九年级数学正方形的性质

专题22 正方形1．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2．正方形的性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；（2）正方形的四个角都是直角,四条边都相等；（3）正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角；（4）正方形是轴对称图形,有4条对称轴；（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3．正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种：先证它是矩形,再证有一组邻边相等。

即有一组邻边相等的矩形是正方形先证它是菱形,再证有一个角是直角。

即有一个角是直角的菱形是正方形。

4．正方形的面积：设正方形边长为a,对角线长为b ,S正方形=222ba【例题1】（2019湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A＝90°,BD＝4,CF＝6,则正方形ADOF的边长是（）A．√2B．2C．√3D．4专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题2】（2019•四川省凉山州）如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是OC上一点,连接E B．过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．一、选择题1．（2019内蒙古包头）如图,在正方形ABCD中,AB＝1,点E,F分别在边BC和CD上,AE＝AF,∠EAF＝60°,则CF的长是（）A．B．C．﹣1D．2．（2019湖南张家界）如图,在平面直角坐标系中,将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019,那么点A2019的坐标是（）A．（,﹣）B．（1,0）C．（﹣,﹣）D．（0,﹣1）3.（2019•四川省广安市）把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（）专题典型训练题()A61()B31()C51()D414.（2019•贵州省铜仁市）如图,正方形ABCD中,AB＝6,E为AB的中点,将△ADE沿DE翻折得到△FDE,延长EF交BC于G,FH⊥BC,垂足为H,连接BF、DG．以下结论：①BF∥ED；②△DFG≌△DCG；③△FHB∽△EAD；④tan∠GEB＝；⑤S△BFG＝2.6；其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5\5．（2019黑龙江省绥化）如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线AC上的两个动点,P是正方形四边上的任意一点,且AB＝4,EF＝2,设AE＝x．当△PEF是等腰三角形时,下列关于P点个数的说法中,一定正确的是（）①当x＝0（即E、A两点重合）时,P点有6个②当0＜x＜42﹣2时,P点最多有9个③当P点有8个时,x＝22﹣2④当△PEF是等边三角形时,P点有4个A．①③B．①④C．②④D．②③二、填空题6．（2019湖南邵阳）公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”．如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是.127．（2019湖南张家界）如图：正方形ABCD的边长为1,点E,F分别为BC,CD边的中点,连接AE,BF交于点P,连接PD,则tan∠APD＝．8.（2019•湖北省随州市）如图,已知正方形ABCD的边长为a,E为CD边上一点（不与端点重合）,将△ADE 沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF．给出下列判断：①∠EAG=45°；②若DE=a,则AG∥CF；③若E为CD的中点,则△GFC的面积为a2；④若CF=FG,则DE=（-1）a；⑤BG•DE+AF•GE=a2．其中正确的是______．（写出所有正确判断的序号）9．（2019福建）如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）10.（2019•四川省凉山州）如图,正方形ABCD中,AB＝12,AE＝AB,点P在BC上运动（不与B、C重合）,过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为．11. （2019•广东广州）如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动（不与点A,B重合）,∠DAM＝45°,点F在射线AM上,且AF＝BE,CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG,则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值a2．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）12.（2019·广西贺州）如图,正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点,AF平分∠BAE交BC于点F,将△ADE 绕点A顺时针旋转90°得△ABG,则CF的长为．13．（2019•山东青岛）如图,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF．若AD＝4cm,则CF的长为cm．14.（2019江苏镇江）将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图）,使得点D 落在对角线CF 上,EF 与AD 相交于点H ,则HD＝ ．（结果保留根号）15．（2019辽宁抚顺）如图,在2×6的网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,网格中小正方形的顶点叫格点,点A ,B ,C 在格点上,连接AB ,BC ,则tan ∠ABC ＝ ．三、解答题16．（2019湖南湘西州）如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边CD ,AD 上,且AF ＝CE ．（1）求证：△ABF ≌△CBE ；（2）若AB ＝4,AF ＝1,求四边形BEDF 的面积．17. (2019海南)如图,在边长为1的正方形ABCD 中,E 是边CD 的中点,点P 是边AD 上一点(与点A,D 不重合),射线PE 与BC 的延长线交于点Q.第10题图HGFEDCBA(1)求证:△PDE≌△QCE;(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连接AF,当PB＝PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.18．（2019湖南株洲）如图所示,已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点,连接CE、DG．（1）求证：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD,正方形ABCD的边长为2,线段AD与线段OG相交于点M,AM＝12,求正方形OEFG的边长．19.（2019•湖北省仙桃市）如图,E,F分别是正方形ABCD的边CB,DC延长线上的点,且BE＝CF,过点E作EG ∥BF,交正方形外角的平分线CG于点G,连接GF．求证：（1）AE⊥BF；（2）四边形BEGF是平行四边形．20．（2019•山东泰安）如图,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF＝90°,FG ⊥AD,垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点,GH与DH垂直吗？若垂直,给出证明；若不垂直,说明理由．21．（2019湖北襄阳）（1）证明推断：如图（1）,在正方形ABCD中,点E,Q分别在边BC,AB上,DQ⊥AE于点O,点G,F分别在边CD,AB上,GF⊥AE．①求证：DQ＝AE；②推断：的值为；（2）类比探究：如图（2）,在矩形ABCD中,＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠,使点A落在BC 边上的点E处,得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系,并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下,连接CP,当k＝时,若tan∠CGP＝,GF＝2,求CP的长．。

