(3)集合法： 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若x具有性质p，则x∈A； 若x具有性质q，则x∈B.
①若AB，则p是q的充分不必要条件；
②若BA，则p是q的必要不充分条件； ③若A＝B，则p是q的充要条件； ④若A B且B A，则p是q的既不充分又不必要条件．
1．“x＞0”是“ x2＞0”成立的 A．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件
3
( B．必要不充分条件 D．充要条件
)
3 2 3 2 解析：当 x＞0 时， x ＞0 成立；但当 x ＞0 时，得 x2＞0， 则 x＞0 或 x＜0，此时不能得到 x＞0.
答案：A
2．对任意实数a、b、c给出下列命题： ①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件； ②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件； ③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
4．不等式x2－ax＋1>0的解集为R的充要条件是________． 解析：若x2－ax＋1>0的解集为R，则Δ＝a2－4<0，即－ 2<a<2.
又当a∈(－2,2)时，Δ<0，可得x2－ax＋1>0的解集为R，
故不等式x2－ax＋1>0的解集为R的充要条件是－2<a<2. 答案：－2<a<2
5．求证：△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件．
充分条件与必要条件的判断，即对命题“若p，则 q”与“若q，则p”进行真假判断，若是一真一假则p是i 的充分不必要条件或必要不充分条件；若是两真则p 是q的充要条件；若是两假则p是q的即不充分又不必
要条件．
[例 1]
下列各题中，p 是 q 的什么条件？
(1)p：a、b、c 三数成等比数列，q：b＝ ac； (2)p：y＋x>4，q：x>1，y>3； (3)p：a>b，q：2a>2b； (4)p：△ ABC 是直角三角形，q：△ ABC 为等腰三角形．
(2)方程 x2－x－m＝0 无实根，即 Δ＝1＋4m<0，解得 1 1 m<－ ，{m|m<－2} {m|m<－ }， 4 4 ∴p 是 q 的必要不充分条件． (3)由 p q，而 q p，
∴p 是 q 的充分不必要条件．
[例2]
证明x2＋px＋q≤0的解集只含有一个元素的充
要条件是p2＝4q. [思路点拨] 本题可分充分性与必要性两种情况进行
证明：先证充分性，∵A>B，∴a>b. 则 2Rsin A>2Rsin B，∴sin A>sin B. 再证必要性．∵sin A>sin B， a b ∴2R>2R，即 a>b.∴A>B， ∴△ABC 中，A>B 是 sinA>sin B 的充要条件．
6．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条 件是a＋b＋c＝0. 证明：先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， ∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
[一点通]
将充分、必要条件转化为集合的包含关
系，是解决该类问题的一种有效的方法，关键是准确 把p，q用集合表示，借助数轴，利用数形结合的方法 建立方程或不等式，求参数的范围．
7．已知条件p：x2＋x－6＝0，条件q：mx＋1＝0(m≠0)， 且q是p的充分不必要条件，求m的值．
解：解 x2＋x－6＝0 得 x＝2 或 x＝－3， 令
[例3]
(12分)设p：|4x－3|≤1；q：x2－(2a＋1)x
＋a2＋a≤0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取 值范围． [思路点拨] 本题可先分别得出p，q对应的集合，
然后把条件转化为集合间的包含关系处理．
1 1 [精解详析] 因为|4x－3|≤1，所以 ≤x≤1，即 p： ≤x≤1. 2 2 (2 分) 由 x2－(2a＋1)x＋a2＋a≤0， 得(x－a)[(x－(a＋1)]≤0， 所以 a≤x≤a＋1， 即 q：a≤x≤a＋1. (5 分)
理解教材 新知
知识点一
知识点二
考点一
第 一 章
§2
把握热点 考向
考点二 考点三
应用创新演练
古时候有个卖油郎叫洛孝，一天他在卖油回家的路上 捡到30两银子，回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主．当
洛孝把银子还给失主时，失主却说自己丢了50两银子，叫
洛孝拿出自己私留的20两银子，两人为此争执不休，告到 县衙，县官听了两人的供述后，把银子判给洛孝，失主含 羞离去．
已知：p：今年将在伦敦举行第30届夏季奥运会． q：今年是2012年． 问题1：“若p，则q”为真命题吗？p是q的什么条件？ 提示：是真命题 充分条件
问题2：“若q，则p”是真命题吗？p是q的什么条件？
提示：是真命题 必要条件
问题3：p是q的什么条件？q是p的什么条件？ 提示：充要条件 充要条件
充要条件 (1)如果既有 p⇒q ，又有 q⇒p ，通常记作p⇔q，则称p是q
的 充分必要条件 ，简称充要条件．
(2)p是q的充要条件也可以说成： p成立当且仅当q成立 ． (3)如果p，q分别表示两个命题，且它们互为充要条件，我 们称命题p和命题q是两个相互 等价 的命题． (4)若p⇒q，但q ⇒ p，则p是q的 充分不必要 条件，q是p的 / 必要不充分 条件． (5)若p ⇒ q，且q ⇒ p，则p是q的既不充分也不必要 条件． / /
p x|x＝－ ，只有一个元素． 因此解集为 2
综上所述，x2＋px＋q≤0 的解集只含有一个元素的充要条 件是 p2＝4q.
