平面的基本性质(2)

平面的基本性质（1）一、思考：1.集合与元素的关系？集合间的关系？点线面的思考？2.一条线上有多少个点？一个面上有多少个点？一个面上有多少条线？线和线相交得到什么？线和面相交得到什么？面和面相交得到什么？二、课堂内容问题：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面的形象. 它们具有什么共同特性？1.平面的特性2.平面的画法3.平面的表示4.点、线、面之间的位置关系的符号表示例1:将下列文字语言转化为符号语言： (1)点A 在平面α内，但不在平面β内； (2)直线l 在平面α内，又在平面β内； (3)直线a 经过平面α外一点M ； (4)直线l 与直线m 相交于平面α内一点N .练习1：.图形 符号语言文字语言点A 在直线a 上点A 不在直线a 上点A 不在平面α内直线a 、b 交于A 点直线a 在平面α内直线a 与平面α无公共点直线a 与平面α交于点A平面α、β相交于直线l{}(1)(2)(3)=(4)A A l l l l l l αααααβαβαα⊂∈≠∅ 下列写法正确吗？为什么？错误的请改正.点在平面内，记作；直线在平面内，记作；平面与平面相交于直线，记作；直线与平面相交，记作.例2：用符号语言表示下列图形中的点、直线、平面之间的位置关系．练习2：把下列图形中的点、线、面关系用符号语言表示.例3.将下列符号语言转化为图形语言： (1)α∈A ，β∈B ，l A ∈，l B ∈；(2) c αβ= ，a α⊂，b β⊂， a c , b c P = ．练习3：把下列文字语言用符号语言表示，并画出直观图. (1)点A 在平面α内，点B 不在平面α内，点A ，B 都在直 线 a 上；(2)平面α与平面β相交于直线 m ，直线a 在平面α内且平行于直线 m.αβla AB αAalα βlmCA B课堂练习（1）下列叙述中，正确的是_______①因为P∈α，Q∈α，所以PQ∈α；②因为P∈α，Q∈β，所以α∩β＝PQ；③因为AB⊂α，C∈AB，D∈AB，所以CD∈α；④因为AB⊂α，AB⊂β，所以α∩β＝AB.（2）用符号表示下列语句，并画出图形：①点A在平面α内，点B在平面α外；②直线l 经过平面α外一点P和平面α内一点Q；③直线l在平面α内，直线m不在平面α内；④平面α和β相交于直线AB；⑤直线l是平面α和β的交线，直线m在平面α内，l 和m相交于点P．要点归纳与方法小结本节课学习了什么内容，有何收获？平面的基本性质（2）思考1：如果直线l 与平面α有两个公共点，问：直线l 是否在平面α内？例1：温度计上的玻璃管被两个卡子固定在刻度盘上，可以看到，玻璃管就落在了刻度盘上．公理1 :如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理的作用是什么？ 思考2当线段AB 在平面内时，直线AB 是否在此平面内？例2.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，判断下列命题是否正确，并说明理由： (1)直线AC 1在平面CC 1B 1B 内； (2)直线BC 1在平面CC 1B 1B 内．思考3：如果两个平面 、β相交，得到什么线？几条线？例3：相邻的两面墙相交，在墙角处交于一点，它们相交于过这点的一条直线.公理2 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理的作用是什么？ 思考41.将三角板的一个角戳在桌面上，则三角板所在平面与桌面所在平面有几个公共点？2.长方体的两个相交平面A 1B 1C 1D 1 和BB 1C 1C 有几条公共直线？为什么？ 注：公共直线 B 1C 1 叫做平面A 1B 1C 1D 1 和平面 BB 1C 1C 的交线．例4 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为棱BB 1的中点，画出由A 1，C 1，P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线.ABCDA 1C 1B 1D 1A B C DP练习1：如图,点C B A ,,确定的平面与点F E D ,,确定的平面相交于直线l , 且直线AB 与直线l 相交于点G ,直线EF 与直线l 相交于点H ,试作出面ABD 与面CEF 的交线．