天体运动中的追及相遇问题

考点3 天体的追及和相遇问题“天体相遇”，指两天体相距最近.若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧（或异侧）时相距最近（或最远）.“天体相遇”问题类似于在田径场赛道上的循环长跑比赛，跑得快的每隔一段时间多跑一圈追上并超过跑得慢的.状态图示关系（同向）最近（1）角度关系：ω1t－ω2t＝n·2π（n＝1、2、3、…）（2）圈数关系：tT1－tT2＝n（n＝1、2、3、…）最远（1）角度关系：ω1t－ω2t＝（2n－1）π（n＝1、2、3、…）（2）圈数关系：tT1－tT2＝2n－12（n＝1、2、3、…）研透高考明确方向7.[相距最近或最远分析/2023湖北]2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”.火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示.根据以上信息可以得出（B）A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8B.当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4D.下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前解析r火3r地3＝T火2T地2r火r地＝32]→T火T地＝3√32√2，A错下一次冲日有→t ＝T 火T 地T 火－T 地＞T 地→下次火星冲日在2023年火星与地球→两者速度反向→两者相对速度最大，B 对GMm R 2＝mg →g ＝GMR 2M 火、M 地未知]→不能求g 之比，C 错8.[不在同一轨道平面的“相遇”/2023重庆/多选]某卫星绕地心的运动视为匀速圆周运动，其周期为地球自转周期T 的310，运行的轨道与地球赤道不共面，如图所示.t 0时刻，卫星恰好经过地球赤道上P 点正上方.地球的质量为M ，半径为R ，引力常量为G .则（ BCD ）A.卫星距地面的高度为（GMT 24π2）13－RB.卫星与位于P 点处物体的向心加速度大小比值为59πR（180πGMT 2）13C.从t 0时刻到下一次卫星经过P 点正上方时，卫星绕地心转过的角度为20πD.每次经最短时间实现卫星距P 点最近到最远的行程，卫星绕地心转过的角度比地球的多7π解析 对卫星由万有引力提供向心力有G Mm(R ＋ℎ)2＝m4π2(310T)2(R ＋h )，解得h ＝(9GMT 2400π2)13－R ，A错误；对卫星有m 4π2(310T)2(R ＋h )＝ma ，对地球赤道上P 点处的物体有m'4π2T 2R ＝m'a'，联立解得aa '＝59πR(180πGMT 2)13【点拨：在求比值时，可以先约分，再代入求解，简化运算量】，B 正确；设从t 0时刻到卫星经过P 点正上方的时间为t ，假设下一次卫星经过P 点正上方时是在地球的另一侧关于球心对称的位置，则卫星运动的圈数和地球运动的圈数均为整数 圈加半圈，又地球运动的半周期为0.5T ，卫星运动的半周期为0.15T ，则有t0.5T ＝2k －1，t0.15T ＝2k'－1，k 、k'均为正整数，联立得6k'＝20k －7，显然假设不成立，故下 一次卫星经过P 点正上方时还是在t 0时刻的位置，则卫星运动的圈数和地球运动的圈 数均为整数圈，又地球运动的周期为T ，卫星运动的周期为0.3T ，则有tT ＝n ，t0.3T ＝ n'，n 、n'均为正整数，联立得3n'＝10n ，得最小的满足条件的n'＝10，即从t 0时刻到 下一次卫星经过P 点正上方的过程，卫星运动了10圈，所以卫星绕地心转过的角度 为θ＝10×2π＝20π，C 正确；设实现卫星距P 点最近到最远的时间为t'，则有t '0.5T＝2n 1－1、t '0.3T ＝n 2或t 'T ＝n 3、t '0.15T ＝2n 4－1，n 1、n 2、n 3、n 4均为正整数，解得最小的满足条件的n 1＝2、n 2＝5，此时t'＝1.5T ，即实现卫星距P 点最近到最远的最短时间为1.5T ，故卫星绕地心转过的角度比地球的多2π(t '0.3T －t 'T )＝7π，D 正确.。

