中职数学拓展模块1.3.1余弦定理教案教学设计人教版

余弦定理教案设计教学内容：余弦定理一、教学目标1.了解余弦定理的概念和公式。

2.能够应用余弦定理解决三角形的边与角之间的关系问题。

3.提高学生的数学推理和解决问题的能力。

二、教学重点与难点：1.重点：理解余弦定理的概念和公式，应用余弦定理解决问题。

2.难点：灵活运用余弦定理解决各种实际问题。

三、教学准备：1.教材《数学》课本、教具：黑板、彩色粉笔、三角尺、直尺和练习题。

2.多媒体设备。

四、教学过程：1.导入引入：教师引导学生回顾正弦定理的概念和公式，并举例说明其应用。

然后介绍余弦定理的概念，并与正弦定理进行对比，引出余弦定理的公式。

2.理论讲解：教师通过多媒体展示余弦定理的公式：a² = b² + c² - 2bc cosA，其中a为三角形的一边，b、c为另外两边，A为夹角。

讲解余弦定理的推导过程，并注意解释其中的符号含义。

3.实例演示：教师通过具体的实例演示如何应用余弦定理解决问题，包括计算未知边长、未知角度等。

并让学生在黑板上模仿演示。

4.小组讨论：教师组织学生分成小组，每组完成几道余弦定理的练习题，要求学生相互讨论并解答问题。

教师巡视指导，及时纠正错误。

5.教师指导：教师在小组讨论的过程中，根据学生的理解情况和解答过程，及时给予指导和解释。

鼓励学生思考、提问和探讨。

6.全课总结：教师对余弦定理的应用进行总结，并强调余弦定理在解决实际问题中的重要性。

鼓励学生在学习中多加思考，灵活运用所学知识。

7.作业布置：布置相关的习题作业，并要求学生认真完成，巩固所学内容。

要求学生在实际生活中多加观察，发现并解决问题。

五、教学反思：本次教学中，我注意引导学生主动参与学习，提高他们的解决问题和表达能力。

在教学中，要注意理论与实践相结合，引导学生将所学知识应用到实际问题中去解决。

同时，要及时纠正错误，鼓励学生勇于提问和探索。

通过这样的教学方式，可以更好地帮助学生理解和掌握余弦定理的概念和运用。

中职余弦定理教案介绍中职数学中，常常会学习到三角函数和三角关系，其中骨干知识之一就是余弦定理。

余弦定理是解决非直角三角形的重要工具，可以用来计算边长和角度。

本教案将详细介绍余弦定理的概念、原理、公式和使用方法，以帮助学生深入理解和灵活运用余弦定理。

一、概念余弦定理是解决三角形中边长和角度的关系的定理。

简单来说，余弦定理表明：在任意三角形中，一个边的平方等于其余两边平方的和减去这两边的乘积与这两边所对的角的余弦的乘积。

即c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，c代表第三边的长度，a和b代表其他两边的长度，C代表这两边所对的角。

二、原理余弦定理的原理基于向量的内积和三角函数的关系。

在三角形中，任意两个边可以看作是向量，其内积可以用来表示这两边的相关性。

余弦定理中的ab * cos(C)可以看作是向量a与向量b的内积的一种推广。

通过引入余弦函数，将内积问题转化为角度问题，从而得到了余弦定理的形式。

三、公式余弦定理的公式为c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，c代表第三边的长度，a和b代表其他两边的长度，C代表这两边所对的角。

四、使用方法余弦定理可以用来解决以下几类问题：4.1 已知两边和夹角，求第三边的长度当已知三角形的两边长度a和b，以及夹角C时，可以利用余弦定理求解第三边的长度c。

具体步骤如下：1.根据余弦定理，将已知的边长和角度代入公式。

2.求解公式中的未知量，即第三边的长度c。

4.2 已知三边，求夹角当已知三角形的三边长度a、b和c时，可以利用余弦定理求解三个夹角的大小。

具体步骤如下：1.根据余弦定理，将已知的边长和未知的夹角代入公式。

2.求解公式中的未知量，即三个夹角的大小。

4.3 已知两边和夹角，求另一边的长度当已知三角形的两边长度a和b，以及夹角C时，可以利用余弦定理求解第三边的长度c。

具体步骤如下：1.根据余弦定理，将已知的边长和角度代入公式。

《余弦定理》教学设计1. 能够理解余弦定理的原理和应用；2. 能够正确运用余弦定理解决实际问题；3. 培养学生分析和解决问题的能力。

教学内容：余弦定理的原理和公式。

教学步骤：Step 1: 引入通过介绍一个真实生活中的问题，引发学生对余弦定理的兴趣。

例如，我们可以以一个钓鱼的故事开始，告诉学生一个人站在岸上想要和朋友相距一定的距离去钓鱼。

然后问学生有没有办法求得这个距离，引出余弦定理的概念。

Step 2: 余弦定理的定义向学生介绍余弦定理的定义和公式：在一个三角形ABC中，设边AB=c，边BC=a，边CA=b，设∠C的对边为c，那么余弦定理可以表示为c²= a²+ b²- 2ab cosC。

通过解释公式中的各个部分，让学生理解其含义。

Step 3: 例题讲解选取一到两个实际问题进行例题讲解，通过实例让学生理解余弦定理的具体应用。

例如，可以以求解一个不规则三角形的边长为例，根据已知边和夹角，使用余弦定理计算第三边的长度。

Step 4: 学生练习让学生在小组内自主解决一些简单的余弦定理问题，例如求解一个直角三角形的斜边长度，或是求解一个具体角度的三角形的边长等。

然后让学生互相讨论解题思路，并展示解答过程给全班。

Step 5: 进一步拓展引导学生运用余弦定理解决一些更复杂的问题，例如求解一个不规则多边形的面积，或是求解一个高楼之间的夹角等。

让学生思考如何灵活运用余弦定理，并激发他们对数学问题的兴趣。

Step 6: 总结和归纳通过学生练习和讨论，总结余弦定理的应用范围和解题方法。

强调理解概念和原理的重要性，同时引导学生思考如何应用余弦定理来解决其他类型的问题。

Step 7: 拓展练习布置一些拓展练习题，要求学生独立解决。

这些问题可以涉及到其他几何概念的综合运用，如正弦定理、勾股定理等。

同时鼓励学生积极思考并尝试解决其他实际问题，培养他们的综合分析和解决问题的能力。

Step 8: 总结在课堂结束前，对学生做一次课堂总结，回顾和概括余弦定理的重点内容。

【课题】 1.3正弦定理与余弦定理（一）
【教学目标】
知识目标：
理解正弦定理与余弦定理．
能力目标：
通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．
【教学重点】
正弦定理与余弦定理及其应用．
【教学难点】
正弦定理与余弦定理及其应用．
【教学设计】
本课利用几何知识引入新知识降低了难度．教学中，不利用向量工具进行严格的证明，否则会增加难度，而是重在应用．安排了5道例题，介绍利用正弦定理解三角形的方法．例1是基础题，目的是让学生熟悉公式．例2和例3是突破难点的题目，需要分情况进行讨论，介绍了讨论的方法和讨论的两种结果．例4是已知两边及夹角，求第三边的示例，可以直接应用余弦定理；例5是已知三边的长求最大角和最小角的示例．由于余弦函数在区间(0,π)内是单调函数，所以知道余弦值求角时，没有必要进行讨论．这里求最大角与最小角，是起到强化对“大边对大角，小边对小角”的认识．利用余弦定理求一个角，求第二个角的时候，可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
9090B BA AC A >=︒-⊥>=-︒，，，，
j <j 设与角 cos(90)0cos(90)a B b A ︒-=+-︒，
)
=
+-∙
AC AB AC AB
2
22
2cos
+
AC AB AC AB
+-．
2cos
b c bc A
【教师教学后记】。

