人教版高中数学选修(4-5)-2.3典型例题：用放缩法证明不等式

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三反证法与放缩法课后篇巩固探究1.设实数a，b,c满足a+b+c=,则a,b，c中（)A.至多有一个不大于B。

至少有一个不小于C。

至多有两个不小于D.至少有两个不小于解析假设a,b，c都小于，即a〈，b<，c〈，则a+b+c〈,这与a+b+c=矛盾，因此假设错误,即a，b，c中至少有一个不小于。

答案B2.已知三角形的三边长分别为a,b，c，设M=，N=,Q=，则M，N与Q 的大小关系是（)A。

M〈N〈QB.M<Q<NC.Q<N<MD。

N〈Q<M解析由题意知a+b〉c〉0，则.∴+1<+1，即。

∴,故N〈Q。

M-Q==0，∴M>Q，故M>Q>N。

答案D3.导学号26394038设M=+…+，则() A。

M=1B。

M〈1C.M〉1D.M与1大小关系不确定解析分母全换成210,共有210个单项。

答案B4.某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在［0,1］上有意义,且f（0)=f（1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1］,都有｜f(x1)—f（x2)|<｜x1—x2｜,求证|f(x1）—f（x2）｜<。

所以 M＜1，选 B. 答案：B
4．用反证法证明“ 2， 3， 5不可能成等差数列” 时，正确的假设是________．
答案： 2， 3， 5成等差数列
5．A＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1与 n
n(n∈N＋)的大小关系
是______________________．
解析：A＝
11＋
12＋
13＋…＋
[变式训练] (1)已知 x＞0，y＞0，z＞0，求证：
x2＋xy＋y2＋ y2＋yz＋z2＞x＋y＋z； (2)求证：12＜n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n＜1(n＞1，n∈N*)．
证明：(1)因为 x＞0，y＞0，z＞0，
所以 x2＋xy＋y2＝
x＋2y2＋34y2＞x＋2y，①
[变式训练] 已知 0＜x＜2，0＜y＜2，0＜z＜2， 求证：x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于 1. 证明：法一：假设 x(2－y)＞1，y(2－z)＞1，z(2－x) ＞1 均成立， 则三式相乘得 xyz(2－x)(2－y)(2－z)＞1，① 因为 0＜x＜2，
所以 0＜x(2－x)＝ － x2＋2x＝ － (x－1)2＋1≤1， 同理，0＜y(2－y)≤1，0＜z(2－z)≤1. 所以三式相乘得 0＜xyz(2－x)(2－y)(2－z)≤1② ②与①矛盾，故假设不成立． 所以 x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于 1.
归纳升华 1．当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存 在”等词语时，适合应用反证法，因为此类问题的反面比 较具体． 2．用反证法证明不等式时，若原命题结论的否定不 止一个，就必须将结论的所有否定逐一驳倒．
3．当遇到命题的结论以“至多”“至少”等形式给 出时，一般多用反证法；应注意“至少有一个”“都是” 的否定形式分别是“一个也没有”“不都是”．