天体运动中的相遇、急追及问题引言天体运动中的相遇、急追问题是天体力学研究中的一个重要方面。

它能够帮助我们了解天体之间的相互作用规律，及其对天体系统演化的影响。

在太阳系中，行星之间的相对运动状态对于行星成型、轨道演化、甚至是地球存在的稳定性都有着重要的影响。

因此，对于相遇、急追等问题的研究，有着重要的科学意义和应用价值。

相遇问题天体运动中的相遇问题是指两个天体在一个瞬间处于非常接近的状态。

在实际应用中，我们通常定义两个天体之间的相遇状态为：1.两个天体之间的相对距离小于它们的半径之和。

2.两个天体相对运动的曲率半径非常小，它们的运动方向将会接近相反。

在天体力学中，相遇问题是一个非线性的多体系统问题，因此相遇问题的分析非常复杂。

相遇问题的一个经典案例就是恒星聚集星团中的相遇。

相遇问题不仅存在于天体力学中，在社会科学中也具有重要意义。

比如，在交通流中车辆的相遇，或是人类的相遇等。

相遇问题的研究能够帮助我们理解各种物理和社会事件的运动规律。

急追问题急追问题是指在天体运动中，一个天体在追赶另一个天体的过程中，它们之间的相对运动状态。

具体来讲，急追问题包括两种情况：一个天体相对另一个天体的运动速度比它们的距离更快或两个天体沿同一方向运动但速度不同的情况。

在恒星演化中，大质量恒星在一起形成成团状态，且成团状态下的恒星牵涉到的对其他恒星的急追问题有助于解释恒星演化的起源。

问题分析在天体力学中，相遇、急追问题的计算基本上都是建立在二体问题的基础之上。

因此，在分析问题的时候，我们通常也是基于二体问题进行研究。

二体系统主要包括两个方面的因素：运动的质量和运动的形态。

运动的质量代表系统受到的重力和其他外界力量，运动的形态则是由系统运动状态决定的。

对于相遇、急追问题，我们主要考虑的是运动的形态因素。

在求解相遇、急追问题的时候，我们通常会采用数学建模的方法，通过分析已知的物理量来推导出未知的物理量。

在对问题进行建模时，我们通常需要考虑众多因素，如速度、方向、质量等等。

天体追及相遇问题
嘿，让我们来聊聊超有趣的天体追及相遇问题呀！
比如说，两颗行星就像在浩瀚宇宙赛道上赛跑的运动员，它们啥时候能碰面呢？这就是其中一个问题呀！想象一下，就像你在操场上跑步，你和另一个人跑的速度不一样，那你们会在什么时候碰到一起呢？这是不是很神奇？
还有呀，假如有一颗小行星在绕着恒星转，另一颗星星从远方飞过来，它们会不会恰好相遇呢？这就好像你在路上走，突然看到对面有个人朝你走来，你们会不会在某个点交汇呢？这多有意思啊！
再想想，如果一个星系中有多个天体，它们之间的追及相遇情况那可就更复杂啦！不就像一场混乱但又充满惊喜的宇宙派对吗？它们之中谁会和谁先碰上呢？这难道不让你超级好奇吗？。

