
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cos C
a 同理： 2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
余弦定理
角对边的平方等于两边平方的和减去这两边
㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行判断舍取
b
(a
b)
(a
b)
﹚
aa2abb
b
2
2a
b
2 a b cos
C
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cos C a2 b2 c2 2bc cos A
探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，
设BCCB=a,aC,AC=A b,b求, AABB边c c.
由向量减法的三角形法则得
求ABC 其他元素的值
C
解：由余弦定理知， c2 a 2 b2 2ab cos C
62 32 2 3 6 1 2
63
a
b
Bc
A
C 63
b2 c2 a2 9 63 36 6 6 63
cosA
2bc 23 63 63 63
A arc cos 6 63 63
cosB a2 c2 b2 36 63 9 15 15 63 2ac 26 63 2 63 126
2bc
247 7
,C ab
Bc A
A arc cos 5 7
cosB a2 c2 b2 25 16 49 1
2ac
254 5
B arc cos 1 5
C 180 A B 180 arc cos 5 arc cos 1
7
5
变式训练：
在三角形ABC中，若a 3,b 1, c 2,则A ___6_0_ _____
题型三、判断三角形的形状
例3、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6 （1)试判断角C是什么角？（2）判断△ABC的形状
解：由余弦定理得：
（1）cosC a2 b2 c2 42 52 62 1 0
2ab
245 8
C是锐角
（2）由（1）知：C是锐角，根据大边对大角，C是ABC中的最大角 A B C是锐角三角形
小结:
余弦定理：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cosC
推论:
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B c2 a2 b2 2ca
a2 b2 c2 cos C
余弦定理可以解决的有关三角形的问题： 2ab