新北师大版九年级数学上册1.3.2正方形的判定导学案

1.3 正方形性质与判定第1课时正方形性质1. 在对平行四边形.矩形.菱形认识基础上探索正方形性质，并能运用正方形性质进行证明与计算.（重难点）2. 进一步了解平行四边形.矩形.菱形及正方形之间相互关系，并形成文本信息与图形信息相互转化能力.阅读教材P20〜21,完成下列问题：（一）知识探究1. 有________ 相等并且有一个角是 _____________________ W做正方形.2. 正方形既是_________ 是 ________ ，它既具有_________ 性质，又有________ 性质.3. 正方形________ 目等，都是________ , ________ 目等.4. 正方形对角线___________________________ .（二）自学反馈正方形性质：1. 边：________ E相等且 _______ .2. 角：四个角都是________ .3. 对角线：两条对角线互相________ 且________ ，并且每一条对角线平分________ .4. 正方形既是_________ 图形，又是________ 图形，正方形有________ 对称轴.活动1小组讨论例如图，在正方形ABCD中, E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE= CF.BE与DF之间有怎样关系？请说明理由.解：BE= DF,且BE!DF.理由如下:如图，延长BE交DF于点M.T四边形ABC兎正方形，二BC= DC / BCE= 90° （正方形四条边都相等，四个角都是直角）.•••/ DC十180°—/ BCE= 180°—90°= 90° .•••/ BCE=Z DCF.又T CE= BCE^A DCF.•B E= DF,DC= 90°,^Z CD印/ F= 90:丄 CB曰/ F= 90° .•/BM= 90°.• BE! DF.顷换本题是通过证明厶BCE^A DCF来得到BE与DF之间关系, 证明三角形全等是解决这一类型问题常用做法.活动2跟踪训练1. 菱形，矩形，正方形都具有性质是（）A.对角线相等且互相平分B. 对角线相等且互相垂直平分C.对角线互相平分D. 四条边相等，四个角相等2. 正方形面积为36，则对角线长为（）A.6B.6C.9D.93. 如图，菱形ABC［中，/ B= 60°, AB= 4,则以AC为边长正方形ACEF周长为（）A. 14B.15C.16D.174. _________ 如图，延长正方形ABC［边BC至E,使CE= AC连接AE交CD于F, 则/ AFC= ° .5. 如图，正方形ABCD寸角线AC.BD交于点Q / OCF=Z OBE求证:OE= OF.活动3课堂小结边：正方形的四条边都相等且对边平行.角：正方形的四个角都是直角.正方形对角线：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等, 的性质每一条对角线平分一组对角.对称：既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有四条对称轴，其对角线交点为对称中心.【预习导学】（一）知识探究1. 一组邻边直角平行四边形2.矩形菱形矩形菱形3. 四个角直角四条边4.相等且互相垂直平分（二）自学反馈1. 四条边对边平行2.直角3.垂直平分相等一组对角4. 中心对称轴对称四条【合作探究】活动2跟踪训练1. C2.B3.C4.112.55. 证明：T四边形ABCD是正方形，二ACL BD, OB= OC.:丄 AOB=Z BOC= 90° .又T/ OB匡/ OCF 二△ OBE^A OCF.「. OE =OF.第2课时正方形判定1. 掌握正方形判定定理，并能综合运用特殊四边形性质和判定解决问题.（重难点）2. 发现决定中点四边形形状因素，熟练运用特殊四边形判定及性质对中点四边形进行判断.阅读教材P22〜24,完成下列问题：（一）知识探究1. 对角线相等________ 正方形.2. 对角线垂直________ 正方形.3. 有一个是直角_________ 正方形.（二）自学反馈1.已知四边形ABCD K/ A=Z B=Z C= 90。

第2课时 正方形的判定一、学习准备：（1）正方形是怎样的平行四边形？ （2）正方形是怎样的矩形？ （3）正方形是怎样的菱形？（4）判定一个平行四边形是正方形，还应具备什么条件？ （5）判定一个矩形是正方形还应具备什么条件？ （6）判定一个菱形是正方形还应具备什么条件？正方形的判定方法 （1）有一组_____________的矩形是正方形。