天体运动中的追击相遇问题1.天文上曾出现几个行星与太阳在同一直线上的现象，假设地球和火星绕太阳的运动看作是匀速圆周运动，周期分别是T1和T2，它们绕太阳运动的轨道基本上在同一平面上，若某时刻地球和火星都在太阳的一侧，三者在一条直线上，那么再经过多长的时间，将再次出现这种现象（已知地球离太阳较近，火星较远）（）再次出现这种现象（已知地球离太阳较近，火星较远）（）2. 如图，两颗行星和太阳在同一条直线上．外面的行星B每12年绕太阳一周，里面的行星A每3年绕太阳一周．两颗行星都沿顺时针方向运行．如果今年这两颗行星和太阳形成一条直线，再过多少年两颗行星又将和太阳形成一条直线？解：根据行星A与行星B要成一条直线就是说它们要成180°，设N年成一条直线．行星B12年绕一圈就是说一年转30度，行星A3年绕一圈一年就是转120度，所以得到：120°×N-30°×N=180°，解得：N=2，所以过2年两颗行星又将和太阳形成一条直线．3.（2007•黄冈）张宇同学是一名天文爱好者，他通过查阅资料得知：地球、火星的运行轨道可以近似地看成是以太阳为圆的两个同心圆，且这两个同心圆在同一平面上（如图所示）．由于地球和火星的运行速度不同，所以二者的位置不断发生变化．当地球、太阳和火星三者处在一条直线上，且太阳位于地球、火星中间时，称为“合”；当地球、太阳和火星三者处在一条直线上，且地球于太阳与火星中间时，称为“冲”．另外，从地球上看火星与太阳，当两条视线互相垂直时，分别称为“东方照”和“西方照”．已知地球距太阳15（千万千米），火星距太阳20.5（千万千米）．（1）分别求“合”、“冲”、“东方照”、“西方照”时，地球与火星的距离（结果保留准确值）；（2）如果从地球上发射宇宙飞船登上火星，为了节省燃料，应选择在什么位置时发射较好，说明你的理由．（注：从地球上看火星，火星在地球左、右两侧时分别叫做“东方照”、“西方照”．）（1）“合”=地球距太阳距离+火星距太阳距离、“冲”=火星距太阳距离-地球距太阳距离、勾股定理得出“东方照”、“西方照”=（2）从地球上发射宇宙飞船登上火星，为了节省燃料，即找出地球与火星的最短距离，这时太阳和火星三者处在一条直线上，且地球于太阳与火星中间．解：（1）“合”=15+20.5=35.5（千万千米），“冲”=20.5-15=5.5（千万千米），“东方照”=“西方照”（2）“冲”位置时发射较好，因为太阳和火星三者处在一条直线上，且地球于太阳与火星中间，地球与火星的距离最短．4.2013年10月3日发生天王星“冲日”，此时天王星、地球、太阳位于同一条直线上，地球和天王星距离最近，每到发生天王星“冲日”的时候，是天文学家和天文爱好者观测天王星的最佳时机．若把地球、天王星围绕太阳的运动当作匀速圆周运动，并用r1、r2分别表示地球、天王星绕太阳运转的轨道半径，并设太阳质量M与万有引力常量G的乘积GM=1/k2，再经过多长时间发生下一次天王星“冲日”？（）研究天王星、地球绕太阳做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式表示出角速度．天王星、地球绕太阳做匀速圆周运动，当地球转过的角度与天王星转过的角度之差等于2π时，再一次相距最近．5.据报道，美国宇航局发射的“勇气”号和“机遇”号孪生双子火星探测器在2004年1月4日和1月25日相继带着地球人的问候在火星着陆．假设火星和地球绕太阳的运动可以近似看作同一平面内同方向的匀=2.4×1011m，地球的轨道半速圆周运动，已知火星的轨道半径r1径r=1.5×1011m，如图所示，从图示的火星与地球相距最近的时2刻开始计时，请估算火星再次与地球相距最近需多长时间（）。

