职高数学拓展模块(人教版)教案：三角函数复习

三角函数复习教案整理第一章：三角函数的基本概念1.1 角的概念复习角度的定义和分类：锐角、直角、钝角、周角。

介绍弧度和度的转换关系。

1.2 正弦函数、余弦函数和正切函数复习正弦函数、余弦函数和正切函数的定义。

解释正弦函数、余弦函数和正切函数的图像和性质。

1.3 特殊角的三角函数值复习30°、45°、60°等特殊角的三角函数值。

第二章：三角函数的图像和性质2.1 正弦函数的图像和性质复习正弦函数的图像和性质：周期性、对称性、奇偶性、最大值和最小值。

2.2 余弦函数的图像和性质复习余弦函数的图像和性质：周期性、对称性、奇偶性、最大值和最小值。

2.3 正切函数的图像和性质复习正切函数的图像和性质：周期性、对称性、奇偶性、最大值和最小值。

第三章：三角函数的运算3.1 三角函数的加减法复习三角函数的加减法运算规则。

3.2 三角函数的乘除法复习三角函数的乘除法运算规则。

3.3 三角函数的复合复习三角函数的复合运算规则，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的复合。

第四章：三角函数的应用4.1 三角函数在直角三角形中的应用复习三角函数在直角三角形中的应用，包括正弦定理、余弦定理。

4.2 三角函数在三角形测量中的应用复习三角函数在三角形测量中的应用，包括角度测量、距离测量。

4.3 三角函数在物理学中的应用复习三角函数在物理学中的应用，包括振动、波动、声音等。

第五章：三角函数的进一步研究5.1 三角函数的导数复习三角函数的导数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的导数。

5.2 三角函数的积分复习三角函数的积分，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的积分。

5.3 三角函数的限制条件和极端值复习三角函数的限制条件和极端值，包括最大值、最小值、临界点。

第六章：三角恒等式6.1 三角恒等式的基本形式复习基本的三角恒等式，如和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等。