练习2：如图所示过，正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F 为AD 、AB 上的中点,求作正方体的对角线A 1C 与截面EFB 1D 1的交点思考5：平面A 1B 1C 1D 1 内的直线m 和平面BB 1C 1C 内的直线n 相交于点P ，点P 在直线B 1 C 1 上吗？为什么？练习. 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, ⋂=⋂D B O D B C A 111111,平面P BC A =11， 求证：1BO P ∈．例5 已知：△ABC 在平面α外，AB ∩α＝P ，AC ∩α＝R ，BC ∩α＝Q ，求证：P ，Q ，R 三点共线．练习. 四面体ABCD 中,G E ,分别为AB BC ,的中点,F 在CD 上, H 在AD 上,且有3:2::==HA DH FC DF , 求证：BD GH EF ，，三线共点．平面的基本性质（3）思考5：至少过几个点才能确定一个平面？例6：照相机支架为什么只需三条腿就够了？公理3 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3的作用是什么？PABC RQα思考6空间中有四个点，其中任意三个都不共线，则经过任意三个点的平面有几个？推论1：一条直线和直线外的一点可以确定一个平面．推论2：两条相交直线可以确定一个平面．推论3：两条平行直线可以确定一个平面．推论的作用是什么？思考7：木匠用两根细绳分别沿桌子四条腿底端的对角线拉直，以判断桌子四条腿的底端是在同一平面内，依据是什么？问题：①梯形是平面图形吗？为什么？②四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？举例说明.例7 ：直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，并说明理由.例8：已知A ∈l，B ∈l，C ∈l，D∉l(如图所示)．求证：直线AD，BD，CD共面.BACαABCDlα例9： 如图，若直线l 与四边形ABCD 的三条边 AB ，AD ，CD 分别交于点E ，F ，G ．求证：四边形ABCD 为平面四边形．例10 已知a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝A ，P ∈ a ，PQ ∥b ．求证：PQ ⊂α．例1.在正方体ABCD —A ’B ’C ’D ’中，画出过其中三条棱的中点P 、Q 、R 的平面截正方体的截面.课堂练习（1）判断下列命题是否正确．①如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面. ②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过一点的三条直线确定一个平面． ④平面α和平面β交于不共线的三点A 、B 、C .（2）空间四点A 、B 、C 、D 共面但不共线，则下列结论成立的是______． ①四点中必有三点共线． ②四点中必有三点不共线． ③AB 、BC 、CD 、DA 四条直线中总有两条平行．④直线AB 与CD 必相交．（3）下列命题中，①有三个公共点的两个平面重合；②梯形的四个顶点在同一平面内；③三条互相平行的直线必共面；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中正确命题个数是___________．l C DABGF E（4）直线l 1∥l 2，在l 1上取三点，在l 2上取两点，由这五个点能确定_____个平面． （5）已知a ∥b ，l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ，求证：a ，b ，l 三条直线共面．(6)在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，R 分别是棱CC 1，A 1D 1，A 1B 1的中点，画出过这三点的截面．要点归纳与方法小结1．公理1,2，3，及公理3的三条推论及作用； 2．证明共面问题的方法及步骤．B A b a l。