天体追及相遇问题公式自古以来，人类就对宇宙深深地着迷。

我们想要了解宇宙的起源，了解星球运转的方式，了解有没有其他的生命存在，等等。

为了研究宇宙，人们付出了很多努力，包括制作各种仪器观察宇宙，想出各种方法计算星球的运转速度和轨道等等。

而在这些方法中，有一个非常常见的计算问题就是天体追及相遇问题。

在本文中，我们将探讨一些有关这一问题的公式。

天体追及相遇问题指的是，当我们知道两个天体的初始位置、速度和加速度时，我们可以计算出它们会在何时何地相遇的问题。

这个问题看似简单，但是要计算出它，需要用到许多数学公式，下面我们就来详细地探讨一下。

1. 速度公式速度公式是计算天体相遇时间和位置的重要公式之一。

设一个天体的初始速度为v1，加速度为a1；另一个天体的初始速度为v2，加速度为a2。

分别用t表示它们相遇所需的时间，x表示它们相对距离的变化，则有：x = v1*t + 1/2*a1*t^2x = v2*t + 1/2*a2*t^2因为它们相遇时，它们处于相同的位置，所以可以将两个等式相等，得到：v1*t + 1/2*a1*t^2 = v2*t + 1/2*a2*t^2移项化简，得到：t = (v1-v2) / (a2-a1)将t带入其中一个式子中，可以得到它们相遇时的位置。

这个公式可以广泛应用于比如计算航空、卫星、导弹等的相遇时间和位置。

2. 相对速度公式在天体追及问题中，相对速度是非常重要的一个概念。

相对速度指的是，两个天体之间的相对速度，是一个把两个天体看作一个整体时，整体的速度与另一个天体的速度差值。

相对速度的大小可以用下面这个公式计算：v = v1 - v2其中，v1和v2分别表示两个天体的速度。

如果v是正数，表示两个天体追上了；如果v是负数，表示两个天体错过了。

3. 圆周运动公式在天体追及问题中，有时候我们需要计算天体的圆周运动速度和半径。

在这种情况下，我们可以使用圆周运动公式。

假设一个天体以半径为r的圆周运动，圆周运动的周期为t，则有：v = 2πr / t其中，v表示天体的圆周运动速度。

高中物理：天体运动中的追及相遇问题，卫星的追及和相遇问题地面上的物体常常出现追及相遇问题，关键是找出它们的位移、速度和时间等关系，运动路线应该在同一轨道上。

天体运动中也有追及相遇问题，它与地面上的追及相遇问题在思维有上相似之处，即也是找出一些物理量的关系，但它也不同之处，有其自身特点。

根据万有引力提供向心力，即，所以当天体速度增加或减少时，对应的圆周轨道会发生相应的变化，所以天体不可能能在同一轨道上追及或相遇。

分析天体运动的追及相遇重点是角度、角速度和时间等关系的判断。

1、追及问题例1、如图1所示，有A 、B 两颗行星绕同一颗恒星M 做圆周运动，旋转方向相同，A 行星的周期为T 1，B 行星的周期为T 2，在某一时刻两行星相距最近，则①经过多长时间，两行星再次相距最近？②经过多长时间，两行星第一次相距最远？解析：A 、B 两颗行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，因此T 1<T 2。

可见当A 运动完一周时，B 还没有达到一周，但是要它们的相距最近，只有A 、B 行星和恒星M 的连线再次在一条直线上，且A 、B 在同侧，从角度看，在相同时间内，A 比B 多转了2π；如果A 、B在异侧，则它们相距最远，从角度看，在相同时间内，A 比B 多转了π。

所以再次相距最近的时间t1，由；第一次相距最远的时间t 2，由。

如果在问题中把“再次”或“第一次”这样的词去掉，那么结果如何？2、相遇问题1月14日高中物理例2、设地球质量为M，绕太阳做匀速圆周运动，有一质量为m的飞船由静止开始从P点沿PD方向做加速度为a的匀加速直线运动，1年后在D点飞船掠过地球上空，再过3个月又在Q处掠过地球上空，如图2所示（图中“S”表示太阳）。

根据以上条件，求地球与太阳之间的万有引力大小。

解析：飞船开始与地球相当于在D点相遇，经过3个月后，它们又在Q点相遇，因此在这段时间内，地球与太阳的连线转过的角度。

设地球的公转周期为T，飞船由静止开始做加速度为a的匀加速直线运动，则地球的公转半径为所以 地球与太阳之间的万有引力大小为例3、阅读下列信息，并结合该信息解题：（1）开普勒从1609年～1619年发表了著名的开普勒行星运动三定律，其中第一定律为：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这个椭圆的一个焦点上。