6.2 三角恒等式的证明学习并证明一些基本的三角恒等式，如正弦定理、余弦定理等。

5.1.1 角的概念的推广【教学目标】1．理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念，掌握角的加减运算．2．通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念．3．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．【教学重点】理解任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、第几象限的角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法．【教学难点】任意角和终边相同的角的概念．【教学方法】本节采用教师引导下的讨论法，结合多媒体课件，带领学生发现旧概念的不足之处，进而探索新的概念．讲课过程中，紧扣“旋转”两个字，让学生在动手画图的过程中深刻理解任意角的概念．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图复习导入1．复习初中学习过的角的定义．2．提出新问题：运动员掷链球时，旋转方向可以是逆时针也可以是顺时针，旋转量也不止一个平角，那如何来度量角的大小呢？师：初中学过的角的定义是什么？生：在平面内，角可以看作一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．师：如图：∠AOB=∠BOA=120 ，初中时的角不考虑旋转方向，只考虑旋转的绝对量而且角的范围在0~360°．复习旧知，使学生发现旧知识的局限性，激发学习新知识的兴趣．新课1．任意角的概念．（1）射线的旋转方向：逆时针方向——正角；顺时针方向——负角；没有旋转——零角．画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量．旋转生成的角，又常称为转角．例如，∠AOB＝120°，∠BOA＝－120°．教师画图说明正角，负角，零角，以及角的始边、终边.教师小结：由旋转方向的不同定义正负角，由旋转量的不同得到任意范围内的角．AOB114新课（2）射线的旋转量：当射线绕端点旋转时，旋转量可以超过一个周角，形成任意大小的角.角的度数表示旋转量的大小．例如450°，－630°．2．角的加减运算．90°－30°＝90°＋（－30°）＝60°．各角和的旋转量等于各角旋转量的和．3．终边相同的角．所有与α终边相同的角构成的集合可记为S＝{x |x ＝α＋k·360°，k∈Z}．例1（1）写出与下列各角终边相同的角的集合．(1) 45°；(2) 135°；(3) 240°；(4) 330°．解略．4．第几象限的角．在直角坐标系中讨论角时，通常使角的顶点和坐标原点重合，角的始边与1．教师画图，学生说角的度数．2．学生练习：画出下列各角：（1）0，360°，720°，1 080°，－360°，－720°；（2）90°，450°，－270°，－630°．学生练习：求和并作图表示：30°＋45°，60°－180°．师：观察我们刚画过的角，（1）0，360°，720°，1080°，－360°，－720°；（2）90°，450°，－270°，－630°．思考：始边、终边相同的两个角的度数有什么关系？学生讨论后回答：终边相同的两个角的度数相差360°的整数倍．师：与30°始边、终边都相同的角有哪些？有多少个？它们能不能统一用一个集合来表示？得出结论．例1（1）由学生口答，教师给出规范的书写格式．学生通过自己练习画图，深刻体会“旋转”两个字的含义，加深对任意角的概念的理解．学生自己动手画图求和，加深对旋转变化的理解．将例1分解为两个小题，边讲边练，小步子，低台阶，学生容易消化吸收．120°AOB－120°BAo60°90°C30°115新课x轴的正半轴重合.这样角的大小和方向可确定终边在坐标系中的位置.这样放置的角，我们说它在坐标系中处于标准位置．处于标准位置的角的终边落在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．例1（2）指出下列各角分别是第几象限的角．(1) 45°；(2) 135°；(3) 240°；(4) 330°．例2写出终边在y轴上的角的集合．解终边在y轴正半轴上的一个角为90°，终边在y轴负半轴上的一个角为－90°，因此，终边在y轴正半轴和负半轴上的角的集合分别是S1＝{α|α＝90°＋k·360°，k∈Z}S2＝{α |α ＝－90°＋k·360°，k∈Z}所以终边在y轴上的角的集合为S1∪S2＝{α|α＝90°＋k ·360°，k∈Z}∪{α|α＝－90°＋k·360°，k∈Z}＝{α |α＝90°＋k ·180°，k∈Z}．模仿练习：写出终边在x轴上的角的集合．例3在0～360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别判定各是第几象限的角？（1）－120°；（2）640°；（3）－950°．例4写出第一象限的角的集合．解在0～360°之间，第一象限的角的取值范围是0°＜α＜90°，所以第一象限角的集合是{α|k ·360°＜α＜90°＋k ·360°，k∈Z}．例1（2）学生口答．讲解例2时，教师结合教材图示的平面直角坐标系，带领学生分析题意．师：角的终边落在y轴上包含哪两种情况？生：终边落在y轴正半轴上或者落在y轴负半轴上．师：90°的角终边落在y轴的正半轴上吗？与它终边相同的角的集合是什么？－90°的角终边落在y轴的负半轴上吗？与它终边相同的角的集合是什么？这两个集合的并集怎么求？例3引导学生画图解决，或者用计算器解答．教师结合平面直角坐标系讲解例4．学生分组练习：（1）写出第二象限角的集合；（2）写出第三象限角的集合；（3）写出第四象限角的集合．可增加判断题：使学生准确区分0～90°的角，锐角，小于90°的角，第一象限角．例2难度较大，教师应详细讲解两个集合如何求并集．本模仿练习意在渗透B组练习的解题思路．116小结1．任意角的概念．2．角的加减运算．3．终边相同的角的集合．4．象限角的概念．教师带领学生回顾本节课的知识脉络图．本节课概念众多，通过梳理脉络，帮助学生巩固知识．作业教材P127，练习A组第3、4题；练习B组第1、3题．巩固拓展．5.1.2弧度制【教学目标】1. 理解弧度制的概念以及弧长公式，掌握角度制与弧度制的换算．2. 理解角的弧度数与实数之间的一一对应关系．3. 通过教学，使学生体会等价转化与辩证统一的思想．【教学重点】理解弧度制的概念，掌握弧度制与角度制的换算．【教学难点】理解弧度制的概念．【教学方法】本节课采用类比教学法，在复习角度制的基础上引入弧度制，深入探究它们之间的换算方法，使学生认识它们之间相互联系、辩证统一的关系.通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到弧度制的优越性，逐步适应用弧度制度量角．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图复习导入复习初中学过的角度制．师：初中学过角度制，1度角是怎么定义的？生：把一圆周360等分，则其中一份所对的圆心角是1度角．且1°＝60′，1′＝60″．师：在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制——弧度制．复习角度制．117新课新课1. 弧度制的度量单位——1弧度的角．(1) 弧长与半径的比值lr等于一个常数，只与α的大小有关，与半径长无关．（2）定义：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角；弧度记作rad．2．角度制与弧度制的换算公式．周角＝360°＝2πrr＝2πrad，即360°＝2πrad．平角＝180°＝π rad，即180°＝πrad．1°＝π180rad≈0.017 45 rad，1 rad＝(180π)︒≈57.30°＝57︒18'．由此得到n°与αrad的换算公式：α＝n π180或者n°＝α·（180π）°特殊角的弧度数与角度数的互化，见教材P130对应值表．例1把67︒30'化成弧度．解67︒30'＝（1352）︒，67︒30'＝π180rad×1352＝3π8rad．教师引导学生考察圆心角、弧长和半径之间的关系：如图，两个大小不同的同心圆中圆心角为α，设α= n°，则l＝n2 πr360，l' ＝n2 πr'360，由此，lr＝l'r'＝n2 π360．所以，对于任何一个圆心角α，所对弧长与半径的比值是一个仅与角α的大小有关的常数．这就启示我们可以用圆的半径作单位去度量弧，从而得到一种新的度量角的制度——弧度制．师举例：若所对的弧长l＝2r，那么圆心角的弧度数就是2 rad；若所对的弧长l＝3r，那么圆心角的弧度数是多少？生：3rad．若所对的弧长就是l，那么圆心角的弧度数是多少？生：lr rad．师：圆的周长所对的圆心角是多少弧度？生：圆的周长l＝2πr，周角＝360°＝2 πrr＝2πrad，即360°＝2πrad．师：180°等于多少弧度？90°呢？60°，45°，30°呢？得到特殊角的角度数与弧度数的换算．利用教材P130的对应值表或者数轴来记忆特殊角的弧度数．例1和例2可由学生自己完成，教师只指导书写格式．相应的练习题的练习方式：（1）教师说出特殊角的角通过说明同心圆中弧长与半径的比值是一个仅与圆心角α的大小有关的常数，引入1弧度的概念．由定义出发，让学生在教师的问题引导下自己探究得出角度制与弧度制之间的换算公式和弧长公式．帮助学生熟记特殊角的弧度数．l' lO r' rα118新课练习1 教材P131，练习A组第2题．例2把3 π5rad化成度．解3π5rad ＝（180π）︒×3π5＝108°．练习2 教材P131，练习A组第3、4题．例3使用函数型计算器，把下列度数化为弧度数或把弧度数化为度数（精确到小数点后4位数）：（1）67°，168°，－86°；（2）1.2 rad，5.2 rad．解略．由于角有正负，我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.无论是用角度制还是弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一一对应的关系.3．弧长公式．由弧度的定义，我们知道弧长l与半径r的比值等于所对圆心角α的弧度数(正值),即α＝lr，得到l＝α·r．这是弧度制下的弧长计算公式.例4如图，⌒AB所对的圆心角为60°，半径为5 cm，求⌒AB的长l (精确到0.1 cm)．B度，学生说弧度；（2）教师说出特殊角的弧度数，学生说角度数．熟练角的弧度数与角度数的互化．在例4中，可加上求扇形的面积一问，为课后B组第4题作准备．60︒OA119120解 因为 60°＝π3， 所以 l ＝ αr ＝π3×5≈5.2.即⌒AB 的长约为5.2 cm.小 结本节知识点：（1）弧度制的定义；（2）角度制与弧度制的换算公式；（3）弧长公式． 让学生根据板书自己总结本节主要内容．归纳整理知识点，明确弧度制的意义．作 业必做题：教材P 131，练习A 组第6题，练习B 组第1、2、3题；选做题：教材P 132，练习B 组第4题．5.2.1 任意角三角函数的定义【教学目标】1. 理解并掌握任意角三角函数的定义；熟记其在各象限的符号；掌握三角函数线的定义及画法． 2．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想． 【教学重点】任意角三角函数的定义． 【教学难点】 单位圆及三角函数线． 【教学方法】本节课主要采用启发引导与讲练结合的教学方法．在复习锐角三角函数定义的基础上，定义了任意角的三角函数，讲练结合，使学生牢固掌握．然后引导学生根据三角函数定义和象限内的点坐标符号导出三角函数在各象限的符号，接着把正弦值、余弦值、正切值转化为单位圆中的有向线段表示，使数与形密切结合起来，以加强学生对三角函数定义的理解． 【教学过程】 环节教学内容师生互动设计意图导入复习锐角三角函数定义．师：初中时我们学过锐角三角函数，当时是怎样定义的？以旧引新．新课新1.任意角的三角函数定义．已知α是任意角，P(x，y)，P'(x'，y')是角α的终边与两个半径不同的同心圆的交点．(r＝x2+y2，r'＝x'2+y'2)如图所示：当角α不变时，对于角α的终边上任意一点P（x，y），不论点P 在角α的终边上的位置如何，三个比值xr，yr，yx始终等于定值．因此定义：角α的余弦cos α＝xr；角α的正弦sin α＝yr；角α的正切tan α＝yx．依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值、正切值与之对应，所以这三个对应关系都是以角α为自变量的函数，分别叫做角α的余弦函数、正弦函数和正切函数．2.三角函数求值．根据三角函数定义，可得计算三角函数值的步骤：问题1：当我们把锐角的概念推广为转角后，我们如何定义任意角的三角函数呢？如左图所示，由相似三角形对应边成比例得，|x|r＝|x'|r'，|y|r＝|y'|r'，|y|x＝|y'|x' .由于点P，P' 在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，因此，xr＝x'r'，yr＝y'r'，yx＝y'x'，所以三个比值xr，yr，yx只依赖于α的大小，与点P 在α终边上的位置无关．教师引领学生识记三角函数定义．依据函数定义说明角α与三角函数值的对应关系．说明三角函数定义的理论根据．yPrr′yy′O x′x xP'’121课新S1 画角：在直角坐标系中，作转角等于α；S2 找点：在角α的终边上任找一点P，使|OP|＝1，并量出该点的纵坐标和横坐标；S3 求值：根据相应三角函数的定义，求该角的三角函数值．例1 已知角α终边上一点P(2，－3)，求角α的三个三角函数值．解已知点P（2，－3），则r＝|OP|＝22＋（－3）2＝13 ，由三角函数的定义，得sin α＝yr＝－313＝－31313；cos α＝xr＝213＝13132；tan α＝yx＝－32；练习1 教材P138，练习A组第1、4、5题．例2 试确定三角函数在各象限的符号．解由三角函数的定义可知，sin α＝yr，角α终边上点的纵坐标y 的正、负与角α的正弦值同号；cos α＝xr，角α终边上点的横坐标x 的正、负与角α的余弦值同号；由tan α＝yx，则当x 与y 同号时，正切值为正，当x 与y 异号时，正切值为负．三角函数在各象限的符号如下图所示：练习：在直角坐标系中，画出半径为１的圆，求出30°，38°，128°等角的正弦、余弦和正切的值.在例1中强调：（１）P为角α的终边上任意一点；（２）求三角函数值时用到的三个量x，y，r以及三者的关系；教师可通过教材P138 练习A组第1题中的练习让学生自己总结出三角函数在各象限的符号．根据三角函数的定义，及各象限内点的坐标的符号得出三角函数在各象限的符号，教师总结口诀，帮助学生记忆：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦．通过学生自己动手测量,加深学生对三角函数定义的理解,并为学习单位圆做铺垫.强调这几点为练习B组第1、2、3做铺垫.通过练习1，熟练已知角的终边上一点求三角函数值的步骤．由练习中的具体题目到例2的理论分析，由特殊到一般加深学生对三角函数符号的理解.O xy＋＋－－sinαO xy＋－＋－cosαO xy＋－－＋tanα122课新课练习2 确定下列各三角函数值的符号：(1)sin(－π4)；(2)cos 130︒；(3)tan4π3．例3 使用函数型计算器，计算下列三角函数值：(1)sin67.5︒，cos372︒，tan (－86︒)；(2) sin1.2，cos3π4，tan5π6．解略．3. 单位圆与三角函数线．如图，以原点为圆心，半径为1的圆称作单位圆．设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，过点P作PM垂直于x轴，则sin α＝y，cos α＝x，即P(cos α，sin α)．cos α＝x＝OM；sin α＝y＝MP．于是我们把规定了方向的线段OM，MP分别称作角α的余弦线、正弦线．练习3（1）在直角坐标系的单位圆中，分别画出π3和－2 π3的正弦线、余弦线．设单位圆在点A的切线与角α的终边或其反向延长线相交于点T ( T ') ，则tan α＝yx＝ATOA＝AT ( AT')，所以AT ( AT')称作角α的正切线．练习3 （2）在直角坐标系的单位练习2也可以用计算器直接求出三角函数值，然后确定符号．师：在任意角三角函数的定义中，当角α的终边上一点P（x，y）的坐标满足r＝x2+y2＝1时，三角函数的正弦、余弦会变成什么样呢？看着图示，结合三角函数定义讲解正弦线、余弦线、正切线的由来．学生自己动手，熟悉正弦线，余弦线的画法．学生自己动手，熟悉当角α在不同象限时正切线的画法．学生理解正切线难度较大，教师要详细讲解各个象限内的角的正切线的做法.O M xαA(1，0)1 P(cos α，sin α)y123圆中，分别画出π3和－2 π3的正切线．小结回忆本节课所学知识点：(1)任意角三角函数的定义（代数表示）．(2)任意角三角函数值的求法（两种方法）．(3)任意角三角函数值的符号（记住口诀）．(4)任意角三角函数的几何表示（三角函数线）．让学生叙述本节所学知识点以及典型例题及解题步骤．梳理知识脉络．作业教材P 138，练习A 组，练习B 组．本节教材内容颇多，教师可根据当堂内容布置相应作业．5.2.2 同角三角函数的基本关系式【教学目标】1. 理解并掌握同角三角函数的基本关系式，会运用公式求值，化简，证明．2. 通过教学，培养学生用方程（组）解决问题的方法，培养学生分析问题，解决问题的能力．3. 通过学习，揭示事物间普遍联系的辨证唯物主义思想．【教学重点】同角三角函数的基本关系式的推导及应用（求值、化简、恒等式证明）．【教学难点】同角三角函数的基本关系式在解题中的灵活运用．【教学方法】本节主要采用讲练结合的方法．在教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并能灵活运用．课堂中，充分发挥学生的主体作用，让学生自主探究问题并解决问题，使学生熟练用方程（组）解决问题的方法．【教学过程】124125O cos α xP (cos α，sin α)y sin α1教学 环节 教学内容师生互动 设计意图 复习 导 入复习三角函数定义、单位圆和三角函数线、勾股定理．教师提出问题，学生回答．推出sin 2α＋cos 2α＝1sin αcos α＝tan α 这两个基本关系式．新 课在单位圆中，由三角函数的定义和勾股定理，可得同角三角函数的基本关系式： sin 2 α＋cos 2α＝1； sin αcos α ＝tan α ．师讲解：1．sin 2α，cos 2α 的读法、写法．2．让学生验证30°，45°，60°的正弦，余弦，正切值满足两个关系式． 3．“同角”的概念与角的表达形式无关，如：sin 2 β＋cos 2 β＝1． 4．同角的意义：一是“角相同”； 二是“任意一个角”．初步认识和记忆两个关系式，理解“同角”的含义．应用 举当我们知道一个角的某一三角函数值时，利用这两个关系式和三角函数定义，就可求出这个角的另外几个三角函数值．此外，还可用它们化简三角函数式和证明三角恒等式．同角三角函数的基本关系式应用之一： 求值．例1 已知sin α＝45 ，且 α 是第二象限的角，求 α 的余弦和正切值． 解 由 sin 2α＋cos 2α＝1，得 cos α＝±1－sin 2α ． 因为α 是第二象限角，cos α＜0, 所以 cos α＝－1－(45)2 ＝－35 ， tan α＝sin αcos α ＝45 － 35 ＝－43 ．例2 已知 tan α＝－ 5 ，且 α 是第二象 限角，求α 的正弦和余弦值． 解 由题意得 sin 2 α＋cos 2 α＝1， ①例1鼓励学生自己解决，教师只在开方时点拨符号问题． 练习：教材 P141，练习A 组第1（2）（3）题． 小结步骤：已知正弦（或余弦）−−−−→−根据平方关系求余弦（或正弦）−−−−→−根据商数关系求正切． 例2可在教师的引导下解决，带领学生详细解方程组．练习：教材P141，练习A 组第1（4）题．多练几个类似例题的题目，使学生熟练两个基本关系式的应用和用方程求值的方法．例应用举sin αcos α＝－ 5 ．②由②，得sinα＝－ 5 cos α，代入①式得6 cos2α＝1，cos2α＝16．因为α是第二象限角，所以cos α＝－66，代入③式得sin α＝－ 5 cos α＝－ 5 ×(－66)＝306．同角三角函数的基本关系式应用之二：化简．例3化简：sin θ－cos θtan θ－1．解原式＝sinθ－cos θsin θcos θ－1＝sinθ－cos θsin θ－cos θcos θ＝cosθ．同角三角函数的基本关系式应用之三：证明．例4 求证：（1）sin4 α－cos4 α＝2 sin2α－1；（2）tan2 α－sin2α＝tan2αsin2α；（3）cos x1－sin x＝1＋sin xcos x．证明：（1）原式左边＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝sin2α－(1－sin2α)＝2 sin2α－1＝右边．因此sin4 α－cos4 α＝2 sin2 α－1．（2）原式右边＝tan2 α (1－cos2 α)＝tan2 α－tan2 αcos2 α小结步骤：知正切−−−→−解方程组求余弦（或正弦）．师：求值题目总结1．注意同角三角函数的基本关系式的变形应用．2．已知sin α，cos α，tanα中的任意一个，可以用方程（组）求出其余的两个．教师小结化简方法：把切函数化为弦函数．练习：教材P142，练习A组第2题，练习B组第1题．教师提示：证明恒等式一般从繁到简，从高次到低次．从左向右，或从右向左，或从两头向中间来证明．可让学生自己先独立探索证明思路，再小组讨论．教师在证明思路和解题格式上给予指导．由学生完成证明，展示不同证法，分析优劣．灵活应用公式，加快运算速度．为下面运用公式化简和证明做好知识铺垫．通过讨论探究，使学生进一步熟练公式的各种变形.培养学生的发散思维，提高综合运用知识分析问题、解决问题的能力．126例＝tan2 α－sin2αcos2αcos2 α＝tan2 α－sin2 α＝左边．因此tan2 α－sin2 α＝tan2 αsin2 α．（3）证法1：因为cos x1－sin x－1＋sin xcos x＝cos2x－(1－sin x)2(1－sin x)cos x＝cos2x－cos2x(1－sin x)cos x＝0．所以cos x1－sin x＝1＋sin xcos x．证法2：因为左边＝cos x1－sin x·cos xcos x＝cos2 x(1－sin x)cos x；右边＝1＋sin xcos x·1－sin x1－sin x＝cos2 x(1－sin x) cos x．所以左边＝右边．即原等式成立．对（3）作分析：思路1：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零．思路2：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果．练习：教材P142，练习A组第3题，练习B组第2题．小结1. 同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，sin αcos α＝tan α．2. 求值、化简和证明题目的思路与注意事项．师生共同总结．作业必做题：写出同角三角函数的基本关系式，并写出其变形公式．选做题：教材P142，练习B组第3题．教材课后练习A组已融在新课中．5.2.3诱导公式【教学目标】1. 理解并掌握诱导公式，会求任意角的三角函数值与证明简单的三角恒等式；1272. 了解对称变换思想在数学问题中的应用；3. 通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．【教学重点】利用诱导公式进行三角函数式的求值、化简．【教学难点】诱导公式(一)、（二）、（三）的推导．【教学方法】本节课主要采用启发诱导与讲练结合的教学方法，引导学生借助单位圆和三角函数线，充分利用对称的性质，揭示诱导公式与同角公式之间的联系，然后讲练结合，使学生牢固掌握其应用．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图复习导入1. 复习三角函数的定义、单位圆与三角函数线．2. 复习对称点的知识．1. 教师运用多媒体展示三角函数的定义、单位圆与三角函数线，提问相关问题，学生回答．2. 师：已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，请分别写出点P 关于x 轴，y轴，原点对称的点的坐标．共同回顾，为新课做准备．新课1．角α与α＋k·2π（k∈Z）的三角函数间的关系．直角坐标系中，α与α＋k·2π (k∈Z)的终边相同，由三角函数的定义，它们的三角函数值相等．公式（一）：sin(α＋k·2π) ＝sin α；cos(α＋k·2π) ＝cos α（k∈Z）；tan(α＋k·2π) ＝tan α．例1求下列各三角函数的值：(1) sin13 π2；(2) cos19 π3；(3) tan 405︒．解(1)sin13 π2＝sin(π2＋6 π)＝sinπ2＝1；(2) cos19 π3＝cos(π3＋6 π)＝cosπ3＝12；师生共同探讨得出公式（一）的结构特征：等号两边是同名函数，且符号都为正．例1由学生试着完成．教师在例1结束后小结公式(一)的作用：把任意角的三角函数转化为0~360º之间角的三角函数．练习：教材P146，练习A组第1（1）（2）题，第2（1）（2）题，第3（1）（2）题．体会诱导公式(一)的作用．熟练应用公式(一)求值．128129αxP (x ，y )M O-αP ' (x ，-y )图5-17y新 课(3) tan 405︒＝tan (45︒＋360︒)＝tan 45︒＝1．2. 角α 和角－α 的三角函数间的关系． 如图5-17，设单位圆与角α和角－α的终边的交点分别是点P 和点P´．容易看出，点 P 与点 P´ 关于 x 轴对称．已知P (cos α，sin α)和 P '(cos(－α)，sin(－α))． 于是，得到公式（二）：sin （－α）＝－sin α；cos （－α）＝ cos α；tan （－α）＝－tan α．例2 求下列各三角函数的值： (1) sin (－π6 )； (2) cos(－π4 )；(3) tan(－π3 )； (4) sin(－7π3 )．解 (1) sin (－π6 )＝－sin π6 ＝－12 ；(2) cos(－π4 )＝ cos π4 ＝ 22；(3) tan(－π3 )＝－tan π3 ＝－ 3 ；(4) sin(－7π3 )＝－sin 7π3＝－sin(π3 ＋2π )＝－sin π3 ＝－ 32．3.角α 与α ±π的三角函数间的关系． 如图5-18，角 α 与 α ±π 的终边与单位圆分别相交于点 P 与点P´，容易看观察图5-17，教师引导学生回答，点 P´ 与点 P 的位置关系怎样？它们的坐标之间有什么关系？推出诱导公式（二）．学生独立完成，并交流解题心得．例2结束后教师小结诱导公式(二)的作用：把任意负角的三角函数转化为正角三角函数． 练习：教材P146，练习A 组第1（3）（4）题，第2（3）（4）题，第3（3）（4）题．教师引导学生观察图5-18，熟练应用公式（二）求值．教师用语言叙述公式，更利于学新课出，点P 与点P´关于原点对称，它们的坐标互为相反数P( x，y)，P´(－x，－y)，所以得到公式（三）sin (α±π) ＝－sin α；cos (α±π) ＝－cos α；tan (α±π ) ＝tan α．4.角α与π－α的三角函数间的关系．如图5-19，角α与π－α和单位圆分别交于点P与点P´，由P´与点P关于y轴对称，可以得到α与π－α之间的三角函数关系：sin(π－α)＝sin α；cos(π－α)＝－cos α．即互为补角的两个角正弦值相等，余弦值互为相反数．例如：sin5π6＝sinπ6＝12；cos3π4＝－cosπ4＝－22．例3求下列各三角函数的值：并回答，点P´与点P 的位置关系怎样？它们的坐标之间有什么关系？推出诱导公式（三）．生理解掌握公式特征．利用例3，熟练运用公式(三)求三角函数值．ＰP´xyOαπ-α图5-19Ｐ(x，y)xyOαα+πP'(-x,-y)α-π图5-18130新课(1) sin4π3；(2) cos(－8π3)；(3) tan(－10π3)；(4) sin 930︒．解略．例4求下列各三角函数的值：(1) sin(－55π6)；(2) cos11π4；(3) tan(－14π3)；(4) sin870︒．解(1)sin(－55π6)＝－sin(π6＋9π)＝－(－sinπ6)＝12；(2)cos11π4＝cos(－π4＋3π)＝cos(π－π4)＝－cosπ4＝－22；(3)tan(－14π3)＝tan(π3－5π)＝tanπ3＝ 3 ；(4)sin870︒＝sin(－30︒＋5×180︒)＝sin(180︒－30︒)＝sin30︒＝12．例5化简：sin(2π－α)tan(α +π)tan(－α－π)cos(π－α)tan(3π－α)解sin(2π－α) tan(α +π) tan(－α－π)cos(π－α) tan(3π－α)＝sin(－α) tanα tan(－α)－cosα tan(－α)＝－sinα tanα－cosα＝tan2α．学生独立完成，并交流解题心得．教师在例3结束后小结诱导公式(三)的作用：把任意负角的三角函数转化为正角的三角函数．教师总结解题步骤：先用诱导公式(二)把负角的三角函数化为正角的三角函数，然后再用诱导公式(三)把它们化为锐角的三角函数来求．进一步强化学生运用公式的灵活性．解题关键是找出题中各角与锐角的关系，转化为求锐角的三角函数值．教师对例5小结：化简时，综合应用诱导公式(一)、(二)、(三)，适当地改变角的结构，使之符合诱导公式中角的形式，是解决问题的关键．利用例4，学会综合运用诱导公式求任意角的三角函数值．利用例5，学会综合运用各组诱导公式化简较复杂的三角代数式．131小结求任意角的三角函数值的步骤：师生共同总结、交流．让学生养成自己归纳、总结的习惯，重视数学思想方法的应用．作业必做题：教材P146，练习B组．5.3.1 正弦函数的图象和性质【教学目标】1. 理解并掌握正弦函数的图象和性质，会用“五点法”画出正弦函数的简图；2. 通过教学，使学生进一步掌握数形结合研究函数的方法．【教学重点】正弦函数的图象和性质．【教学难点】用正弦线画正弦曲线，正弦函数的周期性．【教学方法】本节课主要采用观察分析与讲练结合的教学方法．教师借助较先进的教学手段，启发引导学生利用单位圆中的正弦线，较精确地画出正弦曲线，然后通过观察图象，得到简单的五点作图法；通过练习，使学生熟练五点作图法．通过设置问题引导学生观察、分析正弦线的变化情况，从诱导公式与函数图象两方面来总结归纳正弦函数的性质；通过例题，进一步渗透数形结合研究函数的方法．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图复习复习单位圆与正弦线．教师要求学生在直角坐标系中作出单位圆，并分组分别作出π6，π3，π2的正弦线，小组交流．复习正弦线，顺利引出下面的几何法作图．这节课，将利用正弦线来做出正弦函数y＝sin x，x R的图象．1. 正弦函数的图象．任意负角的三角函数任意正角的三角函数0到2π内的三角函数锐角三角函数公式（一）公式（二）公式（三）132。

