当前位置：文档之家 › 平面基本性质第二课时

平面基本性质第二课时

  • 格式：ppt
  • 大小：2.36 MB
  • 文档页数：31

下载文档原格式

  / 31

合集下载

人教B版高中数学必修二课件1.2.1平面的基本性质

人教B版高中数学必修二课件1.2.1平面的基本性质
(4)P l, P ,Q l,Q
５填空
点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面内
点A在平面外
A
●
l
A●
l
A ●
●A
直线l在平面内
l
直线l在平面外

l
l

Al Al
A A
l
l
6.如图找平面BA1C1与平面B1AC的交线
D A
C B
D1 A1
C1 B1
（×）
练3.直线l与过点P的三条直线a1,a2,a3分别交于A， B，C三点（A，B，C异于点P），求证：这四条直 线共面。
Aa1 B
a2
αP
C a3
例2图
4．根据下列符号表示的语句，说出有 关点、线、面的关系，并画出图形．
(1)A, B
(2)l , m
(3) l
思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？
思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三 条都不在同一平面内，有它们中的两条来确定平面， 可以确定多少个平面?
【例4】如图，直线AB、BC、CA两两相交，交 点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面， 并说明理由.
A BC
共面
证明：
∵A、B、C三点不在一条直线上
几何画法：通常用平行四边形来表示平面．
D
C

A
B
平面α 、平面ABCD 、平面AC
符号表示：通常用希腊字母等来表, 示,，如：平 面也可用表示平行四边形的两个相对顶点的字 母来表示，如：平面AC．
（1）水平放置的平面： （2）垂直放置的平面：
ß a
一般用水平放置的正方形的直观图作为水平放 置的平面的直观图

平面的基本性质(二)

平面的基本性质(二)

3条直线相交于一点时：
(1)3条直线共面时 (2)每2条直线确定 一平面时
三条直线相交于一点,用其中的两条 确定平面,最多可以确定3个。
4条直线相交于一点时： (3)每2条直线都 (1)4条直线 确定一平面时 全用其中的两条 确定平面,最多可以确定6个。
例3 .已知如图：E,F,G,H分别是空间四边 形ABCD的各边AB，AD，CB，CD上的 点，且直线EF和HG共面但不平行，求 证：EF，BD，GH三直线共点. 反思：证明空间三点 A 共线或三线共点的方 P F 法：只需证明这三个 E D 点都是两个平面的公 H 共点，则公共点必在 B 两平面的交线上，因 G C 此三点共线.
a、b确定平面α
l α
同理b、c确定平面β , 且lβ
而l、b α, l、b β,
∴a,b,c,l共面 α与β重合
例2： 如图△ABC在平面α外,AB交α于点P,BC 交α于点Q,AC交α于点R,求证:P、Q、R A 在同一直线上。
证明三点共线的常用方法： C B
方法1.选择其中两点确定一 条直线，然后证明另一点也 P 在其上。 R α Q 方法2.首先找出两个平面， 然后证明这三点都是这两个平面的公共点， 根据公理 3可知，这些点都在交线上。

l
B
C
A l
由公理3可得，不共线三点A、B、C确定一个平面α
即平面α是经过直线l和点A的平面
唯一性:
B, C l , l B, C A A, B, C
由公理3可得，经过不共线三点A、B、C的平面只有一个 ∴经过直线l和点A的平面只有一个
• 推论２：经过两条相交直线，有且只有一 个平面
公理1： 如果一条直线的两点在一个平面内，那 么这条直线上的所有点都在这个平面内。

高B数学必修二课件平面的基本性质与推论

高B数学必修二课件平面的基本性质与推论

空间向量的线性运算
空间向量的加法运算
空间向量的减法运算
空间向量加法运算遵循平行四边形法 则或三角形法则。两个空间向量相加 ，其和向量也是一个空间向量，其大 小等于两个向量的大小之和，方向遵 循平行四边形法则或三角形法则。
空间向量减法运算遵循三角形法则。 两个空间向量相减，其差向量也是一 个空间向量，其大小等于两个向量的 大小之差，方向遵循三角形法则。
直线在平面内的判定
判定定理
如果一条直线上的两个点在平面内， 则这条直线在平面内。
推论
如果一条直线与一个平面有一个公共 点，且这条直线在平面内，则这条直 线完全在平面内。
直线与平面平行的判定与性质
判定定理
如果一条直线与一个平面没有公共点，则这条直线与这个平 面平行。
性质定理
如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面 与这个平面的交线与这条直线平行。
空间向量在平面几何中的拓展应用
01
向量在解析几何中的应用
通过向量的坐标表示和运算，可以建立平面解析几何的基本概念和性质
，如直线的方程、圆的方程等。
02
向量在物理中的应用
向量在物理中有着广泛的应用，如力、速度、加速度等都是向量，通过
向量的运算可以解决物理中的实际问题。
03
向量在计算机图形学中的应用
计算机图形学是研究计算机生成和操作图形的科学，向量在计算机图形
学中有着重要的应用，如向量的线性变换可以实现图形的缩放、旋转和
平移等操作。
06
总结与展望
平面的基本性质与推论的总结
平面的基本性质
平面是无限延展的，没有边界； 平面内任意两点可以确定一条直 线，且该直线在平面内；不在同 一直线上的三点确定一个平面。