教案：中职余弦定理1. 教学目标•理解余弦定理的概念和原理；•掌握余弦定理的公式和运用方法；•能够解决与余弦定理相关的实际问题。

2. 教学内容•余弦定理的定义和原理；•余弦定理的公式和推导过程；•通过例题演示如何运用余弦定理计算边长和角度；•实际问题练习。

3. 教学方法3.1 情境导入通过一个实际生活中的例子，引发学生对于三角形边长关系的思考，如航海中用到的方位角计算。

3.2 知识讲解通过讲解幻灯片，向学生介绍余弦定理的定义、原理和公式，并推导出公式。

注意结合图示进行讲解，以帮助学生更好地理解。

3.3 示例演示以具体例题为例，演示如何利用余弦定理求解三角形边长和角度。

先引导学生观察图形特点，再依次列出已知条件和未知量，最后运用余弦定理进行计算。

3.4 合作探究将学生分成小组，给予一些实际问题，要求他们合作解答。

通过合作讨论和交流，培养学生的团队合作能力和解决问题的能力。

3.5 拓展应用引导学生思考余弦定理在实际问题中的应用，如测量高楼建筑的高度、计算航空飞行器的速度等。

鼓励学生自主探索和思考，培养他们的创新思维和应用能力。

4. 教学评价4.1 反馈评价通过课堂练习、小组讨论等形式，及时对学生进行反馈评价。

可以采用口头回答问题、书面作业等方式进行评价，并针对性地给予指导和建议。

4.2 成果评价设计一份综合性的作业或考试题目，测试学生对于余弦定理的理解和应用能力。

根据学生的答题情况进行评分，并及时给予反馈。

4.3 实践评价引导学生运用余弦定理解决实际问题，观察他们在实践中的表现和成果。

可以通过观察、记录、访谈等方式进行评价，并给予鼓励和肯定。

5. 教学资源•幻灯片：包括余弦定理的定义、原理、公式和推导过程；•实例题目：包括求解三角形边长和角度的例题；•实际问题：包括测量高楼建筑的高度、计算航空飞行器的速度等。

6. 教学延伸•利用数学软件或在线工具进行余弦定理的计算和图形绘制；•深入研究三角函数和三角恒等式，与余弦定理进行对比和拓展。

1.3.2余弦定理一、教学目标1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理的内容及其证明方法；会运用余弦定理、正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形。

2．让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生推导余弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3．鼓励学生探索发现规律并解决实际问题，激发学生的学习兴趣二、教学重、难点1. 教学重点：余弦定理的探索和证明及其基本应用。

2. 教学难点：运用正弦定理和余弦定理解三角形。

三、教学设想：（一）1、复习回顾正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C== 正弦定理可以解决的问题：①正弦定理可用于解决已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和一角的问题。

②正弦定理也可用于解决已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他边和角的问题，此时有可能出现多种解或无解。

2、情景导入：隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A ，量出A 到山脚B 、C 的距离，再利用经纬仪测出A 对山脚BC （即线段BC ）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC 。

问题就转化为在一个三角形中，已知两边一角，求第三边。

这是我们上一节课正弦定理不能解决的问题，那我们该怎样处理呢？（二）探讨过程：在三角形ABC 中，过点C 作CD ⊥AB 于D, 则： 222222a CD DB b AD DB =+=-+()()()222b DB AD DB AD b c DB AD AD =++-=++- Ca bAB()22222b c c AD b c cAD =+-=+-222cos b c cb A =+-即2222cos a b c bc A =+-同理有2222cos b a c ac B =+- 2222c o s c a b a b C =+-可以证明，上述结论对任意三角形都成立，于是得到余弦定理。

《余弦定理》教案(一）教学目标1．知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.（二）教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.(三）学法与教学用具学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。

从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角教学用具:直尺、投影仪、计算器(四）教学设想［创设情景］ C 如图1．1—4，在∆ABC 中,设BC=a ，AC=b,AB=c ，已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B（图1．1-4）[探索研究］联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求,发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题. A如图1．1-5,设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()222 2 2c c c a b a ba ab b a b a b a b =⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1—5）同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

余弦定理教学设计《余弦定理教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！教学目标1、使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形。

2、通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。

3、在发现和证明余弦定理中，通过联想、类比、转化等思想方法比较证明余弦定理的不同方法，从而培养学生的发散思维。

4、能用余弦定理解决生活中的实际问题，可以培养学生学习数学的兴趣，使学生进一步认识到数学是有用的。

重、难点重点：余弦定理的发现、证明过程及其基本应用。

难点：理解余弦定理的作用及适用范围。

教学过程情景引入问题1：通过前一节正弦定理的学习，学生已能解决这样两类解三角形的问题：①已知三角形的任意两个角与边，求其他两边和另一角;②已知三角形的任意两个角与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。

而在已知三角形两边和它们的夹角，计算出另一边和另两个角的问题上，学生产生了认知冲突，这就迫切需要他们掌握三角形边角关系的另一种定量关系。

所以，教学的重点应放在余弦定理的发现和证明上。

导入新课问题2：在△ABC中，∠C=90°，则用勾股定理就可以得到c2=a2+b2问题3：已知三角形两边和它们的夹角，怎么计算出另一边引导学生从特殊入手，用已有的初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题，从而寻找出这些量之间存在的某种定量关系。

当∠C为锐角时，作BD⊥AC于D，BD把△ABC分成两个直角三角形：在R t△ABD中，AB2=AD2+BD2;在Rt△BDC中，BD=BC·sinC=asinC，DC=BC·cosC=acosC.所以，AB2=AD2+BD2化为c2=(b-acosC)2+(asinC)2，c2=b2-2abcosC+a2cos2C+a2sin2C，c2=a2+b2-2abcosC.可以看出∠C为锐角时，△ABC的三边a，b，c具有c2=a2+b2-2abcosC的关系。