《三角函数》复习教案【知识网络】学法：1．注重化归思想的运用．如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等2．注意数形结合思想的运用．如讨论函数性质等问题时，要结合函数图象思考，便易找出解题思路和问题答案．第1课 三角函数的概念【学习目标】理解任意角的概念、弧度的意义． 能正确地进行弧度与角度的换算． 掌握终边相同角的表示方法． 掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义．了解余切、正割、余割的定义． 掌握三角函数的符号法则． 【考点梳理】考点一、角的概念与推广1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角：与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ三角函数知识框架图第一象限角的集合：{|22,}2k k k Z πβπβπ<<+∈第二象限角的集合：{|22,}2k k k Z πβπβππ+<<+∈第三象限角的集合：3{|22,}2k k k Z πβππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合：3{|222,}2k k k Z πβπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2k k Z πββπ=+∈终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2k k Z πββ=∈ 要点诠释：要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 考点二、弧度制1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α=⋅，扇形面积21122S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）.2．角度制与弧度制的换算：180π=；18010.017451()57.305718'180rad rad rad ππ=≈=≈=；要点诠释：要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记r OP ==则sin y r α=, cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec rxα=，csc r y α=.2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线.3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是{|,}2k k Z πααπ≠+∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈.4. 三角函数值在各个象限内的符号：要点诠释：①三角函数的定义是本章内容的基础和出发点，正确理解了三角函数的定义，则三角函数的定义域、三角函数在各个象限内的符号以及同角三角函数之间的关系便可以得到牢固掌握．利用定义求三角函数值时，也可以自觉地根据角的终边所在象限进行分情况讨论.②三角函数线是三角函数的几何表示，是处理有关三角问题的重要工具，它能把某些繁杂的三角问题形象直观地表达出来．有关三角函数值的大小比较问题、简单三角不等式及简单三角方程的解集的确定等问题的解决常结合使用三角函数线，这是数形结合思想在三角中的具体运用. 【典型例题】类型一、角的相关概念 例1.已知θ是第三象限角,求角2θ的终边所处的位置. 【答案】2θ是第二或第四象限角 【解析】方法一：∵θ是第三象限角，即322,2k k k Z πππθπ+<<+∈， ∴3,224k k k Z πθπππ+<<+∈,当2k n =时，322,224n n n Z πθπππ+<<+∈, ∴2θ是第二象限角， 当21k n =+时，3722,224n n n Z πθπππ+<<+∈, ∴2θ是第四象限角， ∴2θ是第二或第四象限角. 方法二：由图知:2θ的终边落在二，四象限. 【总结升华】（1）要熟练掌握象限角的表示方法．本题容易误认为2θ是第二象限角，其错误原因为认为第三象限角的范围是3(,)2ππ．解决本题的关键就是为了凑出2π的整数倍，需要对整数进行分类．（2）确定“分角”所在象限的方法：若θ是第k (1、2、3、4)象限的角，利用单位圆判断nθ，(*n N ∈)是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧n 等份，并从x 正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1、2、3、4，再循环，直到填满为止，则有标号k 的区域就是角nθ (*n N ∈)终边所在的范围。

