平面的基本性质(2)
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0441.平面的基本性质与推论(2)课型:新授课编制人:年级主任:班级:姓名:编号:0441.2.1 平面的基本性质与推论(2)一、学习目的1、会判别空间两直线的位置关系.2、了解两异面直线的定义,会求两异面直线所成的角.3、能用公理4处置一些复杂的相关效果.二、基础知识1、空间两条直线的位置关系有且只要三种:______________、________________、________________.2、异面直线的定义:________________________________的两条直线叫做异面直线.3、公理4:平行于同一条直线的两条直线____________.4、等角定理:空间中假设两个角的两边区分对应________,那么这两个角________或________.5、异面直线所成的角:直线a,b是异面直线,经过空间任一点O,作直线a′,b′,使________,________,我们把a′与b′所成的______________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).假设两条直线所成的角是________,那么我们就说这两条异面直线相互垂直,两条异面直线所成的角的取值范围是________.三、基础自测:1、区分在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有能够2、假定a和b是异面直线,b和c是异面直线,那么a和c的位置关系是( )A.异面或平行 B.异面或相交 C.异面 D.相交、平行或异面3、以下四个结论中假命题的个数是( )①垂直于同不时线的两条直线相互平行;②平行于同不时线的两直线平行;③假定直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,那么a⊥c;④假定直线l1,l2是异面直线,那么与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.A.1 B.2 C.3 D.44、如图,长方体ABCD—A′B′C′D′中,AB=23,AD=23,AA′=2.(1)BC和A′C′所成的角是多少度?(2)AA′和BC′所成的角是多少度?四、典型例题:例1、如下图,空间四边形ABCD中,E、F、G、H区分是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.假定在例1中,假设再加上条件AC=BD,那么四边形EFGH是例2 如右图,正方体ABCD—A′B′C′D′.(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线?(2)直线BA′和CC′的夹角是多少?例3、如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G区分是AB,BC,AD的中点,∠GEF=120°,那么BD和AC所成角的度数为________.例4、如下图,正方体AC1中,E、F区分是A1B1、B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.五、课堂练习1、如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.(1)求四棱锥O-ABCD的体积;(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小.2、空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为30°,E、F区分是BC、AD的中点,求EF与AB所成角的大小.【当堂检测】1、正方体ABCD—A′B′C′D′中:(1)BC′与CD′所成的角为________;(2)AD与BC′所成的角为________.2、一个正方体纸盒展开后如下图,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为________.。
1.2.1平面的基本性质及推论(二)教学目标:理解推论1、2、3的内容及应用教学重点:理解推论1、2、3的内容及应用教学过程:推论1:直线及其外一点确定一个平面(一) 推论2:两相交直线确定一个平面(二) 推论3:两平行直线确定一个平面(四)例1已知:空间四点A 、B 、C 、D 不在同一平面内.求证:AB 和CD 既不平行也不相交.证明:假设AB 和CD 平行或相交,则AB 和CD 可确定一个平面α,则α⊂AB ,α⊂CD ,故α∈A ,α∈B , α∈C ,α∈D .这与已知条件矛盾.所以假设不成立,即AB 和CD 既不平行也不相交.卡片:1、反证法的基本步骤:假设、归谬、结论;2、归谬的方式:与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、自相矛盾.例2已知:平面α⋂平面β=a ,平面α⋂平面γ=b ,平面γ⋂平面β=c 且c b a 、、不重合.求证:c b a 、、交于一点或两两平行.证明:(1)若三直线中有两条相交,不妨设a 、b 交于A .因为,β⊂a ,故β∈A ,同理,γ∈A ,故c A ∈.所以c b a 、、交于一点.(2)若三条直线没有两条相交的情况,则这三条直线两两平行.综上所述,命题得证.例3已知ABC ∆在平面α外,它的三边所在的直线分别交平面α于R Q P 、、.求证:R Q P 、、三点共线. 证明:设ABC ∆所在的平面为β,则R Q P 、、为平面α与平面β的公共点,所以R Q P 、、三点共线.卡片:在立体几何中证明点共线,线共点等问题时经常要用到公理2.例4正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 、G 、H 、K 、L 分别是、、、111D A DD DC BC BB B A 、、111的中点.求证:这六点共面. 证明:连结BD 和KF , 因为 L E 、是CB CD 、的中点,所以 BD EL //. 又 矩形11B BDD 中BD KF //,所以 EL KF //,所以 EL KF 、可确定平面α,所以 L K F E 、、、共面α,同理 KL EH //, A B C PQ R αC A A B B C D DEF G H K L 1111故 L K H E 、、、共面β.又 平面α与平面β都经过不共线的三点L K E 、、,故 平面α与平面β重合,所以E 、F 、G 、H 、K 、L 共面于平面α.同理可证α∈G ,所以,E 、F 、G 、H 、K 、L 六点共面.卡片:证明共面问题常有如下两个方法:(1)接法:先确定一个平面,再证明其余元素均在这个平面上;(2)间接法:先证明这些元素分别在几个平面上,再证明这些平面重合.课堂练习:1.判断下列命题是否正确(1)如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面. ( )(2)经过一点的两条直线确定一个平面. ( )(3)经过一点的三条直线确定一个平面. ( )(4)平面α和平面β交于不共线的三点A 、B 、C . ( )(5)矩形是平面图形. ( )2.空间中的四点,无三点共线是四点共面的 条件.3.空间四个平面两两相交,其交线条数为 .4.空间四个平面把空间最多分为 部分.5.空间五个点最多可确定 个平面.6.命题“平面α、β相交于经过点M 的直线a ”可用符号语言表述为 .7.梯形ABCD 中,AB ∥CD ,直线AB 、BC 、CD 、DA 分别与平面α交于点E 、G 、F 、H .那么一定有G 直线EF ,H 直线EF .8.求证:三条两两相交且不共点的直线必共面.小结:本节课学习了平面的基本性质的推论及其应用课后作业:略。