平面的基本性质(2).doc

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平面的基本性质

三、平面的基本性质：平面的基本性质：
公理1:如果一条直线的两点在一个平面内那么这条直线上公理如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上如果一条直线的两点在一个平面内的所有点都在这个平面内. 的所有点都在这个平面内这时我们说直线在平面内或平面经过直线. 注 : ①这时我们说直线在平面内或平面经过直线 ②符号表示:若A∈l, B∈l,A∈α, B∈α, 则 l ⊂ α . 符号表示若 ∈ ∈ ∈ ∈ 是借用集合的符号,点不在直线不在直线l上直线直线l不 ③∈, ⊂ 是借用集合的符号点A不在直线上,直线不内记作什么? 在平面α内记作什么 A∉l l⊄α ∉ ⊄ 作用: 判断直线在平面内的依据直线在平面内的依据. ④作用判断直线在平面内的依据
α
A B
公理2:如果两个平面有一个公共点那么它们还有其它公公理如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其它公如果两个平面有一个公共点共点,这些公共点的集合是一条直线这些公共点的集合是一条直线. 共点这些公共点的集合是一条直线对于不重合的两个平面,只要它们有公共点只要它们有公共点,它们就是相注: ①对于不重合的两个平面只要它们有公共点它们就是相交的位置关系,交集是一条直线且交线有且只有一条.) α 交集是一条直线.(且交线有且只有一条交的位置关系交集是一条直线且交线有且只有一条符号表示:若 ∈ ②符号表示若P∈α, P∈ β ，则 α ∩ β =l且P∈l . ∈ 且 ∈ A 作用:判断两个平面相交的依据找两个平面的交线，判断两个平面相交的依据,找两个平面的交线 ③作用判断两个平面相交的依据找两个平面的交线，证明点共线或线共点的依据。证明点共线或线共点的依据。公理3:经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面. 公理经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面注: ①过一点、两点或一直线上的三点都可以有无数个平面, 过一点、两点或一直线上的三点都可以有无数个平面过不在同一直线上的四点不一定有平面. 过不在同一直线上的四点不一定有平面 ②“有是说明图形存在,即存在性只有一个” 即存在性;“ ②“有”是说明图形存在即存在性 “只有一个”说明图形唯一,即唯一性本定理强调的是存在和唯一两方面. 即唯一性;本定理强调的是存在和唯一两方面形唯一即唯一性本定理强调的是存在和唯一两方面符合某一条件的图形既然存在且只有一个,说明图形 ③符合某一条件的图形既然存在且只有一个说明图形是确定的,因此有且只有一个” 因此“ 确定”是同义词; 是确定的因此“有且只有一个”和“确定”是同义词过不共线三点A、、的平面又可记为平面ABC”; 的平面又可记为“ ④过不共线三点、B、C的平面又可记为“平面 ” 作用:确定平面的依据证明两个平面重合的依据. 确定平面的依据.证明两个平面重合的依据 ⑤作用确定平面的依据证明两个平面重合的依据

1.2.1平面的基本性质

例题讲解
例2、在长方体A C1中, P为棱BB1的中点, 画出由A1 ,C1 ,P三点所确定的平面与长方体表面的交线.
D1 A1 D A B1 P B C C1
D1 A1 D A B1 P B
C1
C
例题讲解
例3、两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内已知：AB∩AC=A， AB∩BC=B， AC∩BC=C
D A B C
D1
C1 B1
A1
3．根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形．
(1) A , B (2)l , m
(3) l
(4) P l , P , Q l , Q
4填空
点A在直线l上点A在直线l外点A在平面内点A在平面外直线l在平面内直线l在平面外
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. B a 已知：点A a. A C
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
a
β
b
C
数学语言表示:
直线a b C 有且只有一个平面，使得a ，b .
推论2的证明
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。已知：直线a与b交与A 求证：经过直线a、b有且只有一个平面α。【证明】（存在性）如图所示，在直线a,b上分别取不同于点A的点C、B，得不在同一直线上的三点A、B、C，过这三个点有且只有一个平面α(公理2)。又 (公理1) 所以平面α是过相交直线a，b的平面。
B
A
C
求证：直线AB，BC，AC共面. 证法一：因为AB∩AB=A 所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2）因为B∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈，故BC.（公理1）因此直线AB，BC，CA共面.

