高中数学 课时达标检测(十五)直线与平面、平面与平面垂直的性质(习题课)新人教A版必修2

第二章 2.3 平面与平面垂直的性质A 级 基础巩固一、选择题1．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，m ⊂α，m ⊥l ，则( C ) A ．m ∥βB ．m ⊂βC ．m ⊥βD ．m 与β相交但不一定垂直 [解析] 如图，∵α⊥β，α∩β＝l ，m ⊂α，m ⊥l ，∴m ⊥β.2．设有直线m 、n 和平面α、β，则下列命题中正确的是( B ) A ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β B ．若m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α，则α⊥β C ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β D ．若m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α，则α⊥β[解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫n ⊥βm ∥n⇒m ⊥βm ⊂α⇒α⊥β， ∴B 正确．3．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的一条直线b ，则( C )A ．直线a 必垂直于平面βB ．直线b 必垂直于平面αC ．直线a 不一定垂直于平面βD ．过a 的平面与过b 的平面垂直[解析] α⊥β，a ⊂α，b ⊂β，a ⊥b ，当α∩β＝a 时，b ⊥α；当α∩β＝b 时，a ⊥β，其他情形则未必有b ⊥α或a ⊥β，所以选项A 、B 、D 都错误，故选C ．4．如右图所示，三棱锥P －ABC 的底面在平面α内，且AC ⊥PC ，平面PAC ⊥平面PBC ，点P ，A ，B 是定点，则动点C 的轨迹是( D )A ．一条线段B ．一条直线C ．一个圆D ．一个圆，但要去掉两个点[解析] ∵平面PAC ⊥平面PBC ，AC ⊥PC ，平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，AC ⊂平面PAC ，∴AC ⊥平面PBC .又∵BC ⊂平面PBC ，∴AC ⊥BC .∴∠ACB ＝90°.∴动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点．5．已知直线m ，n 和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂a ，要使n ⊥β，则应增加的条件是( B )A ．m ∥nB ．n ⊥mC ．n ∥αD ．n ⊥α[解析] 由面面垂直的性质定理知，要使n ⊥β，应有n 与交线m 垂直，∴应增加条件n ⊥m .6．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB ︰A ′B ′等于( A )A ．2︰1B ．3︰1C ．3︰2D ．4︰3[解析] 由已知条件可知∠BAB ′＝π4，∠ABA ′＝π6，设AB ＝2a ，则BB ′＝2a sin π4＝2a ，A ′B ＝2a cos π6＝3a ，∴在Rt △BB ′A ′中，得A ′B ′＝a ，∴AB ︰A ′B ′＝2︰1. 二、填空题7．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列四个命题： ①α∥β，l ⊄β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β； ④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确的两个命题是__①③__.[解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αα∥β⇒l ⊥βm ⊂β⇒l ⊥m ，故①对；⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊥α⇒l ∥β或l ⊂β，又m 是β内的一条直线，故l ∥m 不对；⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ⊂β⇒l ∥β或l ⊂βl ⊥α⇒α⊥β，∴③对；⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αl ⊥m⇒m ⊂α或m ∥α，无论哪种情况与m ⊂β结合都不能得出α∥β，∴选D ．8．三棱锥P －ABC 的高为PH ，若三个侧面两两垂直，则H 为△ABC 的__垂__心. [解析] 由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，则有BC ⊥PA ，AB ⊥PC ，CA ⊥PB ，又由BC ⊥PA ，PH ⊥BC ，得BC ⊥平面PAH ，则BC ⊥AH ，同理有AB ⊥CH ，CA ⊥BH ，所以H 为△ABC 高线的交点，即垂心．三、解答题9．把一副三角板如图拼接，设BC ＝6，∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠BCD ＝90°，∠D ＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD ⊥平面ACD .[解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫平面ABC ⊥平面BCD CD ⊥BC ⇒CD ⊥平面ABC AB ⊂平面ABC⇒⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫CD ⊥AB AB ⊥AC ⇒AB ⊥平面ACDAB ⊂平面ABD⇒平面ABD ⊥平面ACD . 10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ⊥PD ，底面ABCD 是直角梯形，其中BC ∥AD ，∠BAD ＝90°，AD ＝3BC ，O 是AD 上一点.(1)若CD ∥平面PBO ，试指出点O 的位置； (2)求证：平面PAB ⊥平面PCD .[解析] (1)∵CD ∥平面PBO ，CD ⊂平面ABCD ， 且平面ABCD ∩平面PBO ＝BO ， ∴BO ∥CD .又BC ∥AD ，∴四边形BCDO 为平行四边形． 则BC ＝DO ，而AD ＝3BC ，∴AD ＝3OD ，即点O 是靠近点D 的线段AD 的一个三等分点．(2)证明：∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，AB ⊂底面ABCD ，且AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面PAD .又PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD .又PA ⊥PD ，且PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，AB ∩PA ＝A ，∴PD ⊥平面PAB . 又PD ⊂平面PCD ，∴平面PAB ⊥平面PCD .B 级 素养提升一、选择题1．m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出如下命题： ①若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则n ⊥β； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若α⊥β，且n ⊥β，n ⊥m ，则m ⊥α； ④α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α； ⑤若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β.其中正确命题的个数为( B )A．1 B．2 C．3 D．4[解析] 根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α、β可能平行，也可能相交，不正确；③中，m还可能在α内或m∥α，或m与α斜交，不正确；④中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，呆可能有m∥α，正确；⑤中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B．2．在空间中，下列命题正确的是( D )A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αC．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βD．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b[解析] 选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1、AB、AD两两相交，但由AA1、AB、AD不能确定一个平面，所以A不正确；选项B中，缺少条件m是平面α外的一条直线，所以B 不正确；选项C中，不满足面面垂直的性质定理的条件，必须是α内垂直于l的直线，所以C不正确；由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以D正确．3．如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是( D )A．PE⊥AC B．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCD D．平面PBE⊥平面PAD[解析] 因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A、B成立．又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D．二、填空题4．如图所示，P 是菱形ABCD 所在平面外的一点，且∠DAB ＝60°，边长为a .侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，PB 与平面AC 所成的角为θ，则θ＝__45°__.[解析] 如图所示，取AD 的中点G ，连接PG ，BG ，BD .∵△PAD 是等边三角形，∴PG ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面AC ，平面PAD ∩平面AC ＝AD ，PG ⊂平面PAD ， ∴PG ⊥平面AC ，∴∠PBG 是PB 与平面AC 所成的角θ. 