三角函数一、随意角1.角的观点的推行⑴“旋转”形成角BαAO⑵“正角”与“负角”“0 角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以 OA为始边的角α＝ 210°，β＝－ 150°，γ＝ 660°。

210 0660-150 0特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也以为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。

记法：角或能够简记成。

2.“象限角”角的极点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在座标轴上，则此角不属于任何一个象限）3.终边同样的角全部与终边同样的角连同在内能够组成一个会合。

S|k 360 ,k Z二、弧度制1.定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角它的单位是rad ，读做弧度，这类用“弧度”做单位来胸怀角的制度叫做弧度制．说明：（ 1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0（ 2）角的弧度数的绝对值公式：l为弧长， r为半径）（ lr2.角度制与弧度制的换算：∵ 360 ＝2 rad∴180＝rad ∴1 ＝1801rad 18057.30 57 18'3.两个公式1）弧长公式：由公式：l rl比公式 ln rl r简单r180弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积2）扇形面积公式S1 lR此中l是扇形弧长，R 是圆的半径24.一些特别角的度数与弧度数的对应值应当记着：角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0π /6π /4π /3π /22π /33π /45π /6π角度210°225°240°270°300°315°330°360°7π /65π /44π /33π /25π /37π /411π2π弧度/65.应确定以下的观点：角的观点推行以后，不论用角度制仍是弧度制都能在角的会合与实数的会合之间成立一种一一对应的关系正角正实数零角零负角负实数随意角的会合实数集 R三、随意角三角函数的定义1.设是一个随意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（ x， y）222y20则 P 与原点的距离rxy x(x, y)r（ 1）把比值y叫做的正弦记作：siny r r（ 2）把比值x叫做的余弦记作：cosx r（ 3）把比值y叫做的正切记作：xrytanx上述三个比值都不会随P点在的终边上的地点的改变而改变. 当角的终边在纵轴上时，即k( k Z) 时，终边上随意一点P 的横坐标 x 都为0，因此tan无心义；2它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上三种函数，统称为三角函数。

人教版中职数学拓展模块《角公式的应用》教案 (一)《角公式的应用》教案是人教版中职数学拓展模块中的一课，该课程主要讲述了角度的概念以及角公式在几何问题中的运用。

本文将从以下方面对该教案进行分析和评价。

一、教案的结构本教案由导入、讲解、实践、总结等四部分组成。

导入部分主要通过让学生思考一个问题引起学生兴趣，讲解部分对角度的概念和角公式进行深入的解释，实践部分让学生通过练习题巩固所学知识，总结部分则对本课所学内容进行清晰的概括和总结。