1.2.1 平面的基本性质(2)

1.2.1 平面的基本性质(2)

D1 A1
D AQ
C1 解：（1）
D1
A1 B1
P C
D
B
AQ
C1
B1 P
C B
例 1 如图，长方体 ABCD A1B1C1D1中， P,Q 分别是 BB1 , AB 中点.
（1）画出由 A1 , C1 , P 三点所确定的平面 与长方体表面的交线；
（2）画出由 D1,C,Q 三点所确定的平面 与长方体表面的交线.
（空间若干点或直线都在同一平面内，称它们“共面”）
D
证 明 （ 法 一 ）： Q D l ， l 与 D 确 定 一 个 平 面 ，
Q Al,l , A ，Q D , AD ， 同理 BD ,CD ，直线 AD, BD,CD 共面.
l A BC
（ 法 二 ） Q AD I BD D ， AD, BD 确 定 一 个 平 面 ， A , B , AB 即l ， 又 Q BD I CD D ， BD,CD 确 定 一 个 平 面 ， B ,C , BC ,即l ，由推论 1 过直线 l 与点 D 有且 只有一个平面，与 重合，直线 AD, BD,CD 共面.
1.2.1 平面的基本性质(2)
苏教版 数学必修2
思考：
S
如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，
S是直角梯形ABDC所在平面外一点，如何画出平面 SBD和平面SAC的交线？并说明理由.
A
B
解： S
C
D
S
S
A
B
A
B
A
B
C
D
E
（1）
C
D
E
（2）
C
D
E
（3）

平面基本性质2.

平面基本性质2.


A

a
A
公理1说明了平面与曲面的本质区别．
通过直线的“直”来刻划平面的“平”，
通过直线的“无限延伸”来描述平面的
“无限延展性”，它既是判断直线在平
面内，又是检验平面的方法．
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么 它们还有其他公共点，且所有这些公共 点的集合是一条过这个公共点的直线．
推理模式：
(1) 新疆
王新敞 奎屯
P P



P

l




(2) P ，P l, Al
(3) P l且Pl
应用：①确定两相交平面的交线位置； ②判定点在直线上
公理2揭示了两个平面相交的主要特征, 是判定两平面相交的依据,提供了确定 两个平面交线的方法．
(4)直线m和n相交于平面a内一点Ｍ。
Mm an
m nM M
n
nm
Mm a
M a
(1)两个平面的公共点的个数可能
有......( D )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)０或无数
(2)三个平面两两相交,则它们交线
的条数……( B )
(A)最多4条最少3条 (B)最多3条最少1条 (C)最多3条最少2条 (D)最多2条最少1条
３.填空题:
(确1定)三平条面直，线最相多交确于定一的点平，面用数其是中_3的__两; 条
四条直线相交于一点呢?___6_
(2)两个平面可以把空间分成_3_或_4_部分
三个平面呢?__3_，_4_，__6_或__7_
作业
1.正方体的各顶点如图所示，正方体的三个 面所在平面 A1C1, A1B1, B1C1分别记作、、 .试 用适当的符号填空。

平面的基本性质(2).许兴华

平面的基本性质(2).许兴华
高二数学课件
9.1平面的基本性质(2)
( 201210925 )
(月亮河 A )
Designed by Steven 华 兴 No.3 High School 课 许 of Nanning 件
T N S E
E
V
兴 T 华
件
N S E 许E V课
Firstpage首页 upward return next last 铃
一、平面的基本性质
1、几个公理 公理1:如果一条直线上的两点在一 个平面内,那么这条直线上的所有点 在这个平面内;
B A l
α
确定直线在平面内的依据
兴 T 华
N S E 许E V课
Firstpage首页 upward return next last 铃
件
公理2:如果两个平面有一个公共点, 那么它们还有其他公共点,且所有这 些公共点的集合是过这个公共点的一 条直线 β