在△PBG 中，PG ⊥BG ，BG ＝PG ， ∴∠PBG ＝45°，即θ＝45°.5．(2016·某某文)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； (2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .[解析] (1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM ，所以四边形AMCB 是平行四边形， 从而CM ∥AB .又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， 所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交．所以PA ⊥平面ABCD . 从而PA ⊥BD . 连接BM ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD . 所以四边形BCDM 是平行四边形． 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB . 又BD ⊂平面PBD . 所以平面PAB ⊥平面PBD .C 级 能力拔高1．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .(1)求证AD ⊥PB ；(2)若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ？并证明你的结论．[解析] (1)证明：设G 为AD 的中点，连接BG 、PG ，∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：在△PBC中，∵F是PC的中点，∴EF∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB，由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.2．(2016·某某二中高一检测)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点.(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．[解析] (1)如图所示，取CD的中点E，连接PE、EM、EA.∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，PE＝PD sin∠PDE＝2sin60°＝ 3.∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，而AM⊂平面ABCD，∵PE⊥AM.∴四边形ABCD是矩形，∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝3，AM＝6，AE＝3，∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.(2)由(1)可知，EM⊥AM，PM⊥AM，∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．在Rt△PEM中，tan∠PME＝PEEM ＝33＝1，∴∠PME＝45°.∴二面角P－AM－D的大小为45°.。

2．3．3 直线与平面垂直的性质 2．3．4 平面与平面垂直的性质课时练习‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选B 对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．2．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是( )A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β解析：选D 选项A缺少了条件：l⊂α；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全条件．3．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1( )A．平行B．共面C．垂直D．不垂直解析：选C 如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD.∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C.4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FH解析：选B 因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α⊥β，m⊥β，m⊂/ α，则m∥α；④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.其中正确命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B 根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.6．如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD⊂平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．所以图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．答案：67.如图，直二面角α－l－β中，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．解析：如图，连接BC，∵二角面α－l－β为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，∴AC⊥β.又BC⊂β，∴AC⊥BC，∴BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，∴CD＝BC2－BD2＝ 2.答案： 28．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列说法：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中正确的说法序号是________(注：把你认为正确的说法的序号都填上)．解析：①错，垂直于交线，不一定垂直平面；②对；③错，凡是平面内垂直于m的射影的直线，m都与它们垂直；④对．答案：②④9.如图，三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.10.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求直线EC与平面ABE所成角正弦值．解：(1)证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.∵四边形ACDE 是正方形，∴AM ⊥CE . 又BC ∩CE ＝C ，∴AM ⊥平面EBC . (2)取AB 的中点F ，连接CF ，EF .∵EA ⊥AC ，平面ACDE ⊥平面ABC ，平面ACDE ∩平面ABC ＝AC ， ∴EA ⊥平面ABC ，∴EA ⊥CF . 又AC ＝BC ，∴CF ⊥AB . ∵EA ∩AB ＝A ， ∴CF ⊥平面AEB ，∴∠CEF 即为直线EC 与平面ABE 所成的角． 在Rt △CFE 中，CF ＝2，FE ＝6， tan ∠CEF ＝26＝33. ∴直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为12.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行解析：选B 圆柱的母线垂直于圆柱的底面，所作的垂线也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可知，二者平行．2．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面解析：选D A 项，α，β可能相交，故错误；B 项，直线m ，n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C 项，若m ⊂α，α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥β，故错误；D 项，假设m ，n 垂直于同一平面，则必有m ∥n ，所以原命题正确，故D 项正确．3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( ) A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n B ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n C ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β D ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β解析：选D A中m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中m，n可能为异面直线；C 中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．4．在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为( )A．2 3 B．27C．4 3 D．47解析：选B 连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×32＝23，所以PM的最小值为27.5．设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提条件，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中，正确命题的个数为________．解析：①②作为前提条件，③作为结论构成的命题正确，过l作一平面与β交于l′，则l∥l′，所以l′⊥α，故α⊥β；①③作为前提条件，②作为结论构成的命题错，这时可能有l⊂β；②③作为前提条件，①作为结论构成的命题错，这时l与α的各种位置关系都可能存在．答案：16.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为________．解析：取BC的中点为F，连接EF，DF，易知∠EDF为直线DE与平面ABCD所成的角，tan ∠EDF＝15＝55.答案：5 57．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．解析：设平面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.答案：1或无数8．如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.证明：设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC.∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又EO⊂平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD.。

