7.3.1思想方法专题 坐标与面积(三)知面积,求坐标——分类讨论思想

坐标的面积怎么求在数学中，给定坐标系中的一组点，要求解这些点所围成的区域的面积是一个常见的问题。

通过数学方法和几何原理，我们可以求解不同形状的区域的面积。

下面将介绍如何根据给定的坐标求解各种形状的面积。

矩形的面积求解假设有一个矩形，左下角坐标为(x1,y1)，右上角坐标为(x2,y2)。

我们可以利用矩形的性质，矩形的面积等于底边长乘以高，即$S = (x_2 - x_1) \\times (y_2 -y_1)$。

三角形的面积求解如果给出一个三角形的三个顶点坐标(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，可以利用海伦公式求解三角形的面积：$$ S = \\sqrt{p \\times (p - a) \\times (p - b) \\times (p - c)} $$其中p是半周长，a、b、c分别是三角形三条边的长度。

圆的面积求解对于给定圆心坐标(x c,y c)和半径r的圆，可以用圆的面积公式求解圆的面积：$$ S = \\pi \\times r^2 $$多边形的面积求解对于不规则的多边形，可以利用矢量叉积法求面积。

将多边形按顺时针或逆时针方向取点，分别计算相邻两点连线的叉积，然后将这些叉积相加再除以2.具体计算方法如下：$$ S = \\frac{1}{2} \\sum_{i=0}^{n} (x_{i}y_{i+1} - x_{i+1}y_{i}) $$其中，(x n,y n)为最后一个点，(x0,y0)为第一个点。

结论通过以上介绍，我们可以根据给定的坐标求解不同形状区域的面积。

不同形状的区域有不同的求解方法，但都可以通过数学原理得出准确的面积值。

在实际应用中，根据具体需求选择合适的面积求解方法，有助于解决实际问题。

坐标的面积公式在数学中，我们经常需要计算平面上各种图形的面积。

当图形的边界由坐标轴上的点确定时，我们可以使用坐标的面积公式来计算图形的面积。

坐标的面积公式是一个基础且实用的数学工具，在几何学、物理学以及工程学等领域都有广泛的应用。

1. 点与坐标轴在平面直角坐标系中，我们将平面分成四个象限，我们通常用两个数来表示一个点在坐标系中的位置。

这两个数分别为x坐标和y坐标，分别对应横轴和纵轴的位置。

例如，点A的坐标为(x, y)。

2. 矩形的面积公式首先，让我们以矩形为例来介绍坐标的面积公式。

矩形是由四条边界分割的图形，两条边界分别与x轴和y轴平行。

假设矩形的两个顶点坐标分别为(Ax, Ay)，(Bx, By)，(Cx, Cy)和(Dx, Dy)。

则矩形的面积可以通过以下公式计算：面积 = |(Bx - Ax) * (Cy - Ay)|上述公式表示矩形的面积为矩形两条边长之积的绝对值。

3. 三角形的面积公式接下来，我们来介绍计算三角形面积的公式。

假设三角形的三个顶点坐标分别为(Ax, Ay)，(Bx, By)和(Cx, Cy)。

三角形的面积可以通过以下公式计算：面积 = |(Ax * (By - Cy) + Bx * (Cy - Ay) + Cx * (Ay - By)) / 2|上述公式使用了行列式的概念来计算三角形的面积，其中绝对值保证了面积的正值。

4. 多边形的面积公式除了矩形和三角形，我们还可以使用坐标的面积公式计算更复杂的多边形的面积。

对于n边形，我们可以将其划分为若干个三角形，然后使用三角形的面积公式分别计算每个三角形的面积，再将这些面积相加得到多边形的面积。

这个方法被称为三角剖分。

三角剖分方法的基本思想是找到多边形中一个顶点和相邻的两个顶点形成的三角形，计算该三角形的面积，并将它加入到总面积中。

然后，我们再移动到下一个顶点，重复相同的计算过程，直到遍历完所有的顶点。

最后，将得到的所有三角形的面积相加即可得到多边形的面积。

在坐标系中求三角形或四边形的面积在直角坐标系下，求三角形或四边形的面积问题，需要用到坐标与距离的转化和面积的和差，对于七年级的学生是难点，所以找到解体规律是关键。