中职数学拓展模块全册教案目录1.1.1.1两角和与差的余弦公式 (1)1.1.1.2两角和与差的正弦公式 (6)1.1.2 二倍角公式 (10)1.2 正弦型函数 (16)1.3 .1余弦定理 (22)1.3 .2正弦定理 (27)2.1.1椭圆的标准方程 (32)2.1.2椭圆的几何性质 (40)2.2.1双曲线的标准方程 (45)2.2.2双曲线的几何性质 (52)2.3.1抛物线的标准方程 (61)2.3.2抛物线的性质 (69)3.1.1排列 (75)3.1.2 组合 (82)3.1.3二项式定理 (88)3.2.1离散型随机变量及其分布 (95)3.2.2二项分布 (102)课时教学设计首页（试用）授课时间：年月太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制☆补充设计☆教师行为学生行为设计意图 导入：创设情境 兴趣导入问题： 我们知道，13cos60cos3022︒=︒=，，显然()cos 6030cos60cos30︒-︒≠︒︒-．由此可知 ()cos cos cos αβαβ-≠-． 新课：动脑思考 探索新知在单位圆（如上图）中，设向量OA 、OB 与x 轴正半轴的夹角分别为α和β，则点A 的坐标为（cos ,sin αα），点B 的坐标为（cos ,sin ββ）．因此向量(cos ,sin )OA αα=，向量(cos ,sin )OB ββ=，且1OA =,1OB =．于是cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=⋅⋅-=-，又cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=⋅+⋅，1、回顾三角函数相关知识2、复习向量的有关知识3、学生计算三角函数值并验证猜想思考：如何计算出)cos(βα-)的值？回顾向量的坐标运算、数量积运算太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制课时教学设计首页（试用）太原市教研科研中心研制课时教学设计首页（试用）太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制BC AC AB=-，所以)•=-•-（）（BC BC AC AB AC AB22=+-•2AC AB AC AB22+-AC AB AC AB A2cos222cos=+-．b c bc A2222=+-a b c同理可得2222=+-b ac acBC BA AC =+， 两边取与单的数量积，得BC BA BC BA BC •••=+（）=+．j j j90BC B BA AC A >=︒-⊥>=-，，，，j <j 设与角A ，B ，C 相对应的边长分别为a c ，故 cos(90)0cos(90)a B b A ︒-=+-︒， sin sin a B b A =，中职中专数学教学设计教案☆补充设计☆教 师行为学生行为 设计意图*揭示课题2．1 椭圆． *创设情境 兴趣导入我们已经学习过直线与圆的方程．知道二元一次方程0Ax By C ++=为直线的方程，二元二次方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->为圆的方程．下面将陆续研究一些新的二元二次方程及其对应的曲线．了解观看 课件 思考引导启发学生得出结果*动脑思考 探索新知先来做一个实验：准备一条一定线绳、两枚钉子和一支铅笔按照下面的步骤画一个椭圆：（1）如图2－1所示，将绳子的两端固定在画板上的1F 和2F 两点，并使绳长大于1F 和2F 的距离．（2）用铅笔尖将线绳拉紧，并保持线绳的拉紧状态，笔尖在画板上慢慢移动一周，观察所画出的图形．从实验中可以看到，笔尖（即点M ）在移动过程中，与两个定点1F 和2F 的距离之和始终保持不变（等于这条绳子的长度）． 我们将平面内与两个定点12F F 、的距离之和为常数（大于12F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做焦距．思考引导学生发现解决问题方法实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来研究椭圆的方程．取过焦点12F F 、的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2－2所示．设M (x ，y )是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距为2c （c ＞0），椭圆上的点与两个定点12F F 、的距离之和为2a （a ＞0），则12F F ，的坐标分别为（－c ，0），（c ，0），由条件122MF MF a +=，得2222()()2x c y x c y a +++-+=，移项得2222()2()x c y a x c y ++=--+，两边平方得2222222()44()()x c y a a x c y x c y ++=--++-+， 整理得 222()a cx a x c y -=-+， 两边平方后，整理得 22222222()()a c x a y a a c -+=-， 由椭圆的定义得2a ＞2c ＞0，即a ＞c ＞0，所以220a c ->，设222(0)a c b b -=>，则222222b x a y a b +=，【小提示】设222a c b -=，不仅使得方程变得简单规整，同时在后面讨论椭圆的集合性质时，还会看到它有明确的几何意义．22理解 记忆图2－2222210x y a b a b += (＞＞) （2.1） 方程（2.1）叫做焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．它所表示的椭圆的焦点是12(0)(0)F c F c -，，，，并且222a c b -=．如图2－3所示，如果取过焦点12F F 、的直线为y 轴，线段12F F 的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，用类似的方法可以得到椭圆的标准方程为222210y x a b a b+= (＞＞) （2.2）图2－3方程（2.2）叫做焦点在y 轴上的椭圆的标准方程．字母a 、b 的意义同上，并且222a c b -=． 【想一想】已知一个椭圆的标准方程，如何判定焦点在x 轴还是在y 轴？*巩固知识 典型例题例1 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为8，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10．求椭圆的标准方程．解 由于2c =8，2a =10，即c =4，a =5，所以 2229b a c =-=，由于椭圆的焦点在x 轴上，因此椭圆的标准方程为2222153x y+=，观察思考主动 求解注意观察学生是否理解知识点太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制2.了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制课 时 教 学 流 程太原市教研科研中心研制☆补充设计☆教 学 过 程学生行为 设计意图 *揭示课题2．2 双曲线．*创设情境 兴趣导入我们先来做一个实验．取一条两边长度不等的拉链（如图2－8），将拉链的两边分别固定在两个定点12F F 、（拉链两边的长度之差小于12F F 、的距离）上，把铅笔尖固定在拉链锁口处，慢慢拉开拉链，使铅笔尖慢慢移动，画出图形的一部分；再将拉链的两边交换位置分别固定在21F F 、处，用同样的方法可以画出图形的另一部分．图2－8从实验中发现：笔尖（即点M ）在移动过程中，与两个定点12F F 、的距离之差的绝对值始终保持不变（等于拉链两边的长度之差）． 了解观看 课件思考引导 启发学生得出结果*动脑思考 探索新知我们将平面内到两个定点12F F 、的距离之差的绝对值为常数（小于12F F ）的点的轨迹（或集合）叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距．实验画出的图形就是双曲线．下面我们根据实验的步骤来研究双曲线的方程．M太原市教研科研中心研制意图图2－9取过焦点12F F 、的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2－9，设双曲线的焦距为2c ，则两个焦点12F F 、的坐标分别为（－c ，0），（c ，0）．设M (x ，y )为双曲线上的任意一点，M 与两个焦点12F F 、的距离之差的绝对值为2a ，则122MF MF a -=，即 122MF MF a -=±． 于是有2222()()2x c y x c y a +++-+=±． 将上式化简（类似于求椭圆的方程），得22222222()()c a x a y a c a --=-．由双曲线的定义知，2c ＞2a ，即c ＞a ，因此220c a ->．令222(0)c a b b -=>，则上式变为222222b x a y a b -=两边同时除以22a b ，得22221(00)x y a b a b -= ＞，＞ （2.3） 方程（2.3）叫做焦点在x 轴上的双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点是12(0)(0)F c F c -，，，，并且思考理解引导学生发现解决问题方法太原市教研科研中心研制意图222b c a =-．图2－10如图2－10所示，如果取过焦点12F F 、的直线为y 轴，线段12F F 的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，那么用类似的方法可以得到双曲线的方程22221(00)y x a b a b -= ＞，＞ （2.4） 方程（2.4）叫做焦点在y 轴上的双曲线的标准方程．焦点为12(0)(0)F c F c -，，，．字母a ，b 意义同上，并且222b c a =-．【想一想】已知一个双曲线的标准方程，如何判定焦点在x 轴还是在y 轴？ 记忆*巩固知识 典型例题例1 已知双曲线的焦点在x 轴上，且焦距为14，双曲线上一点到两个焦点距离之差的绝对值等于8，请写出双曲线的标准方程． 解 由已知得 2c = 14，2a = 8，即c = 7，a = 4，所以22233b c a =-=．观察思考主动 求解注意 观察 学生 是否 理解 知识 点太原市教研科研中心研制。