课时达标检测（十四）直线与平面、平面与平面垂直的性质一、选择题．若，，表示不重合的直线，α表示平面，则下列说法中正确的个数为( )①∥，∥，⊥α⇒⊥α；②∥，⊥α，⊥α⇒∥；③⊥α，⊂α⇒⊥.．．．．答案：．如果直线与平面α不垂直，那么平面α内与直线垂直的直线有( )．条．条．无数条．任意条答案：．(浙江高考)设是直线，α，β是两个不同的平面( )．若∥α，∥β，则α∥β．若∥α，⊥β，则α⊥β．若α⊥β，⊥α，则⊥β．若α⊥β，∥α，则⊥β答案：．已知平面α⊥平面β，α∩β＝，点∈α，∉，直线∥，直线⊥，直线∥α，∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )．∥．⊥．∥β．⊥β答案：.如图，线段的两端在直二面角α--β的两个面内，并与这两个面都成°角，则异面直线与所成的角是( )．°．°．°．°答案：二、填空题.如图，已知平面α∩平面β＝，⊥α，垂足为，⊥β，垂足为，直线⊂β，⊥，则直线与直线的位置关系是．答案：平行.如图，四面体-中，＝＝，平面⊥平面，∠＝°，＝，＝，则＝.答案：.如图，已知六棱锥-的底面是正六边形，⊥平面，＝，则下列结论：①⊥；②平面⊥平面；③直线∥平面；④∠＝°.其中正确的有(把所有正确的序号都填上)．答案：①④三、解答题.如图，三棱锥-中，已知△是等腰直角三角形，∠＝°，△是直角三角形，∠＝°，平面⊥平面.求证：平面⊥平面.证明：∵平面⊥平面，平面∩平面＝，⊥，∴⊥平面.又⊂平面，∴⊥.又∵⊥，∩＝，⊂平面，⊂平面，∴⊥平面.又⊂平面，∴平面⊥平面..如图，在四棱锥-中，底面是边长为的正方形，，分别为，的中点，侧面⊥底面，且＝＝.()求证：∥平面；()求三棱锥-的体积．解：()证明：连接，如图所示，则是的中点，又为的中点，∴∥.又∵⊂平面，⊄平面，∴∥平面.()取的中点，连接，如图所示．∵＝，∴⊥.又平面⊥平面，平面∩平面＝，⊂平面，∴⊥平面，即是三棱锥-的高．又∵＝＝＝，∴＝＝，。

课时作业15 直线与平面垂直的判定1．如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，那么能保证该直线与平面垂直的是()A．①③B．②C．②④D．①②④2．已知平面α∥β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面AA1D1D为正方形，E为棱CD上任意一点，则AD1与B1E的关系为()A．AD1⊥B1EB．AD1∥B1EC．AD1与B1E共面D．以上都不对4．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在5．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°6．如果PA，PB，PC两两垂直，那么点P在平面ABC内的投影一定是△ABC的(D) A．重心B．内心C．外心D．垂心7．▱ABCD的对角线交点为O，点P在▱ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是垂直．8．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有4.9．如图，∠ACB＝90°，平面ABC外有一点P，PC＝4 cm，点P到角的两边AC，BC 的距离都等于2 3 cm，则PC与平面ABC所成角的大小为.10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.11．如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点．(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值．12．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.64 B.104C.22 D.3213.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角14.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的取值范围是．15.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2 2.(1)证明PA∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．课时作业15 直线与平面垂直的判定1．如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，那么能保证该直线与平面垂直的是(A)A．①③B．②C．②④D．①②④解析：①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，②④中的两条直线有可能是平行的．2．已知平面α∥β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：根据题意，“a⊥α”，又由平面α∥β，则有“a⊥β”，则“a⊥α”是“a⊥β”的充分条件，反之，若“a⊥β”，又由平面α∥β，则有“a⊥α”，则“a⊥β”是“a⊥α”的必要条件，则“a⊥α”是“a⊥β”的充要条件．故选C.3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面AA1D1D为正方形，E为棱CD上任意一点，则AD1与B1E的关系为(A)A．AD1⊥B1EB．AD1∥B1EC．AD1与B1E共面D．以上都不对解析：连接A1D，则由正方形的性质，知AD1⊥A1D，又B1A1⊥平面AA1D1D，所以B1A1⊥AD1，所以AD1⊥平面A1B1ED，又B1E⊂平面A1B1ED，所以AD1⊥B1E，故选A.4．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(B)A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在解析：若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．5．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是(C)A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图，取BC的中点E，连接AE，ED，AD，则AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为a，则AE＝32a，DE＝12a.∴tan ∠ADE＝ 3.∴∠ADE ＝60°. 6．如果PA ，PB ，PC 两两垂直，那么点P 在平面ABC 内的投影一定是△ABC 的( D ) A ．重心 B ．内心 C ．外心 D ．垂心解析：如图，由PA ，PB ，PC 两两互相垂直，可得AP ⊥平面PBC ，BP ⊥平面PAC ，CP ⊥平面PAB ，所以BC ⊥OA ，AB ⊥OC ，AC ⊥OB ，所以点O 是△ABC 三条高的交点，即点O 是△ABC 的垂心，故选D.7．▱ABCD 的对角线交点为O ，点P 在▱ABCD 所在平面外，且PA ＝PC ，PD ＝PB ，则PO 与平面ABCD 的位置关系是垂直．解析：∵PA ＝PC ，O 是AC 的中点，∴PO ⊥AC .同理可得PO ⊥BD .∵AC ∩BD ＝O ，∴PO ⊥平面ABCD .8．如图所示，PA ⊥平面ABC ，△ABC 中BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有4.解析：⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥BCAC ⊥BC PA ∩AC ＝A ⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ，∴直角三角形有△PAB 、△PAC 、△ABC 、△PBC .9．如图，∠ACB ＝90°，平面ABC 外有一点P ，PC ＝4 cm ，点P 到角的两边AC ，BC 的距离都等于2 3 cm ，则PC 与平面ABC 所成角的大小为45°.解析：如图，过P 作PO ⊥平面ABC 于点O ，连接CO ，则CO 为∠ABC 的平分线，且∠PCO 为PC 与平面ABC 所成的角，设其为θ，连接OF ，易知△CFO 为直角三角形．又PC ＝4，PF ＝23，∴CF ＝2，∴CO ＝22，在Rt △PCO 中，cos θ＝CO PC ＝22，∴θ＝45°. 10.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C ⊥平面BC 1D .证明：连接AC ，则AC ⊥BD ，又BD ⊥A 1A ，AC ∩AA 1＝A ，AC ，A 1A ⊂平面A 1AC ，∴BD ⊥平面A 1AC ，A 1C ⊂平面A 1AC ，∴BD ⊥A 1C .同理可证BC 1⊥A 1C .又BD ∩BC 1＝B ，BD ，BC 1⊂平面BC 1D ， ∴A 1C ⊥平面BC 1D .11．如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点．(1)求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；(2)求直线AC 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．解：(1)证明：直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1⊥AD ， ∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC .又BC ∩BB 1＝B ， ∴AD ⊥平面BCC 1B 1.(2)如图，连接C 1D .由(1)可知AD ⊥平面BCC 1B 1，则∠AC 1D 即为直线AC 1与平面BCC 1B 1所成角．