一、当两点在坐标轴上时，选为底例1：已知点A(-2,0),B(4,0),C(-2,-3). 求△ABC的面积解：如图，∵AB=4-（-2）=6，AC=0-（-3）=3，∴S△=AB•AC=×3×6=9．ABC二、当边与坐标轴平行时，选为底例2：把△ABC经过平移后得到△A'B'C',已知A(4, 3),B(3,1),B'(1,-1),C'(2,0)，求△ABC 的面积解：∵把△ABC经过平移后得到△A′B′C′，B（3，1）的对应点是B′（1，-1），B点向左平移2个单位，再向下平移2个单位，∵A（4，3）的对应点A′的坐标是（4-2，3-2），即A′（2，1），C′（2，0））的对应点C的坐标是（2+2，0+2），即（4，2），过B作BD⊥AC于D，∵A（4，3），C（4，2），∴AC⊥X轴，∴AC=3-2=1，BD=4-3=1，∴△ABC的面积是AC×BD=×1×1=．三、当任意的三角形或四边形时，选割补法例3：如图，在平面直角坐标系中描出4个点A（2，-1），B（4，3），C（1，2）．求△ABC的面积．四、练习题1、如图所示的方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（4，0），C（3，2）．（1）在所给的直角坐标系中画出三角形ABC；（2）把三角形ABC向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到三角形A′B′C′，画出三角形A′B′C′并写出点C′的坐标．（3）求三角形A′B′C′的面积．2、已知，点A （-2，0），B （4，0），C （2，4）（1）求△ABC 的面积；（2）设P 为x 轴上一点，若S △APC = S △PBC ，试求点P 的坐标．3、在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-2，2）、B （4，5）、C （-2，-1）．（1）在平面直角坐标系中描出点A 、B 、C ，求△ABC 的面积；（2）x 轴上是否存在点P ，使△ACP 的面积为4，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，说明理由．y 轴上存在点Q ，使△ACQ 的面积为4吗？如果存在，求出点Q 的坐标，如果不存在，说明理由；（3）如果以点A 为原点，以经过点A 平行于x 轴的直线为x ′轴，向右的方向为x ′轴的正方向；以经过点A 平行于y 轴的直线为y ′轴，向上的方向为y ′轴的正方向；单位长度相同，建立新的直角坐标系，直接写出点B 、点C 在新的坐标系中的坐标．4、如图，在平面直角坐标系中，A （-1，0），B （3，0），C （0，2）（1）求△ABC 的面积；（2）若点P 从B 点出发沿射线BA 的方向匀速移动，速度为1个单位/秒，设移动时间为t 秒，当t 为何值时，△PAC 的面积等于△BOC 的面积．5、在直角坐标系中，已知线段AB ，点A 的坐标为（1，-2），点B 的坐标为（3，0），如图1所示．（1）平移线段AB 到线段CD ，使点A 的对应点为D ，点B 的对应点为C ，若点C 的坐标为（-2，4），求点D 的坐标；（2）平移线段AB 到线段CD ，使点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第二象限内，连接BC ，BD ，如图2所示．若S △BCD =7（S △BCD 表示三角形BCD 的面积），求点C 、D 的坐标．（3）在（2）的条件下，在y 轴上是否存在一点P ，使 =（S △PCD 表示三角形PCD 的面积）？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．答案1.解：（1）△ABC 如图所示；（2）△A ′B ′C ′如图所示，A ′（-4，2），B ′（1，2），C ′（0，4）；（3）由图可知，A ′B ′=1-（-4）=5，点C ′到A ′B ′的距离为2，所以，△A ′B ′C ′的面积=×5×2=5．2、解：（1）如图，S △ABC = ×（4+2）×4=12；（2）设P 点坐标为（t ，0），∵S △APC =S △PBC ，∴ ×4×|t+2|=××4×|t-4|，∴t-4=±2（t+2），∴t=-8或t=0，∴P 点坐标为（-8，0）或（0，0）．3、解：（1）如图所示：∵A（-2，2）、B（4，5）、C（-2，-1），∴△ABC的面积=×3×6=9；（2）x轴上存在点P，使△ACP的面积为4．理由如下：设AC与x轴交于点M，则M（-2，0）．∵△ACP的面积为4，∴AC•PM=×3×PM=4，∴PM=，∴点P的坐标为（-，0）或（，0）；y轴上不存在点Q，使△ACQ的面积为4．理由如下：∵AC∥y轴，y轴上任意一点与AC的距离都是2，∴当点Q在y轴上时，△ACQ的面积=×3×2=3≠4，∴y轴上不存在点Q，使△ACQ的面积为4；（3）如图所示：在新的直角坐标系中，点B的坐标为（6，3），点C的坐标为（0，-3）．4、解：（1）∵A（-1，0），B（3，0），C（0，2），∴AB=4，OC=2，=AB•OC=×4×2=4，即△ABC的面积是4；∴S△ABC（2）AP•OC=OB•OC，即AP=OB=3．当点P在点A的右边时，AP=3，则BP=4-3=1，所以t=1；当点P在点A的左边时，AP=3，则BP=4+3=7，所以t=7；综上所述，当t为1或7时，△PAC的面积等于△BOC的面积．5、解：（1）∵B（3，0）平移后的对应点C（-2，4），∴设3+a=-2，0+b=4，∴a=-5，b=4，即：点B向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点C（-2，4），∴A点平移后的对应点D（-4，2），（2）∵点C在y轴上，点D在第二象限，∴线段AB向左平移3个单位，再向上平移（2+y）个单位，符合题意，∴C（0，2+y），D（-2，y），。