一、教学目标1. 知识目标：（1）理解余弦定理的概念及其应用；（2）掌握余弦定理的推导过程；（3）学会运用余弦定理解决实际问题。

2. 能力目标：（1）提高学生分析问题和解决问题的能力；（2）培养学生逻辑思维和抽象思维能力；（3）提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 情感目标：（1）激发学生对数学的兴趣和热爱；（2）培养学生的团队协作精神；（3）提高学生的自信心和毅力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）余弦定理的概念及其应用；（2）余弦定理的推导过程；（3）运用余弦定理解决实际问题。

2. 教学难点：（1）余弦定理的推导过程；（2）运用余弦定理解决实际问题。

三、教学过程1. 导入新课（1）通过实际问题引入：在一个三角形ABC中，已知边长AB=5，AC=7，角BAC=45°，求边BC的长度。

（2）引导学生回顾正弦定理，提出问题：如果只知道三角形的一边和两个角，能否求出其它边的长度？2. 余弦定理的概念及推导（1）引导学生回顾三角形内角和定理，推导出余弦定理。

（2）通过实例展示余弦定理的应用，如求三角形各边长、角度等。

3. 余弦定理的应用（1）通过实例讲解如何运用余弦定理解决实际问题。

（2）让学生分组讨论，尝试解决实际问题。

4. 拓展与练习（1）布置课后作业，巩固余弦定理的知识。

（2）组织课堂讨论，让学生分享解题思路。

5. 总结与反思（1）引导学生回顾本节课所学内容，总结余弦定理的概念、推导过程及应用。

（2）反思本节课的收获，提出改进措施。

四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、合作能力、问题解决能力等。

2. 课后作业：检查学生对余弦定理知识的掌握程度。

3. 实际应用：通过实际问题的解决，评估学生运用余弦定理的能力。

五、教学反思1. 教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动思考，提高学生分析问题和解决问题的能力。

2. 结合实际问题，让学生体验数学知识的实际应用，激发学生学习兴趣。

余弦定理的教案教案题目：余弦定理的教学设计一、教学目标：1. 理解余弦定理的概念和原理；2. 能够应用余弦定理解决简单的几何问题；3. 发展学生的逻辑推理能力和问题解决能力。

二、教学重点与难点：1. 重点：余弦定理的概念和原理；2. 难点：应用余弦定理解决几何问题。

三、教学准备：1. 教学课件和教学工具；2. 直尺、圆规等绘图工具。

四、教学步骤：步骤一：导入新知识（5分钟）利用视频、图片等多媒体展示余弦定理的实际应用场景，引导学生思考余弦定理的重要性以及其在几何问题中的应用。

步骤二：概念讲解（10分钟）1. 介绍余弦定理的概念和公式：在任意三角形ABC中，设边长a、b、c，角A对应的边长为a，角B对应的边长为b，角C对应的边长为c，则有余弦定理公式：c²= a²+ b²- 2abcosC；2. 解释公式中各项的含义，以及角A、角B和角C的定义。

步骤三：例题演示（15分钟）在黑板上绘制一个三角形ABC，并给出边长a、b、c和角A、角B、角C的大小，通过代入余弦定理公式来计算未知量。

演示几个例题，以加深学生对余弦定理的理解。

步骤四：练习与讨论（15分钟）1. 让学生自行计算几道应用余弦定理的练习题；2. 将学生分成小组，让小组成员相互讨论并解决问题；3. 鼓励学生积极提问，解答他们在解题过程中遇到的疑惑和困难。

步骤五：归纳总结（10分钟）让学生回顾所学内容，总结余弦定理的应用和解题方法。

引导学生通过归纳总结来理解和记忆知识点，培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

步骤六：拓展延伸（5分钟）利用多媒体展示其他几何问题，并引导学生思考如何应用余弦定理解决这些问题。

激发学生的兴趣，培养学生的创新能力和拓展思维。

五、教学评价与反馈：1. 教师根据学生的课堂表现、作业完成情况和问题解决能力等，进行定性和定量评价；2. 引导学生进行自我评价和互评，激发学生对学习的思考和反思；3. 将评价和反馈结果反馈给学生，鼓励他们改进学习方法和提升学习水平。