在Rt △AC 1D 中，AD ＝32，AC 1＝2， sin ∠AC 1D ＝AD AC 1＝64，即直线AC 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为64.12．已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( A )A.64B.104C.22D.32解析：如图所示，取A 1C 1的中点D ，连接AD ，B 1D ，则易证得B 1D ⊥平面ACC 1A 1，∴∠DAB 1即为直线AB 1与平面ACC 1A 1所成的角．不妨设正三棱柱的棱长为2，则在Rt △AB 1D 中，sin ∠DAB 1＝B 1D AB 1＝322＝64，故选A.13.如图，四棱锥S -ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( D )A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：选项A正确，因为SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥SD.又ABCD 为正方形，所以AC⊥BD.因为BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB.选项B正确，因为AB∥CD，CD⊂平面SCD，AB⊄平面SCD，所以AB∥平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．14.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的取值范围是[2，＋∞)．解析：因为PA⊥平面AC，QD⊂平面AC，所以PA⊥QD.又因为PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，所以QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD.①当0<a<2时，由四边形ABCD是矩形且AB＝1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有∠AQD<90°，此时BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD；②当a＝2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q，此时∠AQD＝90°，所以BC边上存在一点Q，使PQ⊥QD；③当a>2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQ⊥QD.15.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2 2.(1)证明PA∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．解：(1)证明：如图，连接AC与BD相交于点O，连接OE，因为AD＝CD，DB平分∠ADC ，所以OA ＝OC .又因为E 为PC 的中点，所以PA ∥OE .又PA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以PA ∥平面BDE .(2)证明：因为AD ＝CD ，DB 平分∠ADC ，所以AC ⊥BD ，因为PD ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥PD ，又因为BD ∩PD ＝D ，所以AC ⊥平面PBD .(3)由(2)知CO ⊥平面PBD ，所以直线BC 在平面PBD 内的射影为BO ，所以∠OBC 是直线BC 与平面PBD 所成的角．因为AD ＝CD ，AD ⊥CD ，DB 平分∠ADC ， 所以∠ODC ＝∠OCD ＝45°. 所以OD ＝OC ＝22CD ＝22.因为DB ＝22，所以OB ＝DB －OD ＝322. 在Rt △OBC 中，tan ∠OBC ＝OC OB ＝13，所以直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值为13.。

课时3直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质(35分钟100分)基础达标1.理解直线和平面垂直的性质定理,平面与平面垂直的性质定理;并能用文字、符号和图形语言描述定理;2.能够灵活地应用线面垂直的性质定理与面面垂直的性质定理证明相关问题;3.理解并掌握“平行”与“垂直”之间的相互转化;4.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系素养突破通过学习线面,面面垂直的性质定理提高直观想象素养和逻辑推理素养1.直线和平面垂直的性质定理可以看作是两条直线平行的判定依据,可以融入平行推导过程中,实现平行与垂直的相互转化,即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线面平行.2.“垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“垂直于同一直线的两个平面互相平行”都是正确的结论,但“垂直于同一直线的两条直线互相平行”、“垂直于同一平面的两个平面互相平行”都是错误的结论.3.面面垂直的性质定理是判断线面垂直的重要定理,需要注意:(1)两平面垂直;(2)直线必须在一个平面内;(3)直线垂直于两平面的交线.4.垂直关系的转化如有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键.题组一直线与平面,平面与平面垂直的性质定理1.(8分)已知l⊥平面α,直线m⊂平面β.有下面四个命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β.其中正确的命题是()A.①②B.③④C.②④D.①③2.(8分)若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则()A.α∥γB.α⊥γC.α与γ相交但不垂直D.以上都有可能3.(8分) 已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,给出下列4个命题:①若m⊂α,n∥α,则m∥n②若m⊥α,n∥α,则m⊥n③若m⊥α,m⊥β,则α∥β④若m∥α,n∥α,则m∥n其中真命题的序号为()A.①②B.②③C.③④D.①④4.(8分)在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1于F,则()A.EF∥A1B1C1D1B.EF⊂平面A1B1C1D1C.EF⊥平面A1B1C1D1D.EF与平面A1B1C1D1斜交5.(8分)如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于△ABC所在平面,那么()A.P A=PB=PCB.P A≠PB≠PCC.P A=PB>PCD.P A=PB<PC6.(8分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是()A.平面ADC⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ABD⊥平面ABC7.(8分)如图,在正方形SG1G2G3中,E、F分别是G1G2、G2G3的中点,现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3重合,重合后的点记为G.给出下列关系:①SG⊥平面EFG;②SE⊥平面EFG;③GF⊥SE;④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A.①与②B.①与③C.②与③D.③与④题组二直线与平面,平面与平面垂直的性质定理在证明中的应用8.(14分)如图,AB是☉O的直径,点C是☉O上异于A、B的任意一点,直线P A垂直于☉O所在平面,D是PC的中点,E是PB上的点,若DE⊥平面P AC,试确定点E的位置.9.(15分)如图,在三棱锥P-ABC中,E,F分别为AC,BC的中点.(1)求证:EF∥平面P AB.(2)若平面P AC⊥平面ABC,且P A=PC,∠ABC=90°.求证:平面PEF⊥平面PBC.10.(15分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC.(1)证明:BC∥平面PDA.(2)证明:BC⊥PD.课时3直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质1.D解析:本题考查线面垂直的性质.∵l⊥α,α∥β,∴l⊥β,又m⊂β,∴l⊥m,故①正确;由l⊥α,α⊥β可得l∥β或l⊂β,再由m⊂β得不到l∥m,故②错;∵l⊥α,m∥l,∴m⊥α,又m⊂β,∴α⊥β,故③正确;当α∩β=m时,也可满足l⊥α,l⊥m,故④错.2.D解析:本题考查面面垂直的性质.两个平面都垂直于同一个平面,则这两个平面可能平行,也可能相交,故选项A、B、C都有可能.3.B解析:本题考查线面位置关系的判断.若m⊂α,n∥α,则m与n的位置关系不能确定,所以命题①错误;若m⊥α,n∥α,则m∥n,命题②正确;若两平面垂直于同一条直线,则这两平面平行,所以命题③正确;两直线同时平行于一个平面,这两条直线的位置关系不能确定,所以命题④错误.4.C解析:本题考查面面垂直的性质.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1,且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1=A1B1,又EF⊂平面A1ABB1,EF⊥A1B1,∴EF⊥平面A1B1C1D1.5.A解析:本题考查线面垂直的性质.因为△ABC为直角三角形,M为斜边AB的中点,所以MA=MB=MC.因为PM垂直于△ABC所在平面,所以Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC,所以P A=PB=PC.6.A解析:本题考查面面垂直的性质.如图,在平面图形中CD⊥BD,折起后仍然满足CD⊥BD,由于平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,CD⊂平面BCD,故CD⊥平面ABD,又AB⊂平面ABD,故CD⊥AB.又AB ⊥AD,AD∩CD=D,故AB⊥平面ADC,又AB⊂平面ABC,所以平面ADC⊥平面ABC.7.B解析:本题考查面面垂直的性质.由SG⊥GE,SG⊥GF,GE∩GF=G,得SG⊥平面EFG,排除C、D项;若SE⊥平面EFG,则SG∥SE,这与SG∩SE=S矛盾,排除A项,故B项正确.8.解析:本题考查线面垂直的性质.∵AB是☉O的直径,∴BC⊥AC.∵P A⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴P A⊥BC.∵P A∩AC=A,∴BC⊥平面P AC.∵DE⊥平面P AC,∴DE∥BC.∵D是PC的中点,∴E是PB的中点.9.解析:本题考查面面垂直的性质.(1)∵E,F分别为AC,BC的中点,∴EF∥AB.又EF⊄平面P AB,AB⊂平面P AB,∴EF∥平面P AB.(2)∵P A=PC,E为AC的中点,∴PE⊥AC.又∵平面P AC⊥平面ABC,∴PE⊥平面ABC,∴PE⊥BC.又∵F为BC的中点,∴EF∥AB.∵∠ABC=90°,∴BC⊥EF.∵EF∩PE=E,∴BC⊥平面PEF.又∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PEF.10.解析:本题考查面面垂直的性质.(1)因为在长方形ABCD中,BC∥AD,BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,所以BC∥平面PDA.(2)取CD的中点H,连接PH.因为PD=PC,所以PH⊥CD.又平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,PH⊂平面PDC.所以PH⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD,所以PH⊥BC.因为在长方形ABCD中,BC⊥CD,PH∩CD=H, 所以BC⊥平面PDC,又PD⊂平面PDC,所以BC⊥PD.。