卫星的变轨问题、天体追及相遇问题一、卫星的变轨、对接问题1．卫星发射及变轨过程概述人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如右图所示。

(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道 Ⅰ上。

(2)在A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅰ。

(3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅰ。

2．卫星的对接问题(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接.(2)同一轨道飞船与空间站对接如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度.二、变轨前、后各物理量的比较1．航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度由v ＝GM r判断。

(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。

(3)航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。

2．卫星变轨的实质 两类变轨离心运动 近心运动 变轨起因卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 受力分析 G Mm r 2<m v 2rG Mm r 2>m v 2r 变轨结果变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动 3.变轨过程各物理量分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅰ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅰ上过A 点和B 点时速率分别为v A、v B.在A点加速，则v A>v1，在B点加速，则v3>v B，又因v1>v3，故有v A>v1>v3>v B.(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅰ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅰ、Ⅰ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律r3T2＝k可知T1<T2<T3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅰ、Ⅰ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3.三、卫星的追及与相遇问题1．相距最近两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。

«万有引力与航天»考点微专题6 天体运动的追及和相遇问题一 知能掌握1.天体运动追击和相遇问题的分析要点 （1）两星追上或相距最近的运动关系两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两星运行的角度之差等于2π的整数倍;两卫星运动关系应满足(ωA －ωB )t ＝2n π(n ＝1,2,3，…)． （2）相距最远的运动关系当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，相距最远时,两星运行的角度之差等于π的奇数倍.两卫星运动关系应满足(ωA －ωB )t ′＝(2n －1)π(n ＝1,2,3…)．（3）卫星与地面上物体追及(卫星在地面上物体的正上方)时,要根据地面上物体与同步卫星角速度相同的特点进行判断.2.天体运动追击和相遇问题的分析技巧 （1）根据GMm r 2=mr ω2,可判断出谁的角速度大.（2）轨道在同一平面内的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分,但它们与中心天体都处在同一条直线上.由于它们的轨道不是重合的,因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理,而是通过卫星运动的圆心角来衡量.若它们初始位置与轨道圆心在同一直线上,实际上内轨道上卫星所转过的圆心角与外轨道上卫星所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻. (3)轨道不在同一平面内的两颗卫星也可能发生碰撞,但轨道高度要相同.二 探索提升【典例1】我国发射的北斗系列卫星的轨道位于赤道上方,轨道半径为r ,绕行方向与地球自转方向相同.已知地球自转角速度为ω0,地球半径为R ,地球表面重力加速度为g.若某一时刻卫星通过赤道上某建筑物的上方,则当它再一次通过该建筑物上方时,所经历的时间为 ( )A .√2r 3-ω0B .2π(√r 2gR 2-1ω0) C .2π√r 3gR 2 D .2π√gR 2r 3+ω0【答案】A.【解析】人造卫星绕地球做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力,设卫星的质量为m ,地球质量为M ,有G Mm r 2=mω2r ,解得ω=√GMr 3,卫星再次经过某建筑物的上空,卫星比地球多转动一圈,有(ω-ω0)t=2π,地球表面的重力加速度为g=GM R 2,联立解得t=√2r3-ω0,选项A 正确.【典例2】如图1所示,A 、B 为地球的两个轨道共面的人造卫星,运行方向相同,A 为地球同步卫星,A 、B 两卫星的轨道半径的比值为k ,地球自转周期为T 0.某时刻A 、B 两卫星距离达到最近,从该时刻起到A 、B间距离最远所经历的最短时间为 ( )图1 A .02(√k 3+1)B .√k 3-1C .2(√k 3-1)D .(√k 3+1)【答案】C.【解析】根据公式r 3T 2=C ,可得r A 3T A2=r B3T B2,两卫星间距最远,则正好在一条直线上,即B 比A 多转半圈,有t T B-t T A=12,A为同步卫星,周期和地球自转周期相同,即T A=T 0,结合rA r B=k ,解得t=,选项C 正确.【典例3】小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍．某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图2所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回．当第一次回到分离点时恰与航天站对接．登月器快速启动时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行．已知月球表面的重力加速度为g 0，月球半径为R ，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为( )图2A ．4.7πRg 0B ．3.6πRg 0C ．1.7πRg 0D ．1.4πR g 0【答案】A【解析】由题可知，月球半径为R ，则航天站的轨道半径为3R ，设航天站转一周的时间为T ，则有GM 月m(3R )2＝m 4π2T 2(3R )，对月球表面的物体有m 0g 0＝GM 月·m 0R 2，联立两式得T ＝63πRg 0.登月器的登月轨道是椭圆，从与航天站分离到第一次回到分离点所用时间为沿椭圆运行一周的时间T ′和在月球停留时间t 之和，若恰好与航天站运行一周所用时间相同时t 最小，则有：t min ＋T ′＝T ，由开普勒第三定律有：(3R )3T2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4R 23T ′2，得T ′＝42πRg 0，则t min ＝T －T ′≈4.7πRg 0，所以只有A 对． 【典例4】科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，经过观测该小行星每隔t 时间与地球相遇一次，已知地球绕太阳公转半径是R ，周期是T ，设地球和小行星都是圆轨道，求小行星与地球的最近距离。