1．3《正弦定理、余弦定理的应用》教学案●三维目标1.知识与技能(1)能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；(2)体会数学建模的基本思想，掌握应用解三角形知识解决实际问题的一般步骤；(3)了解常用的测量相关术语(如：仰角、俯角、方位角、视角及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义)，综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；(4)能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力；(5)规范学生的演算过程：逻辑严谨，表述准确，算法简练，书写工整，示意图清晰．2.过程与方法(1)本节课是解三角形应用举例的延伸，利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题；(2)让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力．3．情感、态度与价值观(1)激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值；(2)培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神；(3)培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.●重点、难点重点：(1)综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；(2)掌握求解实际问题的一般步骤；难点：根据题意建立数学模型，画出示意图．体验将实际问题转化为数学问题的过程与思想，认识研究实际问题的方法，是本节教学的重中之重，而突破这一重难点的关键在于引导学生对实际问题进行分析，抽象出数学问题，再利用解三角形的知识加以解决．教学方案设计●教学建议在学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形的基础上，让学生尝试绘制知识纲目图．生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础．解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言(符号语言、图形语言)表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决．能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维．借助计算机等多媒体工具来进行演示，利用动态效果能使学生更好地明辨是非、掌握方法．引导学生总结解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．●教学流程创设问题情境引导学生熟悉实际测量中的有关术语，了解它们的使用.⇒通过例1及其变式训练使学生掌握利用正、余弦定理解决测量问题的方法.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握利用正、余弦定理解决航海问题的方法.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握正、余弦定理在平面几何问题中的应用.⇒结合三个例题，引导学生总结解斜三角形应用题的一般步骤.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学小明出家门向南前进200米，再向东前进200米，到达学校上课．1．小明的学校在家的哪个方向？【提示】东南方向．2．能否用角度确定学校的方位？【提示】能．南偏西60°课堂互动探究例1 如图1图1－3－1在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高AB 为20 m ，求山高CD .(精确到0.1 m) 【思路探究】 DC 可放到△BCD 中，要求CD ，已知∠DBC ＝60°，∠CDB ＝90°，所以只需求BD 或CB ，在△ABC 中，AB 的长度已知，三个内角都可以求出，所以可求得CB ，则CD ＝CB ·s in 60°.【自主解答】 由条件知∠DBC ＝60°，∠ECA ＝45°， ∴∠ABC ＝90°－60°＝30°，∠ACB ＝60°－45°＝15°， ∠CAB ＝180°－(∠ABC ＋∠ACB )＝135°，在△ABC 中，由正弦定理得BCsin 135°＝ABsin 15°，∴BC ＝AB ·sin 135°sin 15°＝20×22146－2＝403－1.在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·sin∠CBD ＝403－1×32≈47.3(m)． ∴山高CD 约为47.3 m.规律方法1．本例是典型的测量高度问题，抽象出平面图形，并且将相应数据聚化到相应三角形中，十分关键．2．测量高度的有关问题，大部分都是转化为同一铅垂面上的解三角形问题，但也有转化为立体图形的问题．变式训练如图1－3－2所示，空中有一气球C ，图1－3－2在它的正西方A 点测得它的仰角为45°，同时在它的南偏东60°的B 点，测得它的仰角为30°，A ，B 两点间的距离为266米，这两个测点均离地1米，则气球离地多少米？【解】 设OC ＝x ，则OA ＝x ，OB ＝x ·tan 60°＝3x . 在△AOB 中，∠AOB ＝90°＋60°＝150°，AB ＝266，所以AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos ∠AOB＝x 2＋3x 2－2x ·3x ·(－32)＝7x 2，所以x ＝77AB ＝77×266＝387(米)， 所以气球离地(387＋1)米.例2 甲船在着东偏北105°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近，如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船至少应以什么速度、向何方向航行？【思路探究】 画图→分析三角形满足条件→选择定理列方程→求相关量→作答 【自主解答】 如图所示：设乙船速度为v 海里/小时，在C 处追上甲船， ∠BAC ＝45°＋180°－105°＝120°， 在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ，(23v )2＝(23×9)2＋102－2×23×9×10×cos 120°， 整理得v ＝21.又由正弦定理可知BC sin ∠BAC ＝ACsin B ，∴sin B ＝AC ·sin ∠BAC BC＝23×923×21×sin 120°＝3314， ∴B ≈21°47′. 即B 应以每小时21海里的速度，按东偏北45°＋21°47′＝66°47′的角度航行．规律方法1．根据题意，恰当地画出三角形是解题的基础，将已知线段数量和角度，转化为要解三角形的边长和角度，是解题的关键．2．有关角度问题，一般要涉及到方位角、方向角等概念，对这些数据，要恰当转化，合理运用．变式训练在海岸A 处发现在其北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的缉私船以103海里/时的速度追走私船，此时走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间．【解】 由题意画出示意图如图所示，设缉私船最快追上走私船所需时间为t 小时，则CD ＝103t ，BD ＝10t .∵在△ABC 中，AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝45°＋75°＝120°， ∴BC ＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos ∠BAC ＝22＋3－2－3－＝ 6.∵BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC ，∴sin ∠ABC ＝AC sin ∠BAC BC ＝2×326＝22.∵∠BAC ＝120°，∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向垂直， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°.∵在△BCD 中，由正弦定理得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，所以sin ∠BCD ＝BD sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12. ∴∠BCD ＝30°或∠BCD ＝150°(舍去)，∴∠BDC ＝30°，∴BD ＝BC ＝6，∴10t ＝6，∴t ＝610，∴缉私船沿北偏东60°方向行驶能最快追上走私船，所需时间为610小时.例3 如图内一点，且A图1－3－3D ＝a ，∠ADB ＋C ＝π，问C 为何值时，凹四边形ACBD 的面积最大？并求出最大值．