课时达标检测（十五）直线与平面、平面与平面垂直的性质（习题课）一、选择题1．已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n 与平面α的关系是( )A．n∥αB．n∥α或n⊂αC．n⊂α或n与α不平行D．n⊂α答案：A2.如图所示，在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC答案：C3．已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直．其中正确的命题是( )A．②③B．①③C．②④D．③④答案：D4.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小( )A．变大B．变小C．不变D．有时变大有时变小答案：C5.如图，在四面体D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下面结论正确的是( )A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE答案：C二、填空题6．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.答案：若①③④，则②(或若②③④，则①)7．如图所示，沿直角三角形ABC 的中位线DE 将平面ADE 折起，使得平面ADE ⊥平面BCDE ，得到四棱锥A ­BCDE .则平面ABC 与平面ACD 的关系是________．答案：平面ABC ⊥平面ACD8.如图所示，平面ABC ⊥平面ABD ，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，△ABD是正三角形，则二面角C ­BD ­A 的平面角的正切值为________． 答案：233三、解答题9.如图几何体中，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3BC ＝6，BF ＝CF ＝AE ＝DE ＝2，EF ＝4，EF ∥AB ，G 为FC 的中点，M 为线段CD 上的一点，且CM ＝2.(1)证明：AF ∥平面BDG ；(2)证明：平面BGM ⊥平面BFC ；(3)求三棱锥F ­BMC 的体积V .解：(1)证明：连接AC 交BD 于O 点，则O 为AC 的中点，连接OG ，因为点G 为CF 的中点，所以OG 为△AFC 的中位线，所以OG ∥AF .∵AF ⊄平面BDG ，OG ⊂平面BDG ，∴AF ∥平面BDG .(2)证明：连接FM .∵BF ＝CF ＝BC ＝2，G 为CF 的中点，∴BG ⊥CF .∵CM ＝2，∴DM ＝4.∵EF ∥AB ，四边形ABCD 为矩形，∴EF ∥DM ，又EF ＝4，∴EFMD 为平行四边形，∴FM ＝ED ＝2，∴△FCM 为正三角形，∴MG ⊥CF .∵MG ∩BG ＝G ，∴CF ⊥平面BGM .∵CF ⊂平面BFC ，∴平面BGM ⊥平面BFC .(3)V F ­BMC ＝V F ­BMG ＋V C ­BMG ＝13×S △BMG ×FC ＝13×S △BMG ×2， ∵GM ＝BG ＝3，BM ＝22，∴S △BMG ＝12×22×1＝2， ∴V F ­BMC ＝23×S △BMG ＝223.10.如图，AE C 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为A C 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，FB ＝5a .(1)证明：EB ⊥FD ；(2)求点B 到平面FED 的距离．解：(1)证明：∵FC ⊥平面BED ，BE ⊂平面BED ，∴EB ⊥FC .又点E 为A C 的中点，B 为直径AC 的中点，∴EB ⊥BC .又∵FC ∩BC ＝C ，∴EB ⊥平面FBD .∵FD ⊂平面FBD ，∴EB ⊥FD .(2)如图，在平面BEC 内过C 作CH ⊥ED ，连接FH .则由FC ⊥平面BED 知，ED ⊥平面FCH .∵Rt △DHC ∽Rt △DBE ，∴DC DE ＝CH BE.在Rt △DBE 中，DE ＝BE 2＋BD 2＝BE 2＋BC 2＝5a ， ∴CH ＝DC ·BE DE ＝a ·a 5a ＝55a . ∵FB ＝5a ，BC ＝a ，∴FC ＝2a .在平面FCH 内过C 作CK ⊥FH ，则CK ⊥平面FED .∵FH 2＝FC 2＋CH 2＝4a 2＋a 25＝215a 2， ∴FH ＝1055a . ∴CK ＝FC ·CH FH ＝2a ·55a 1055a ＝22121a . ∵C 是BD 的中点，∴B 到平面FED 的距离为2CK ＝42121a .。

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2021年高中数学 2.3.4 平面与平面垂直的性质课时练 新人教A 版必修2
一、选择题
1．下列命题中错误的是（ ）
（A ）如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 （B ）如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
（C ）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 （D ）如果平面平面，平面平面，，那么
2．已知两个平面垂直，下列命题中正确的个数为（ ） ○
1一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ○
2一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ○
3一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 ○
4过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面． （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ） 0
3．过平面外的一条直线，且与平面垂直的平面有（ ） （A ）一个 （B ）无数个 （C ）不存在 （D ）一个或无数个
4．如图，在正方体中，点P 在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则动点P 的轨迹是（ ）
（Ａ）线段 （Ｂ）线段 （Ｃ）中点与中点连成的线段 （Ｄ）BC 中点与中点连成的线段 二、解答题
5．如图，在四面体ＡＢＣＤ中，平面平面ＢＣＤ，．求证：平面平面．
6. 如图，正方形所在的平面与平面垂直，是的交点，，且。

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线AB 与平面所成角的大小；
A
7.如图，为正三角形，，，，是的中点，
（1）求证：；
（2）
（3）: :l29276 725C 牜: 36335 8DEF 路ZWN34549 86F5 蛵r 38037 9495 钕
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高中数学直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质精选题目（附答案）1．直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．(2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b . (4)作用：①线面垂直⇒线线平行；②作平行线．2．平面与平面垂直的性质定理(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．(2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝l a ⊂αa ⊥l ⇒a ⊥β.(4)作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线．一、线面垂直性质定理的应用1.如图，已知正方体A 1C .(1)求证：A 1C ⊥B 1D 1.(2)M ，N 分别为B 1D 1与C 1D 上的点，且MN ⊥B 1D 1，MN ⊥C 1D ，求证：MN ∥A 1C .[证明] (1)如图，连接A 1C 1.∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴CC 1⊥B 1D 1.∵四边形A 1B 1C 1D 1是正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1.又∵CC 1∩A 1C 1＝C 1，∴B1D1⊥平面A1C1C.又∵A1C⊂平面A1C1C，∴B1D1⊥A1C.(2)如图，连接B1A，AD1.∵B1C∥AD，∴四边形ADC1B1为平行四边形，∴C1D∥AB1.∵MN⊥C1D，∴MN⊥AB1.又∵MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，∴MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又∵AB1∩B1D1＝B1，∴A1C⊥平面AB1D1.∴A1C∥MN.