1.1.2平面基本性质与推论2

课题1.2.1平面的基本性质与推论课型主备人李冬旭上课教师李冬旭上课时间学习目标1、了解平面的基本性质与推论，并能运用这些公理及推论去解决有关问题，会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质。

2、以所学过的作为推理依据的一些公理和定理为基础，通过直观感知，操作确认，思辨论证，归纳出空间中线、面平行的有关判定定理和性质定理。

能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

教学重点平面的基本性质与推论以及它们的应用；线线平行及平行线的传递性和面面平行的定义与判定教学难点自然语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用；如何由平行公理以及其他基本性质推出空间线、线，线、面和面、面平行的判定和性质定理，并掌握这些定理的应用。

教师准备教学过程时间分配集备修正（二）平面中的平行关系1. 平行直线（1）空间两条直线的位置关系①相交：在同一平面内，有且只有一个公共点；②平行：在同一平面内，没有公共点。

（2）初中几何中的平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。

【说明】此结论在空间中仍成立．（3）公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行．即：如果直线a // b,c // b，那么a // c。

【说明】此公理是判定两直线平行的重要方法：寻找第三条直线分别与前两条直线平行。

2. 等角定理等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。

需要说明的是：对于等角定理中的条件：“方向相同”。

1’5x5’（1）若仅将它改成“方向相反”，则这两个角也相等。

（2）若仅将它改成“一边方向相同，而另一边方向相反”，则这两个角互补。

此定理及推论是证明角相等问题的常用方法。

3. 空间图形的平移如果空间图形F的所有点都沿同一方向移动相同的距离到F＇的位置，则说图形F在空间做了一次平移。

三、平面的基本性质

[解答] ∵E∈AB，H∈AD， ∴E∈平面 ABD，H∈平面 ABD， ∴EH⊂平面 ABD. ∵EH∩FG＝O，∴O∈平面 ABD，同理可证 O∈平面 BCD， ∴O∈平面 ABD∩平面 BCD，即 O∈BD，所以 B、D、O 三点共线．
第44讲 │ 要点探究
[点评] 证明点共线的依据是公理 3，其方法是找出这些点所在的两个平面，说明各个点都是这两个平面的公共点，则这些点必在这两个平面的交线上；另外，证明三线共点的依据也是公理 3，可证明其中两直线的交点在第三条直线上，把问题归结为证明点在直线上的问题，而第三条直线是经过这两条直线的两平面的交线，两个平面的公共点必在这两个平面的交线上．下面变式题就是三线共点的问题：
[解答] 方法一：由公理 2，不共线的三点 D1、E、F 确定平面 α，由图可知 D1E 与 DA 共面(公理 2 的推论)，且延长线交于点 G，从而 G∈α(公理 1)，同理 D1F 与 DC 延长线的交点 H∈α，
第44讲 │ 要点探究
∵G∈平面 AC，H∈平面 AC， ∴GH⊂平面 AC，又 B∈平面 AC，则 G、B、H 共面， ∵E 为 AA1 中点，AE∥DD1， ∴AG＝AD＝AB，∠ABG＝45° ，同理∠CBH＝45° ， ∴∠ABG＋∠ABC＋∠CBH＝180° ， ∴G、B、H 三点共线，又 G∈α，H∈α，即 GH⊂α(公理 1)， ∴B∈α，即点 D1、E、F、B 四点共面于平面 α.
第44讲 │ 要点探究
(4)正确．因为 A、C1、B1 不共线，∴A、C1、 B1 三点确定一个平面 α，又 AB1C1D 为平行四边形，AC1、B1D 相交于 O2 点，而 O2∈α，B1∈α， ∴B1O2⊂α，而 D∈B1O2，∴D∈α； (5)正确．若 l 与 m 相交，则交点是两平面的公共点，而直线 CD 为两平面的交线，所以交点一定在直线 CD 上．