o
a
d
又 H，K∈c，∴c α． 同理可证 d α． ∴a，b，c，d 四条直线在同一平面α内．
兴 T 华
N S E 许E V课
b c
Firstpage首页 upward return next last 铃
件
[应用举例](调研P5R思考题) 例2.已知三条直线两 两平行,
第四条直线与它们都相交， 求证 : 这四条直线共面 .
证明: 如图 l a A,由推理2得 : ,
直线 l 与直线 a 确定一个平面
.
a 与点 B ,
又 l b B, l c C , B, C .
经过直线 a , b 的平面必经过经过直线
而经过直线 与点B的平面是唯一的 . a 直线 b 平面 , 同理, 直线c .

1.2.1平面的基本性质(2)

D1 C1 B1
D A
P
D1
C1 B1
A1
A1
C A D
P

B
C
1
B
图1 2 11
2
作法 连结 A1 P, PC1 , A1C1 ,它们就是平面 与长方 体表面的交线图1 2 112.
图1 2 9
例1 已知 : A l , C l , D l 图1 2 10 . 求证 : 直线AD, BD , CD 共面.
D

C
l
A B
图1 2 10
空间点和直线都在同一 个平面内 那么就称它们 共面". , "
例 2 如图1 2 11, 在长方体ABCD A1 B1C1 D1中, P 为棱 BB1 的中点, 画出由A1 , C1 , P 三点所确定的平面 与长方体表面的交线 .
图1 2 6
a

b


类似地, 我们可以得出下面两个 推理:

图1 2 7
A一ຫໍສະໝຸດ 平面 图1 2 7 .a
推论 2 经过两条相交直线有且只有 , 推论 3 经过两条平行直线有且只有 ,

一个平面 图1 2 8 .
b
图1 2 8
如图1 2 9, 用两根细绳沿上桌子 四条腿的对角拉直, 如果这两根细 绳相交, 说明桌子四条腿的底端在 同一个平面内, 否则就不在同一个 平面内, 其依据就是推理2 .
公理 3 经过不在同一条直线上 的三 个点, 有且只有一个平面图1 2 5.
B C

A
图1 2 5
1. 2 . 1 平面的基本性质（二）

平面的基本性质(2)课件


4条直线相交于一点时： 条直线相交于一点时： (3)每 (3)每2条直线都 (1)4条直线 (1)4条直线 确定一平面时 全共面时
(2)有3条直线 有 条直线 共面时 三条直线相交于一点, 三条直线相交于一点,用其中的两条 确定平面,最多可以确定 可以确定6 确定平面,最多可以确定6个。
2个平面分空间有两种情况： 个平面分空间有两种情况： 个平面分空间有两种情况 (1)两平面没有 (1)两平面没有 (2)两平面有公 (2)两平面有公 公共点时 共点时
练习5 练习
有公共点， ① ×若直线 a 与平面 α 有公共点，则称 aα ②两个平面可能只有一个公共点． ×两个平面可能只有一个公共点． ③四条边都相等的四边形是菱形． ×四条边都相等的四边形是菱形．
（２）已知空间四点中，无三点共线，则可确定 已知空间四点中，无三点共线， A．一个平面 ． B．四个平面 ．
α 内,但不在平面 β 内 但不在平面
新疆 王新敞
奎屯
α
α
α
2.正方体的各顶点如图所示， 2.正方体的各顶点如图所示，正方体的三 正方体的各顶点如图所示 个面所在平面 A1C1 , A1 B, B1C 分别记作 α、β、γ 试用适当的符号填空。 试用适当的符号填空。
(1)A _______, B1 _______ α α 1
复习提问
点A在直 在直 线a上 上 点A在直 在直 线a外 外 点A在平 在平 面α内 内 点A在平 在平 面a外 外
●
A
●
a
A∈a ∈ a A
A
a
●
α
A A
●
A∈α
Aα
元素 （点） 与集合 （直线 与平面） 与平面） 之间的 关系

9.1 第2课时 平面的基本性质




A
A
B
答：（1）错误 答：（2）错误
3、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 是 AC 的中点． 判断下列命题是否正确，并说明理由：
（1） 由点A，O，C可以确定一个平面； （2）由A，C1，B1确定的平面是 ADC1B1 ；
（3）由 A，C1，B1确定的平面与由A，D，C1 确定的平面是同 一个平面．
m =__________________;

l

m
B
n
A
（4）直线 l 与直线 m 确定的平面为=_____________; （5）点A与直线 n 确定的平面为=_____________;