初三数学正方形的性质一、教学目标：了解正方形与平行四边形的关系；认识正方形的特征。

二、教学重点：熟练掌握正方形的性质教学难点：利用正方形的性质解决实际问题三、讲授新课（一）复习导入（二）讲授新课1、正方形的定义：矩形是的平行四边形，菱形是平行四边形而：有一个角是直角，且有一组邻边相等的是正方形。

2、正方形的性质：（在旁边空白处画一个正方形，并能过观察或度量归纳正方形的特征）（1）边：（2）角：（3）对角线：3、性质（几何语言）DCEBA4、矩形，菱形，正方形都是的平行四边形。

(三)课堂练习：1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A 对角线互相平分 C 对角线相等B 内角和为360º D 对角线平分内角 2、正方形具备而矩形不一定具备的性质是（ ）A 四个角都是直角 C 四条边相等B 对角线相等 D 对角线互相平分 第5、7题 3、下列说法错误的是（ ）A 正方形的四条边相等B 正方形的四个角相等C 平行四边形对角线互相垂直D 正方形的对角线相等4、在正方形ABCD 中，AO ＝5，则BO ＝ ，BD ＝ ；∠ABC= °5、如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，则_______ABD ∠=，________DAC ∠=，________DOC ∠=。

6、正方形的边长是5cm 时，它的周长是 ，面积是 。

7、如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O 点，3AB cm =，则_________AC =，正方形ABCD 的周长是 ，正方形的面积是 。

8、已知正方形ABCD 的一条对角线4AC cm =，则它的边长是 ，周长是 。

9、已知正方形的两条对角线的和为8cm ，则它的边长为 ，面积为 。

10、（1）已知正方形的对角线长是42cm ，则它的边长是_____cm （2）已知正方形的边长是42cm ，则它的对角线长是_____cm 11、在下列图中，有多少个正方形？有多少个矩形？正方形分别有 ；矩形分别有 。