天体追击相遇公式
在天体追击相遇问题中，通常假设存在一个追逐者和一个逃避者，追逐者试图追赶逃避者。

假设追逐者的初始位置为(某1,y1,z1)，逃避者的初始位置为(某2,y2,z2)，追逐者的速度为v1，逃避者的速度为v2、根据这些参数，我们可以得到追逐者和逃避者的位置随时间的变化。

首先确定追逐者和逃避者的速度差向量，即v=v2-v1、该向量的模长表示了两个天体之间的速度差。

接下来，我们可以计算两个天体之间的距离。

假设两个天体在时间t 之后相遇，我们可以得到它们之间的距离D(t) = √((某2 - 某1 + v1某t)^2 + (y2 - y1 + v1yt)^2 + (z2 - z1 + v1zt)^2)。

为了求解相遇时间t，我们需要令D(t)=0，并解方程。

根据追逐者和逃避者的速度向量，我们可以得到该方程最终的形式。

这个方程可能是非线性的，需要使用数值方法求解。

值得注意的是，天体追击相遇公式只适用于简化的情况。

实际上，天体的运动通常受到多种因素的影响，如引力、摩擦、斥力等。

因此，在实际问题中，天体追击相遇的计算往往需要引入其他物理模型和更复杂的数学公式。

此外，该公式还需要考虑天体的初始速度、加速度等因素。

总结起来，天体追击相遇公式是用于描述两个天体相遇的数学关系公式。

以追逐者和逃避者之间的速度差向量和位置为基础，通过求解距离方程，可以计算出两个天体相遇的时间和位置。

然而，实际应用中需要考虑更多的因素和更复杂的模型，以提高精确度。

天体运动中的追及相遇问题做了一定的角度。

根据题意，当行星处于最大视角时，地球和行星的连线与地球和太阳的连线的夹角为θ，即行星与地球的连线与地球的运动方向相同。

因此，行星的角速度比地球的角速度大，行星相对地球做了一定的角度。

设行星与地球的连线与地球的运动方向的夹角为α，则有α=θ/2.因为行星的运动速度比地球快，所以当行星再次处于最佳观察时期时，地球还没有绕完一周，即行星比地球多转了一定的角度。

