第二节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

二元一次不等式组和简单的线性规划问题

1、画出下列不等式表示的平面区域

（1）32xy （2）yxy2

2、下列命题中正确的是( )

A. 点(0,0)在区域x+y⩾0内 B. 点(0,0)在区域x+y+1<0内

C. 点(1,0)在区域y>2x内 D. 点(0,1)在区域x−y+1>0内

3、如图中阴影部分可用一组二元一次不等式组来表示，则这一不等

式组是__ _.

4、已知4221baba，求t=4a−2b的取值范围______.

5、设x,y满足22142yxyxyx,则z=x+y( )

A. 有最小值2，最大值3 B. 有最小值2，无最大值

C. 有最大值3，无最小值 D. 既无最小值，也无最大值

6、

7、已知x，y满足约束条件3053431yxyxx

（1）求目标函数z=2x-y的最大值和最小值；

（2）求目标函数z=2x+y的最大值和最小值；

（3）若目标函数z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，求实数a的值；

（4）求55xyz的取值范围；

（5）求z=x2+y2的取值范围.

8、某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件。已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为___元。

考点26二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

一、二元一次不等式（组）与平面区域

1．二元一次不等式表示的平面区域

一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax

＋By

＋C

>0表示直线Ax

＋By

＋C

=0某一侧所有点组成的平面

区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界.

不等式Ax

＋By

＋C

≥0表示的平面区域包括边界，把边

界画成实线．

2．确定二元一次不等式(组)表示平面区域的方法

（1）对于直线Ax

＋By

＋C

＝0同一侧的所有点(x

，y

)，

使得Ax

＋By

＋C

的值符号相同，也就是位于同一半平面的

点，如果其坐标满足Ax

＋By

＋C

>0，则位于另一个半平面

内的点，其坐标满足Ax

＋By

＋C

<0.

（2）可在直线Ax

＋By

＋C

＝0的同一侧任取一点，一般

取特殊点(x

0，y

0)，从Ax

0＋By

0＋C

的符号就可以判断Ax

＋By

＋C

>0(或Ax

＋By

＋C

<0)所表示的区域．

（3）由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，

是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

（4）点P

1(x

1，y

1)和P

2(x

2，y

2)位于直线Ax

＋By

＋C

＝0的两

侧的充要条件是(Ax

1＋By

1＋C

)(Ax

2＋By

2＋C

)<0；位于直线Ax

＋

By

＋C

＝0同侧的充要条件是(Ax

1＋By

1＋C

)(Ax

2＋By

2＋C

)>0.

二、简单的线性规划问题

1．简单线性规划问题的有关概念

（1）约束条件：由变量x

，y

的不等式(或方程)组成

的不等式组称为x

，y

的约束条件．关于变量x

，y

的一

次不等式(或方程)组成的不等式组称为x

，y

的线性约

束条件．

（2）目标函数：我们把求最大值或最小值的函数称为目

标函数．目标函数是关于变量x

，y

的一次解析式的称为

线性目标函数.

（3）线性规划问题：一般地，在线性约束条件下求线性

目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问

题．满足线性约束条件的解(x

,y

)叫做可行解．由所有可行

解组成的集合叫做可行域，其中，使目标函数取得最大值

或最小值的可行解叫做这个问题的最优解．

第 1 页 共 4 页 第十四课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

【知识与技能】会画出二元一次不等式(组)所表示的平面区域．

【重点难点】

教学重点：二元一次不等式(组)表示的平面区域．

教学难点：准确理解和判断二元一次不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧．

【教学过程】

一、问题与探究

1．给出不等式(1)2x＋3y－4>0，(2)x－4y＋1≤0，观察它们有什么共同特点？

提示：都含有 个未知数，未知数的次数都是 ．

归纳：(1)含有 未知数，并且未知数的次数是 的不等式叫做二元一次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组叫做二元一次不等式组．

(2)满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，称为二元一次不等式(组)的一个 ，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的 ．

2．如图作直线x＋y－1＝0，此直线将坐标平面分成几部分？

提示：三个部分．即直线的两侧与直线上．

3．在直线上任取点P(x0，y0)，它与方程x＋y－1＝0有怎样的关系？

提示：P点的坐标满足方程．

4．在直线上方取点(0,2)，(1,3)，(0,5)，(2,2)，把它们分别代入式子x＋y－1中，其符号怎样？在直线的下方取点呢？

提示：直线上方的点的坐标都满足x＋y－1>0，直线下方的点的坐标都满足x＋y－1<0．

归纳：(1)直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成的三个部分：

①直线l上的点(x，y)的坐标满足 ．

②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c>0，另一侧平面区域内的点(x，y)的坐标满足 ．

(2)在直角坐标平面内，把直线l：ax＋by＋c＝0画成 ，表示平面区域包括这一边界直线；画成 表示平面区域不包括这一边界直线．

1. 在直角坐标系内,下图中的阴影部分表示的不等式（组）是……………………（ ）

A00xyxy. B. 00xyxy

C. x2-y2≤0 D. x2-y2≥0

2. 如果点(5，b)在两条平行直线6x-8y＋1＝0和3x-4y＋5＝0之间，则b应取的整数值为（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

3. 设x,y满足约束条件260,260,0,xyxyy则目标函数z=x+y的最大值是……………………（ ）

A. 3 B. 4 C. 6 D. 8

4. 已知正数x、y满足20,350,xyxy则z=11()()42xy的最小值为…………………………（ ）

A. 1 B. 3124 C. 116 D. 132

5. 已知x,y满足约束条件0,344,0,xxyy,则x2+y2+2x的最小值是…………………………（ ）

A. 25 B. 21 C. 2425 D. 1

6. 不等式组260,30,2,xyxyy所表示的平面区域的面积为 .

7. 若点P（m，3）到直线4x-3y+1=0的距离为4，且点P在不等式2x+y＜3表示的平面区域内，则m= .

8. 若A为不等式组0,0,2,xyyx表示的平面区域，则当a从-2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为 .

9. 已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为 .