【思路探究】 在三角形ABD 和三角形ABC 中分别运用余弦定理，可先求出边BD 的长，进而表达出凹四边形ACBD 的面积．【自主解答】 设BD ＝x ，在△ABC 和△ABD 中， 根据余弦定理，得AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，AB 2＝a 2＋x 2－2ax cos ∠ADB ＝x 2＋a 2＋2ax cos C ，∴a 2＋b 2－2ab cos C ＝x 2＋a 2＋2ax cos C ，即x 2＋2ax cos C ＋(2a cos C －b )b ＝0， 解得x ＝b －2a cos C ，或x ＝－b (舍去)． 于是凹四边形ACBD 的面积S ＝S △ABC －S △ABD ＝12ab sin C －12ax sin ∠ADB ＝12ab sin C －12a (b －2a cos C )sin C ＝12a 2sin 2C .∴当C ＝π4时，凹四边形ACBD 的面积最大，最大值为12a 2，此时BD ＝b －2a .规律方法1．本例中，以角C 为自变量，将凹四边形ACBD 的面积表示为角C 的三角函数，从而求解最值问题．2．求解平面图形的面积最值问题，关键是恰当地设立角度为自变量，建立目标函数．变式训练如图1－3－4所示，已知扇形OAB ，图1－3－4O 为顶点，圆心角∠AOB ＝60°，半径为2 cm ，在弧AB 上有一动点P ，由P 引平行于OB 的直线和OA 相交于C ，∠AOP ＝β.求△POC 的面积的最大值以及此时的β值．【解】 ∵PC ∥OB ， ∴∠ACP ＝∠AOB ＝60°.∴∠PCO ＝120°，∠OPC ＝60°－β. 在△OCP 中，由正弦定理得OPsin 120°＝OC－β，∴OC ＝OP－βsin 120°＝－βsin 120°， S △OCP ＝12·OC ·OP sin β＝12×－βsin 120°×2sin β＝2sin β－βsin 120°＝3sin βcos β－sin 2βsin 120°＝32sin 2β－1－cos 2β2sin 120°＝β－－12sin 120°＝β－－13.故当cos(2β－60°)＝1，即当2β＝60°，β＝30°时， S △OCP 有最大值33cm 2.易错易误辨析过程不严谨，靠主观臆判而致误典例如图1－3－5所示的是曲柄连杆装置示意图，连杆AC ＝c ，图1－3－5曲柄AB 和曲轴BL 所成的角为α，连杆AC 和曲轴BL 间的夹角为β，则α取什么值时，sin β最大？【错解】 ∵点A 在圆B 上运动，∴要使β，即∠ACB 最大，只需点A 在最高或最低点即可，此时，△ABC 中，∠ABC ＝90°，即α＝90°时，AB ＝r ，AC ＝c ，sin β＝sin ∠ACB ＝rc 为所求的最大值．【错因分析】 上述解答中想当然地认为点A 在最高或最低点时，sin β最大，虽然结论正确，但过程不严谨．【防范措施】 建立目标函数，转化为三角函数最值问题，定量分析．【正解】 在△ABC 中，由正弦定理，得ABsin β＝ACsin α，∴sin β＝rc sin α.由对称性可知，只需讨论α∈[0，π]即可．∵sin β＝r c sin α≤rc ，∴当且仅当sin α＝1，即α＝π2时，sin β最大．1．基础知识：(1)有关术语：仰角、俯角、方向角、方位角；(2)利用解三角形，求解实际应用题的方法及步骤．2．基本技能：(1)测量问题；(2)航海问题；(3)力学问题；(4)最值问题．3．思想方法：(1)函数思想；(2)转化思想；(3)数形结合思想．当堂双基达标1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系是________．【解析】如图所示，∵AD∥BC，∴α＝β.【答案】α＝β2．如图1－3－6所示，A、B两点中间有座山，从点C观测，AC＝60 m，BC＝160 m，∠ACB ＝60°，则AB ＝________.图1－3－6【解析】 AB ＝CA 2＋CB 2－2CA ·CB cos C ＝602＋1602－2×60×160×cos 60°＝140(m) 【答案】 140 m3．有一长为10 m 的斜坡，坡角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的坡角改为30°，则坡底要延长________m.【解】 如图所示，设将坡底加长到B ′时，坡角为30°. 依题意，∠B ′＝30°，∠BAB ′＝45°，AB ＝10 m.在△ABB ′中，根据正弦定理得BB ′AB ＝sin ∠BAB ′sin B ′，则BB ′＝AB sin 45°sin 30°＝10×2212＝102(m)，即当坡底伸长10 2 m 时，斜坡的坡角将变为30°. 【答案】 10 2图1－3－74．如图1－3－7所示，某人在塔的正东C 处沿着南偏西60°的方向前进40 m 到D 处以后，望见塔在东北方向．若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔的高度．【解】 在△BDC 中，CD ＝40 m ，∠BCD ＝90°－60°＝30°， ∠DBC ＝45°＋90°＝135°.由正弦定理，得CDsin ∠DBC ＝BDsin ∠BCD ， ∴BD ＝CD ·sin∠BCD sin ∠DBC ＝40sin 30°sin 135°＝202(m)．在Rt △ABE 中，tan ∠AEB ＝ABBE ，AB 为定值，故要使∠AEB 最大，需要BE 最小．即BE ⊥CD ，这时∠AEB ＝30°.在Rt △BED 中，∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°， ∴BE ＝BD ·sin∠BDE ＝202sin 15° ＝10(3－1)(m)．在Rt △ABE 中，AB ＝BE tan ∠AEB ＝10(3－1)tan 30° ＝103(3－3)(m)， 即塔的高度为103(3－3)m.课后知能检测一、填空题1．在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为________千米．【解析】 ∠ACB ＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得AC sin 60°＝ABsin 45°＝2sin 45°，AC ＝ 6.【答案】62．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°，则塔高为________米．【解析】 如图所示，在Rt △EBD 中，∠DBE ＝60°， ∴BE ＝200×33，在Rt △CBE 中，CE ＝BE tan 30° ＝20033×33＝2003， ∴CD ＝4003(米) 【答案】 40033．CD 是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD 所在水平面上的山体外取点A ，B ，并测得四边形ABCD 中，∠ABC ＝π3，∠BAD ＝23π，AB ＝BC ＝400米，AD ＝250米，则应开凿的隧道CD 的长为________．【解析】 如图所示，在△ABC 中，AB ＝BC ＝400米，∠ABC ＝π3，∴AC ＝AB ＝400米，∠BAC ＝π3.∴∠CAD ＝∠BAD －∠BAC ＝2π3－π3＝π3.∴在△CAD 中，由余弦定理，得CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD ·cos∠CAD ＝4002＋2502－2·400·250·cos π3＝122 500，∴CD ＝350(米)．【答案】 350米4．某人朝正东方向走x km 后，向朝南偏西60°的方向走3 km ，结果他离出发点恰好 3 km ，那么x 的值为________．【解析】 如图所示，∠ABC ＝90°－60°＝30°，∴(3)2＝32＋x 2－2×3x cos 30°∴x 2－33x ＋6＝0 ∴x ＝3或2 3 【答案】3或2 35．如图1－3－8所示，甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．【解析】图1－3－8由题意知，AC ＝3BC ，∠ABC ＝120°， 由正弦定理知，BC sin ∠CAB ＝ACsin 120°， ∴sin ∠CAB ＝12， ∴∠CAB ＝30°，∴∠CAD ＝60°－30°＝30°. 【答案】 30°6．(2013·威海高二检测)上海世博园中的世博轴是一条1 000 m 长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧．现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是________m.【解析】 如图所示，设A ，B 为世博轴的两端点，C 为中国馆，由题意知∠ACB ＝120°，且AC ＝BC ，过C 作AB 的垂线交AB 于D ，在Rt △CBD 中，DB ＝500 m ，∠DCB ＝60°，∴BC ＝1 00033m.【答案】 1000337．有一两岸平行的河流，水速为1 m/s ，小船的速度为2m/s ，为使所走路程最短，小船应朝______方向行驶．【解析】如图所示，AB 是水速，AD 为船速，AC 是船的实际速度，且AC ⊥AB ，在Rt △ABC 中，cos∠ABC ＝AB BC ＝AB AD ＝12＝22，∴∠ABC ＝45°，∴∠DAB ＝90°＋45°＝135°. 