小学数学易考知识点正方形的性质小学数学易考知识点-正方形的性质正方形是小学数学中的一个基本几何图形，它具有特殊的性质。

掌握正方形的性质，对于解决与正方形相关的数学问题至关重要。

本文将依次介绍正方形的定义、性质及应用。

一、正方形的定义正方形是一种特殊的四边形，它的所有边相等且都垂直相交，同时也是一个平行四边形。

正方形的特殊性质决定了它在数学中的重要地位。

二、正方形的性质1. 边长的性质正方形的四条边都相等，当给定正方形的边长为a时，可以表示为s=4a，其中s表示正方形的周长。

2. 内角的性质正方形的四个内角均为直角（90度）。

这意味着正方形的内部是一个直角平行四边形，任意两个相邻内角之和为180度。

3. 对角线性质正方形的对角线相等且互相垂直。

设正方形的对角线长度为d，则根据勾股定理可以得到d的值，即d=a√2，其中a为正方形的边长。

4. 面积的性质正方形的面积可以通过边长计算得出，公式为A=s^2，其中A表示正方形的面积，s表示正方形的边长。

三、正方形的应用正方形的特殊性质在日常生活和数学问题中有广泛的应用。

1. 建筑设计在建筑设计中，正方形常常被用于规划建筑物的布局。

例如，某个建筑场地以正方形的形式规划，可以使得空间利用更加合理，结构更加牢固。

2. 图案设计正方形在图案设计中也经常出现。

通过排列不同颜色或图案的正方形，可以创作出各种美观的图案，如著名的蒙德里安风格。

3. 数学问题正方形的性质在解决与正方形相关的数学问题时非常有用。

例如，在计算正方形的面积时可以应用面积公式。

另外，如果已知一个图形是正方形，可以根据正方形的性质判断出其它未知信息，解决各种几何问题。

四、总结正方形是小学数学中一个重要的几何图形，掌握正方形的性质对于解决与正方形相关的数学问题至关重要。

通过本文对正方形的定义、性质及应用的介绍，相信读者对正方形有了更深入的了解。

在学习数学的过程中，我们应持续加强对于正方形性质的理解，多进行相关练习，以提高解决数学问题的能力。

长方形与正方形长方形与正方形的性质与计算方法长方形和正方形是常见的几何形状，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。