1、把三角板的两个顶点落在平整的桌面上时，你发现这条边与桌面有怎样的关 系？ 图片展示：
A
l

B
公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
若 A ,B

则
AB
2、把三角板的一个顶点落在平整的桌面上时，你能看到三角板和桌面有几个交点？ 三角板所在的平面和桌面相交时，三角板所在平面和桌面有怎样的关系？ 图片展示:
B

A
C
公理 3 经过不在同一条直线上的三点，有且只 有一个平面。 这个公理也可以简单说成“不共线的三点确定一 个平面”
由公理3可以得到下面三个结论： 推论1：一条直线和这条直线外的一点可以确定一个平面。 推论2：两条相交直线可以确定一个平面。 推论3：两条平行直线可以确定一个平面。
总结：
公理1 面内． 公理2 直线． 公理3 推论1 推论2 推论3 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面 ． 经过两条相交直线，有且只有一个平面． 经过两条平行直线，有且只有一个平面． 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共 如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平

2.1.2平面的基本性质


文字语言： 文字语言： 公理2:过不在同一直线上的三点， 公理 过不在同一直线上的三点， 过不在同一直线上的三点 有且只有一个平面. 有且只有一个平面 图形语言： 图形语言： A 符号语言： 符号语言： B C 公理 2mpeg.avi
A, B,C三 不 线 有 只 一 平 α 点 共 ⇒ 且 有 个 面 A 使 ∈α, B∈α,C∈α 公理2是确定一个平面的依据 是确定一个平面的依据. 公理 是确定一个平面的依据
⇒l ⊂α A ∈α , B ∈α
公理1是判定直线是否在平面内的依据 公理 是判定直线是否在平面内的依据. 是判定直线是否在平面内的依据
观察下图，你能得到什么结论 观察下图，你能得到什么结论?
B A C A
B C
公理2:过不在同一直线上的三点， 公理 过不在同一直线上的三点，有且只有 过不在同一直线上的三点 一个平面. 一个平面
D)
3.填空题 填空题: 填空题 三条直线相交于一点， 三条直线相交于一点，用其中的两条确 定平面，可以确定的平面数是 定平面，可以确定的平面数是_______; 四条直线过同一点， 四条直线过同一点，过每两条直线作一 个平面，则可以作 个平面，则可以作_____________个不同 个不同 的平面 .
文字语言： 文字语言： 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点 如果两个不重合的平面有一个公共点， 公理 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么这两个平面有且只有一条过该点的公共 直线. 直线 图形语言： 图形语言： 符号语言： 符号语言：
β
α
P
l 公理 3 β ⇒ P ∈l
观察下图，你能得到什么结论 观察下图，你能得到什么结论? 天花板α 天花板α 墙面γ 墙面β
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