【答案】 与水流向成135°8．一艘船向正北航行，看见正西方有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时________海里．【解析】先画出示意图，设半小时行程为s 海里，所以s ·tan 75°－s ·tan 60°＝10，即(2＋3)·s －3s ＝10，s ＝5，∴速度为10海里/时． 【答案】 10 二、解答题9．在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两图1－3－9个相距为3a2的军事基地C 和D 测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且∠ADB ＝30°，∠BDC ＝30°，∠DCA ＝60°，∠ACB ＝45°，如图1－3－9所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．【解】 ∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°， 又∵∠ACD ＝60°，∴∠DAC ＝60°， ∴AD ＝CD ＝AC ＝32a .在△BCD 中，∠DBC ＝180°－30°－105°＝45°，∵DB sin ∠BCD ＝CDsin ∠DBC ， ∴BD ＝CD ·sin ∠BCD sin ∠DBC ＝32a ·6＋2422＝3＋34a .在△ADB 中，∵AB 2＝AD 2＋BD 2－2·AD ·BD ·cos∠ADB＝34a 2＋(3＋34a )2－2×32a ·3＋34a ·32＝38a 2， ∴AB ＝64a ，∴蓝方这两支精锐部队的距离为64a .10．某海上养殖基地A ，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(3＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时102海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地A 东北方向刮过且(3＋1)小时后开始影响基地A ，持续2小时．求台风移动的方向．【解】如图所示，设预报时台风中心为B ，开始影响基地A 时台风中心为C ，基地A 刚好不受影响时台风中心为D ，则B 、C 、D 在一直线上，且AD ＝20，AC ＝20.由题意得AB ＝20(3＋1)，DC ＝202，BC ＝(3＋1)·10 2. 在△ADC 中， ∵DC 2＝AD 2＋AC 2，∴∠DAC ＝90°，∠ADC ＝45°.在△ABC 中，由余弦定理得cos ∠BAC ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝32，∴∠BAC ＝30°.又∵B 位于A 南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°， ∴D 位于A 的正北方向，又∵∠ADC ＝45°，∴台风移动的方向为向量CD →的方向，即北偏西45°方向．11．某建筑工地上，一工人从废料堆中找到了一块扇形薄钢板，其半径为R ，中心角为60°.该工人决定将此废钢板再利用，从中截一块内接矩形小钢板备用，如图1－3－10所示，问：他应怎样截取，会使截出的小钢板面积最大？(1) (2)图1－3－10【解】 在图(1)中，在AB 上取一点P ，过P 作PN ⊥OA 于N ，过P 作PQ ⊥PN 交OB 于Q ，再过Q 作QM ⊥OA 于M .设∠AOP ＝x ，PN ＝R sin x ，在△POQ 中，由正弦定理，得OP－＝PQ－x .∴PQ ＝233R sin(60°－x )，∴S ＝PN ·PQ ＝233R 2sin x ·sin(60°－x )＝33R 2[cos(2x －60°)－cos 60°]≤33R 2(1－12)＝36R 2.当cos(2x －60°)＝1即x ＝30°时，S 取得最大值36R 2.在图(2)中，取AB 中点C ，连结OC ，在AB 上取一点P ，过P 作PQ ∥OC 交OB 于Q ，过P 作PN ⊥PQ 交AB 于N ，过Q 作QM ⊥PQ 交CA 于M ，连结MN 得矩形MNPQ ，OC 与AP 交于D .设∠POC ＝x ，则PD ＝R sin x . 在△POQ 中，由正弦定理得：R－＝R－x ，∴PQ ＝2R sin(30°－x )．∴S ＝2PD ·PQ ＝4R 2sin x ·sin(30°－x )＝2R 2[cos(2x －30°)－cos 30°]≤2R 2(1－cos 30°)＝(2－3)R 2(当x ＝15°时取“＝”)． ∴当x ＝15°时，S 取得最大值(2－3)R 2. ∵36R 2＞(2－3)R 2，∴作∠AOP ＝30°，按图(1)划线所截得的矩形小钢板面积最大.教师备课资源 备选例题如图所示，墙上有一个三角形灯架OAB ，灯所受重力为10 N ，OA 、OB 都是细杆，只受沿杆方向的力，试求杆OA ，OB 所受的力的大小．(精确到0.1 N)(sin 50°≈0.77，sin 70°≈0.94)【思路探究】 根据力的合成与分解法则建立数学模型，将物理学中的问题转化为解三角形问题．【自主解答】 设O 点沿OE 方向所受到的力为F ，作OE →＝F ，将F 沿A 到O ，O 到B 的两个方向进行分解，即作▱OCED ，设OD →＝CE →＝F 1，OC →＝F 2， 由题设条件可知：|OE →|＝10，∠OCE ＝50°，∠OEC ＝70°， ∴∠COE ＝180°－50°－70°＝60°. 在△OCE 中，由正弦定理得：|F |sin 50°＝|F 1|sin 60°＝|F 2|sin 70°，∴|F 1|＝10sin 60°sin 50°≈11.2，|F 2|＝10sin 70°sin 50°≈12.2.答：灯杆AO 所受的力的大小为11.2 N ，灯杆OB 所受的力的大小为12.2 N.规律方法1．用数学知识研究物理问题的方法是：首先把物理问题转化成数学问题，即将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．2．正弦定理、余弦定理在力学问题中经常用到，画出受力分析图，转化为解三角形的问题进行求解．备选变式平面内三个力F 1、F 2、F 3作用于同一点且处于平衡状态，已知|F 1|＝1 N ，|F 2|＝6＋22 N ，F 1与F 2的夹角为45°，求F 3的大小及F 1与F 3的夹角．【解】 如图所示，设F 1与F 2的合力为F ，则|F |＝|F 3|，∵∠AOB ＝45°，∴∠OAC ＝135°.在△OAC 中，由余弦定理得|OC →|2＝|OA →|2＋|AC →|2－2|OA →|·|AC →|·cos 135°＝1＋(6＋22)2－2×1×6＋22×(－22)＝4＋23，∴|OC →|＝1＋3，即|F 3|＝1＋ 3.又由正弦定理得sin ∠AOC ＝|AC ，→|·sin∠CAO |OC ，→|＝12， ∴∠AOC ＝30°，从而F 1与F 3的夹角为150°. ∴F 3的大小是(1＋3)N ，F 1与F 3的夹角为150°.拓展三角学三角学起源于对三角形边角关系的定量考察，这始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，因此在相当长的一个时期里，三角学隶属于天文学，而在它的形成过程中利用了当时已经积累得相当丰富的算术、几何(包括球面几何)和天文知识．鉴于此种原因，作为独立的数学分支前，它的贡献者主要是一些天文学家，如印度的阿耶婆多、纳速拉丁等人．13世纪起，含于天文学中的三角知识传入欧洲，并在欧洲出现新的发展．1464年数学家雷基奥蒙坦著《论各种三角形》，独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐述；1595年，德国的皮蒂斯楚斯(Pitiscus，1561－1613)著《三角学：解三角形的简明处理》，首次将拉丁文“trigonon(三角形)”和“metron(测量)”组合成trigonametriae，即“三角形”．1631年，三角学传入中国．同年，德国传教士邓玉函、汤若望和明朝学者徐光启编译成《大测》一书．“大测者，观三角形之法也．”可见“大测”与当时的“三角学”的意义是一样的．不过，“大测”的名称并不通行，三角在中国早期比较通行的名称是“八线”和“三角”．“八线”是指在单位圆上的八种三角函数线：正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线、正矢线、余矢线，如1894年上海美华书馆出版的《八线备旨四卷》和1906年方克猷撰写的《八线法衍》等书都已记载．“三角”这一名称最早见之于1653年薛凤祚和穆尼阁合著的《三角算法》．“三角”一词指“三角学”或“三角法”或“三角术”．事实上，直到1956年中国科学院编译出版委员会编订《数学名词》时，仍将这三者同义．现在“三角术”和“三角法”已不常用．三角学的现代发展已经结束，随着现代数学的综合性趋势加强，其中的一些内容已分属于数学的其他学科，如三角函数可归于分析学，三角测量可归于几何学，三角函数式的恒等变形可归于代数学．从这个意义上说，作为独立的数学分科的三角学已渐渐消失，但作为刻画周期性现象的三角函数，仍然发挥着巨大的作用.。