[一点通]
充要条件的证明问题，要证明两个方面，
一是充分性，二是必要性．为此必须要搞清条件，在“A是
B的充要条件”中，A⇒B是充分性，B⇒A是必要性；在“A 的充要条件是B”中，A⇒B是必要性，B⇒A是充分性．
因为 p 是 q 的充分不必要条件， 所以 p q，q p. {x|a≤x≤a＋1}， (7 分)
1 x ≤x≤1 所以 2
a＋1>1， a＋1≥1， 1 故有 或 1 解得 0≤a≤ . (11 分) 1 2 a≤2， a<2， 1 所以 a 的取值范围是[0， ]． 2 (12 分)
(4)法一：若△ABC是直角三角形不能得出 △ABC为等腰三角形，即p ⇒ q；若△ABC为等腰 / 三角形也不能得出△ABC为直角三角形，即q ⇒ / p，故p是q的既不充分也不必要条件．
法二：如图所示：p、q对应集合间无包含关系，故p是q 的既不充分也不必要条件．
[一点通] 充分必要条件判断的常用方法： (1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断． (2)等价法：将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断．
证明，即由p2＝4q推证x2＋px＋q≤0的解集只含有一个元素
和由x2＋px＋q≤0的解集只含有一个元素推证p2＝4q.
[精解详析] 先证明必要性：若不等式 x2＋px＋q≤0 的解 集中只有一个元素，则抛物线 y＝x2＋px＋q 与 x 轴相切，于 是 Δ＝p2－4q＝0，即 p2＝4q； 再证明充分性：由 p2＝4q，则原不等式可以整理成 x2＋i p2 p2 ＋q＝x2＋px＋ 4 ＝x＋2 ≤0.
解：由(x－a)2<1 得， x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0， ∴a－1<x<a＋1，M＝{x|a－1<x<a＋1}． 又由 x2－5x－24<0 得，－3<x<8，N＝{x|－3<x<8}． ∵x∈M 是 x∈N 的充分条件，∴M⊆ N，
a－1≥－3， ∴ a＋1≤8，
解得－2≤a≤7. 故 a 的取值范围是[－2,7]．
1 － ， A＝{2，－3}，B＝ m
∵q 是 p 的充分不必要条件，∴B A. 1 1 1 1 当－ ＝2 时，m＝－ ；当－ ＝－3 时，m＝ . m m 2 3 1 1 所以 m＝－ 或 m＝ . 2 3
8．已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若 x∈M是x∈N的充分条件，求a的取值范围．
④“a<5”是“a<3”的必要条件．
其中真命题的序号是________．
解析：①由a＝b可得ac＝bc.但ac＝bc时不一定有a＝b，故
①为假命题；②由“a＋5为无理数”可得“a为无理数”，由“a
为无理数”可得“a＋5为无理数”，②为真命题；③由“a>b” 不能得出a2>b2，如a＝1，b＝－2，③为假命题；④“由a<5” 不能得“a<3”，而由“a<3”可得“a<5”，④为真命题． 答案：②④
设：A：洛孝主动归还所拾银两． B：洛孝无赖银之情． C：洛孝拾到30两银子，失主丢失50两银子． D：洛孝所拾银子不是失主所丢．
问题1：县官得到结论B的依据是什么？它是B的什么
条件？ 提示：A 充分条件
问题2：县官由C得出什么结论？它是C的什么条件？ 提示：D 必要条件
充分条件和必要条件 如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即p⇒q， 称p是q的 充分 条件，同时称q是p的 必要 条件.
∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
∴必要性成立．
再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b.
代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得：
ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋b＋a)＝0.
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件 是a＋b＋c＝0.
q 成立时，p 是否成立，从而判定 p、q 间的关系．
[精解详析]
(1)若 a、b、c 成等比数列，则 b2＝ac，b
＝± ac.则 p ⇒ q；若 b＝ ac，当 a＝0，b＝0 时，a、b、c / 不成等比数列， q⇒/ p， p 是 q 的既不充分也不必要条件． 即 故 (2)y＋x>4 不能得出 x>1，y>3，即 p ⇒ q，而 x>1，y>3 / 可得 x＋y>4，即 q⇒p，故 p 是 q 的必要不充分条件． (3)当 a>b 时，有 2a>2b，即 p⇒q，当 2a>2b 时，可得 a>b， 即 q⇒p，故 p 是 q 的充要条件．
