九年级数学正方形的性质

专题22 正方形1．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2．正方形的性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；（2）正方形的四个角都是直角,四条边都相等；（3）正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角；（4）正方形是轴对称图形,有4条对称轴；（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3．正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种：先证它是矩形,再证有一组邻边相等。

即有一组邻边相等的矩形是正方形先证它是菱形,再证有一个角是直角。

即有一个角是直角的菱形是正方形。

4．正方形的面积：设正方形边长为a,对角线长为b ,S正方形=222ba【例题1】（2019湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A＝90°,BD＝4,CF＝6,则正方形ADOF的边长是（）A．√2B．2C．√3D．4专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题2】（2019•四川省凉山州）如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是OC上一点,连接E B．过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．一、选择题1．（2019内蒙古包头）如图,在正方形ABCD中,AB＝1,点E,F分别在边BC和CD上,AE＝AF,∠EAF＝60°,则CF的长是（）A．B．C．﹣1D．2．（2019湖南张家界）如图,在平面直角坐标系中,将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019,那么点A2019的坐标是（）A．（,﹣）B．（1,0）C．（﹣,﹣）D．（0,﹣1）3.（2019•四川省广安市）把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（）专题典型训练题()A61()B31()C51()D414.（2019•贵州省铜仁市）如图,正方形ABCD中,AB＝6,E为AB的中点,将△ADE沿DE翻折得到△FDE,延长EF交BC于G,FH⊥BC,垂足为H,连接BF、DG．以下结论：①BF∥ED；②△DFG≌△DCG；③△FHB∽△EAD；④tan∠GEB＝；⑤S△BFG＝2.6；其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5\5．（2019黑龙江省绥化）如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线AC上的两个动点,P是正方形四边上的任意一点,且AB＝4,EF＝2,设AE＝x．当△PEF是等腰三角形时,下列关于P点个数的说法中,一定正确的是（）①当x＝0（即E、A两点重合）时,P点有6个②当0＜x＜42﹣2时,P点最多有9个③当P点有8个时,x＝22﹣2④当△PEF是等边三角形时,P点有4个A．①③B．①④C．②④D．②③二、填空题6．（2019湖南邵阳）公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”．如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是.127．（2019湖南张家界）如图：正方形ABCD的边长为1,点E,F分别为BC,CD边的中点,连接AE,BF交于点P,连接PD,则tan∠APD＝．8.（2019•湖北省随州市）如图,已知正方形ABCD的边长为a,E为CD边上一点（不与端点重合）,将△ADE 沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF．给出下列判断：①∠EAG=45°；②若DE=a,则AG∥CF；③若E为CD的中点,则△GFC的面积为a2；④若CF=FG,则DE=（-1）a；⑤BG•DE+AF•GE=a2．其中正确的是______．（写出所有正确判断的序号）9．（2019福建）如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）10.（2019•四川省凉山州）如图,正方形ABCD中,AB＝12,AE＝AB,点P在BC上运动（不与B、C重合）,过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为．11. （2019•广东广州）如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动（不与点A,B重合）,∠DAM＝45°,点F在射线AM上,且AF＝BE,CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG,则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值a2．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）12.（2019·广西贺州）如图,正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点,AF平分∠BAE交BC于点F,将△ADE 绕点A顺时针旋转90°得△ABG,则CF的长为．13．（2019•山东青岛）如图,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF．若AD＝4cm,则CF的长为cm．14.（2019江苏镇江）将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图）,使得点D 落在对角线CF 上,EF 与AD 相交于点H ,则HD＝ ．（结果保留根号）15．（2019辽宁抚顺）如图,在2×6的网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,网格中小正方形的顶点叫格点,点A ,B ,C 在格点上,连接AB ,BC ,则tan ∠ABC ＝ ．三、解答题16．（2019湖南湘西州）如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边CD ,AD 上,且AF ＝CE ．（1）求证：△ABF ≌△CBE ；（2）若AB ＝4,AF ＝1,求四边形BEDF 的面积．17. (2019海南)如图,在边长为1的正方形ABCD 中,E 是边CD 的中点,点P 是边AD 上一点(与点A,D 不重合),射线PE 与BC 的延长线交于点Q.第10题图HGFEDCBA(1)求证:△PDE≌△QCE;(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连接AF,当PB＝PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.18．（2019湖南株洲）如图所示,已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点,连接CE、DG．（1）求证：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD,正方形ABCD的边长为2,线段AD与线段OG相交于点M,AM＝12,求正方形OEFG的边长．19.（2019•湖北省仙桃市）如图,E,F分别是正方形ABCD的边CB,DC延长线上的点,且BE＝CF,过点E作EG ∥BF,交正方形外角的平分线CG于点G,连接GF．求证：（1）AE⊥BF；（2）四边形BEGF是平行四边形．20．（2019•山东泰安）如图,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF＝90°,FG ⊥AD,垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点,GH与DH垂直吗？若垂直,给出证明；若不垂直,说明理由．21．（2019湖北襄阳）（1）证明推断：如图（1）,在正方形ABCD中,点E,Q分别在边BC,AB上,DQ⊥AE于点O,点G,F分别在边CD,AB上,GF⊥AE．①求证：DQ＝AE；②推断：的值为；（2）类比探究：如图（2）,在矩形ABCD中,＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠,使点A落在BC 边上的点E处,得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系,并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下,连接CP,当k＝时,若tan∠CGP＝,GF＝2,求CP的长．。