平面的基本性质(二)

3条直线相交于一点时：
(1)3条直线共面时 (2)每2条直线确定一平面时
三条直线相交于一点,用其中的两条确定平面,最多可以确定3个。
4条直线相交于一点时： (3)每2条直线都 (1)4条直线确定一平面时全用其中的两条确定平面,最多可以确定6个。
例3 .已知如图：E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的各边AB，AD，CB，CD上的点，且直线EF和HG共面但不平行，求证：EF，BD，GH三直线共点. 反思：证明空间三点 A 共线或三线共点的方 P F 法：只需证明这三个 E D 点都是两个平面的公 H 共点，则公共点必在 B 两平面的交线上，因 G C 此三点共线.
a、b确定平面α
l α
同理b、c确定平面β , 且lβ
而l、b α, l、b β,
∴a,b,c,l共面 α与β重合
例2：如图△ABC在平面α外,AB交α于点P,BC 交α于点Q,AC交α于点R,求证:P、Q、R A 在同一直线上。
证明三点共线的常用方法： C B
方法1.选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也 P 在其上。 R α Q 方法2.首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理 3可知，这些点都在交线上。

l
B
C
A l
由公理3可得，不共线三点A、B、C确定一个平面α
即平面α是经过直线l和点A的平面
唯一性:
B, C l , l B, C A A, B, C
由公理3可得，经过不共线三点A、B、C的平面只有一个 ∴经过直线l和点A的平面只有一个
• 推论２：经过两条相交直线，有且只有一个平面
公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

高中数学的必修二数学平面的基本性质知识点

高中数学的必修二数学平面的基本性质知识点平面的基本性质教学目标1、知识与能力：(1)巩固平面的基本性质即四条推断出公理和三条推论.(2)能使用公理和推论进行解题.2、过程与方法：(1)体验在空间确定一个平面的过程与方法;(2)掌握利用平面的基本性质证明三点共线、三线共点、多线共面的方法。

3、情感成见与价值观：培养学生认真观察的态度，慎密思考的习惯，提高学生审美能力和空间想象的能力。

教学重点平面的三条基本性质即三条推论.教学难点准确运用三条公理和推论解题.教学过程一、问题情境问题1：空间共点的三条直线二维能确定几个平面?空间互相对角线平行的三条直线呢?问题2：如何判断办公桌的四条腿内则的底端是否在一个平面内?二、温故知新公理1一处如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有两个一个公共设施点，那么它们还有其它公用点，这些公共点的集合是经过这个公共给定点的一条直线.公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2经过两条直角直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行平行线，有且只有一个平面.公理4(平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.把作出以上各公理及推论进行对比：三、数学运用基础训练：(1)已知：;求证：直线AD、BD、CD共面.证明：——公理3推论1——公理1同理可证，,直线AD、BD、CD共面【解题反思1】1。

逻辑要严谨2.书写要规范3.证明共面的步骤：(1)确定平面——公理3及其3个推论(2)证线“归”面(线在面内如：)——公理1(3)作出结论。

变式1、如果直线两两交汇，那么这三条直线是否共面?(口答)变式2、已知空间不共面的二点，过其中任意三点可以三维空间确定一个平面，由这四个一两个点能确知几个平面?变式3、四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面曲面图形吗?(口答)(2)已知直线满足：;求证：直线证明：——公理3推论3——公理1直线共面提高训练：已知，求证：四条直线在同一平面内.思路分析：考虑由直线a,b确定一个平面，再证明直线c,l在此平面上，但十分困难。

1.2.1 平面的基本性质(2)