注：(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．(2)直线与平面垂直的其他性质：①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直．②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．③若l⊥α于A，AP⊥l，则AP⊂α.④垂直于同一条直线的两个平面平行．⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M 是AB 的中点．证明：(1)∵四边形ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1.∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC .又∵MN ⊥平面A 1DC ，∴MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ，∴ON=12CD=12AB .∴ON ∥AM .又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形．∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB .∴M 是AB 的中点.二、面面垂直性质定理的应用3.已知P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥AC .[证明] 如图，在平面P AC 内作AD ⊥PC 于点D ，∵平面P AC ⊥平面PBC ，AD ⊂平面P AC ，且AD ⊥PC ，∴AD ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ，∵AD ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，又AC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥AC .注： 若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．4.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°.侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面P AD；(2)求证：AD⊥PB.证明：(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.∵平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面P AD.(2)如图，连接PG.∵△P AD是正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.三、垂直关系的综合应用4.如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)．(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?[解](1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF⊂平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，∴BE⊥平面ACD.又∵AC⊂平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝2，∴AB＝2tan 60°＝6，∴AC＝AB2＋BC2＝7.由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE·AC，∴AE＝67，∴λ＝AEAC＝67.故当λ＝67时，平面BEF⊥平面ACD.注：(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的．它们之间的转化关系如下：线线垂直判定定理线面垂直定义线面垂直判定定理性质定理面面垂直(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．5.如图(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图(2)中△A1BE 的位置，得到四棱锥A1-BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1-BCDE的体积为362，求a的值．解：(1)证明：在图(1)中，因为AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝π2，所以BE⊥AC.即在图(2)中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC.又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE. 即A1O是四棱锥A1-BCDE的高．由图(1)知，A1O＝22AB＝22a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1-BCDE的体积为V＝13S·A1O＝13×a2×22a＝26a3.由26a3＝362，得a＝6.巩固练习：1．设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β2．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β3．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1()A．平行B．共面C．垂直D．不垂直4.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FH5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．41.解析：选B对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．2.解析：选D选项A缺少了条件：l⊂α；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全条件．3.解析：选C如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD.∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C.4.解析：选B因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.5.解析：选B根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.6.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD⊂平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．所以图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD 共6个．答案：67.如图，直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．解析：如图，连接BC，∵二角面α-l-β为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，∴AC⊥β.又BC⊂β，∴AC⊥BC，∴BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，∴CD＝BC2－BD2＝ 2.答案： 28．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列说法①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中正确的说法序号是________(注：把你认为正确的说法的序号都填上)．解析：①错，垂直于交线，不一定垂直平面；②对；③错，凡是平面内垂直于m的射影的直线，m都与它们垂直；④对．答案：②④9.如图：三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△P AC是直角三角形，∠P AC＝90°，∠ACP＝30°，平面P AC⊥平面ABC.求证：平面P AB⊥平面PBC.证明：∵平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，P A⊥AC，∴P A ⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩P A＝A，AB⊂平面P AB，P A⊂平面P AB，∴BC⊥平面P AB.又BC⊂平面PBC，∴平面P AB⊥平面PBC.10.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求直线EC与平面ABE所成角正弦值．解：(1)证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.(2)取AB的中点F，连接CF，EF.∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥CF.又AC＝BC，∴CF⊥AB.∵EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB，∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角．在Rt△CFE中，CF＝2，FE＝6，tan∠CEF＝26＝33.11．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．相交或平行12．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行．．．，则在α内不存在．．．与β平行的直线D．若m，n不平行．．．，则m与n不可能．．．垂直于同一平面13．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β14．在三棱锥P-ABC中，平面P AC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为() A．2 3 B．27C．4 3 D．47参考答案：11.解析：选B∵圆柱的母线垂直于圆柱的底面，所作的垂线也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可知，二者平行．12.