正方形的认识与性质正方形是一种具有特殊性质和独特美感的几何图形。

本文将从正方形的定义、性质及相关应用等方面详细介绍正方形。

一、正方形的定义正方形是指四边相等且四个内角均为90度的四边形。

简单来说，正方形就是一个特殊的长方形，它的四边相等且四个角都是直角。

正方形是几何学中最基本的形状之一，具有非常广泛的应用。

二、正方形的性质1. 边长和内角正方形的四条边相等，每个内角都是90度。

这是正方形与其他四边形的明显区别，也是它的基本性质。

2. 对角线正方形的两条对角线相等且互相垂直交叉于中心点。

对角线的长度等于边长的平方根乘以根号2，即对角线长度等于边长的√2倍。

3. 对称性正方形具有对称性，即对于任意一点O在正方形内，以O为中心旋转180度后，正方形仍然能够保持原状。

这种对称性不仅使得正方形美观，也为一些设计和建筑提供了便利。

4. 面积和周长正方形的面积等于边长的平方，周长等于边长的四倍。

这一性质常常在计算中得到应用，尤其在涉及到面积和边长的计算时。

5. 关联性质正方形还与一些其他几何图形存在关联性质。

例如，正方形可以看作是菱形的特殊情况，也可以看作是长方形的特殊情况。

在平面几何中，正方形与其他图形之间的关联性广泛而有趣。

三、正方形的应用1. 建筑设计正方形常常被用于建筑设计中，尤其是对称性要求较高的场所。

例如，大门、窗户等元素常常以正方形的形式出现，给人一种稳重、均衡的感觉。

2. 工艺品和装饰品正方形也常常被运用于工艺品和装饰品中。

例如，瓷砖、摆件等常常选择正方形的形式设计，使得作品更加美观、规整。

3. 数学教育正方形是数学教育中的重要内容之一。

学生在学习几何的初级阶段，不仅需要了解正方形的定义和性质，还需要通过绘制、计算等方式进行实际操作，从而深入理解正方形的特点和应用。

四、总结正方形是一种具有独特性质的几何图形，它的四边相等、每个内角为90度、对角相等且垂直，具有对称性。

正方形不仅在建筑设计、工艺品和装饰品等领域得到广泛应用，也是数学教育中不可或缺的内容。

正方形性质教案【篇一：正方形的性质教案】【篇二：1.3.1正方形的性质与判定(优秀教案)】课题：1．3．1正方形的性质与判定课型：新授课年级：九年级教学目标：1．理解正方形的概念，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．2．在观察、操作、推理、归纳等探索明正方形的性质定理过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神．激发学生学习的积极性与主动性．教学重、难点：重点：理解正方形的定义和性质．难点：选择适当的方法解决有关正方形的问题．教学过程：一、回忆童年，情境引入师：大家小时候都做过风车吗？在准备材料的时候我们往往会先折一张正方形的纸片，大家再来做一做用一张长方形的纸片折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．师：结合菱形和矩形的定义想一想什么样的四边形是正方形？学生思考回答正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．其定义包括了两层意：⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形）⑵有一个角是直角的平行四边形（矩形）所以说正方形既是菱形又是矩形．（几何画板演示动画）我们这节课就来深入了解正方形．【板书课题1．3．1正方形的性质与判定】设计意图：从学生的生活实际出发，创设情境，提出问题，激发学生强烈的好奇心和求知欲．学生经历了将实际问题抽象为数学问题的建模过程．二、实践探究，交流新知师：正方形都具有什么性质呢？生：由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以它应该具备菱形和矩形的所有性质．