设行星绕太阳的周期为T'，则有T'=T/α。

因此，下一次行星处于最佳观察时期至少需要经历的时间为T'-T，即为T(1-1/α)。

一、太阳系行星运动问题在太阳系中，行星绕太阳做椭圆形轨道运动，其运动速度和角速度随着位置的不同而不同。

根据开普勒第二定律，行星在相等时间内扫过的面积相等，因此行星的轨道速度是不断变化的。

根据开普勒第三定律，行星的公转周期与其轨道半长轴的立方成正比。

因此，我们可以通过测量行星的运动轨迹和周期来计算出太阳系中各个天体的运动参数。

在某一时刻，如果行星处于最佳观测位置，则有两种情况：一是刚刚进入最佳观测位置；二是即将离开最佳观测位置。

在这两种情况下，行星到达下一次最佳观测位置所需的时间是不同的，可以通过计算行星在轨道上的运动角度来求得。

二、相遇问题在天体运动中，相遇问题是一个重要的研究课题。

例如，当一艘飞船从地球出发，经过一段时间后到达目的地，需要计算出飞船与目的地之间的距离和所需的时间。

这类问题可以通过计算天体的运动轨迹和速度来解决。

例如，当一艘飞船从地球出发，经过一年后到达地球附近，再经过三个月到达另一个地方，我们可以通过计算地球和飞船在这段时间内的运动轨迹和速度来求得地球与太阳之间的万有引力大小。

又例如，当我们向火星发射探测器时，需要计算出探测器的轨道和所需的发射时间。

这类问题可以通过计算天体的运动轨迹和周期来解决。

例如，在某一时刻，当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后，在某一年3月1日零时测得探测器与火星之间的角距离为60度。

天体的追及相遇问题1.卫星中的“追及相遇”问题某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上．由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们的初始位置与中心天体在同一直线上，内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻． (1)两星相距最近的条件：ωa Δt －ωb Δt ＝2n π(n ＝1，2，3…)(图甲) (2)两星相距最远的条件：ωa Δt －ωb Δt ＝(2n ＋1)π(n ＝0，1，2，…)(图乙)甲 乙 2.对于天体追及问题的处理思路(1)根据GMmr2＝mrω2，可判断出谁的角速度大；(2)根据天体相距最近或最远时，满足的角度差关系进行求解．【题型1】如图是在同一平面不同轨道上同向运行的两颗人造地球卫星.设它们运行的周期分别是T 1、T 2(T 1<T 2)，且某时刻两卫星相距最近.问：(1)两卫星再次相距最近的时间是多少？ (2)两卫星相距最远的时间是多少？【答案】(1)T 1T 2T 2－T 1 (2)(2k ＋1)T 1T 22(T 2－T 1)(k ＝0，1，2…)【解析】(1)依题意，T 1<T 2，周期大的轨道半径大，故在外层轨道的卫星运行一周所需的时间长.设经过t 1两卫星再次相距最近. 则它们运行的角度之差Δθ＝2π 即2πT 1t 1－2πT 2t 1＝2π 解得t 1＝T 1T 2T 2－T 1.(2)两卫星相距最远时，它们运行的角度之差 Δθ＝(2k ＋1)π(k ＝0，1，2…)即2πT 1t 2－2πT 2t 2＝(2k ＋1)π(k ＝0，1，2…) 解得t 2＝(2k ＋1)T 1T 22(T 2－T 1)(k ＝0，1，2…).【题型2】一颗在赤道上空飞行的人造地球卫星，其轨道半径为r ＝3R (R 为地球半径)，已知地球表面重力加速度为g ，则该卫星的运行周期是多大？若卫星的运动方向与地球自转方向相同，已知地球自转角速度为ω0，某一时刻该卫星通过赤道上某建筑物的正上方，再经过多少时间它又一次出现在该建筑物正上方？ 【答案】63Rg 2π13g3R－ω0 【解析】由万有引力定律和牛顿定律可得： GMm (3R )2＝m 4π2T 2·3R ①GMmR 2＝mg ① 联立①①两式，可得T ＝6π3R g. 以地面为参考系，卫星再次出现在建筑物上方时转过的角度为2π，卫星相对地面的角速度为ω1－ω0，则Δt ＝2π2πT －ω0＝2π13g3R－ω0. 【题型3】(多选)太阳系中某行星运行的轨道半径为R 0，周期为T 0，但天文学家在长期观测中发现，其实际运行的轨道总是存在一些偏离，且周期性地每隔t 0时间发生一次最大的偏离(行星仍然近似做匀速圆周运动)。