课题：9．1平面的基本性质(二)教学目的：1理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题2理解公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题教学重点：平面基本性质的三条公理及其作用．教学难点：（1）对“有且只有一个”语句的理解．（2）确定两相交平面的交线．授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据．平面的基本性质是通过三条公理及其重要推论来刻划的，通过这些内容的教学，使学生初步了解从具体的直观形象到严格的数学表述的方法，使学生的思维从直觉思维上升至分析思维，使学生的观念逐步从平面转向空间．本课以平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论为主要内容，既有学生熟悉的事实，又有学生初次接触的证明，因此以“设问——实验——归纳”法和讲解法相结合的方式进行教学．首先，对于平面基本性质的三条公理，因为是“公理”，无需证明，教学中以系列设问结合模型示范引导学生共同思考、观察和实验，从而归纳出三条公理并加以验证．其中公理1应以直线的“直”和“无限延伸”来刻划平面的“平”和“无限延展”；公理2要抓住平面在空间的无限延展特征来讲；公理3应突出已知点的个数和位置，强调“三个点”且“不在同一直线上”．通过三条公理的教学培养学生的观察能力和空间观念，加深对“有且只有一个”语句的理解．对于公理3的三个推论的证明，学生是初次接触“存在性”和“唯一性”的证明，应引导学生以公理3为主要的推理依据进行分析，逐渐摆脱对实物模型的依赖，培养推理论证能力，证明过程不仅要进行口头表述，而且教师应进行板书，使学生熟悉证明的书写格式和符号．最后，无论定理还是推论，都要将文字语言转化为图形语言和符号语言，并且做到既不遗漏又不重复且忠于原意．教学过程：一、复习引入：1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分2．平面的画法及其表示方法：①在立体几何中，常用平行四边形表示平面当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α，平面AC等3．空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示：Aα A α∈ 点A 在平面α内 A αA α∉ 点A 不在平面α内 b a A a b A =直线a 、b 交于A 点 a αa α⊂直线a 在平面α内 aα a α=∅ 直线a 与平面α无公共点a Aα a A α= 直线a 与平面α交于点Al αβ= 平面α、β相交于直线l集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“⊂”和“ ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言． a α=∅或a A α=二、讲解新课：1 平面的基本性质立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．公理 1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．①判定直线在平面内；②判定点在平面内模式：a A A a αα⊂⎧⇒∈⎨∈⎩． 公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭ 如图示：BA α或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．指出:今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈.应用：①确定平面；②证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．实例:(1)门:两个合页,一把锁；(2)摄像机的三角支架；(3)自行车的撑脚公理3及其下一节要学习的三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．2 平面图形与空间图形的概念如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形例1 求证:三角形是平面图形已知：三角形ABC求证：三角形ABC是平面图形证明：∵三角形ABC的顶点A、B、C不共线∴由公理3知，存在平面α使得A、B、Cα∈再由公理1知，AB、BC、CAα⊂∴三角形ABC上的每一个点都在同一个平面内∴三角形ABC 是平面图形例2 点A ∉平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若EH 与FG 交于（这样的四边形ABCD 就叫做空间四边形） 求证：P 在直线BD 上 证明：∵EH FG P =，∴P EH ∈，P FG ∈，∵,E H 分别属于直线,AB AD ，∴EH ⊂平面ABD ，∴P ∈平面ABD ，同理：P ∈平面CBD ，又∵平面ABD 平面CBD BD =，所以，P 在直线BD 上四、课堂练习：1 下面是一些命题的叙述语（A 、B 表示点，a 表示直线，α、β表示平面）A ．∵αα∈∈B A ,，∴α∈AB ． B ．∵βα∈∈a a ,，∴a =βα ．C ．∵α⊂∈a a A ,，∴A α∈．D ．∵α⊂∉a a A ,，∴α∉A ．其中命题和叙述方法都正确的是（ ）2．下列推断中，错误的是（ ）A ．ααα⊂⇒∈∈∈∈lB l B A l A ,,,B ．B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,,C ．αα∉⇒∈⊄A l A l ,D ．βα∈∈C B A C B A ,,,,,，且A 、B 、C 不共线βα,⇒重合3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．4．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）空间三点可以确定一个平面 （ ）（2）两条直线可以确定一个平面 （ ）（3）两条相交直线可以确定一个平面 （ ）（4）一条直线和一个点可以确定一个平面 （ ）（5）三条平行直线可以确定三个平面 （ ）（6）两两相交的三条直线确定一个平面 （ ）（7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ）（8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线 （ ）5．看图填空（1）AC ∩BD =（2）平面AB 1∩平面A 1C 1=（3）平面A 1C 1CA ∩平面AC =（4）平面A 1C 1CA ∩平面D 1B 1BD =（5）平面A 1C 1∩平面AB 1∩平面B 1C =（6）A 1B 1∩B 1B ∩B 1C 1=答案：1. C 2. C 3. 2,4,8 4. ⑴×⑵×⑶√⑷×⑸×⑹×⑺×⑻√5.⑴O ⑵A 1B 1⑶O ⑷OO 1⑸B 1⑹B 1五、小结 ：本课主要的学习内容是平面的基本性质，三条公理中公理1用于判定直线是否在平面内，公理2用于判定两平面相交，公理3是确定平面的依据．“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是同义词．“有”即“存在”，“只有一个”即“唯一”．所以证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证两方面——存在性和唯一性．证A 1明的方法是反证法和同一法六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。