二、教案的教学目标该教案旨在帮助学生掌握角度的概念和角公式在几何问题中的应用，让学生能够灵活运用已学知识解决实际问题。

三、教案的教学方法该教案采用了多种教学方法，包括讲解、演示、练习、讨论等，通过多种方式对学生进行知识的传授和学习效果的检测，能够提高学生的学习热情和学习效果。

四、教案的实际应用该教案在实际应用中具有一定的可操作性和实用性。

通过让学生进行练习，帮助学生巩固所学知识，同时也能够让学生了解到角公式在实际问题中的应用，对于学生的学习和日后的生活都具有一定的指导和帮助作用。

五、教案的改进点该教案虽然在总体上比较完善，但在实际运用中，仍有一些需要改进的地方。

例如在实践部分可以加入一些具体的实际问题供学生思考和解决，同时也可以对所涉及的概念和公式进行深入的解释和分析，以增强学生的理解和掌握。

综上所述，《角公式的应用》教案是一份比较完善的教案，通过导入、讲解、实践、总结等四个部分对学生进行知识传授和学习效果检测，同时也具有一定的可操作性和实用性。

在实际应用中，还可以根据具体情况进行进一步改进，以满足不同学生的学习需求。

中职数学拓展模块全册教案目录1.1.1.1两角和与差的余弦公式 (1)1.1.1.2两角和与差的正弦公式 (6)1.1.2 二倍角公式 (10)1.2 正弦型函数 (16)1.3 .1余弦定理 (22)1.3 .2正弦定理 (27)2.1.1椭圆的标准方程 (32)2.1.2椭圆的几何性质 (40)2.2.1双曲线的标准方程 (45)2.2.2双曲线的几何性质 (52)2.3.1抛物线的标准方程 (61)2.3.2抛物线的性质 (69)3.1.1排列 (75)3.1.2 组合 (82)3.1.3二项式定理 (88)3.2.1离散型随机变量及其分布 (95)3.2.2二项分布 (102)课时教学设计首页（试用）授课时间：年月太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制☆补充设计☆教师行为学生行为设计意图 导入：创设情境 兴趣导入问题： 我们知道，13cos60cos3022︒=︒=，，显然()cos 6030cos60cos30︒-︒≠︒︒-．由此可知 ()cos cos cos αβαβ-≠-． 新课：动脑思考 探索新知在单位圆（如上图）中，设向量OA 、OB 与x 轴正半轴的夹角分别为α和β，则点A 的坐标为（cos ,sin αα），点B 的坐标为（cos ,sin ββ）．因此向量(cos ,sin )OA αα=，向量(cos ,sin )OB ββ=，且1OA =,1OB =．于是cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=⋅⋅-=-，又cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=⋅+⋅，1、回顾三角函数相关知识2、复习向量的有关知识3、学生计算三角函数值并验证猜想思考：如何计算出)cos(βα-)的值？回顾向量的坐标运算、数量积运算太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制课时教学设计首页（试用）太原市教研科研中心研制课时教学设计首页（试用）太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制BC AC AB=-，所以)•=-•-（）（BC BC AC AB AC AB22=+-•2AC AB AC AB22+-AC AB AC AB A2cos222cos=+-．b c bc A2222=+-a b c同理可得2222=+-b ac acBC BA AC =+， 两边取与单的数量积，得BC BA BC BA BC •••=+（）=+．j j j90BC B BA AC A >=︒-⊥>=-，，，，j <j 设与角A ，B ，C 相对应的边长分别为a c ，故 cos(90)0cos(90)a B b A ︒-=+-︒， sin sin a B b A =，中职中专数学教学设计教案☆补充设计☆教 师行为学生行为 设计意图*揭示课题2．1 椭圆． *创设情境 兴趣导入我们已经学习过直线与圆的方程．知道二元一次方程0Ax By C ++=为直线的方程，二元二次方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->为圆的方程．下面将陆续研究一些新的二元二次方程及其对应的曲线．了解观看 课件 思考引导启发学生得出结果*动脑思考 探索新知先来做一个实验：准备一条一定线绳、两枚钉子和一支铅笔按照下面的步骤画一个椭圆：（1）如图2－1所示，将绳子的两端固定在画板上的1F 和2F 两点，并使绳长大于1F 和2F 的距离．（2）用铅笔尖将线绳拉紧，并保持线绳的拉紧状态，笔尖在画板上慢慢移动一周，观察所画出的图形．从实验中可以看到，笔尖（即点M ）在移动过程中，与两个定点1F 和2F 的距离之和始终保持不变（等于这条绳子的长度）． 我们将平面内与两个定点12F F 、的距离之和为常数（大于12F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做焦距．思考引导学生发现解决问题方法实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来研究椭圆的方程．取过焦点12F F 、的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2－2所示．设M (x ，y )是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距为2c （c ＞0），椭圆上的点与两个定点12F F 、的距离之和为2a （a ＞0），则12F F ，的坐标分别为（－c ，0），（c ，0），由条件122MF MF a +=，得2222()()2x c y x c y a +++-+=，移项得2222()2()x c y a x c y ++=--+，两边平方得2222222()44()()x c y a a x c y x c y ++=--++-+， 整理得 222()a cx a x c y -=-+， 两边平方后，整理得 22222222()()a c x a y a a c -+=-， 由椭圆的定义得2a ＞2c ＞0，即a ＞c ＞0，所以220a c ->，设222(0)a c b b -=>，则222222b x a y a b +=，【小提示】设222a c b -=，不仅使得方程变得简单规整，同时在后面讨论椭圆的集合性质时，还会看到它有明确的几何意义．22理解 记忆图2－2222210x y a b a b += (＞＞) （2.1） 方程（2.1）叫做焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．它所表示的椭圆的焦点是12(0)(0)F c F c -，，，，并且222a c b -=．如图2－3所示，如果取过焦点12F F 、的直线为y 轴，线段12F F 的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，用类似的方法可以得到椭圆的标准方程为222210y x a b a b+= (＞＞) （2.2）图2－3方程（2.2）叫做焦点在y 轴上的椭圆的标准方程．字母a 、b 的意义同上，并且222a c b -=． 【想一想】已知一个椭圆的标准方程，如何判定焦点在x 轴还是在y 轴？*巩固知识 典型例题例1 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为8，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10．求椭圆的标准方程．解 由于2c =8，2a =10，即c =4，a =5，所以 2229b a c =-=，由于椭圆的焦点在x 轴上，因此椭圆的标准方程为2222153x y+=，观察思考主动 求解注意观察学生是否理解知识点太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制2.了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系太原市教研科研中心研制太原市教研科研中心研制课 时 教 学 流 程太原市教研科研中心研制☆补充设计☆教 学 过 程学生行为 设计意图 *揭示课题2．2 双曲线．*创设情境 兴趣导入我们先来做一个实验．取一条两边长度不等的拉链（如图2－8），将拉链的两边分别固定在两个定点12F F 、（拉链两边的长度之差小于12F F 、的距离）上，把铅笔尖固定在拉链锁口处，慢慢拉开拉链，使铅笔尖慢慢移动，画出图形的一部分；再将拉链的两边交换位置分别固定在21F F 、处，用同样的方法可以画出图形的另一部分．图2－8从实验中发现：笔尖（即点M ）在移动过程中，与两个定点12F F 、的距离之差的绝对值始终保持不变（等于拉链两边的长度之差）． 了解观看 课件思考引导 启发学生得出结果*动脑思考 探索新知我们将平面内到两个定点12F F 、的距离之差的绝对值为常数（小于12F F ）的点的轨迹（或集合）叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距．实验画出的图形就是双曲线．下面我们根据实验的步骤来研究双曲线的方程．M太原市教研科研中心研制意图图2－9取过焦点12F F 、的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2－9，设双曲线的焦距为2c ，则两个焦点12F F 、的坐标分别为（－c ，0），（c ，0）．设M (x ，y )为双曲线上的任意一点，M 与两个焦点12F F 、的距离之差的绝对值为2a ，则122MF MF a -=，即 122MF MF a -=±． 于是有2222()()2x c y x c y a +++-+=±． 将上式化简（类似于求椭圆的方程），得22222222()()c a x a y a c a --=-．由双曲线的定义知，2c ＞2a ，即c ＞a ，因此220c a ->．令222(0)c a b b -=>，则上式变为222222b x a y a b -=两边同时除以22a b ，得22221(00)x y a b a b -= ＞，＞ （2.3） 方程（2.3）叫做焦点在x 轴上的双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点是12(0)(0)F c F c -，，，，并且思考理解引导学生发现解决问题方法太原市教研科研中心研制意图222b c a =-．图2－10如图2－10所示，如果取过焦点12F F 、的直线为y 轴，线段12F F 的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，那么用类似的方法可以得到双曲线的方程22221(00)y x a b a b -= ＞，＞ （2.4） 方程（2.4）叫做焦点在y 轴上的双曲线的标准方程．焦点为12(0)(0)F c F c -，，，．字母a ，b 意义同上，并且222b c a =-．【想一想】已知一个双曲线的标准方程，如何判定焦点在x 轴还是在y 轴？ 记忆*巩固知识 典型例题例1 已知双曲线的焦点在x 轴上，且焦距为14，双曲线上一点到两个焦点距离之差的绝对值等于8，请写出双曲线的标准方程． 解 由已知得 2c = 14，2a = 8，即c = 7，a = 4，所以22233b c a =-=．观察思考主动 求解注意 观察 学生 是否 理解 知识 点太原市教研科研中心研制。