4、右图是ΔABC利用斜二测画法得到的 水平放置的直观图ΔA‘B‘C’，其中A‘B’∥y’ 轴，B‘C’∥x‘轴，若ΔA‘B‘C’的面积是3， 则ΔABC的面积是（ ） 6 2
平面的基本性质
公理1:如果一条直线上的两个点在 平面内,那么这条直线上所有的点 都在这个平面内.
AB
符号语言 作用
怎样的直线a我们就说它在平面外？
平面的基本性质
2021年4月8日星期四
复习回顾：
1、概念：平面是无限延展的,无大小，厚度，
颜色。一个平面把空间分成2个部分。
2、画法： D
C
α
A
B
3、记法： ① 平面ABCD
② 平面AC 或平面BD
③ 平面α 标记在角上
4、相交面画法：十字，人字，丁字形
β B•
β
α
A•
α
平面可以看成由它内部的所有点组成的点集
（４）、直线m和n相交于平面a内一点Ｍ。看看答案
（1）、直线ＡＢ在平面a内；
直线AB
B A
a
（2）、直线l与平面a有且只有一个公共点Ｐ；
l
l P
P a
（３）、已知Ａ、Ｂ、Ｃ三点都是与平面a与平面 β的公共点，并且a与β是两个不同的平面；
β
C B
αA
A B C 直线AB
（４）、直线m和n相交于平面a内一点Ｍ。
_______ BB1 (5) A1B1 ________, BB1 ________
A1B1 ________
2、分别根据题中的条件, 用集合语言来描述点、直 线、平面之间的关系，并画出图形。
（１）、直线ＡＢ在平面a内；看看答案
（２）、直线l与平面a有且只有一个公共点Ｐ；
看看答案
（３）、已知Ａ、Ｂ、Ｃ三点都是与平面a与平面 β的公共点，并且a与β是两个不同的平面；看看答案
唯一性: 如果经过点A和直线a的平面还有一个平面β，那么
A∈β， a β，因为B∈a，C∈a，所以B∈β，C∈β.(公理1)故不
共线的三点A，B，C既在平面α内又在平面β内.所以平面α和平面 β重合.(公理3)
所以经过点A和直线a有且只有一个平面
平面的基本性质 推论2:经过两条相交直线，有且只 有一个平面.
例、求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。
方法一：利用公理3
Ａ
方法二：利用推论１
方法三：利用推论２
Ｂ
Ｃ
题目变型：两两于b ，由平行线的定义， 直线a、b在同一平面内，这就是说，过直线a、b有平 面α。
设点A为直线a上任一点，则点A在直线b外，点A 和直线b在过直线a、b的平面α内，由公理3的推论1， 过点A和直线b的平面只有一个。过直线a、b的平面只 有一个。
反馈练习
1、选择题:
D （１)两个平面的公共点的个数可能有......( )
Mm an
n
m nM
M
nm
Mm a
M a
说明：
(1)将y轴倾斜为 45 ,Z轴与X轴垂直 (2)与x轴平行或重合的线段长度不变， 与y轴平行或重合的线段长度变为原来一半
(3)平行线保持平行 (4)同一直线上的线段的比 例保持不变 (5)画直观图关键是找顶点 (通过与x、y轴平行的线段 )
3、如图ΔA‘B‘C’是水平放置的ΔABC的直观 图，则在ΔABC的三边及中线AD中，最长 的线段是（ AC ）
a b P 有且只有一个平面,使a ,b
b
a P
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
证明：设直线a、b相交于点C,在a、b上分别取不同于点C 的点A和点B，点A，B，C是不在同一条直线上的三点（否 则与a、b为两条相交直线矛盾）由公理3，过A、B、C三点 有且只有一个平面α，因为a、b各有两点在平面α内，所 以直线a、b在α内，因此过直线a、b有平面α。
（A）0 （B）1 （C）2 （D）０或无数
B （２)三个平面两两相交,则它们交线的条数……( )
（A)最多4条最少3条 （C)最多3条最少2条
（B）最多3条最少1条 （D）最多2条最少1条
反馈练习
（2）三条直线两两相交，由这三条直线 所确定平面的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
反馈练习
直线l于平面相交于点A，记作l A
平面与平面相交与直线 l，记作 l。
练习
1．正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平
面 A1C1, A1B1, B1C1，分别记作、、 ，试用适当的符号填
空．
(1) A1 _______, B1 _______ (2)B1 _______ , C1 _______ (3)A1 _______ , D1 _______ (4) _______ A1B1
（3）空间四点中，三点共线是这四个点共面的( ) A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分条件，也非必要条件
反馈练习
4、下列各个条件中，可以确定一个平面的是
A.三个点
B.两条不重合的直线
C.一个点和一条直线 D.不共点的两两相交的三条直线
反馈练习
3、怎样用两根拉紧的 细线来检验桌子的四 条腿的底端是否共面？
因为点A、B、C分别在直线a、b上，所以它们在过a、 b的平面内。由由公理3，过A、B、C三点的平面只有一个， 过直线a、b的平面只有一个。
平面的基本性质 推论3:经过两条平行直线，有且只 有一个平面.
b
a
a // b 有且只有一个平面，使a ,b
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
这些手指需要满足什么条件？
由此你能得出什么结论？
平面的基本性质
推论1:经过一条直线和这条直线外 的一点，有且只有一个平面.
BC
Aa
Aa 有且只有一个平面,使A,a
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面
求证：过点A和直线a可以确定一个平面
平面的基本性质
公理2:如果两个平面有一个公共点， 那么它们还有其他的公共点，且所 有的这些点的集合是一条过这个点 的直线
符号语言 作用
l
P
平面的基本性质 公理3:经过不在同一条直线上的三 个点，有且只有一个平面.
B AC
平面ABC
用手指头将一本书平衡地摆方 在空间某一位置，至少需要几 个手指头？
点 A 在平面α内 A 点 B 不在平面β内 B
用集合语言描述点、直线、平面之间的关系
点A在直线a上，记作A a，点A不在直线a上，记作A a；
点A在平面上，记作A，点A不在平面上，记作A；
直线l在平面内，记作l ，直线l不在平面内，记作l ；
直线l和直线m相交于点A，记作l m A（A是A的简记）