（2）有一个_____________的菱形是正方形。

注：判定正方形的一般顺序：先证明它是平行四边形→再证明它是菱形（或矩形）→最后证明它是正方形。

二、学习目标：1. 掌握正方形的判定方法。

2. 运用正方形的性质和判定进行有关的论证和计算。

三、自学提示： （一）自主学习：1、下列说法中错误的是（ ）A 、对角线相等的菱形是正方形B 、有一组邻边相等的矩形是正方形C 、四条边都相等的四边形是正方法D 、有一个角为直角的菱形是正方形2、已知四边形两对角线：②相等；③互相平分。

具备条件____可得平行四边形；具备条件_______可得矩形；具备条件_______ 可得是菱形；具备条件________可得正方形。

（填序号） （二）合作探究：3、已知四边形ABCD 是菱形，当满足条件_________时，它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即可).4、在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F 。

求证：（1）四边形CFDE 是平行四边形。

（2）四边形CFDE 是矩形或菱形（任选一项）。

（3）四边形CFDE 是正方形。

四、学习小结： 五、夯实基础：1、在箭头上填上适当的条件 （2、在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，当有_________________条件时，可判定它是正方形。

3、下列判断正确的是（ ）A 、四边相等的四边形是正方形B 、四个角相等的四边形是正方形C 、对角线互相垂直的平行四边形是正方形D 、对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形4、如图，已知E 、F 、G 、H 分别是正方形ABCD 四条边上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH 。

1.3 第2课时正方的判定教案课程信息•科目：数学•年级：九年级上册•出版社：北师大版•学年：2022—2023教学目标通过本课的学习，学生将能够：1.理解正方的判定的概念和基本原理；2.掌握判断一个四边形是否是正方形的方法；3.运用正方的判定解决实际问题。

教学重点•判断四边形是否是正方形的方法；•运用正方的判定解决实际问题。

教学难点•运用正方的判定解决实际问题。

教学准备•教师：课件、黑板、粉笔•学生：课本、笔记工具教学过程导入新课1.引导学生回顾上节课的内容，并强调正方的定义和性质。

2.提出问题：如何判断一个四边形是否是正方形？请思考并做好笔记。

讲解正方的判定方法1.展示一张图示例四边形ABCD，并说明AB=BC=CD=DA。

2.引导学生思考：如果四边形ABCD的四条边相等，是否可以判断它是正方形？请学生回答并展示出他们的思考过程。

3.解释四边形ABCD的四条边相等只是正方形的一个充分条件，并非必要条件。

即四边形ABCD的四条边相等是正方形的必要但不充分条件。

4.引导学生回顾上节课学习的平行与垂直关系，引导学生发现四边形ABCD的四个内角都是直角。

5.解释四边形ABCD的四个内角都是直角是正方形的一个充分条件，并非必要条件。

即四边形ABCD的四个内角都是直角是正方形的必要但不充分条件。

6.提示学生思考：如何结合四边形ABCD的四条边相等和四个内角都是直角的充分条件来判断是否是正方形？请学生回答并进行讨论。

进行实际问题讨论1.给出一个实际问题：某城市的一个广场是一个规则的几何图形，边长为10米，四个顶点分别是A、B、C、D，请判断这个几何图形是什么？2.引导学生思考并给出问题的解决思路。

3.学生进行小组合作，共同思考和讨论。

4.学生展示并互相评价各组的解决思路和答案。

5.整理和总结解决问题的方法和步骤。

6.提供另一个实际问题，并引导学生运用正方的判定解决问题。

教学延伸1.让学生制作一个简单的正方形模型，以更直观地感受正方的特征。

第2课时 正方形的判定一、学习准备：（1）正方形是怎样的平行四边形？ （2）正方形是怎样的矩形？ （3）正方形是怎样的菱形？（4）判定一个平行四边形是正方形，还应具备什么条件？ （5）判定一个矩形是正方形还应具备什么条件？ （6）判定一个菱形是正方形还应具备什么条件？正方形的判定方法 （1）有一组_____________的矩形是正方形。