三角函数复习教案整理一、教学目标1. 回顾和巩固三角函数的基本概念、性质和公式。

2. 提高学生解决实际问题中涉及三角函数的能力。

3. 培养学生的逻辑思维和运算能力。

二、教学内容1. 三角函数的定义与性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义与性质特殊角的三角函数值2. 三角函数的图象与性质三角函数的图象特点三角函数的周期性、奇偶性、单调性3. 三角函数公式和差公式、倍角公式、半角公式、积化和差与和差化积公式正弦定理、余弦定理4. 三角函数的应用三角函数在几何中的应用三角函数在物理中的应用三、教学重点与难点1. 重点：三角函数的基本概念、性质、公式及应用。

2. 难点：三角函数的图象与性质的理解和应用，以及解决实际问题中的三角函数应用。

四、教学方法1. 采用讲解、示范、练习、讨论相结合的方法。

2. 利用多媒体课件辅助教学，直观展示三角函数的图象和性质。

3. 引导学生通过自主学习、合作交流，提高解决问题的能力。

五、教学过程1. 导入：回顾三角函数的定义与性质，引导学生思考三角函数在实际问题中的应用。

2. 新课：讲解三角函数的图象与性质，通过示例让学生理解并掌握。

3. 练习：让学生通过练习题，巩固所学内容，提高解决问题的能力。

4. 拓展：引导学生思考三角函数在其他领域的应用，如物理、工程等。

5. 小结：总结本节课的主要内容，强调重点和难点。

6. 作业：布置适量作业，让学生巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂讲解：观察学生对三角函数概念、性质和公式的理解程度，以及他们能否熟练运用相关知识解决问题。

2. 练习题：通过学生完成练习题的情况，评估他们对于三角函数图象与性质、公式的掌握程度。

3. 小组讨论：评估学生在合作交流中的参与程度，以及他们解决问题的能力。

七、教学反思1. 针对课堂讲解，反思教学方法是否适合学生的学习需求，是否需要调整讲解方式和节奏。

2. 针对练习题，反思习题难度是否适中，是否需要增加或调整习题类型。

三角函数复习教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握三角函数的定义及性质；（2）熟练运用三角函数公式进行计算；（3）理解三角函数在实际问题中的应用。

2. 过程与方法：（1）通过复习，巩固三角函数的基本概念；（2）学会运用归纳法、类比法等方法总结三角函数的性质；（3）提高运用三角函数解决实际问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的团队协作精神；二、教学内容1. 三角函数的定义与性质（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的定义；（2）三角函数的周期性；（3）三角函数的奇偶性；（4）三角函数的单调性。

2. 三角函数公式（1）和差化积公式；（2）积化和差公式；（3）倍角公式；（4）半角公式。

3. 三角函数在实际问题中的应用（1）角度与弧度的互化；（2）三角函数在几何问题中的应用；（3）三角函数在物理问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）三角函数的定义与性质；（2）三角函数公式的运用；（3）三角函数在实际问题中的应用。

2. 教学难点：（1）三角函数公式的灵活运用；（2）解决实际问题时的三角函数求解。

四、教学方法1. 采用讲解法、问答法、讨论法等教学方法；2. 利用多媒体课件辅助教学，增强学生的直观感受；3. 设置适量练习，巩固所学知识。

五、教学过程1. 导入：通过复习三角函数的基本概念，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。

2. 讲解：（1）讲解三角函数的定义与性质，通过示例让学生理解并掌握；（2）介绍三角函数公式，引导学生学会运用公式解决实际问题；（3）讲解三角函数在实际问题中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 练习：布置适量练习题，让学生巩固所学知识，并及时给予解答和指导。

4. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调重点和难点，鼓励学生课后进行自主复习。

5. 课后作业：布置课后作业，巩固课堂所学知识，提高学生的实际运用能力。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问，了解学生对三角函数定义与性质的理解程度。

三角函数复习教案整理一、教学目标1. 回顾和巩固三角函数的基本概念、性质和公式。

2. 提高学生运用三角函数解决实际问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。

二、教学内容1. 三角函数的定义与性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义周期性、奇偶性、单调性图像与性质2. 三角函数的公式和差公式、倍角公式、半角公式积化和差与和差化积公式正弦定理与余弦定理3. 三角函数的应用角度与弧度的互化三角函数在几何中的应用三角函数在物理中的应用三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方式，引导学生主动探究三角函数的性质和公式。

2. 利用多媒体课件辅助教学，展示三角函数的图像和实际应用场景。

3. 组织小组讨论，鼓励学生分享自己的解题思路和心得。

四、教学步骤1. 复习三角函数的基本概念，引导学生回顾正弦函数、余弦函数、正切函数的定义。

2. 分析三角函数的性质，如周期性、奇偶性、单调性，并通过示例讲解如何应用这些性质解决问题。

3. 讲解三角函数的公式，包括和差公式、倍角公式、半角公式等，并通过例题展示公式的应用。

4. 结合实际应用场景，讲解三角函数在几何和物理中的应用，巩固学生对三角函数的理解。

五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理三角函数的基本概念、性质和公式。

2. 完成课后练习题，巩固和应用三角函数的知识。

3. 准备下一节课的预习内容，了解三角函数图像的特点和绘制方法。

六、教学评价1. 课堂讲解：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况和理解程度，评估学生对三角函数基本概念、性质和公式的掌握情况。

2. 课后作业：检查学生完成的课后练习题，评估学生对课堂所学知识的应用能力。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作态度、交流能力和思维深度。

七、教学资源1. 多媒体课件：制作三角函数的图像、公式和实际应用场景的演示文稿。

2. 练习题库：准备一系列的练习题，包括填空题、选择题、解答题等，用于巩固和检测学生的学习效果。

教案：人教版中职数学教材-基础模块下册全册教案B第一章：三角函数1.1 三角函数的概念教学目标：1. 理解三角函数的概念；2. 掌握锐角三角函数的定义；3. 会用直角三角形求解锐角三角函数值。

教学内容：1. 三角函数的定义；2. 锐角三角函数的定义及求解方法；3. 直角三角形求解锐角三角函数值。

教学重点：三角函数的概念及锐角三角函数的定义。

教学难点：直角三角形求解锐角三角函数值。

教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解三角函数的概念；2. 采用演示法，让学生通过观察直角三角形模型，直观地理解锐角三角函数的定义；3. 采用练习法，让学生通过实际操作，掌握直角三角形求解锐角三角函数值的方法。

教学步骤：1. 引入直角三角形，引导学生认识三角函数的概念；2. 讲解锐角三角函数的定义，让学生理解正弦、余弦、正切等概念；3. 通过演示法，让学生观察直角三角形模型，直观地理解锐角三角函数的定义；4. 引导学生运用直角三角形求解锐角三角函数值，让学生掌握求解方法；5. 布置练习题，让学生巩固所学知识。

1.2 三角函数的图像与性质教学目标：1. 了解三角函数的图像特点；2. 掌握三角函数的性质；3. 会利用三角函数的性质解决实际问题。

教学内容：1. 三角函数的图像特点；2. 三角函数的性质；3. 利用三角函数的性质解决实际问题。

教学重点：三角函数的图像特点及性质。

教学难点：利用三角函数的性质解决实际问题。

教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解三角函数的图像特点；2. 采用演示法，让学生通过观察函数图像，直观地理解三角函数的性质；3. 采用练习法，让学生通过实际操作，掌握利用三角函数的性质解决实际问题的方法。

教学步骤：1. 讲解三角函数的图像特点，让学生了解函数图像的波动规律；2. 讲解三角函数的性质，让学生掌握正弦、余弦、正切等函数的性质；3. 通过演示法，让学生观察函数图像，直观地理解三角函数的性质；4. 引导学生运用三角函数的性质解决实际问题，让学生学会将理论知识应用于实际；5. 布置练习题，让学生巩固所学知识。