在坐标系中求三角形或四边形的面积在直角坐标系下，求三角形或四边形的面积问题，需要用到坐标与距离的转化和面积的和差，对于七年级的学生是难点，所以找到解体规律是关键。

一、当两点在坐标轴上时，选为底例 1：已知点 A(-2,0),B(4,0),C(-2,-3). 求△ABC 的面积解：如图，∵AB=4-（-2）=6，AC=0-（-3）=3，1 1∴S△ABC=2AB•AC=2×3×6=9．二、当边与坐标轴平行时，选为底例2：把△ABC经过平移后得到△A'B'C',已知A(4, 3),B(3,1),B'(1,-1),C'(2,0)，求△ABC 的面积解：∵把△ABC经过平移后得到△A′B′C′，B（3，1）的对应点是B′（1，-1），B 点向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位，∵A（4，3）的对应点A′的坐标是（4-2，3-2），即A′（2，1），C′（2，0））的对应点 C 的坐标是（2+2，0+2），即（4，2），过 B 作BD⊥AC 于 D，∵A（4，3），C（4，2），∴AC⊥X 轴，∴AC=3-2=1，BD=4-3=1，1 1 1∴△ABC 的面积是2AC×BD=2×1×1=2．三、当任意的三角形或四边形时，选割补法例 3：如图，在平面直角坐标系中描出 4 个点 A（2，-1），B（4，3），C（1，2）．求△ABC 的面积．1 1 1-2×1×3-2×1×4-2×3×2解：（1）S△ABC=3×4=12-1.5-2-3=5.5；四、练习题1、如图所示的方格纸中每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，在平面直角坐标系中，已知点 A（-1，0），B（4，0），C（3，2）．（1）在所给的直角坐标系中画出三角形 ABC；（2）把三角形 ABC 向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位得到三角形A′B′C′，画出三角形A′B′C′并写出点C′的坐标．（3）求三角形A′B′C′的面积．2、已知，点 A（-2，0），B（4，0），C（2，4）（1）求△ABC的面积；1（2）设P 为x 轴上一点，若 S△APC=2S△PBC，试求点 P 的坐标．3、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为 A（-2，2）、B（4，5）、C（-2，-1）．（1）在平面直角坐标系中描出点 A、B、C，求△ABC 的面积；（2）x 轴上是否存在点 P，使△ACP的面积为 4，如果存在，求出点 P 的坐标，如果不存在，说明理由．y 轴上存在点 Q，使△ACQ的面积为 4 吗？如果存在，求出点 Q 的坐标，如果不存在，说明理由；（3）如果以点 A 为原点，以经过点 A 平行于 x 轴的直线为x′轴，向右的方向为x′轴的正方向；以经过点 A 平行于y 轴的直线为y′轴，向上的方向为y′轴的正方向；单位长度相同，建立新的直角坐标系，直接写出点 B、点 C 在新的坐标系中的坐标．4、如图，在平面直角坐标系中，A（-1，0），B（3，0），C（0，2）（1）求△ABC的面积；（2）若点 P 从B 点出发沿射线 BA 的方向匀速移动，速度为 1 个单位/秒，设移动时间为 t 秒，当 t 为何值时，△PAC的面积等于△BOC的面积．5、在直角坐标系中，已知线段 AB，点 A 的坐标为（1，-2），点 B 的坐标为（3，0），如图1 所示．