设计意图：通过分析让学生感受到正方形与矩形和菱形、平行四边形的紧密联系；同时，把思维兴奋点集中到要研究的正方形上来，为下面学习新知识创造了良好开端．师：你能详细说一说吗？生：正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分．（多媒体显示）正方形性质1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形性质2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分．师：同学们能尝试写一下这两个命题的证明过程吗？（学生独立完成，并相互交流）想一想：师：正方形有几条对称轴？（学生思考或者画图验证）三、典例学习，巩固新知如图 1-18，在正方形 abcd 中，e 为 cd 边上一点，f 为bc 延长线上一点，且 ce = cf．be 与 df 之间有怎样的关系？解：be = df，且 be⊥df．理由如下：（1）∵四边形 abcd 是正方形，∴∠ bce = ∠ dcf．又∵ ce = cf，∴△bce ≌△dcf．∴ be = df．（2）延长 be 交 df 于点 m（如图 1-19）．∵△bce ≌△dcf，∴∠ cbe = ∠ cdf．∴ be⊥df．议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流．（学生画图）（多媒体显示）设计意图：①使学生对通过自己的实践总结得到的关于正方形的性质能够熟练运用、解决具体问题．实际上就是充分锻炼学生理论依据（本节课是关于正方形的定理）图形化的能力，也锻炼了学生文本信息图形化的能力．充分锻炼学生的空间观念．②使学生养成阶段性回顾总结的习惯，使其逐渐养成良好的学习品质．同时又是对知识结构的再建过程，是学生丰富、重建自身认知结构的必要手段．巩固练习1：如图，在正方形abcd中，对角线ac与bd相交于点o，图中有多少个等腰三角形？2：如图，在正方形abcd中，点f为对角线ac上一点，连接bf,df．你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明．四、课堂小结，内敛提升师：通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．学生畅谈自己的收获！设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．五、达标检测，反馈纠正1、正方形的四条边，四个角，两条对角线____．2、已知：如图，四边形abcd为正方形，e、f分别为cd、cb延长线上的点，且de＝bf．求证：∠afe＝∠aef．f3．如图，e为正方形abcd内一点，且△ebc是等边三角形，求∠ead与∠ecd b c六、作业布置，落实目标选做题：课本22页习题7．1第1、2题．选做题：课本22页习题7．1第3题．板书设计【篇三：正方形的性质教案】第一章特殊平行四边形3. 正方形的性质与判定（一）一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生已经较为系统的学习了平行四边形、矩形、菱形的基本性质与判定，已经具有了四边形的基本认知与知识结构，这些已有的认知结构可以迁移到正方形的学习中来。

初中数学知识归纳正方形与菱形的性质总结正方形与菱形是初中数学中常见的几何形状，它们有着一些共同的性质。

在本文中，将对正方形与菱形的性质进行归纳总结。

一、正方形的性质正方形是边长相等的四边形，具有以下性质：1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，用字母a表示，即AB=BC=CD=DA=a。