（2）有一个_____________的菱形是正方形。

注：判定正方形的一般顺序：先证明它是平行四边形→再证明它是菱形（或矩形）→最后证明它是正方形。

二、学习目标：1. 掌握正方形的判定方法。

2. 运用正方形的性质和判定进行有关的论证和计算。

三、自学提示： （一）自主学习：1、下列说法中错误的是（ ）A 、对角线相等的菱形是正方形B 、有一组邻边相等的矩形是正方形C 、四条边都相等的四边形是正方法D 、有一个角为直角的菱形是正方形2、已知四边形两对角线：②相等；③互相平分。

具备条件____可得平行四边形；具备条件_______可得矩形；具备条件_______ 可得是菱形；具备条件________可得正方形。

（填序号） （二）合作探究：3、已知四边形ABCD 是菱形，当满足条件_________时，它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即可).4、在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F 。

求证：（1）四边形CFDE 是平行四边形。

（2）四边形CFDE 是矩形或菱形（任选一项）。

（3）四边形CFDE 是正方形。

四、学习小结： 五、夯实基础：1、在箭头上填上适当的条件 （2、在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，当有_________________条件时，可判定它是正方形。

3、下列判断正确的是（ ）A 、四边相等的四边形是正方形B 、四个角相等的四边形是正方形C 、对角线互相垂直的平行四边形是正方形D 、对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形4、如图，已知E 、F 、G 、H 分别是正方形ABCD 四条边上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH 。

新北师大版九年级数学上册1.3.2正方形的判定导学案【教学目标】知识与技能1．能进一步理解掌握正方形的判定定理．2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．过程与方法1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力．2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用． 3．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法．情感、态度与价值观1．通过知识的迁移、类比、转化，激发学生探索新知识的积极性和主动性． 2．体会数学与生活的联系．【教学重难点】教学重点特殊四边形―― 正方形的判定定理的灵活应用．教学难点特殊四边形―― 正方形的判定定理的灵活应用．【导学过程】【创设情景，引入新课】回顾正方形有哪些性质【自主探究】：自学，明确正方形的性质定理和判定定理的灵活应用．Ⅱ．解决问题：下面大家来猜一猜，想一想依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形．那么，依次连接正方形各边的中点．(如图)能得到―个怎样的图形呢?先猜一猜，再证明．依次连结正方形各边的中点得到的四边形是正方形．证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°， AB＝BC＝CD＝DA．又∵A1、B1、C1、D1分别是边AB、BC、CD、DA的中点。

∴AA1＝BA＝BB1＝B1C ＝CC1＝C1D＝DD1＝D1A．∴△AD1A1≌△BA1B1≌△CB1C1≌△DC1D1．∴A1B1＝B1C1＝C1D1＝D1A1．∵∠A＝∠B＝90°， AA1＝AD1，A1B=BB1，∴∠AA1D1=∠BA1B1=45°．∴∠D1A1B1＝90°．∴四边形A1B1C1D1是正方形．这个题是先证明了四边形A1B1C1D1的四条边相等，即是菱形，然后又证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边形A1B1C1D1是正方形．【课堂探究】已知:如图,点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AF= BG= CH= DE。

1.3 正方形的性质和判定
【学习目标】
课标要求：
1在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质，体验数学发现的过程，并得出正确的结论．
2、进一步了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．
目标达成：
1学会正方形的定义及性质
2、正方形的性质应用
学习流程：
【课前展示】
问题：将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样
剪才能剪出一个正方形？
【创境激趣】
因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形，因此只要保证剪口线与折痕成45°角即可。

【自学导航】
1、正方形的判定定理：
1.对角线相等的菱形是正方形。

2.对角线垂直的矩形是正方形。

3.有一个角是直角的菱形是正方形。

【合作探究】
教师可以课件展示下面的框架图，复习巩固平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系。

【展示提升】
典例分析知识迁移：
【强化训练】
1、取各边中点，顺次连接，组成什么图形？
2、A
C
E G
H
A
B C
E G
B
A
B
D
E G
B
H
A
B C
D
E
F
G
H
A
B C
D
E
F
G
H
【归纳总结】
1、正方形的性质
2、正方形的判定
【板书设计】
1.3正方形的性质判定判定例2
【教学反思】。

