二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题范文

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

考 点 串 串 讲

1．二元一次不等式表示平面区域

(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．

(2)用二元一次不等式表示平面区域，常有一定的规律性，大致可分为以下四种情况(如图所示)．

(3)关于二元一次不等式表示平面区域的几点说明：

①用集合的观点和语言分析直线和二元一次不等式所表示的平面区域。

②Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0的某一侧的平面区域，不包括边界；Ax＋By＋C≥0表示的是直线Ax＋By＋C＝0及直线某一侧的平面区域，包括边界．

③画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法；特别地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．

④二元一次不等式组所表示的平面区域为各个不等式所表示的平面点集的交集，即公共部分．

⑤在直线l：Ax＋By＋C＝0外任取两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．若P、Q在直线l的同一侧，则Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C同号；若P、Q在直线l异侧，则Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C异号．这个规律可概括为“同侧同号，异侧异号”．

2．线性规划

(1)线性规划的有关概念

①约束条件：由x、y的不等式(或方程)组成的不等式或等式混合组，是x，y的约束条件．

②线性约束条件：关于x、y的一次不等式(或方程)组成的不等式或等式混合组，是x，y的线性约束条件．

③目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式．

④线性目标函数：目标函数为x、y的一次解析式．

⑤线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．

⑥可行解：满足线性约束条件的解(x，y)．

⑦可行域：所有可行解组成的集合．

⑧最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

(2)求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤：

①作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l.

②平移：将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．

③求值：解有关的方程组求出最优解，再代入目标函数，求出目标函数的最值．

(3)关于线性规划的几点说明：

①最优解有时唯一，有时不唯一，甚至是无穷多．

②对于二元一次不等式组所表示的区域，如果存在使线性目标函数达到最大或最小的点，那么最值一定是在该区域的顶点或边界上达到．

(4)求目标函数z＝ax＋by的最值，要把z与直线y＝－abx＋zb的截距联系起来去理解． (5)线性规划的图解法及其应用．

图解法的步骤：

①求可行解——即可行域．

将约束条件中的每一个不等式，当作等式作出相应的直线，并确定原不等式表示的半平面，然后求出所有半平面的交集，即为可行解(可行域)．

②作出目标函数的等值线．

目标函数z＝ax＋by(a、b∈R且a、b为常数)，当z是一个指定的常数时，就表示一条直线．位于这条直线上的点，具有相同的目标函数值z，因此称之为等值线．当z为参数时，就得到一组平行线，这一组平行线完全刻画出目标函数z的变化状态．

③求出最终结果．

在可行域内平行移动目标函数等值线，从图中能判定问题是有唯一最优解，或是有无穷最优解，或是无最优解．

3．线性规划的实际应用

(1)在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：①在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务．②给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．

(2)线性规划中的常见问题：①物资调运问题 ；②产品安排问题；③合理下料问题；④配方问题．

(3)利用线性规划解决实际问题的一般步骤为：①模型建立；②模型求解； ③模型应用．

(4)关于线性规划的实际应用的几点说明：

①解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能地准确，图上操作尽可能规范．

②因作图有误差，若图上的最优点并不明显易辨，求不出可能是最优点的坐标.

典 例 对 对 碰

题型一 二元一次不等式组表示平面区域

例1如图，在△ABC中，A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组．

分析 首先写出△ABC三边所在直线方程，然后再根据区域确定不等式组．

解析 解法一：由两点式得AB、BC、CA直线方程并化简为：

AB：x＋2y－1＝0，BC：x－y＋2＝0，

AC：2x＋y－5＝0.

∴原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为

 x＋2y－1≥0，x－y＋2≥0，2x＋y－5≤0.

解法二：由AB的方程及三角形区域在AB上方，

根据“同号在上”原则，得不等式x＋2y－1≥0.

由BC的方程及三角形区域在BC下方，

根据“异号在下”原则，得不等式x－y＋2≥0.

同理得2x＋y－5≤0，从而得不等式组．

点评 判断二元一次不等式组表示的平面区域可直接利用上述“同号在上，异号在下”的结论直接判断.

变式迁移1

画出不等式组 x－2y＋1＞0，x＋2y＋1≥0，1＜|x－2|≤3表示的平面区域． 解析 不等式x－2y＋1＞0表示直线x－2y＋1＝0右下方的点的集合；

不等式x＋2y＋1≥0表示直线x＋2y＋1＝0上及其右上方的点的集合；

不等式1＜|x－2|≤3，可化为－1≤x＜1或3＜x≤5，它表示夹在两平行线x＝－1和x＝1之间或在两平行线x＝3和x＝5之间的带状区域，但不包括直线x＝1和x＝3上的点．

所以，原不等式组表示的区域如图所示．

题型二 线性目标函数的最值问题

例2已知x，y满足 3x＋8y＋15≥0，5x＋3y－6≤0，2x－5y＋10≥0，则z＝x－y的取值范围是________．

解析 先画出约束条件的可行域，如图所示，

由 3x＋8y＋15＝0，5x＋3y－6＝0，得B(3，－3)，

由 3x＋8y＋15＝0，2x－5y＋10＝0，得A(－5,0)．

当z为常数时，－z表示直线z＝x－y在y轴上的截距，如图所示；

当点(x，y)位于A点时，－z取最大值，

∴zmin＝－5－0＝－5；

当点(x，y)位于B点时，－z取最小值；

∴zmax＝3－(－3)＝6.