解析：选D A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．13.解析：选D A中m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中m，n可能为异面直线；C中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．14.解析：选B连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×32＝23，所以PM的最小值为27.15.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos α∶cos β＝________.解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5,25，所以cos α＝525＋4＝529，cos β＝2529，所以cos α∶cos β＝5∶2.答案：5∶216．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．解析：设面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.答案：1或无数17.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为P A的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.证明：设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC.∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又EO⊂平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD.18.如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中点，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝MA1吗？请叙述你的判断理由．解：(1)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥平面BB1C1C，底面ABC∩平面BB1C1C＝BC，∴AD⊥平面BB1C1C.又CC1⊂平面BB1C1C，∴AD⊥CC1.(2)证明：延长B1A1与BM交于点N，连接C1N.∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.∵A1C1＝A1N＝A1B1，∴C1N⊥B1C1，∴C1N⊥侧面BB1C1C.∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)结论正确．证明如下：过M作ME⊥BC1于点E，连接DE. ∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C，∴ME⊥侧面BB1C1C.又AD⊥侧面BB1C1C，∴ME∥AD，∴M，E，D，A四点共面．∵MA∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE.∴四边形AMED是平方四边形，又AM∥CC1，∴DE∥CC1.∵BD＝CD，∴DE＝12CC1，∴AM＝12CC1＝12AA1.∴AM＝MA1.。

课时跟踪检测（十四）直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质一、题组对点训练对点练一直线与平面垂直的性质1．直线n⊥平面α，n∥l，直线m⊂α，则l、m的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行 D.垂直解析：选D 由题意可知l⊥α，所以l⊥m.2．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是( )A．b∥αB．b⊂αC．b⊥α D.b与α相交解析：选C 由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.3．如图，四棱锥S­ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，E，F分别是SD，SC的中点．求证：(1)BC⊥平面SAB；(2)EF⊥SD.证明：(1)∵四棱锥S­ABCD的底面是矩形，∴AB⊥BC.∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴SA⊥BC.又∵SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.(2)∵SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥SA.又∵CD⊥AD，SA∩AD＝A，∴CD⊥平面SAD.∵E，F分别是SD，SC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥平面SAD.又∵SD⊂平面SAD，∴EF⊥SD.对点练二平面与平面垂直的性质4．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是( )A．平行 B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交但不垂直 D．相交且垂直解析：选D 由于长方体中平面ABB1A1⊥平面ABCD，所以根据面面垂直的性质定理可知，EF与平面A1B1C1D1相交且垂直．5．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能解析：选D 可能平行，也可能相交．如图，α与δ平行，α与γ相交．6.如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是( )A．PE⊥ACB．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCDD．平面PBE⊥平面PAD解析：选D 因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A、B成立．又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D.7．平面α⊥平面β，直线a∥平面α，则( )A．a⊥βB．a∥βC．a与β相交 D.以上都有可能解析：选D 因为a∥α，平面α⊥平面β，所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能．8．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.答案：平行9．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABC D.求证：AD⊥平面PCD.证明：在矩形ABCD中，AD⊥CD，因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PCD.对点练三垂直关系的综合应用10.如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，若PA＝PD，平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证：AD⊥PB.(2)若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．解：(1)证明：取AD的中点O，连接PO，BO，BD，因为PA＝PD，所以PO⊥AD，因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形，又O是AD的中点，所以AD⊥OB.又OB∩OP＝O，所以AD⊥平面POB，因为PB⊂平面POB，所以AD⊥PB.(2)当F是棱PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD，连接OE，OC，因为在菱形ABCD中，E为BC的中点，O是AD的中点，所以DO∥CE，DO＝CE，所以四边形DOEC是平行四边形，设DE∩OC＝M，所以M是OC的中点，连接FM，又因为F是棱PC的中点，所以FM∥PO.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD，所以PO⊥平面ABCD，所以FM⊥平面ABCD，又因为FM⊂平面DEF，所以平面DEF⊥平面ABCD.11．如图，α⊥β，α∩β＝l，AB⊂α，AB⊥l，BC⊂β，DE⊂β，BC⊥DE.求证：AC⊥DE.证明：∵α⊥β，α∩β＝l，AB⊂α，AB⊥l，∴AB⊥β.∵DE⊂β，∴AB⊥DE.∵BC⊥DE，AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴AC⊥DE.二、综合过关训练1．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.其中正确命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D.4解析：选B 根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.2．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC是( ) A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形 D.等腰直角三角形解析：选A 过点A作AH⊥BD于点H，由平面ABD⊥平面BCD，得AH⊥平面BCD，则AH ⊥B C.又DA⊥平面ABC，所以BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC为直角三角形．故选A.3．已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是( )A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．α∥β，β⊥γ，则α⊥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥bD．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α解析：选B A中α，γ可以相交；C中如图，a与b不一定垂直；D中b仅垂直于α的一条直线a，不能判定b⊥α.4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D.AC⊥β解析：选 D 如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β.