2023届高三物理一轮复习重点热点难点专题特训专题30 天体运动中追及相遇问题、能量问题和图像问题特训目标特训内容目标1 天体运动中的追及相遇问题（1T—5T）目标2 天体运动中的能量问题（6T—10T）目标3 天体运动中的图像问题（11T—15T）一、天体运动中的追及相遇问题1．屈原在长诗《天问》中发出了“日月安属?列星安陈?”的旷世之问，这也是中国首次火星探测工程“天问一号”名字的来源。

“天问一号”探测器的发射时间要求很苛刻，必须在每次地球与火星会合之前的几个月、火星相对于太阳的位置领先于地球特定角度的时候出发。

火星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动。

如图所示，不考虑火星与地球的自转，且假设火星和地球的轨道平面在同一个平面上，相关数据见下表，则根据提供的数据可知（）质量半径绕太阳做圆周运动的周期地球M R1年火星约0.1M约0.5R约1.9年B ．地球与火星从第1次会合到第2次会合的时间约为2.1年C ．火星到太阳的距离约为地球到太阳的距离的1.9倍D ．火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比约为3：5 【答案】B【详解】A ．设地球最小的发射速度为v 地，则22mv GMm R R=地解得=7.9km/s GMv R =地则火星的发射速度与地球的发射速度之比为0.150.5Mv R v M R=火地57.9km/s v =<火故A 错误； B ．根据(222)t T T πππ-=地火代入数据解得地球和火星从第1次会合到第2次会合的时间约为2.1年，故B 正确；C ．根据开普勒第三定律得3322r r T T =火地地火代入数据解得火星到太阳的距离约为地球到太阳的距离的1.5倍，故C 错误；D ．不考虑自转时，物体的重力等于万有引力2GMmmg R=火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为220.120.5=5Mg R M g R=火（）故D 错误。

天体圆周运动追及相遇问题的解法
一般认为，天体圆周运动，指的是在太空中，有特定的轨道，一定的速度，按
既定的方向，不断前进的天体运动方式，比如太阳、行星、卫星等等。

其中，尤其值得一提的是，太阳系中有一种叫“相遇法”的天体圆周运动。

这种运动方式可以使得某种天体定期带着某一物质相遇，也就是说，某一天体它在一个特定的时刻和特定的空间点定期出现，并与另一个天体共同运动，形成相遇场景。

古代科学家们经由精密的观测和演算，创造出了一套完整的解决天体圆周运动
中的相遇问题的方法，可以帮助观测人员提前计算出某一时刻，某个空间点，相遇的可能性较大的天体将会到达这个空间点。

研究表明，要解决天体圆周运动中的相遇问题，首先要采用周期函数的方法，
计算出**位置矢量**，即每个天体在某个时刻的运动方向和步长，以此为基础，结合函数像“正弦”、“余弦”，来为天体圆周运动的相遇问题提出准确的计算公式和方案。

此外，对于天体圆周运动中的相遇问题而言，还可以采用多维坐标平衡方法来
求解，用这种方法，把天体圆周运动相遇的问题抽象化成多维几何形体来处理，从而简化解决的难度，可以高效的解决运动轨迹的计算问题，使得天体圆周运动中的相遇问题更容易解决。

总而言之，解决天体圆周运动中的相遇问题有多种方法，以上叙述的两种方法
都可以实现比较好的结果，这也是古代科学家们认识到的天体运动中的重要科学结论，它们也为当今的科学家提供了研究的基础，帮助他们进行更加精准的科学研究，从而帮助我们更好的认识星空世界。