高中数学的必修二数学平面的基本性质知识点平面的基本性质教学目标1、知识与能力：(1)巩固平面的基本性质即四条推断出公理和三条推论.(2)能使用公理和推论进行解题.2、过程与方法：(1)体验在空间确定一个平面的过程与方法;(2)掌握利用平面的基本性质证明三点共线、三线共点、多线共面的方法。

3、情感成见与价值观：培养学生认真观察的态度，慎密思考的习惯，提高学生审美能力和空间想象的能力。

教学重点平面的三条基本性质即三条推论.教学难点准确运用三条公理和推论解题.教学过程一、问题情境问题1：空间共点的三条直线二维能确定几个平面?空间互相对角线平行的三条直线呢?问题2：如何判断办公桌的四条腿内则的底端是否在一个平面内?二、温故知新公理1一处如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有两个一个公共设施点，那么它们还有其它公用点，这些公共点的集合是经过这个公共给定点的一条直线.公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2经过两条直角直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行平行线，有且只有一个平面.公理4(平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.把作出以上各公理及推论进行对比：三、数学运用基础训练：(1)已知：;求证：直线AD、BD、CD共面.证明：——公理3推论1——公理1同理可证，,直线AD、BD、CD共面【解题反思1】1。

逻辑要严谨2.书写要规范3.证明共面的步骤：(1)确定平面——公理3及其3个推论(2)证线“归”面(线在面内如：)——公理1(3)作出结论。

变式1、如果直线两两交汇，那么这三条直线是否共面?(口答)变式2、已知空间不共面的二点，过其中任意三点可以三维空间确定一个平面，由这四个一两个点能确知几个平面?变式3、四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面曲面图形吗?(口答)(2)已知直线满足：;求证：直线证明：——公理3推论3——公理1直线共面提高训练：已知，求证：四条直线在同一平面内.思路分析：考虑由直线a,b确定一个平面，再证明直线c,l在此平面上，但十分困难。

0441．平面的基本性质与推论（2）课型：新授课编制人：年级主任：班级：姓名：编号：0441．2.1 平面的基本性质与推论(2)一、学习目的1、会判别空间两直线的位置关系．2、了解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角．3、能用公理4处置一些复杂的相关效果．二、基础知识1、空间两条直线的位置关系有且只要三种：______________、________________、________________．2、异面直线的定义：________________________________的两条直线叫做异面直线．3、公理4：平行于同一条直线的两条直线____________．4、等角定理：空间中假设两个角的两边区分对应________，那么这两个角________或________．5、异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使________，________，我们把a′与b′所成的______________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．假设两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线相互垂直，两条异面直线所成的角的取值范围是________．三、基础自测：1、区分在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )A．异面 B．平行 C．相交 D．以上都有能够2、假定a和b是异面直线，b和c是异面直线，那么a和c的位置关系是( )A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面3、以下四个结论中假命题的个数是( )①垂直于同不时线的两条直线相互平行；②平行于同不时线的两直线平行；③假定直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，那么a⊥c；④假定直线l1，l2是异面直线，那么与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．A．1 B．2 C．3 D．44、如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2.(1)BC和A′C′所成的角是多少度？(2)AA′和BC′所成的角是多少度？四、典型例题：例1、如下图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H区分是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．假定在例1中，假设再加上条件AC＝BD，那么四边形EFGH是例2 如右图，正方体ABCD—A′B′C′D′.(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？例3、如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G区分是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，那么BD和AC所成角的度数为________．例4、如下图，正方体AC1中，E、F区分是A1B1、B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．五、课堂练习1、如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求四棱锥O－ABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小．2、空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F区分是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．【当堂检测】1、正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．2、一个正方体纸盒展开后如下图，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．。