D1 A1
D AQ
C1 解：（1）
D1
A1 B1
P C
D
B
AQ
C1
B1 P
C B
例 1 如图，长方体 ABCD A1B1C1D1中， P,Q 分别是 BB1 , AB 中点.
（1）画出由 A1 , C1 , P 三点所确定的平面与长方体表面的交线；
（2）画出由 D1,C,Q 三点所确定的平面与长方体表面的交线.
（空间若干点或直线都在同一平面内，称它们“共面”）
D
证明（法一）： Q D l ， l 与 D 确定一个平面，
Q Al,l , A ，Q D , AD ，同理 BD ,CD ，直线 AD, BD,CD 共面.
l A BC
（法二） Q AD I BD D ， AD, BD 确定一个平面， A , B , AB 即l ，又 Q BD I CD D ， BD,CD 确定一个平面， B ,C , BC ,即l ，由推论 1 过直线 l 与点 D 有且只有一个平面，与重合，直线 AD, BD,CD 共面.
1.2.1 平面的基本性质(2)
苏教版数学必修2
思考：
S
如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，
S是直角梯形ABDC所在平面外一点，如何画出平面 SBD和平面SAC的交线？并说明理由.
A
B
解： S
C
D
S
S
A
B
A
B
A
B
C
D
E
（1）
C
D
E
（2）
C
D
E
（3）

平面的基本性质(2).许兴华

高二数学课件
9.1平面的基本性质(2)
( 201210925 )
(月亮河 A )
Designed by Steven 华兴 No.3 High School 课许 of Nanning 件
T N S E
E
V
兴 T 华
件
N S E 许E V课
Firstpage首页 upward return next last 铃
一、平面的基本性质
1、几个公理公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点在这个平面内;
B A l
α
确定直线在平面内的依据
兴 T 华
N S E 许E V课
Firstpage首页 upward return next last 铃
件
公理2:如果两个平面有一个公共点, 那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是过这个公共点的一条直线 β

o
a
d
又 H，K∈c，∴c α．同理可证 d α． ∴a，b，c，d 四条直线在同一平面α内．
兴 T 华
N S E 许E V课
b c
Firstpage首页 upward return next last 铃
件
[应用举例](调研P5R思考题) 例2.已知三条直线两两平行,
第四条直线与它们都相交，求证 : 这四条直线共面 .
证明: 如图 l a A,由推理2得 : ,
直线 l 与直线 a 确定一个平面
.
a 与点 B ,
又 l b B, l c C , B, C .
经过直线 a , b 的平面必经过经过直线
而经过直线与点B的平面是唯一的 . a 直线 b 平面 , 同理, 直线c .

0441.平面的基本性质与推论(2)

0441．平面的基本性质与推论（2）课型：新授课编制人：年级主任：班级：姓名：编号：0441．2.1 平面的基本性质与推论(2)一、学习目的1、会判别空间两直线的位置关系．2、了解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角．3、能用公理4处置一些复杂的相关效果．二、基础知识1、空间两条直线的位置关系有且只要三种：______________、________________、________________．2、异面直线的定义：________________________________的两条直线叫做异面直线．3、公理4：平行于同一条直线的两条直线____________．4、等角定理：空间中假设两个角的两边区分对应________，那么这两个角________或________．5、异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使________，________，我们把a′与b′所成的______________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．假设两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线相互垂直，两条异面直线所成的角的取值范围是________．三、基础自测：1、区分在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )A．异面 B．平行 C．相交 D．以上都有能够2、假定a和b是异面直线，b和c是异面直线，那么a和c的位置关系是( )A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面3、以下四个结论中假命题的个数是( )①垂直于同不时线的两条直线相互平行；②平行于同不时线的两直线平行；③假定直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，那么a⊥c；④假定直线l1，l2是异面直线，那么与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．A．1 B．2 C．3 D．44、如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2.(1)BC和A′C′所成的角是多少度？(2)AA′和BC′所成的角是多少度？四、典型例题：例1、如下图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H区分是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．假定在例1中，假设再加上条件AC＝BD，那么四边形EFGH是例2 如右图，正方体ABCD—A′B′C′D′.(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？例3、如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G区分是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，那么BD和AC所成角的度数为________．例4、如下图，正方体AC1中，E、F区分是A1B1、B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．五、课堂练习1、如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求四棱锥O－ABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小．2、空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F区分是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．【当堂检测】1、正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．2、一个正方体纸盒展开后如下图，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．。