《三角函数》复习教案【知识网络】学法：1．注重化归思想的运用．如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等2．注意数形结合思想的运用．如讨论函数性质等问题时，要结合函数图象思考，便易找出解题思路和问题答案．第1课 三角函数的概念【学习目标】理解任意角的概念、弧度的意义． 能正确地进行弧度与角度的换算． 掌握终边相同角的表示方法． 掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义．了解余切、正割、余割的定义． 掌握三角函数的符号法则． 【考点梳理】考点一、角的概念与推广1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角：与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合：{|22,}2k k k Z πβπβπ<<+∈第二象限角的集合：{|22,}2k k k Z πβπβππ+<<+∈第三象限角的集合：3{|22,}2k k k Z πβππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合：3{|222,}2k k k Z πβπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2k k Z πββπ=+∈终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2k k Z πββ=∈ 要点诠释：要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 考点二、弧度制1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α=⋅，扇形面积21122S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）.2．角度制与弧度制的换算：180π=；18010.017451()57.305718'180rad rad rad ππ=≈=≈=；要点诠释：要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记22r OP x y ==+则sin y r α=, cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec rxα=，csc r y α=.2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线.3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是{|,}2k k Z πααπ≠+∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈.4. 三角函数值在各个象限内的符号：要点诠释：①三角函数的定义是本章内容的基础和出发点，正确理解了三角函数的定义，则三角函数的定义域、三角函数在各个象限内的符号以及同角三角函数之间的关系便可以得到牢固掌握．利用定义求三角函数值时，也可以自觉地根据角的终边所在象限进行分情况讨论.②三角函数线是三角函数的几何表示，是处理有关三角问题的重要工具，它能把某些繁杂的三角问题形象直观地表达出来．有关三角函数值的大小比较问题、简单三角不等式及简单三角方程的解集的确定等问题的解决常结合使用三角函数线，这是数形结合思想在三角中的具体运用. 【典型例题】类型一、角的相关概念 例1.已知θ是第三象限角,求角2θ的终边所处的位置. 【答案】2θ是第二或第四象限角 【解析】方法一：∵θ是第三象限角，即322,2k k k Z πππθπ+<<+∈， ∴3,224k k k Z πθπππ+<<+∈, 当2k n =时，322,224n n n Z πθπππ+<<+∈, ∴2θ是第二象限角， 当21k n =+时，3722,224n n n Z πθπππ+<<+∈, ∴2θ是第四象限角， ∴2θ是第二或第四象限角.方法二：由图知:2θ的终边落在二，四象限. 【总结升华】（1）要熟练掌握象限角的表示方法．本题容易误认为2θ是第二象限角，其错误原因为认为第三象限角的范围是3(,)2ππ．解决本题的关键就是为了凑出2π的整数倍，需要对整数进行分类．（2）确定“分角”所在象限的方法：若θ是第k (1、2、3、4)象限的角，利用单位圆判断nθ，(*n N ∈)是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧n 等份，并从x 正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1、2、3、4，再循环，直到填满为止，则有标号k 的区域就是角nθ (*n N ∈)终边所在的范围。

三角函数复习教案一、教学目标1. 知识点：（1）掌握三角函数的定义及性质；（2）了解三角函数在实际问题中的应用；（3）熟练运用三角函数公式进行计算。

2. 能力目标：（1）提高学生的逻辑思维能力；（2）培养学生的数学表达能力；（3）提升学生的数学解决问题的能力。

二、教学内容1. 三角函数的定义及性质（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的定义；（2）三角函数的周期性；（3）三角函数的奇偶性；（4）三角函数的单调性。

2. 三角函数公式（1）和差化积公式；（2）积化和差公式；（3）倍角公式；（4）半角公式。

三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数的性质和公式；2. 利用多媒体课件，直观展示三角函数的图像和实际应用问题；3. 开展小组讨论，培养学生的合作意识；4. 进行适量练习，巩固所学知识。

四、教学步骤1. 导入新课，回顾三角函数的定义及性质；2. 讲解三角函数公式，并通过例题演示公式的应用；3. 开展小组讨论，让学生自主探究三角函数的性质和公式；4. 利用多媒体课件，展示三角函数在实际问题中的应用；5. 进行课堂练习，巩固所学知识。

五、课后作业1. 复习三角函数的定义及性质；2. 熟练掌握三角函数公式，并进行相关计算；3. 思考实际问题中三角函数的应用。

教学反思：在课后对教学效果进行反思，根据学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。

关注学生的学习兴趣，激发学生的学习积极性，提高学生的数学素养。

六、教学评价1. 评价内容：（1）三角函数定义及性质的理解；（2）三角函数公式的掌握及运用；（3）实际问题中三角函数的应用。

2. 评价方法：（1）课堂问答；（2）课后作业；（3）小组讨论；（4）测试卷。

七、教学拓展1. 深入了解三角函数在科学、工程、医学等领域的应用；2. 探究三角函数与其他数学学科的联系；3. 研究三角函数的历史发展。

八、教学资源1. 教材；2. 多媒体课件；3. 练习题；4. 相关论文及资料。

三角函数复习教案整理一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握三角函数的定义及性质；（2）了解三角函数在各象限的符号变化；（3）掌握三角函数的图像和几何意义；（4）学会运用三角函数解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过复习，巩固三角函数的基本概念；（2）借助图像，理解三角函数的性质；（3）运用数形结合的方法，解决三角函数问题。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的逻辑思维能力；（2）提高学生对数学美的感知；（3）激发学生学习三角函数的兴趣。

二、教学内容1. 三角函数的定义与性质（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的定义；（2）三角函数的周期性；（3）三角函数的奇偶性；（4）三角函数的单调性。

2. 三角函数在各象限的符号变化（1）第一象限：正弦函数、余弦函数、正切函数均为正；（2）第二象限：正弦函数为正，余弦函数、正切函数为负；（3）第三象限：正弦函数、余弦函数、正切函数均为负；（4）第四象限：正弦函数为负，余弦函数、正切函数为正。

3. 三角函数的图像与几何意义（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的图像；（2）三角函数在直角坐标系中的几何意义；（3）三角函数图像的变换。

4. 三角函数的应用（1）已知三角函数值，求角度；（2）已知角度，求三角函数值；（3）运用三角函数解决实际问题。

三、教学重点与难点1. 重点：三角函数的定义、性质、图像及应用。

2. 难点：三角函数在各象限的符号变化，三角函数图像的变换。

四、教学方法与手段1. 教学方法：讲解法、演示法、练习法、小组讨论法。

2. 教学手段：多媒体课件、黑板、三角板、教具。

五、教学过程1. 导入新课：回顾上节课的内容，引出本节课的主题——三角函数复习。

2. 知识梳理：讲解三角函数的定义、性质、图像及应用。

3. 课堂演示：利用多媒体课件，展示三角函数的图像，引导学生理解三角函数的性质。

4. 实例分析：分析实际问题，运用三角函数解决，巩固所学知识。

5. 练习巩固：布置练习题，让学生独立完成，检查学习效果。

三角函数一、知识总结⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角注:在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。

若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：正确理解角：要正确理解“oo 90~0间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o90的角”= ；xy OxyO3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。

（答：25- ；536π-）（2）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.如α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。

三角函数复习一.任意角、弧度制正角：射线按逆时针方向旋转形成的角1.任意角的概念负角：射线按顺时针方向旋转形成的角零角：射线不作旋转形成的角2.象限角：置角的顶点于原点，始边重合于X轴的正半轴，终边落在第几象限就是第几象限。

如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角.终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同3.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}4.弧度制定义：我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

“弧度”常用“rad”表示。

任一已知角α的弧度数的绝对值求法：︱α︱= l（α角所对应的弧长）/r（半径）扇形面积公式：s = 1/2 lr=1/2r2︱α︱二.任意角的三角函数常见角的三角函数：角α30º45º60°120°135°150°角α的弧度数sinαcosαtanα三角函数的诱导公式sin（2kπ+α）=sinα k∈z sin（π+α）=－sinα k∈z sin（－α）=－sinαcos（2kπ+α）=cosα k∈z cos（π+α）=－cosα k∈z cos（－α）=cosαtan（2kπ+α）=tanα k∈z tan（π+α）=tanα k∈z tan（－α）=－tanαcot（2kπ+α）=cotα k∈z cot（π+α）=cotα k∈z cot（－α）=－cotαsin（π－α）=sinα sin（π/2+α）=cosα sin（π/2－α）=cosαcos（π－α）=－cosαcos（π/2+α）=－sinαcos（π/2－α）=sinαtan（π－α）=－tanαtan（π/2+α）=－cotαtan（π/2－α）=cotαcot（π－α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanα cot（π/2－α）=tanαtanα ·cotα=1 sin2(α)+cos2(α)=1sinα ·cscα=11+tan2(α)=sec2(α)cosα ·secα=11+cot2(α)=csc2(α)两角和差公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin2α=2sinαcosαsin （α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ cos2α=cos 2(α)－sin 2(α)=2cos 2(α)－1=1－2sin 2(α) cos （α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ tan2α=2tanα/(1－tan 2(α)) cos （α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan （α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ·tanβ) tan （α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ·tanβ)积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=；)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=；)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=；)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=和差化积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+；2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-；2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+；2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-半角公式：2cos 12sinαα-±=；2cos 12cos αα+±=；αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg万能公式sinα=2tan(α/2)/(1+tan 2(α/2)) cosα=(1－tan 2(α/2))/(1+tan 2(α/2)) tanα=(2tan(α/2))/(1－tan 2(α/2)) 三.三角函数的图像和性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyxy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx2．三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