综上所述，目标函数z的取值范围是[－5,6]．

答案 [－5,6]

点评 线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界上取得，具体方法是：将表示目标函数的直线平行移动，最先(或最后)通过的区域内的点便是最优解．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某边重合时，其最优解可能有无数个.

变式迁移2

设z＝2y－2x＋4，式中x、y满足条件 0≤x≤1，0≤y≤2，2y－x≥1.求z的最大值和最小值．

解析 作出满足不等式组 0≤x≤1，0≤y≤2，2y－x≥1.的可行域(如图所示)．

作直线l：2y－2x＝t，

当l经过点A(0,2)时，zmax＝2×2－2×0＋4＝8；

当l经过点B(1,1)时，zmin＝2×1－2×1＋4＝4.

题型三 平面区域的面积问题

例3在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为( ) A．2 B．1

C.12 D.14

解析 令 u＝x＋y，v＝x－y，∴ u≤1，u＋v≥0，u－v≥0，通过画图不难得知不等式组对应的平面区域的面积S＝12×2×1＝1.故选B.

答案 B

点评 求线性平面区域的面积可以先根据不等式组画出相应的平面区域，再求出相应的顶点坐标，根据图形的特点解决问题．若图形是不规则的多边形，一般是划分为几个三角形分别求面积再相加．在划分时

尽量多构造直角三角形，这样可以降低运算难度.

变式迁移3

求不等式|x|＋|y|≤2表示的平面区域的面积．

解析 |x|＋|y|≤2可化为：

 x≥0，y≥0，x＋y≤2.或 x≥0，y≤0，x－y≤2.

或 x≤0，y≥0，－x＋y≤2.或 x≤0，y≤0，－x－y≤2.

其平面区域如图所示．

∴面积S＝12×4×4＝8.

题型四 利用可行域求非线性函数的最值

例4．已知x，y满足条件 4x＋2y－7≥0，x－2y＋2≥0，3x－y－4≤0，试求z＝x2＋y2＋2x＋4y的取值范围．

解析 如图所示作出约束条件所表示的平面区域△ABC，

易求A(2,2)、B(1，32)、C(32，12)，

因为x2＋y2＋2x＋4y＝＋＋＋－5，

又因为方程Z＝(x＋1)2＋(y＋2)2表示的曲线为以点D(－1，－2)为圆心，半径为Z的圆，

所以观察图，知当圆过A点时，Z取得最大值5.

过D作DE⊥BC于E，易知kDE＝12，

从而知直线DE的方程为x－2y－3＝0，

由 x－2y－3＝0，4x＋2y－7＝0，⇒ x＝2，y＝－12， 即点E的坐标为(2，－12)，显然E在线段BC的延长线上，从而知当圆过点C时，Z取得最小值522，

故z＝x2＋y2＋2x＋4y的取值范围为[302，25]．

点评 利用线性规划思想去理解高中数学中的一些最值问题，实际上是对数形结合思想的提升，利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图解决最值问题，是从一个新的角度对求最值问题的理解，对于同学们最优化思想的形成是非常有益的.

变式迁移4

已知x，y满足条件 2x＋y－5≥03x－y－5≤0x－2y＋5≥0且z＝(x＋1)2＋(y＋1)2

在什么时候z取得最大值、最小值，最大值、最小值各是多少？

解析 作出可行域如图

解方程组 2x＋y－5＝03x－y－5＝0得A(2,1)

解方程组 3x－y－5＝0x－2y＋5＝0得B(3,4)

z＝(x＋1)2＋(y＋1)2的几何意义为可行域内的点(x，y)为点(－1，－1)的距离的平方

显然当圆过A点时半径最小，最小值为13，圆过B点时半径最大，最大值为41.

题型五 可行域与斜率的最值问题

例5若实数x、y满足 x－y＋1≤0，x＞0，y≤2，则yx的取值范围是( )

A．(0,2) B．(0,2]

C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)

解析 不等式组 x－y＋1≤0，x＞0，y≤2，表示的平面区域为如图所示的△ABC及其内部(不包括边AC)，yx表示点(x，y)与原点O连线的斜率，

当点(x，y)在B处时，yx有最小值21＝2.

当点(x，y)由B在区域内向左移动时yx越来越大，故yx的取值范围是[2，＋∞)． 答案 D

变式迁移5