“余弦定理”教学设计教学目标：1.理解余弦定理的概念和原理；2.能够适应不同情况下使用余弦定理计算各种角度和边长；3.掌握解决实际问题时应用余弦定理的方法。

教学重点：1.余弦定理的概念和原理；2.通过实例分析和解决问题。

教学难点：1.理解余弦定理的推导过程；2.掌握应用余弦定理解决实际问题的方法。

教学准备：1.教师准备幻灯片、白板和橡皮等教学工具；2.学生准备直尺、三角板、笔和纸等学习工具。

教学过程：Step 1：导入新课教师通过幻灯片或者板书，向学生简要介绍余弦定理的概念和应用，并引导学生思考余弦定理的用途和意义。

学生可以通过实例或者问题回答。

Step 2：理解余弦定理的概念和原理1. 教师通过幻灯片或者白板，展示余弦定理的公式：c² = a² + b²- 2ab*cosC，并解释公式中各个变量的含义；2.教师通过推导过程，帮助学生理解余弦定理的原理。

教师可以使用直角三角形、等腰三角形等特殊情况进行具体展示。

Step 3：应用余弦定理计算各种角度和边长1.教师通过幻灯片或者白板，展示不同情况下使用余弦定理计算角度和边长的方法；2.教师通过实例演示，引导学生理解和掌握使用余弦定理计算角度和边长的步骤和技巧；3.学生随堂练习，巩固所学知识。

Step 4：解决实际问题时应用余弦定理的方法1.教师通过幻灯片或者白板，展示解决实际问题时应用余弦定理的方法；2.教师通过实际问题的解析，引导学生运用余弦定理解决实际问题；3.学生在小组或者个人内互相交流、讨论解决实际问题的方法和思路。

Step 5：总结与归纳教师通过幻灯片或者白板，总结余弦定理的重要性和应用范围，并引导学生对所学知识进行归纳总结。

Step 6：作业布置教师布置相关习题，要求学生运用余弦定理进行计算，巩固所学知识。

教学辅助手段：1.幻灯片：通过幻灯片展示余弦定理的概念、原理和应用；2.白板和橡皮：用于教师讲解和演示推导过程等；3.直尺、三角板、笔和纸等：用于学生进行练习和求解问题。

【课题】 1.3正弦定理与余弦定理（一）
【教学目标】
知识目标：
理解正弦定理与余弦定理．
能力目标：
通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．
【教学重点】
正弦定理与余弦定理及其应用．
【教学难点】
正弦定理与余弦定理及其应用．
【教学设计】
本课利用几何知识引入新知识降低了难度．教学中，不利用向量工具进行严格的证明，否则会增加难度，而是重在应用．安排了5道例题，介绍利用正弦定理解三角形的方法．例1是基础题，目的是让学生熟悉公式．例2和例3是突破难点的题目，需要分情况进行讨论，介绍了讨论的方法和讨论的两种结果．例4是已知两边及夹角，求第三边的示例，可以直接应用余弦定理；例5是已知三边的长求最大角和最小角的示例．由于余弦函数在区间(0,π)内是单调函数，所以知道余弦值求角时，没有必要进行讨论．这里求最大角与最小角，是起到强化对“大边对大角，小边对小角”的认识．利用余弦定理求一个角，求第二个角的时候，可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
，，>=︒-⊥
90B BA
j
=，
a B
b A
sin sin
．
【教师教学后记】。

《余弦定理的应用举例》的教学设计一、设计思想结合数控专业对数学的需求，了解专业课的知识及相关专业的教学内容，熟悉它们对数学知识的具体要求，对原数学教学内容的进行适当地改编、扩充、加深，要清楚专业课对数学知识有哪些需求，以培养数学知识的应用能力为主线，以落实数学知识为主要目的，用专业案例作为课堂实例讲解，拾遗补缺专业教学中需要的数学知识，让原本零碎的夹杂在专业课中的数学知识，归顺到数学教学的体系中，从而形成合理的知识链，拓宽或加深相应的数学知识。

使学生在轻松愉快的环境中对数学这一学科感兴趣,进而促进专业知识的学习和专业技能的掌握，就让学生体会到数学是有用的。

二、教学分析（一）教材分析本节是高等教育出版社出版的《数学》拓展模块的第一章第3节内容，在此之前已学习勾股定理、正弦余弦定理等知识，这为本节内容的学习起着铺垫作用，作为一节余弦定理应用举例课，让学生切身体验数学在专业课学习中的重要性、普遍性，本节课更换教材的例题背景，采用数控机械加工模型展开设计，利用自己加工零件模型设计问题，把应用余弦定理来解决数控零件加工过程中的节点求坐标等问题融合起来，数学与专业课合理结合，培养数学建模和应用数学的能力。

（二）学情分析授课对象为高二数控五年一贯制班的学生，对余弦定理已熟练掌握，在专业上已初步学习零件加工，数学基础较好，已了解数学与数控专业学习的关联性，但是缺乏专业案例的数学实践应用。

三、教学目标1.知识与技能：通过对余弦定理的学习，学生能够运用余弦定理的知识和方法解决零件加工中求节点坐标时涉及到一些有关长度、角度的问题。

2.过程与方法：（1）通过对余弦定理的学习，会建立数学模型解决实际问题和专业问题的能力。

（2）养成数形结合思想，学生观察、发现、解决问题能力得到提高。

3.情感态度与价值观：（1）学会主动探究知识、养成合作交流的意识。

（2）并通过与专业课内容紧密结合，激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。

余弦定理初步讲解教案人教版教案标题：余弦定理初步讲解教案（人教版）教学目标：1. 理解余弦定理的概念和原理；2. 掌握余弦定理的公式和应用方法；3. 能够通过余弦定理解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

教学重点：1. 理解余弦定理的概念和原理；2. 掌握余弦定理的公式和应用方法。

教学难点：1. 能够通过余弦定理解决实际问题；2. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

教学准备：1. 教师准备：- 教学课件或黑板、白板等教学工具；- 相关的教学素材和实例。

2. 学生准备：- 计算器；- 笔记本和笔。

教学过程：Step 1：导入（5分钟）1. 教师通过引入相关实例或问题，激发学生对余弦定理的兴趣和学习动力。

2. 引导学生回顾正弦定理的内容，以便更好地理解余弦定理的概念。

Step 2：概念讲解（10分钟）1. 教师通过教学课件或黑板、白板等教学工具，向学生讲解余弦定理的概念和原理。

2. 强调余弦定理适用于任意三角形，而不仅限于特殊三角形。

3. 通过几个简单的实例，帮助学生理解余弦定理的作用和意义。

Step 3：公式推导（10分钟）1. 教师向学生介绍余弦定理的公式，并解释每个符号的含义。

2. 通过几个具体的三角形示例，引导学生推导余弦定理的公式。

3. 强调公式的应用范围和限制条件。

Step 4：公式应用（15分钟）1. 教师通过一些实际问题，引导学生运用余弦定理解决三角形相关的计算问题。

2. 分步骤解析每个问题，帮助学生理解问题的解决思路和方法。

3. 鼓励学生积极参与讨论和思考，培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。

Step 5：拓展应用（10分钟）1. 教师提供一些更复杂的问题，让学生运用余弦定理解决。

2. 引导学生思考如何将余弦定理与其他数学知识和技巧结合，解决更复杂的问题。

3. 鼓励学生展示解题过程和思路，培养他们的表达和演示能力。

Step 6：总结与反思（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，并强调余弦定理的重要性和应用价值。