九年级数学上册《1.3.2正⽅形的判定》导学案（新版）北师⼤版1.3.2 正⽅形的判定学习⽬标：1.扎实掌握正⽅形的判定定理，并会运⽤判定定理解决简单问题．2. .通过探究正⽅形判定定理的过程，理清平⾏四边形，矩形，菱形，正⽅形之间的区别和联系。

学习过程：⼀、复习回顾：1.____________________________ _____叫做正⽅形。

在矩形ABCD中________________的四边形ABCD是正⽅形。

3.正⽅形具有⽽矩形没有的性质是_____________、_____________、______________。

正⽅形具有⽽菱形没有的性质是______________、_________________，正⽅形具有⽽平⾏四边形形没有的性质是___________________、___________________、___________________、⼆、⾃学课本（第22-23页）探究⼀怎样判定⼀个图形是正⽅形?1.如果⼀个菱形是正⽅形，还需添加什么条件？答：如果⼀个矩形是正⽅形，还需添加什么条件？答：如果⼀个平⾏四边形是正⽅形，还需添加什么条件？答：归纳：2.判定⼀个四边形是正⽅形的主要依据是定义。

⽅法有两条 (1)先证它是形,再证有⼀组邻边 ;(2)先证它是形,再证有⼀个⾓是。

三、⾃学检测1.下列说法是否正确，并说明理由．①有⼀个⾓为直⾓的菱形是正⽅形；（）②四个⾓相等的四边形是正⽅形．（）③四条边都相等的四边形是正⽅形；（）④有⼀组邻边相等的矩形是正⽅形；（）⑤对⾓线垂直且相等的四边形是正⽅形（）⑥对⾓线相等的菱形是正⽅形；（）⑦对⾓线互相垂直的矩形是正⽅形；（）⑧对⾓线互相垂直平分的四边形是正⽅形；（）2.已知：分别延长等腰直⾓三⾓形OAB的两条直⾓边A O 和BO ，使AO=OC，BO=OD，求证：四边形ABCD是正⽅形。

A B E H D G C F A EB FC GD H3.已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，C D 平分∠ACB，DE⊥BC 于E ，DF⊥AC 于F ．求证：四边形CFDE 是正⽅形．4.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 、F 是BC 、AB,AC 的中点，连接DE 、DF,（1）求证：DE=DF ．（2）你能添加⼀个条件，使四边形EDFA 是正⽅形吗？若能，请证明。

北师大版九年级数学上册第一章 1.3.2正方形的判定 导学案预习目标1．掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题．2．发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断．预习导学阅读教材P22～24，完成下列问题：(一)知识探究1．对角线相等的________是正方形．2．对角线垂直的________是正方形．3．有一个是直角的________是正方形．(二)自学反馈1．已知四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )A ．∠D ＝90°B ．AB ＝CDC ．AD ＝BC D ．BC ＝CD2．下列命题正确的是( )A ．两条对角线相等的菱形是正方形B ．对角线与一边的夹角是45°的四边形是正方形C ．两邻角相等，且有一角是直角的四边形是正方形D ．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形3．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )A ．AC ＝BD ，AB ∥CD ，AB ＝CDB ．AD ∥BC ，∠A ＝∠CC ．AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BDD ．AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC4．如图，将一张矩形纸片ABCD 折叠，使AB 落在AD 边上，然后打开，折痕为AE ，顶点B 的落点为F.则四边形ABEF 是________形．例题讲解活动1 小组讨论例 如图，在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ，BF ∥CE ，CF ∥BE.求证：四边形BECF 是正方形．证明：∵BF ∥CE ，CF ∥BE ，∴四边形BECF 是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，∠DCB ＝90°.又∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ，∴∠EBC ＝12∠ABC ＝45°，∠ECB ＝12∠DCB ＝45°. ∴∠EBC ＝∠ECB.∴EB ＝EC.∴平行四边形BECF是菱形．在△EBC中，∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，∴∠BEC＝90°.∴菱形BECF是正方形．提示：掌握平行四边形、矩形、菱形成为正方形所需要的条件是解决这类问题的关键．活动2 跟踪训练1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，求证：四边形BEDF是正方形．2．如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CG＝DH，四边形EFGH是什么图形？证明你的结论．3．如图所示，点E，F，G，H分别是CD，BC，AB，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．活动3 课堂小结1．对角线相等的菱形是正方形；2．对角线垂直的矩形是正方形；3．有一个角是直角的菱形是正方形．参考答案【预习导学】(一)知识探究1．菱形 2.矩形 3.菱形(二)自学反馈1．D 2.A 3.C 4.正方【合作探究】活动2跟踪训练1．证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，DF⊥AB，∴四边形BEDF是矩形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF.∴四边形BEDF是正方形．2．四边形EFGH 是正方形．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA.∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴HA ＝EB ＝FC ＝GD.∵∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，∴Rt △AEH ≌Rt △BFE ≌Rt △CGF ≌Rt △DHG.∴HE ＝EF ＝FG ＝GH.∴四边形EFGH 是菱形．又∠AHE ＝∠BEF ，∠AHE ＋∠AEH ＝90°，∴∠BEF ＋∠AEH ＝90°.∴∠HEF ＝90°.∴四边形EFGH 是正方形．3．证明：连接BD.∵点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点，∴EF 是△BCD 的中位线，GH 是△ABD 的中位线．∴EF ∥BD ，EF ＝12BD ，GH ∥BD ，GH ＝12BD.∴EF ∥GH ，EF ＝GH.∴四边形EFGH 是平行四边形．。