（1）平移线段AB 到线段CD，使点A 的对应点为D，点B 的对应点为C，若点C 的坐标为（-2，4），求点 D 的坐标；（2）平移线段 AB 到线段 CD，使点 C 在y 轴的正半轴上，点 D 在第二象限内，连接 BC，BD，如图 2 所示．若 S△BCD=7（S△BCD 表示三角形 BCD 的面积），求点 C、D 的坐标．S∆P CD2（3）在（2）的条件下，在y 轴上是否存在一点P，使= （S△PCD 表示三角形PCD 的面积）？S∆BCD3若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．答案1.解：（1）△ABC 如图所示；（2）△A′B′C′如图所示，A′（-4，2），B′（1，2），C′（0，4）；（3）由图可知，A′B′=1-（-4）=5，点 C′到 A′B′的距离为 2，1所以，△A′B′C′的面积=2×5×2=5．2、解：（1）如图，1S △ABC =2×（4+2）×4=12；（2） 设 P 点坐标为（t ，0），1 ∵S △APC =2S △PBC ，1 1 ∴2×4×|t+2|=2×12×4×|t -4|，∴t -4=±2（t+2），∴t=-8 或 t=0，∴P 点坐标为（-8，0）或（0，0）．3、解：（1）如图所示：∵A（-2，2）、B（4，5）、C（-2，-1），1∴△ABC 的面积=2×3×6=9；（2）x 轴上存在点 P，使△ACP 的面积为 4．理由如下：设 AC 与 x 轴交于点 M，则 M（-2，0）．∵△ACP 的面积为 4，1 1∴2AC•PM=2×3×PM=4，8 14 2∴PM=3，∴点 P 的坐标为（- 3 ，0）或（3，0）；y 轴上不存在点 Q，使△ACQ 的面积为 4．理由如下：∵AC∥y 轴，y 轴上任意一点与 AC 的距离都是 2，1∴当点 Q 在 y 轴上时，△ACQ 的面积=2×3×2=3≠4，∴y 轴上不存在点 Q ，使△ACQ 的面积为 4；（3） 如图所示：在新的直角坐标系中，点 B 的坐标为（6，3），点 C 的坐标为（0，-3）．4、解：（1）∵A（-1，0），B （3，0），C （0，2），∴AB=4，OC=2，1 1 ∴S △ABC =2AB•OC=2×4×2=4，即△ABC 的面积是 4；1 1 （2）2AP•OC=2OB•OC，即 AP=OB=3．当点 P 在点 A 的右边时，AP=3，则 BP=4-3=1，所以 t=1；当点 P 在点 A 的左边时，AP=3，则 BP=4+3=7，所以 t=7；综上所述，当 t 为 1 或 7 时，△PAC 的面积等于△BOC 的面积． 5、解：（1）∵B（3，0）平移后的对应点 C （-2，4），∴设 3+a=-2，0+b=4，∴a=-5，b=4，即：点 B 向左平移 5 个单位，再向上平移 4 个单位得到点 C （-2，4）， ∴A 点平移后的对应点 D （-4，2），（2）∵点 C 在 y 轴上，点 D 在第二象限，∴线段 AB 向左平移 3 个单位，再向上平移（2+y ）个单位，符合题意， ∴C（0，2+y ），D （-2，y ），连接 OD ，S △BCD =S △BOC +S △COD -S △BOD1 1 1 =2OB×OC+2OC×2-2OB×y=7，∴y=2，∴C（0，4）．D（-2，2）；（3）设点 P（0，m），∴PC=|4-m|，S∆P CD2∵=S∆BCD31 2∴2|4-m|×2=3×7，14 2 26 2 26∴|4-m|= 3 ，∴m=-3或m= 3 ，∴存在点 P，其坐标为（0，-3）或（0，3 ）．。