教材习题点拨习题2.31．证明：方法一：假设(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14，则 ∵0＜a ，b ，c ＜1，∴(1－a )b ＞12，(1－b )c ＞12，(1－c )a ＞12，(1－a )b ＋(1－b )c ＋(1－c )a ＞32. ∵(1－a )b ＋(1－b )c ＋(1－c )a ≤1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a 2＝3－(a ＋b ＋c )＋(a ＋b ＋c )2＝32，∴矛盾，假设错误，原命题成立． 方法二：设(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14， 则三式相乘(1－a )b ·(1－b )c ·(1－c )a ＞164.① 又∵0＜a ，b ，c ＜1，∴0＜(1－a )a ≤⎣⎡⎦⎤(1－a )＋a 22＝14.②同理(1－b )b ≤14，③ (1－c )c ≤14.④ ②③④三式左右两边分别相乘(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤164，与①矛盾， ∴原式成立．点拨：题目中出现了“不可能同时大于…”字样，而且三个式子地位相同，结合0＜(1－a )a ≤⎣⎡⎦⎤(1－a )＋a 22＝14，可得到方向相矛盾的两个不等式，适于用反证法． 2．证明：∵1k －1k ＋1＝1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1)＝1k －1－1k，k ＝2,3,4，…， ∴12－13＜122＜1－12， 13－14＜132＜12－13， ……1n －1n ＋1＜1n 2＜1n －1－1n. 将以上n －1个不等式左右两边分别相加，可得12－1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－1n ＝n －1n. 点拨：本题结论是以后经常要用到的，要记住1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1)，这是一种常见的放缩．3．证明：∵k －k －1＝1k ＋k －1＞1k ＋k ＝12k ， ∴1k＜2(k －k －1)，k ＝1,2,3，…，n . 当k ＝1,2,3，…，n 时，1＜2(1－0)，12＜2(2－1)， (1)＜2(n －n －1)． 将以上n 个同向不等式相加，得1＋12＋13＋…＋1n ＜2n . 点拨：先构造其中一个式子1k＜2(k －k －1)，再相加得到要证的不等式． 4．证明：假设⎝⎛⎭⎫1x 2－1⎝⎛⎭⎫1y 2－1≥9不成立，则⎝⎛⎭⎫1x 2－1⎝⎛⎭⎫1y 2－1＜9. 于是1－⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＋1x 2y2＜9， ∴1－(x 2＋y 2)＜8x 2y 2.∵x ＋y ＝1，∴1＝(x ＋y )2.∴2xy ≤8x 2y 2.∴xy (1－4xy )＜0.① ∵xy ≤x ＋y 2＝12，∴xy ≤14.∴1－4xy ≥0. ∴xy (1－4xy )≥0.②由①②可知矛盾，所以假设不成立，从而⎝⎛⎭⎫1x 2－1⎝⎛⎭⎫1y 2－1≥9成立． 5．解：∵V ＝πr 2h ，∴S ＝2πr 2＋2πrh ＝2πr 2＋πrh ＋πrh ≥332πr 2·πrh ·πrh ＝332π3r 4h 2＝332π(πr 2h )2＝332πV 2.∴表面积最小为S ＝332πV 2，当且仅当2πr 2＝πrh ＝πrh ，即V ＝πr 2·2r ＝2πr 3.∴r ＝3V 2π，h ＝23V 2π. 点拨：主要利用均值不等式来解决．6．解：设围成的圆锥的底面半径为r ，高为h ，则有R 2＝r 2＋h 2＝12r 2＋12r 2＋h 2≥3312r 2·12r 2·h 2＝3314(r 2h )2. ∵14(r 2h )2≤R 627，∴(r 2h )2≤4R 627. ∴r 2h ≤23R 39. ∵V ＝13πr 2h ，∴V ≤13π23R 39＝23πR 327. ∴容积最大为23πR 327.此时12r 2＝h 2，∴h ＝22r . ∵r 2＋h 2＝R 2，∴r ＝63R .∴2πr ＝(360°－θ)πR 180°. ∴θ＝(360－1206)°.。

答 1.相矛盾的结论 假设不正确 反证法 案 2.证明的目的 放缩法
探究 1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？
提示：用反证法证明不等式要把握三点： (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多 种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是 不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根 据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结 论的反面出发进行论证，就不是反证法．
反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放 大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不 等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判 断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技 巧，也是放缩法中的主要形式．
1.反证法 对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明．用反证法 证明数学命题，实际上是证明逆否命题成立，来代替证明原命题成立， 用反证法证明步骤可概括为“否定结论，推出矛盾”． (1)否定结论：假设命题的结论不成立，即肯定结论的反面成立．
1.反证法 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件， 应用公理、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题条件(或 已证明过的定理、性质、明显成立的事实等)__________，以说 明____________________，从而证明原命题成立，我们把它称 为________．
2．放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩 小 ，简 化 不等 式 ，从 而 达到 ________ ， 我们 把 这种 方 法称 为 ________.
(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与 已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、 公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导 出的矛盾必须是明显的．
探究 2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？