.... 第2课时 正方形的判定教学目标 1、 熟练掌握正方形的判定2、 利用判定定理解决相关问题一、 课前准备：温故：（1）正方形是怎样的平行四边形？（2）正方形是怎样的矩形？（3）正方形是怎样的菱形？（4）判定一个平行四边形是正方形，还应具备什么条件？（5）判定一个矩形是正方形还应具备什么条件？（6）判定一个菱形是正方形还应具备什么条件？二、 初步探究1、宁宁在商场看中了一块正方形纱巾，但不知是否是正方形，只见售货员阿姨拉起纱巾的一组对角，另一组对角能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起纱巾的另一组对角，剩下的那组对角也能完全重合.阿姨认为这样就能证明纱巾是正方形，把纱巾给了宁宁，你认为宁宁手上的纱巾一定是正方形吗？ （说说自己的证明办法）三：巩固新知1、判断对错：（1）如果一个菱形的两条对角线相等，那么它一定是正方形. （ ）（2）如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么它一定是正方形.（ ）（3）两条对角线互相垂直平分且相等的四边形，一定是正方形. （ ）（4）四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形. （ ）2、已知：点E 、F 、G 、H 分别是正方形ABCD 四条边上的中点，并且E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点.求证：四边形EFGH 是正方形.一个角是直角一组邻边相等一组邻边相等一个角是直角对角线互相垂直相等 对角线相等 A B CD EF G H3、自己完成课本P23的议一议四、小结1.正方形的判定方法.2.了解正方形、矩形、菱形之间的联系与区别，体验事物之间是相互联系但又有区别的辩证唯物主义观点.3.本节的收获与疑惑.五：课时作业....。

九年级数学导学案班级：姓名: 【学习课题】§1.3正方形的性质与判定（一）【学习目标】1.理解正方形的概念.2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.【学习重点】探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.【学习难点】会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.【学习过程】一、温故知新2、已知正方形ABCD，观察并猜想，写出你能发现的相等的线段、相等的角、特殊的三角形.相等的角、特殊的三角形.相等的线段：相等的角：等腰三角形：直角三角形：全等三角形：二、探究新知【探究一】正方形的定义：的平行四边形叫做正方形。

将四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形填入右图中。

【探究二】正方形的性质定理：正方形的四个角都是，四条边。

定理：正方形的对角线且。

三、应用提升例1、如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.变式训练：如图，四边形ABCD和DEFG都是正方形，试说明AE=CG。

AB CDEFG性质对称性边角对角线周长面积矩形菱形直击中考：（2018•武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是．四、归纳小结1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）（A）四条边相等（B）对角线互相垂直平分（C）对角线相等（D）对角线平分一组对角2、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）（A）四个角相等（B）对角线互相垂直平分（C）对角线相等（D）对角互补3、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的周长为cm。

4、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=AC，连结AE交CD于F，则∠E=____，∠AFC=____。

5、如图，在正方形ABCD中，两条对角线相交于O点，OA=2，求正方形ABCD的面积。