故选D.5．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．解析：过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝A D.∴∠ADO＝45°.答案：45°6．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为________．解析：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD.所以平面ABC⊥平面BCD，因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD.又因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3对．答案：37.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求直线EC与平面ABE所成角正切值．解：(1)证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.(2)取AB的中点F，连接CF，EF.∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥CF.又AC＝BC，∴CF⊥AB.∵EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB，∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角．在Rt△CFE中，CF＝2，FE＝6，tan∠CEF＝26＝33.8.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BB1＝2BC ＝2，∠BCC1＝60°.(1)求证：C1B⊥平面A1B1C1；(2)P是线段BB1上的动点，当平面C1AP⊥平面AA1B1B时，求线段B1P的长．解：(1)证明：由AB ⊥侧面BB 1C 1C ，得AB ⊥C 1B . 由AB ＝BB 1＝2BC ＝2，∠BCC 1＝60°，可得∠C 1BC ＝90°，即C 1B ⊥CB . 又CB ∩AB ＝B ， 所以C 1B ⊥平面ABC .由棱柱的性质知，平面ABC ∥平面A 1B 1C 1， 所以C 1B ⊥平面A 1B 1C 1. (2)因为AB ⊥侧面BB 1C 1C ， 所以平面ABB 1A 1⊥平面BB 1C 1C .过点C 1作C 1P ⊥BB 1，交BB 1于点P ，连接AP ， 则C 1P ⊥平面AA 1B 1B .又C 1P ⊂平面C 1AP ，所以平面C 1AP ⊥平面AA 1B 1B .在▱BB 1C 1C 中，∠BB 1C 1＝∠BCC 1＝60°，∠C 1BC ＝∠BC 1B 1＝90°， 所以B 1P ＝12B 1C 1＝12BC ＝12.。

2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、选择题1．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在2．线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为() A．30° B．45°C．60° D．120°3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC.BD的关系是()A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如图所示，P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数是()A．4 B．3 C．2 D．15．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.那么，在四面体A－EFH中必有()A．HG⊥△AEF所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．AH⊥△EFH所在平面6．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.63 B.265 C.155 D.105二、填空题7．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝________.9．已知△ABC的三条边长分别是5,12,13，点P到A，B，C三点的距离都等于7，则点P 到平面ABC的距离为________．10．如图所示，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．三、解答题11．如图，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN ⊥平面PBM .(2)若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB .12．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面P AB .答案精析1．B 2.C 3.C4．A [∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AC ，P A ⊥AB ，P A ⊥BC .又∵BC ⊥AC ，AC ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC ，∴直角三角形有△P AB.△P AC.△ABC.△PBC .]5．D [∵AD ⊥DF ，AB ⊥BE ，∴AH ⊥HF ，AH ⊥HE .又∵EH ∩FH ＝H ，∴AH ⊥面EFH .] 6．D [如下图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，连接A 1C 1，与B 1D 1交于O 点，连接OB ，由已知A 1B 1C 1D 1是正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1.又∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，OC 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴OC 1⊥BB 1.而BB 1∩B 1D 1＝B 1， ∴OC 1⊥平面BB 1D 1D .∴OB 是BC 1在平面BB 1D 1D 内的射影． ∴∠C 1BO 是BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角． 在正方形A 1B 1C 1D 1中， OC 1＝12A 1C 1＝12×22＋22＝ 2.在矩形BB 1C 1C 中，BC 1＝BC 2＋CC 21＝4＋1＝ 5. ∴sin ∠C 1BO ＝OC 1BC 1＝25＝105.]7．A 1C 1⊥B 1C 1解析 如图所示，连接B 1C .由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C .因此，要得AB 1⊥BC 1，则需BC 1⊥平面AB 1C ，即只需AC ⊥BC 1即可．由直三棱柱可知，只要满足AC ⊥BC 即可．而A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC ，故只要满足A 1C 1⊥B 1C 1即可．8．90°解析 ∵B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，MN ⊂平面ABB 1A 1，∴B 1C 1⊥MN .又∵MN ⊥B 1M ，B 1M ∩B 1C 1＝B 1，∴MN ⊥平面C 1B 1M ，∴MN ⊥C 1M ，即∠C 1MN ＝90°.9.332解析 由点P 到△ABC 三个顶点的距离相等可知，P 在面ABC 上的投影为△ABC 的外心． 又∵△ABC 为直角三角形，∴其外心是斜边的中点，即P 在面ABC 上的投影是△ABC 斜边的中点D ，如图．∴点P 到平面ABC 的距离为PD ＝72－⎝⎛⎭⎫1322＝32 3.10．①②③解析 ∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .又∵AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB .又∵AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ，∴PB ⊥平面AEF ，∴PB ⊥EF .故①②③正确． 11．证明 (1)∵AB 为⊙O 的直径， ∴AM ⊥BM .又P A ⊥平面ABM ，∴P A ⊥BM . 又∵P A ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面P AM . 又AN ⊂平面P AM ，∴BM ⊥AN . 又AN ⊥PM ，且BM ∩PM ＝M ， ∴AN ⊥平面PBM .(2)由(1)知AN ⊥平面PBM ， PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB . 又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ， ∴PB ⊥平面ANQ .又NQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥NQ .12．(1)证明 ∵AB ⊥平面P AD ，PH ⊂平面P AD ， ∴AB ⊥PH .又∵PH ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ， ∴PH ⊥平面ABCD .(2)解 ∵PH ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点，PH ＝1，∴点E 到平面ABCD 的距离h ＝12PH＝12. 又∵AB ∥CD ，AB ⊥AD ，∴AD ⊥CD ，∴S △BFC ＝12·CF ·AD ＝12×1×2＝22，∴V E －BCF ＝13S △BCF ·h ＝13×22×12＝212.(3)证明 如图，取P A 的中点G ，连接GE ，DG .∵DA ＝DP ，∴DG ⊥P A .∵AB ⊥平面P AD ，DG ⊂平面P AD ，∴AB ⊥DG . 又∵AB ∩P A ＝A ，∴DG ⊥平面P AB .∵GE ∥AB ，GE ＝12AB ，DF ∥AB ，DF ＝12AB ，∴GE ∥FD ，GE ＝FD ， ∴四边形DFEG 为平行四边形， ∴DG ∥EF ，∴EF ⊥平面P AB .。