1.2.1平面的基本性质(2)

D1 C1 B1
D A
P
D1
C1 B1
A1
A1
C A D
P

B
C
1
B
图1 2 11
2
作法连结 A1 P, PC1 , A1C1 ,它们就是平面与长方体表面的交线图1 2 112.
图1 2 9
例1 已知 : A l , C l , D l 图1 2 10 . 求证 : 直线AD, BD , CD 共面.
D

C
l
A B
图1 2 10
空间点和直线都在同一个平面内那么就称它们共面". , "
例 2 如图1 2 11, 在长方体ABCD A1 B1C1 D1中, P 为棱 BB1 的中点, 画出由A1 , C1 , P 三点所确定的平面与长方体表面的交线 .
图1 2 6
a

b

类似地, 我们可以得出下面两个推理:

图1 2 7
A一ຫໍສະໝຸດ 平面图1 2 7 .a
推论 2 经过两条相交直线有且只有 , 推论 3 经过两条平行直线有且只有 ,

一个平面图1 2 8 .
b
图1 2 8
如图1 2 9, 用两根细绳沿上桌子四条腿的对角拉直, 如果这两根细绳相交, 说明桌子四条腿的底端在同一个平面内, 否则就不在同一个平面内, 其依据就是推理2 .
公理 3 经过不在同一条直线上的三个点, 有且只有一个平面图1 2 5.
B C

A
图1 2 5
1. 2 . 1 平面的基本性质（二）

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§1.2.1 平面的基本性质(2)
教学目标：
1．了解推论1、推论2、推论3，并能运用推论解释生活中的一些现象．
2．初步学习立体几何中的证明．
教学重点：
三个推论的理解和应用．
教学难点：
推论的正确理解和正确应用．
教学过程：
1．复习引入
复习：回顾平面的基本性质的三个公理：公理1、公理2、公理3．
问题：根据公理3，不共线的三个点可以确定一个平面，那么，
○
1一条直线和这条直线外一点能否确定一个平面呢？ ○
2两条相交直线呢？ ○
3两条平行直线呢？为什么？
推论1：
推论2：
推论3：
3．例题讲解
例1．已知：,,,A l B l C l D l ∈∈∈∉，求证：直线,,AD BD CD 共面。

练习：（1）求证：两两相交且不过同一点的三条直线共面。

（2）已知：平面AB D ∩平面BCD=BD ，AE AB = CH BC = 13 ,AF AD = CG CD = 12
求证：BD 、EF 、GH 共点。

例2．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，画出由1A ，1C ，P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线。

A B
C D l α
A B C D E
H F
G
变式：若l α
β=，,A B α∈，C β∈，试画出平面ABC 与平面,αβ的交线。

4．练习 (1)若空间三个平面两两相交，则它们的交线有条；
(2)四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有个；
(3)给出下列四个命题：○1若空间四点不共面，则其中无三点共线；○2若直线l 上有一点在平面α外，则l 在α外；○3若直线,,a b c 中，a 与b 共面且b 与c 共面，则a 与c 共面；○4两两相交的三条直线共面．其中正确命题的序号是__________．
(4)在正方体1111ABCD A B C D -中，○
11AA 与1CC 能够确定一个平面？ ○2点1,,B C D 能否确定一个平面？ ○3画出平面11ACC A 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线； ○4P 为棱BC 的中点，画出由11,,A C P 三点所确定的平面α与正方体表面的交线。

A
1A
1B 1C A C B
A D C C 1 D 1
B 1 A 1
(5)求证：两两相交且不过同一点的三条直线共面。

5．课堂小结
公理三的三个推论及其应用。

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