2. 角度相等：正方形的四个内角都是直角，每个角的度数为90°。

3. 对角线相等：正方形的对角线长度相等，用字母d表示，即AC=BD=d。

4. 对称性：正方形具有对称性，可分为水平对称和垂直对称。

水平对称即以中心线为轴，两侧图形相互对称；垂直对称即以中心点为轴，上下图形相互对称。

5. 面积计算：正方形的面积为边长的平方，即A=a^2。

二、菱形的性质菱形是四条边长度相等的四边形，具有以下性质：1. 边长相等：菱形的四条边长度相等，用字母a表示，即AB=BC=CD=DA=a。

2. 角度相等：菱形的对角线相互垂直，每个内角度数为90°。

3. 对角线相等：菱形的对角线长度相等，用字母d表示，即AC=BD=d。

4. 对称性：菱形具有相对角的对称性，即以对角线为轴中心对称。

5. 面积计算：菱形的面积可通过对角线长度计算，即A=（AC×BD）/2。

三、正方形与菱形之间的关系正方形与菱形之间存在一些重要的关系：1. 正方形是菱形的特殊情况：当菱形的内角都为90°时，即菱形的角度满足正方形的条件，此时菱形就是一个正方形。

2. 菱形是正方形的特殊情况：当正方形的对角线相互垂直时，即正方形的对角线满足菱形的条件，此时正方形就是一个菱形。

3. 正方形的对角线分割成相等的菱形：正方形的对角线将正方形分割成两个相等的菱形。

4. 菱形的对角线构成正方形：菱形的对角线交点形成一个正方形。

综上所述，正方形与菱形都是边长相等的四边形，它们具有一些共同的性质，包括边长相等、角度相等、对角线相等等。

同时，正方形与菱形也有一些特殊的关系，如正方形是菱形的特殊情况，菱形是正方形的特殊情况等。

初中数学知识归纳长方形正方形与菱形的性质长方形、正方形和菱形是初中数学中常见的几何形状，它们有着各自独特的性质。

掌握它们的性质对于解题和理解几何关系具有重要作用。

本文将对长方形、正方形和菱形的性质进行归纳总结。

一、长方形的性质1. 定义：长方形是一个四边形，其中的四个内角都是直角。

2. 边和角的性质：a. 相邻边相等：长方形的对边长度相等，即AB = CD，AD = BC。

b. 对角线相等：长方形的对角线长度相等，即AC = BD。

c. 对边平行：长方形的对边平行，即AB ∥ CD，AD ∥ BC。

d. 内角度数：长方形的内角度数为90°。

二、正方形的性质1. 定义：正方形是一个特殊的长方形，它的四边相等且内角都是直角。

2. 边和角的性质：a. 边相等：正方形的四条边长度相等，即AB = BC = CD = AD。

b. 对角线相等：正方形的对角线长度相等，即AC = BD。

c. 对边平行：正方形的对边平行，即AB ∥ CD，AD ∥ BC。

d. 内角度数：正方形的内角度数为90°。

三、菱形的性质1. 定义：菱形是一个四边形，其中的四个边相等。

2. 边和角的性质：a. 边相等：菱形的四条边长度相等，即AB = BC = CD = AD。

b. 对角线垂直：菱形的对角线互相垂直，即AC ⊥ BD。

c. 对角线相等：菱形的对角线长度相等，即AC = BD。

d. 内角度数：菱形的内角度数不一定为直角。

通过对长方形、正方形和菱形的性质进行归纳总结，我们可以发现它们之间存在一些重要的关联。

比如，正方形是一种特殊的长方形，它的性质包含了长方形的所有性质。

同时，正方形也是一种特殊的菱形，它满足菱形的所有性质。

因此，我们可以利用已知的性质来推导未知的性质，解决数学中与这些几何形状相关的问题。

除了上述性质，长方形、正方形和菱形还具有其他一些重要的性质，比如面积和周长公式。

以正方形为例，它的面积公式为S = a^2，其中a表示正方形的边长；周长公式为C = 4a，即正方形的边长乘以4。

正方形的性质与构造正方形作为一种特殊的四边形，具有其独特的性质与构造方法。

本文将探讨正方形在数学中的重要性质，以及如何进行正方形的构造。