坐标求面积公式
引言：在数学中，求解不规则图形的面积是一个常见的问题，而坐标求面积公式为我们提供了一种便捷有效的解决方案。

本文将分析如何利用坐标求解平面图形的面积，探讨具体的计算方法和实际应用。

一、矩形的面积求解：设矩形的两个对角顶点分别为(x1,y1)和(x2,y2)，那么矩形的面积可以通过以下公式计算得出：
$$ S = |x_2 - x_1| \\times |y_2 - y_1| $$
二、三角形的面积求解：对于已知三角形的三个顶点(x1,y1)，(x2,y2)，
(x3,y3)的情况，可以利用以下公式求解三角形的面积：
$$ S = \\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| $$
三、多边形的面积求解：若要求解不规则多边形的面积，可以将其划分为若干个三角形，然后将各个三角形的面积求和即可得到多边形的面积。

设多边形的顶点坐标依次为(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x n,y n)，则多边形的面积S可计算为：
$$ S = \\frac{1}{2} \\sum_{i=1}^{n-1} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) + \\frac{1}{2} (x_n y_1 - x_1 y_n) $$
结论：通过坐标求面积公式，我们可以有效地计算平面图形的面积，从而解决了不规则图形面积计算的问题。

坐标求面积公式简单直观，在实际应用中具有很高的实用性和灵活性，为我们的工作和生活提供了方便。

希望本文所介绍的内容对您有所帮助，欢迎探索更多关于坐标求面积的知识。

思想方法专题坐标与面积(三) 知面积，求坐标——分类讨论思想
重点强化 1 点在坐标轴上的位置不确定，需要分类讨论1.【教材变式】(课本P71第14题)如图，已知点O(0，0)，B(1，2)，点A 在坐标轴上，且三角形
OAB 的面为2，求满足条件的点A 的坐标.
解:满足条件的点A 的坐标分别为(2，0)，(－2，0)，(0，－4)，(0，4).
2.如图，已知点A(－4，2)，B (3，0)，点C 在x 轴上，且三角形ABC 的面积为9，求点
C 的坐标. 解: A (－4，2)，点A 到x 轴的距离为2，S △ABC =9，点C 在x 轴上，
BC=9. B (3，0)，若点C 在x 轴正半轴上，则 C (12，0) ；
若点C 在x 轴负半轴上，则C(－6，0).
3.如图，已知点A(0，1)，B(2，0)，C (4，3).
(1)求三角形ABC 的面积；
(2) 设点P 在坐标轴上，且三角形ABP 与三角形ABC 的面积相等,求点P 的坐标.
解:(1)S △ABC =4 ；
(2) P 1 (－6，0) ，P 2 (10，0) ，P 3 (0，5)，P 4 (0，－3).
重点强化 2 点与直线的相对位置不确定，需要分类讨论B
12O y
x
3B
A 2
x
y
O 423B
A x
y
O C。

教案：初中坐标系中如何求面积教学目标：1. 理解坐标系中图形面积的概念和意义。

2. 学会使用坐标系求解简单图形的面积。

3. 培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 坐标系中图形面积的概念和意义。

2. 使用坐标系求解简单图形的面积。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 坐标系图例。

3. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾坐标系的基本概念，如点的坐标、直线方程等。

2. 提问：同学们，你们知道坐标系中的图形面积有什么意义吗？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解坐标系中图形面积的概念和意义。

面积是指图形在坐标系中所占的平面区域的大小。

2. 讲解如何使用坐标系求解简单图形的面积。

a) 矩形：矩形的面积等于其长乘以宽。

b) 三角形：三角形的面积等于底乘以高除以2。

c) 梯形：梯形的面积等于上底加下底的和乘以高除以2。

3. 举例讲解如何求解这些图形的面积。

a) 矩形：如图形A，长为5个单位，宽为3个单位，面积为15个单位。

b) 三角形：如图形B，底为4个单位，高为3个单位，面积为6个单位。

c) 梯形：如图形C，上底为3个单位，下底为5个单位，高为4个单位，面积为16个单位。

三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

2. 教师巡回指导，解答学生的疑问。

四、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结坐标系中图形面积的求解方法。

2. 提问：同学们，你们觉得坐标系中图形面积的求解有什么意义呢？教学延伸：1. 引导学生思考如何求解更复杂图形的面积。

2. 让学生课后查找相关资料，了解坐标系在实际应用中的例子。

教学反思：本节课通过讲解坐标系中图形面积的概念和意义，以及如何使用坐标系求解简单图形的面积，使学生掌握了基本的面积计算方法。

在课堂练习环节，学生能够独立完成练习题，巩固所学知识。

但在教学过程中，发现部分学生对坐标系中图形的理解和应用仍有困难，需要在今后的教学中加强练习和指导。