备课资料一、错解点击 是否存在角α,β,α∈(2π-,2π),β∈(0,π),使得等式sin(3π-α)=2cos(2π-β), 3cos(-α)=-2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.错解:将已知条件化为⎪⎩⎪⎨⎧==,cos 2cos 3,sin 2sin ββa a①2+②2得sin 2α+3(1-sin 2α)=2,即sin 2α=21,sinα=±22. ∵2π-<α<2π, ∴α=4π或α=4π-.(1)当α=4π时,由②,得cosβ=23,∵0<β<π,∴β=6π; (2)当α=4π-时,由②,得cosβ=23,∵0<β<π,∴β=6π.故存在α=4π,β=6π或α=4π-,β=6π,使得两个等式同时成立.点评:若将所求得的α,β的两组值分别代入①式会发现,当α=4π-,β=6π时,①式不成立,造成这种错误的原因是:我们对①②进行平方时,扩大了角α与β的取值范围.事实上,由①式可知sinα与sinβ须同号,由②式可知cosα与cosβ须同号,而我们在平方消元(角β)时,将①式平方后,sinα与sinβ可异号,而这是不允许的.因此,我们在对三角函数式进行非等价变形时,要注意检验其是否满足题设条件.本题只存在一组值α=4π,β=6π符合题意. 本题如果改变角α的范围为0<α<π,则本题有两解:α=4π,β=6π,或α=43π,β=65π.二、备用习题1.在△ABC 中,下列等式一定成立的是( ) A.sin2B A +=-cos 2CB.sin(2A+2B)=-cos2CC.sin(A+B)=-sinCD.sin(A+B)=sinC2.如果f(sinx)=cosx,那么f(-cosx)等于( )A.sinxB.cosxC.-sinxD.-cosx 3.计算下列各式的值:(1)sin(-1 200°)cos(1 290°)+cos(-1 020°)sin(-1 050°)+tan945°; (2)tan(27°-α)tan(49°-β)tan(63°+α)tan(139°-β).4.化简:.)360sin()810tan()180cos()270cos()270tan()540sin(--+---∙-a a a a a a 参考答案:1.D2.A3.(1)2;(2)-1.4.-tanα.三角函数的诱导公式三维目标1.通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想.2.通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用.3.进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力.重点难点教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三角函数式的求值、化简和证明等.教学难点:六组诱导公式的灵活运用. 课时安排 2课时教学过程第1课时 导入新课思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值. ②复习诱导公式一及其用途.思路 2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于90°到360°(2π到2π)范围内的角的三角函数怎样求解,能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题. 推进新课 新知探究 提出问题由公式一把任意角α转化为［0°,360°)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值? 活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问题:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到360°的角β能否与锐角α相联系?通过分析β与α的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:若能把求［90°,360°)内的角β的三角函数值,转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想.图1讨论结果:通过分析,归纳得出:如图1.β=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈+∈-],360,270[,360],270,180[,180],180,90[,180βββa a a 提出问题①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何? ②它们与单位圆的交点的位置关系如何? ③任意角α与180°+α呢?活动:分α为锐角和任意角作图分析:如图2.图2引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系.无论α为锐角还是任意角,180°+α的终边都是α的终边的反向延长线,所以先选择180°+α为研究对象.利用图形还可以直观地解决问题②,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P(x,y)和P′(-x,-y).指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二: sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα. 并指导学生写出角为弧度时的关系式:sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα. 引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用.讨论结果:①锐角α的终边与180°+α角的终边互为反向延长线. ②它们与单位圆的交点关于原点对称.③任意角α与180°+α角的终边与单位圆的交点关于原点对称. 提出问题①有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么? ②-α角的终边与角α的终边位置关系如何?活动:让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思考:任意角α和-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,即:sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.教师点拨学生注意:无论α是锐角还是任意角,公式均成立.并进一步引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途:可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值.讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是-α的正弦和余弦.②-α角的终边与角α的终边关于x 轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数. 提出问题①下一步的研究对象是什么?②π-α角的终边与角α的终边位置关系如何?活动:讨论π-α与α的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思考:任意角α和π-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导,即: sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα. 强调无论α是锐角还是任意角,公式均成立.引导学生观察分析公式三的特点,得出公式四的用途:可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值.让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆. 我们可以用下面一段话来概括公式一—四:α+k·2π(k ∈Z ),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.进一步简记为:“函数名不变,符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的α是任意角. 讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是π-α的三角函数;②π-α角的终边与角α的终边关于y 轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数. 示例应用思路1例1 利用公式求下列三角函数值: (1)cos225°;(2)sin311π;(3)sin(316π-);(4)cos(-2 040°). 活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题. 解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=22-; (2)sin311π=sin(4π3π-)=-sin 3π=23-; (3)sin(316π-)=-sin 316π=-sin(5π+3π) =-(-sin3π)=23;(4)cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°) =cos120°=cos(180°-60°) =-cos60°=21-. 点评:利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法. 变式训练利用公式求下列三角函数值: (1)cos(-510°15′);(2)sin(317-π). 解:(1)cos(-510°15′)=cos510°15′ =cos(360°+150°15′)=cos150°15′=cos(180°-29°45′) =-c os29°45′=-0.868 2; (2)sin(317-π)=sin(3π-3×2π)=sin 3π=23. 例2 cos330°等于( ) A.21 B.21- C.23 D.23- 答案:C 变式训练化简:790cos 250sin 430cos 290sin 21++ 解:790cos 250sin 430cos 290sin 21++ =)70720cos()70180sin()70360cos()70360sin(21 ++++-+=70sin 70cos |70sin 70cos |70cos 70sin 70cos 70sin 21--=+-- =170sin 70cos 70cos 70sin -=--.例3 化简cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°.活动:这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目.利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合并、约分.解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°=cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°) =cos(-45°)21--sin45°+cos120° =cos45°21-22-+cos(180°-60°) =2221-22--cos60°=-1. 点评:利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终达到统一角或求值的目的.变式训练 求证:θθπθθπθπθπtan )5sin()cos ()6cos()2sin()2tan(=+----.分析:利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边. 证明:左边=)5sin()cos ()6cos()2sin()2tan(θπθθπθπθπ+----=)sin()cos ()cos()sin()tan(θπθθθθ+----=θθθθθsin cos cos sin tan =tanθ=右边.所以原式成立.规律总结:证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简. 解答:1.(1)-cos94π;(2)-sin1;(3)-sin 5π;(4)cos70°6′. 点评：利用诱导公式转化为锐角三角函数. 2.(1)21;(2)21;(3)0.642 8;(4)23-. 点评：先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值.3.(1)-sin 2αcosα;(2)sin 4α.点评：先利用诱导公式变形为角α的三角函数,再进一步化简.课堂小结本节课我们学习了公式二、公式三、公式四三组公式,这三组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,符号看象限”的简便记法,同学们要正确理解这句话的含义,不过更重要的还是应用,我们要多加练习,切实掌握由未知向已知转化的化归思想.设计感想一、有关角的终边的对称性(1)角α的终边与角π+α的终边关于原点对称. (2)角α的终边与角-α的终边关于x 轴对称. (3)角α的终边与角π-α的终边关于y 轴对称. 二、三角函数的诱导公式应注意的问题(1)α+k·2π(k ∈Z ),-α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数的符号;可简单记忆为:“函数名不变,符号看象限.” (2)公式中的α是任意角.(3)利用诱导公式一、二、三、四,可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值. 基本步骤是:任意负角的三角函数−−−→−公式三或一相应的正角的三角函数−−→−公式一0到2π角的三角函数−−−→−四公式二、锐角的三角函数−−→−查表三角函数. 即负化正,大化小,化为锐角再查表.。

在日常生活中,人们会遇到一些求最大面积的问题.对于这类问题,可以“角”为自变量建立函数关系式，利用三角函数的最值来解决.解 设扇形圆心为 O ，矩形为 ABCD ，如图所示.连接 OD ，记∠COD =θ，则在Rt ΔCOD 中，CD =10sin θ， OC =10cos θ.在Rt ΔAOB 中，tan 3π=ΑΒOB . 由AB =CD 可知OB =333103==10sin =sin 3333AB CD θθ⨯.提问引导讲解强调指导学习解 (1) 取t =0，得开始时的电压 12203sin 10022031103V 62U t π=π+=⨯=⎛⎫ ⎪⎝⎭（）, 即该交流电开始时的电压为1103V.(2)由于电压值重复出现一次的时间间隔即为函数的一个周期，故电压值重复出现一次的时间间隔为即电压值经过0.02s 重复出现. (3)当sin 10016t ππ+=⎛⎫ ⎪⎝⎭时，得电压的最大值max =2203V U ，此时100262t k πππ+=π+(k 为非负整数).10062t πππ+=，解得1s 300t =（）. 因此，电压第一次达到最大值的时刻为1s 300.即，电压的最大值是2203V ，1s 300时第一次达到最大值.讲解强调指导学习提问引导讲解强调如图所示，在河的岸边选定两点A 、B ，对岸选定点C ，测得∠CAB =45°，∠CBA =75°，AB =120m.试根据测量结果，求河的宽度.提出问题引发思考解 因为∠CAB =45°，∠CBA =75°，所以120=于点D ，则提问隧道是为了缩短行驶路程而在地下、水下或者山体中铺设铁路或修筑公路的建筑物．现为修建某山体隧道，需获得隧道两端D、E两点之间的距离．为此在山的一侧选取点C，如图所示，并测得CA=500m，CB=800 m，∠ACB=60°. 又测得AB两点到隊道口的距离AD=180m，BE=240m(A、D、E、B在一条直线上)，试计算隊道DE的长. 提出问题引发思考解在△ABC中，CA=500，CB=800，∠ACB=60° . 提问练习6.51.如图所示，有一长为 10m、倾斜角为 75°的斜坡AB. 在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面将斜坡的倾斜角变为 30°.问坡底延长了多少米？提问巡视指导2.如图所示，要把截面半径为R的圆木锯成横截面为矩形的方木.矩形的长和宽各为多少时，其面积最大？最大面积是多少？(提示：连接AC，并设∠CAB=θ.)引导提问说明。