一、正方形的基本定义与性质正方形是一种特殊的四边形，具有以下性质：1. 边相等性质：正方形的四条边长度相等。

2. 角相等性质：正方形的四个内角均为90度。

3. 对角相等性质：正方形的对角线相等且垂直。

二、正方形性质的证明1. 边相等性质的证明：设正方形ABCD的边长为a，连接AD和BC两条对角线。

由对角线的长度相等性质可知，AD = BC = a。

同样由对角线的长度相等性质可知，AC = BD = a。

因此，四边形ABCD的四条边相等，即正方形的边相等。

2. 角相等性质的证明：由正方形的定义可知，其四个内角均为直角，即90度。

3. 对角相等性质的证明：由边相等性质可知，AD = BC = a。

同样由边相等性质可知，AB = CD = a。

由此可得，正方形的对角线相等。

由于正方形的对角线是边等长的，通过连接对角可以将正方形分成两个相等的直角三角形。

所以，正方形的对角线在交点处垂直。

三、正方形的构造方法构造正方形的方法有多种，下面将介绍两种常见的构造方法。

1. 以边为基准的构造方法：给定一条边AB，要构造一个正方形，可以按照以下步骤进行：（1）以A为圆心，以AB为半径画一个圆。

（2）以B为圆心，以BA为半径画一个圆，并且将圆与第一个圆的交点命名为C。

（3）连接AC和BC，得到正方形ABCD。

2. 以对角线为基准的构造方法：给定一条对角线AC，要构造一个正方形，可以按照以下步骤进行：（1）以A为圆心，以AC为半径画一个圆。

（2）以C为圆心，以CA为半径画一个圆，并且将圆与第一个圆的交点命名为B和D。

（3）连接AB、BC、CD和DA，得到正方形ABCD。

这些构造方法可以通过尺规作图或者使用传统的画图工具完成。

综上所述，正方形作为一种特殊的四边形，其性质独特且重要。

正方形的边相等、角相等以及对角线相等且垂直是其最基本的性质。

数学知识点正方形和长方形的性质数学知识点：正方形和长方形的性质正方形和长方形是我们在数学学习中经常遇到的两种形状，它们具有一些特殊的性质和特点，本文将详细介绍正方形和长方形的性质。

1. 正方形正方形是一种有特殊性质的四边形，它的四条边长度相等，且四个内角均为直角（90°）。

下面将介绍正方形的性质：1.1 边长和周长正方形的四条边长度相等，我们用a来表示正方形的边长。

那么正方形的周长C等于4a，即C=4a。

1.2 面积正方形的面积等于边长的平方。

用A表示正方形的面积，那么A=a^2。

1.3 对角线正方形的两条对角线相等，且互相垂直。

如果我们分别用d1和d2来表示正方形的对角线长度，那么d1=d2=a√2。

1.4 特殊关系正方形是长方形的一种特殊情况，当长方形的长度和宽度相等时，就成为了正方形。

2. 长方形长方形也是一种有特殊性质的四边形，它的相邻两条边相等，且四个内角均为直角（90°）。

2.1 边长、周长和面积长方形的两条相邻边的长度分别用l和w表示，那么长方形的周长C=2(l+w)，面积A=lw。

2.2 对角线长方形的两条对角线不相等，但互相垂直。

我们可以分别用d1和d2表示长方形的对角线长度，其中d1=l√2，d2=w√2。

2.3 特殊关系正方形是长方形的一种特殊情况。

当长方形的两条相邻边长度相等时，就成为了正方形。

综上所述，正方形和长方形是常见的几何形状，在数学中具有一些特殊的性质。

正方形的四条边相等、角为直角，且对角线相等且垂直；长方形的两条相邻边相等、角为直角，但对角线不相等且垂直。

理解和掌握这些性质将有助于我们解题和计算几何问题。

除了上述性质外，我们还可以通过应用这些性质来解决一些实际问题，比如计算矩形房间的面积、制作正方形图案等等。

练习和应用这些知识，能够帮助我们更好地理解几何形状，并在实际生活和学习中灵活运用。

通过学习本文所介绍的正方形和长方形的性质，相信读者已经对这两种形状有了更深入的理解。