在本文中，我们将讨论长方形和正方形的性质，并介绍它们的计算方法。

1. 长方形的性质长方形是一个具有特定属性的四边形。

它的特点是拥有四条边，而且相对的两条边长度相等。

换句话说，长方形的对边是平行的，并且长度相等。

此外，长方形的四个角都是直角，也就是90度。

根据长方形的性质，我们可以得出以下结论：- 长方形的对边长度相等：设长方形的长为L，宽为W，则L=W。

- 长方形的对角线相等：长方形的对角线的长度等于两条边长的平方和的平方根。

即对角线D = √(L^2 + W^2)。

2. 正方形的性质正方形是一种特殊的长方形，它的四条边长度都相等，并且每个角都是直角。

正方形的性质具有以下特点：- 正方形的边长相等：设正方形的边长为S，则S=S。

- 正方形的对角线相等：正方形的对角线长度等于边长的平方根乘以√2。

即对角线D = S√2。

3. 长方形和正方形的计算方法在实际问题中，我们经常需要计算长方形和正方形的面积和周长。

- 长方形的面积计算：长方形面积等于长乘以宽。

即A = L * W。

- 长方形的周长计算：长方形周长等于两倍的长加两倍的宽。

即P = 2L + 2W。

- 正方形的面积计算：正方形面积等于边长的平方。

即A = S^2。

- 正方形的周长计算：正方形周长等于边长的四倍。

即P = 4S。

除了面积和周长，长方形和正方形还有其他的计算方法。

比如，我们可以根据已知的面积或周长计算长方形或正方形的其他属性。

总结：长方形和正方形在几何学和实际应用中都有其独特的性质和计算方法。

了解它们的特点和计算方法有助于我们解决实际问题，如房屋设计、土地规划等。

通过掌握长方形和正方形的性质与计算方法，我们可以更好地理解和应用几何学原理。

通过本文的介绍，我们希望读者对长方形和正方形有了更深入的理解，并能够在实践中灵活运用它们的性质和计算方法。

第1课时正方形的性质基础题知识点1 正方形的定义1．在四边形ABCD中，若AD∥BC，AD＝BC，AB＝BC，∠B＝90°，则四边形ABCD的形状是( )A．平行四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF、CD，如果AC＝BC，那么四边形DECF是________．知识点2 正方形的性质3．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则∠CBO等于( )A．30° B．45°C．60° D．75°4．正方形是轴对称图形，它的对称轴共有( )A．1条 B．2条C．3条 D．4条5．正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A．四个角都相等 B．四边都相等C．对角线相等 D．对角线互相平分6．(吉林中考)如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC 于点H.若AB＝4，AE＝1，则BH的长为( )A．1 B．2C． 3 D．3 27．(凉山中考)如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15C．16 D．178．(来宾中考)正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是( )A．8 B．4 2C．8 2 D．169．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是________．10．(泸州中考)如图，正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G.求证：AE＝BF.中档题11．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为(1，3)，则点C的坐标为( ) A．(3，1) B．(－1，3)C．(－3，1) D．(－3，－1)交FG于点P，则GT＝( )A. 2B．2 2C．2D．113．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1＋S2的值为( ) A．16 B．17 C．18 D．1914．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为________．15．(宿迁中考)如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE＋PC的最小值是________．16．(鄂州中考)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE.(1)求证：BE＝CE；(2)求∠BEC的度数．综合题17．已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.(1)如图1，当P点在线段AB上时，PE＋PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明；(2)如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值．参考答案1.D2.正方形3.B4.D5.B6.C7.C8.A9.22.5° 10.证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ＝90°. ∵AE ⊥BF ，∴∠ABG ＋∠BAE ＝90°. 又∵∠ABG ＋∠CBF ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CBF.∴△ABE ≌△BCF(ASA)． ∴AE ＝BF.11.C 12.B 13.B 14.5 15. 5 16.(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°. ∵三角形ADE 为正三角形，∴AE ＝AD ＝DE ，∠EAD ＝∠EDA ＝60°. ∴∠BAE ＝∠CDE ＝150°.在△BAE 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∴△BAE ≌△CDE(SAS)．∴BE ＝CE.（2）∵AB ＝AD ，AD ＝AE ， ∴AB ＝AE.∴∠ABE ＝∠AEB. 又∵∠BA E ＝150°， ∴∠ABE ＝∠AEB ＝15°. 同理：∠CED ＝15°.∴∠BEC ＝60°－15°×2＝30°. 17.(1)是定值．∵四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD. ∵PF ⊥BD ， ∴PF ∥AC. 同理：PE ∥BD.∴四边形PF OE 为矩形． ∴PE ＝OF.又∵∠PBF ＝45°， ∴PF ＝FB.∴PE ＋PF ＝OF ＋FB ＝OB ＝22a. （2）∵四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD. ∵PF ⊥BD ， ∴PF ∥AC. 同理：PE ∥BD.又∵∠PBF＝∠ABO＝45°，∴PF＝BF.∴PE－PF＝OF－BF＝OB＝22a.。

教案：北师大版九年级数学13正方形的性质与判定一、教学内容本堂课的教学内容为正方形的性质与判定。

学生通过本节课的学习，将了解正方形的定义和特征，并能够利用正方形的性质判断给定的图形是否为正方形。

二、教学目标1.知识目标：了解正方形的定义和特征，能够应用正方形的性质判断图形是否为正方形。

2.技能目标：培养学生观察并归纳总结的能力，以及运用已学知识判断问题的能力。

3.情感目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生解决问题的自信心。

三、教学重难点1.教学重点：正方形的定义和特征，以及判断给定图形是否为正方形的方法。

2.教学难点：帮助学生归纳总结正方形的特征，理解并应用正方形的性质进行判断。

四、教学准备1.教师准备：教材、黑板、白板笔、图形卡片。

2.学生准备：准备纸和笔。

五、教学过程Step 1 自由探究1.教师出示一些较为复杂的图形，并让学生观察和讨论，看是否能够找出其中的正方形。

2.学生观察并尝试寻找，教师帮助引导学生观察正方形的特征，如四条边相等且四个角都是直角等。

3.学生将可能的正方形标出来，并与同桌讨论。

4.教师随机选择一组学生发言，让他们将找到的正方形标出来，并说明自己的观察。

Step 2 归纳总结1.教师引导学生回顾所找到的正方形图形，并将其特征进行总结，强调正方形的定义：四边相等，四个角都是直角。

2.教师将正方形的定义写在黑板上，学生将其抄写在笔记本上。

3.学生自主提问并与同桌讨论：只有边相等和角为直角，是否就能判断为正方形？4.教师引导学生思考，并通过举例说明：对角线相等，是否能判断为正方形？引导学生进行思考和讨论，并总结规律。

Step 3 知识点讲解1.教师讲解正方形的性质：正方形的对角线相等，并通过示意图进行说明。

2.学生通过观察和讨论，将正方形的对角线相等这一性质归纳总结，并记录在笔记本上。

Step 4 练习巩固1.教师出示一些图形，让学生根据正方形的性质判断其是否为正方形。

2.学生分组进行讨论，并将判断结果写在纸上。